Cette thèse traite de deux problèmes qui ont leur origine dans la théorie du contrôle géométrique, et qui concernent les systèmes de contrôle avec dérive, c'est-à-dire de la forme $\dot q= f_0(q)+\sum_{j=1}^m u_j f_j(q)$. Dans la première partie de la thèse, on généralise le concept de complexité de courbes non-admissibles, déjà bien compris pour les systèmes sous-riemanniens, au cas des systèmes de contrôle avec dérive, et on donne des estimations asymptotiques de ces quantités. Ensuite, dans la deuxième partie, on considère une famille de systèmes de contrôle sans dérive en dimension 2 et on s'intéresse à l'operateur de Laplace-Beltrami associé et à l'évolution de la chaleur et des particules quantiques qu'il définit. On étudie plus particulièrement l'effet qu'a l'ensemble où les champs de vecteurs contrôlés deviennent colinéaires sur ces évolutions.

Cette thèse porte sur l'existence de champs browniens fractionnaires indexés par des variétés riemanniennes. Ces objets héritent des propriétés qui font le succès du mouvement brownien fractionnaire classique (H-autosimilarité des trajectoires ajustable, accroissements stationnaires), mais autorisent à considérer des applications où les données sont portées par un espace qui peut par exemple être courbé ou troué. L'existence de ces champs n'est assurée que lorsque la quantité 2H est inférieure à l'indice fractionnaire de la variété, qui n'est connu que dans un petit nombre d'exemples. Dans un premier temps nous donnons une condition nécessaire pour l'existence de champ brownien fractionnaire. Dans le cas du champ brownien (correspondant à H=1/2) indexé par des variétés qui ont des géodésiques fermées minimales, cette condition s'avère très contraignante : nous donnons des résultats de non-existence dans ce cadre, et montrons notamment qu'il n'existe pas de champ brownien indexé par une variété compacte non simplement connexe. La condition nécessaire donne également une preuve courte d'un fait attendu qui est la non-dégénérescence du champ brownien indexé par les espaces hyperboliques réels. Dans un second temps nous montrons que l'indice fractionnaire du cylindre est nul, ce qui constitue un exemple totalement dégénéré. Nous en déduisons que l'indice fractionnaire d'un espace métrique n'est pas continu par rapport à la convergence de Gromov-Hausdorff. Nous généralisons ce résultat sur le cylindre à un produit cartésien qui possède une géodésique fermée minimale, et donnons une majoration de l'indice fractionnaire de surfaces asymptotiquement proches du cylindre au voisinage d'une géodésique fermée minimale. / The aim of the thesis is the study of the existence of fractional Brownian fields indexed by Riemannian manifolds. Those fields inherit key properties of the classical fractional Brownian motion (sample paths with self-similarity of adjustable parameter H, stationary increments), while allowing to consider applications with data indexed by a space which can be for example curved or with a hole. The existence of those fields is only insured when the quantity 2H is inferior or equal to the fractional index of the manifold, which is known only in a few cases. In a first part we give a necessary condition for the fractional Brownian field to exist. In the case of the Brownian field (corresponding to H=1/2) indexed by a manifold with minimal closed geodesics this condition happens to be very restrictive. We give several nonexistence results in this situation. In particular we show that there exists no Brownian field indexed by a nonsimply connected compact manifold. Our necessary condition also gives a short proof of an expected result: we prove the nondegeneracy of fractional Brownian fields indexed by the real hyperbolic spaces. In a second part we show that the fractional index of the cylinder is null, which gives a totally degenerate case. We deduce from this result that the fractional index of a metric space is noncontinuous with respect to the Gromov-Hausdorff convergence. We generalise this result about the cylinder to a Cartesian product with a closed minimal geodesic. Furthermore we give a bound of the fractional index of surfaces asymptotically close to the cylinder in the neighbourhood of a closed minimal geodesic.

