Tegul funkcija φ(s) s=σ+it, yra apibrėžta srityje σ>α+β+1 polinomine Oilerio sandauga. Magistro darbe įrodyta diskreti ribinė teorema analizinių funkcijų erdvėje H(D), funkcijai φ(s). Tarkime, kad h>0 toks fiksuotas skaičius, kad kuriems nors sveikiems k≠0 skaičius exp{2πk/h} yra racionalus, o B(H(D)) yra erdvės H(D) Borelio aibių klasė. Darbe įrodyta, kad tikimybinis matas silpnai konverguoja į vieno H(D) reikšmio atsitiktinio elemento skirstinį. / For σ>α+β+1, define the function φ(s), s=σ+it, by a polynomial Euler product. In our work, a discrete limit theorem in the space H(D) of analytic functions for the function φ(s) is proved. Suppose that h>0 is a fixed number such that for some integers k≠0 the number exp{2πk/h} is racional, and denote by B(H(D)) the class of Borel sets of the space H(D). Then we prove that the probability measure converges weakly to the distribution of one H(D)- valued random element.

Šio magistro darbo tikslas yra pateikti pilną jungtinės universalumo teoremos Dirichlė L funkcijoms įrodymą. Darbas sudarytas iš keturių dalių. Pirmojoje, įvadinėje dalyje, yra aprašomi turimi duomenys ir suformuluojamas pagrindinis darbo rezultatas – teorema, kurią šiame darbe reikia įrodyti. Antrojoje dalyje suformuluojama ir įrodoma jungtinė ribinė teorema: P_T, kai T→∞, silpnai konverguoja į P_L_. Trečiojoje darbo dalyje pateikiama ribinio mato P_L_ atramos išraiška. Ketvirtojoje dalyje, remiantis jau gautais rezultatais bei pasitelkiant dar pora pagalbinių lemų, įrodomas pagrindinis magistro darbo rezultatas, kuris yra toks tvirtinimas: χ_1,...,χ_r yra poromis neekvivalentūs Dirichlė charakteriai. Su visais 1≤j≤r , tegul K_j⊂D yra kompaktinis poaibis, turintis jungųjį papildinį, o funkcija f_j (s) yra tolydi, nevirsta nuliu aibėje K_j ir yra analizinė aibės K_j viduje. Tuomet su kiekvienu ε>0 yra teisinga nelygybė, kuri reiškia, kad Dirichlė L funkcijų postūmių, aproksimuojančių duotą analizinių funkcijų rinkinį, aibė yra gana turtinga, ji turi teigiamą apatinį tankį. / The master‘s graduating work has been written by analyzing and presenting the joint universality theorem of Dirichlet L-functions. The work comprise 4 parts. A description of the available data has been made and the main purpose to prove the theorem has been formulated in the first part. The joint limit theorem (P_T converges weakly to P_L_ as T→∞) have been described and proved in the second part. The support of the limit measures P_L_ has been analyzed in the third part. Finally, by using some of the obtained results and a couple of auxiliary lemmas, the main result of this master’s graduating work has been proved, which is the assertion: suppose that χ_1,..., χ_r are pairwise non-equivalent Dirichlet characters. For all j=1,…,r, let K_j ⊂D be a compact subset with connected complement, and f_j (s) be a continuous non-vanishing functions on K_j which is analytic in the interior of K_j. Then, for every ε>0,we have an inequality which means, that the shifts of Dirichlet L-functions approximating the collection of given analytic function, the set is quite rich and it has a positive lover density.

Darbe pateikta funkcijų tyrimo apžvalga, svarbiausi žinomi rezultatai, suformuluota problema. Pagrindinė ribinė teorema įrodoma, taikant tikimybinius metodus, analizinių funkcijų savybes, aproksimavimo absoliučiai konvertuojančiu integralu principą. / The main limit theorem is proved using probabilistic methods, the analytical functions of the properties.

Šiame magistriniame darbe yra nagrinėjami nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai, turintys visus absoliutinius baigtinius momentus. Magistrinio darbo tikslas - atlikti konvergavimo greičio į normalųjį dėsnį įvertinimą. Darbą sudaro aštuoni skyriai. Įvade aprašoma problema ir visi tyrimo parametrai. Antrasis skyrius skirtas teoriniai analizei. Šiame skyriuje pateikiamos svarbiausios teorinės žinios ir metodai, kurie bus taikomi magistrinio darbo uždaviniams bei tikslams įgyvendinti. Trečiame skyriuje nagrinėjami kumuliantai Bernulio schemos atveju, o ketvirtame - analizuojamas Čebyšovo asimptotinis skleidinys ir pasinaudojus matematiniu paketu Maple, grafiniu būdu, tyrinėjamas jo konvergavimas. Aproksimacijos normaliuoju dėsniu tikslumui įvertinti naudojamas charakteristinių funkcijų metodas, todėl penktasis skyrius yra skiriamas suglodinimo nelygybių patikslinimui. Šeštame skyriuje, pasinaudojus turimais rezultatais, realizuojamas magistrinio darbo tikslas, o septintame - patikrinamas absoliutinės paklaidos įvertis Bernulio schemos atveju. Išvados ir rezultatai glaustai išdėstomi aštuntame skyriuje. / This master thesis considers independiant and identically distributed random variables, having absolute finite moments. The main task is to determine error estimate of the normal approximation. The work consists of eight chapters. In the introduction are considered problems and all subjects of research. The second chapter is designed for the theory analysis. Here are placed the main theoretical studies and methods that are used to solve the aims of the master thesis. The third chapter is intended to deal with cumulants in case of the Bernoulli’s distribution, the fourth one - is analyzing the Čebyšova’s asymptotic expansion and it convergence with the help of the mathematical package Maple. The method of characteristic’s functions is used to find the remainder term of the normal approximation, so the fifth chapter is designed to specify smoothing inequalities. Based on these results, the main task of the master thesis was obtained and specified in the sixth chapter. In the seventh one the error estimate in case of Bernoulli’s distribution, was examined with a mathematical package Maple. The short conclusions and results are placed in the eighth chapter.