On étudie des flots géométriques d'ordre quatre sur des variétés riemanniennes compactes, qui apparaissent naturellement comme flots de gradient de fonctionnelles quadratiques en la courbure. Lorsque la constante de Yamabe reste minorée par une constante strictement positive le long du flot, on montre que la variété ne s'effondre pas, et qu'une suite de métriques dilatées au voisinage d'un temps singulier converge vers une variété complète qui modélise la singularité. En particulier, en dimension quatre, cette hypothèse est vérifiée pour une certaine classe de flots de gradients, du moment que l'énergie initiale est inférieure à une constante explicite. Les singularités de ces flots sont alors modélisées par des variétés complètes et non compactes, dont le tenseur de Bach et la courbure scalaire s'annulent. En combinant une formule de Weitzenböck avec l'inégalité de Sobolev induite par la positivité de la constante de Yamabe, on montre une série de résultats de rigidité pour des métriques dont la courbure est intégralement pincée. En particulier, on prouve un théorème de rigidité pour les variétés de dimension quatre à tenseur de Bach et à courbure scalaire nuls, qui implique que les singularités de notre classe de flots de gradient ne peuvent exister que si l'énergie initiale est supérieure à une certaine constante. Dans le cas contraire, ces flots existent pour tous temps positifs et convergent vers une métrique à courbure sectionnelle constante et positive. On retrouve ainsi un "théorème de la sphère" pour les variétés compactes de dimension quatre dont la courbure est intégralement pincée. En appliquant cette même méthode aux formes harmoniques d'une variété à courbure intégralement pincée, on démontre une version intégrale du théorème de Bochner-Weitzenböck. On en déduit l'annulation des nombres de Betti sous diverses conditions de pincement intégral, et on caractérise les cas d'égalité. / We study fourth-order geometric flows on compact Riemannian manifolds, which naturally appear as gradient flows of quadratic curvature functionals. When the Yamabe constant remains bounded from below by a positive constant along the flow, we show that the manifold doesn't collapse, and that a sequence of dilated metrics near a singular time converges to a singularity model. In particular, in dimension four, this assumption is satisfied by a class of gradient flows, provided that the initial energy is less than an explicit constant. The singularities of these flows are then modeled by complete non-compact manifolds, which are Bach-flat and scalar-flat. By combining a Weitzenböck formula with the Sobolev inequality induced by the positivity of the Yamabe constant, we prove several rigidity results for metrics with integral pinched curvature. In particular, we prove a rigidity result for Bach-flat and scalar-flat manifolds in dimension four, which implies that the singularities of our gradient flows can only exist when the initial energy is bigger than a given constant. When this is not the case, these flows exist for all time, and converge to a metric with constant positive curvature. It provides a proof of a "sphere theorem" for closed four-dimensional manifolds with integral pinched curvature. Applying the same method to harmonic forms on an integral pinched manifold, we prove an integral version of the Bochner-Weitzenböck theorem. As a corollary, we obtain the vanishing of Betti numbers under various integral pinching conditions, and we characterize the equality cases.

Le flot de Ricci, introduit par Hamilton au début des années 80, a montré sa valeur pour étudier la topologie et la géométrie des variétés riemanniennes lisses. Il a ainsi permis de démontrer la conjecture de Poincaré (Perelman, 2003) et le théorème de la sphère différentiable (Brendle et Schoen, 2008). Cette thèse s'intéresse aux applications du flot de Ricci à des espaces métriques à courbure minorée peu lisses. On définit en particulier ce que signifie pour un flot de Ricci d'avoir pour condition initiale un espace métrique. Dans le Chapitre 2, on présente certains travaux de Simon permettant de construire un flot de Ricci pour certains espaces métriques de dimension 3. On démontre aussi deux applications de cette construction : un théorème de finitude en dimension 3 et une preuve alternative d'un théorème de Cheeger et Colding en dimension 3. Dans le Chapitre 3, on s'intéresse à la dimension 2. On montre que pour les surfaces singulières à courbure minorée (au sens d'Alexandrov), on peut définir un flot de Ricci et que celui-ci est unique. Ceci permet de montrer que l'application qui à une surface associe son flot de Ricci est continue par rapport aux perturbations Gromov-Hausdorff de la condition initiale. Le Chapitre 4 généralise une partie de ces méthodes en dimension quelconque. On doit y considérer des conditions de courbure autres que les usuelles minorations de la courbure de Ricci ou de la courbure sectionnelle. Les méthodes mises en place permettent de construire un flot de Ricci pour certains espaces métriques non effondrés limites de variétés dont l'opérateur de courbure est minoré. On montre aussi que sous certaines hypothèses de non-effondrement, les variétés à opérateur de courbure presque positif portent une métrique à opérateur de courbure positif ou nul. / The Ricci flow was introduced by Hamilton in the beginning of the 90's. It has been a valuable tool to study the topology and the geometry of smooth Riemannian manifolds. For example, it was essential in the of the Poincaré conjecture (Perelman, 2003) and of the differentiable sphere theorem (Brendle and Schoen, 2008). In this thesis, we are interested in the applications of Ricci flow to metric spaces with curvature bounded from below which are not smooth. We define what it means for a Ricci flow to admit a metric space as initial condition. In Chapter 2, we present some works of Simon which allow to build a Ricci flow for some metric spaces of dimension 3. We also give two applications of this result : a finiteness theorem in dimension 3 and an alternative of a theorem of Cheeger and Colding in dimension 3. In Chapter 3, we treat the special case of dimension 2. We show that for singular surfaces whose curvature is boded from below (in the sense of Alexandrov), we can define a Ricci and it is unique. This allow to show that for surfaces with curvature bounded from below, the application which maps a surface to its Ricci flow is continuous with respect to Gromov-Hausdorff perturbations of the initial condition. Chapter 4 generalizes some of these methods in higher dimension. Here one needs to consider other conditions on the curvature than the usual "Ricci curvature bounded from below" and "sectional curvature bounded from below". The methods used there allow us to build a Ricci flow for some non-collapsed metric spaces which are limits of manifolds whose curvature operator is bounded from below. We also show that under some non-collapsing assumptions manifolds with almost non-negative curvature operator admit metrics with non-negative curvature operator.