Šiame darbe nagrinėjama atsitiktinio dėmenų (atsitiktinių dydžių) skaičiaus skirstinio funkcijos aproksimacijos normaliuoju dėsniu tolygusis ir netolygusis įverčiai. Atsitiktinių dydžių atsitiktinio dėmenų skaičiaus suma traktuojama kaip draudėjo suminės išmokos. Pilnai išnagrinėtas atvejis, kai atsitiktinis dėmenų skaičius yra homogeninis Puasono procesas. Kita darbo dalis skirta atvejui, kai nėra Puasono procesas. Darbą sudaro 8 dalys: įvadas, analitinė – metodinė dalis, rezultatai, kuriais remsimės darbe, darbo tikslas, darbo rezultatai, publikuotas straipsnis, išvados, literatūros sąrašas. Darbo apimtis – 49 p. teksto be priedų, 2 iliustr., 4 bibliografiniai šaltiniai. / This work analyses the even and not even evaluations of distribution function approximation of random amount of random variables using normal law. The sum of random amount of random variables is treated as assurers total payout. In this paper there is fully explored the case when (random amount of random values) is homogeneous Poisson process. The other part of this work explores the case when is not a Poisson process. Structure: introduction, analytical – methodical part, results, are used in work, woprk point, work results, conclusions, references. Thesis consist of: 49 p. text without appendixes, 2 pictures, 4 bibliographical entries.

In the thesis, the joint universality of periodic Hurwitz zeta-functions as well as that jointly with the Riemann zeta-functions of normalized cusp forms is obtained. / Darbe yra įrodomas jungtinis universalumas periodinėms Hurvico dzeta funkcijoms, taip pat bendras universalumas su Rymano dzeta funkcija ir normuotų parabolinių formų dzeta funkcija.

Darbe yra įrodomas jungtinis universalumas periodinėms Hurvico dzeta funkcijoms, taip pat bendras universalumas su Rymano dzeta funkcija ir normuotų parabolinių formų dzeta funkcija. / In the thesis, the joint universality of periodic Hurwitz zeta-functions as well as that jointly with the Riemann zeta-function or zeta functions of normalized cusp forms is obtained.

Magistro darbe įrodyta elipsinių kreivių L-funkcijų jungtinė diskreti universalumo Voronino prasme teorema. / The aim of the master work is to obtain a joint discrete universality theorem in the Voronin sense for L-function of elliptic curves.

Darbe nagrinėjamos Hurvico dzeta funkcijos _dzeta(s; alfa_), s = _alfa +it su algebriniu iracionaliuoju parametru _alfa, 0 < alfa_ ≤ 1 diskretusis reikšmių pasiskirstymas. Įrodyta, jog funkcijai _(s; alfa_) galioja diskrečioji ribinė teorema su svoriu kompleksinėje plokštumoje C. / Master’s work is devoted to the investigation of value distribution of Hurwitz zeta-function _(s; alfa_), s = alfa_ + it with algebraic irrational parameter alfa_, 0 < alfa_ ≤ 1. It is proved that for the function _(s; alfa_) valid discrete limit theorem with weight in the complex plane.

Sakykime, kad F yra normuota parabolinė tikrinė forma pilnosios modulinės grupės atžvilgiu, L(s, F) yra susieta su L funkcijos sąsūka L(s, F, χ) su Dirichlė charakteriu moduliu q, kai q yra pirminis skaičius. Bakalauro darbe įrodyta ribinė teorema L funkcijų sąsūkų argumentui arg L(s, F, χ). / Let F(z) a holomorfic normalized Hecke eigen cups form of weight κ for the full modular group, L(s, F), s = σ + it, be the L-function attached to the form F. Let L(s, F, χ) denote a twist of L(s, F) with a Dirichlet character χ modulo q, by the Dirichlet series and can be analytically continued to an entire function. It has an Euler product over prime numbers. We obtain the weak dinvergence for probability measures μQ(arg L(s, F, χ) ∈ A), A ∈ B(γ), where γ is the unit circle on the complex plane, as Q → ∞. For the proof, the method of characteristic transforms and the limit measures in limit theorems obtained are defined characteristic transforms.