Si µ est une mesure de probabilité à support compact dans uns espace vectoriel ou affine de dimension finie, le barycentre (ou centre de gravité) de µ est un point bien défini de l’espace. Mais des difficultés surgissent lorsque l’espace est remplacé par une variété riemannienne M ; dans ce cas, même en se restreignant aux variétés convexes (c’est-à-dire deux dont points quelconques sont toujours joints par une géodésique et une seule) et aux mesures à support fini, il est en général impossible d'assigner à chaque probabilité un barycentre de façon que, d'une part,pour tous λϵ [0; 1] et x et y dans M, le barycentre de µ = (1- λ ) δˣ+ λ δy soit toujours le point γ(λ), sur la géodésique telle que γ (0) = x et γ (1) = y, et que, d'autre part, soit préservée la propriété d'associativité (pour faire une moyenne, on peut commencer par faire des moyennes partielles). Dés que la mesure µ est portée par au moins trois points non tous situées sur une même géodésique, il y a de multiples façons différentes de définir son barycentre comme barycentre de barycentres partiels de barycentres partiels etc., chaque opération élémentaire ne faisant intervenir que deux points. On obtient ainsi tout un ensemble de points de M, les barycentres itérés de µ . Pour des probabilités plus générales, on appelle barycentre convexe de µ l'ensemble b(µ) des points x de M qui sont limites d'une suite (xn), ou chaque xn est un barycentre itéré d'une probabilité µn à support fini, les mesures µn tendant vers µ. / If μ is a probability measure carried on a small in a finite-dimension vectorial or affine space, the μ- barycenter (center of gravity) is a well-defined point in space. Nevertheless, difficulties arise when space is changed by Riemannian manifold M. In this case, even if we limit to convex manifolds (i.e : when any two points are joined by one geodesic and just one) and to finite-support measures, it’s, in general impossible to attribute a barycenter to each probability, in such a way, on one hand, whetever λϵ [0; 1] and x and y in M, the barycenter of µ = (1- λ ) δˣ+ λ δy will be always the point γ(λ) of the geodesic such that γ (0) = x et γ (1) =y, and on another hand, the associative property will be maintained (to make a mean, we can begin by doing partial means). Once the measure μ is carried by at least three points which are not all localed on the same geodesic, there are different manners to define its barycenter as one of partial barycenters of partial barycenters and so on, in which each elementary operation includes only two points. Thus, we get a whole set of set of points of M, the iterated barycenters of μ. For more general probabilities μ, we call convex barycenter of μ, the set b(μ) of points x of M which are limit of sequence (xn), in which each xn is an iterated barycenter of a finite support probability μn, the measure μn tending to μ.

Cette thèse porte sur l’application de techniques de contrôle optimal et de contrôle géométriques au problème de transfert d’orbite de satellite et à la géométrie presque-riemannienne. Dans ces cas, le principe du maximum de Pontryagin permet d’étudier le flot extrémal pour des systèmes de contrôle affines.Dans le cas d’un satellite à faible poussée, la technique de moyennation permet d’approcher les trajectoires du système réel. La moyennation est explicite dans le cas de la minimisation de l’énergie et fait apparaître dans certains cas des problèmes presque-riemanniens. L’étude géométrique de tels problèmes est généralisée par l’étude de métriques sur la deux-sphère de révolution. On peut ainsi classifier les situations selon la transcendance des solutions et discuter l’optimalité selon la nature des lieux de coupure et de conjugaison.L’étude du problème moyenné du transfert orbital et de situations génériques sur la sphère de révolution est motivée par l’approche homotopique de résolution numérique du problème de transfert pour d’autres fonctions de coût. La méthode de continuation couplée à celle de tir simple est utilisée pour résoudre un problème de transfert à forte poussée à consommation minimale de carburant.Les outils géométriques sont aussi utilisés afin d’étudier la situation locale dans un voisinage des points de tangence en géométrie presque-riemannienne en dimension deux. On calcule pour les approximations nilpotente et d’ordre zéro le front d’onde, les sphères de petits rayons et les lieux de coupure et de conjugaison. / In this thesis we focus on optimal control techniques as well as geometric control techniques applied to the orbital transfer problem and to almost-Riemannian geometry. In these cases, Pontryagin’s Maximum Principle allows to analyse the extremal flow of affine control systems.In the case of a satellite with low-thrust propulsion, averaging techniques give an approximated system. Averaging is explicit in the energy minimization case and is directly related to almost-riemannian problems. The geometric analysis of such problems is generalized by the study of metrics on the two-sphere of revolution. In this way it is possible to classify the situations considering the transcendance of the solutions and to discuss the optimality problem considering the cut locus and the conjugate locus.The analysis of the averaged problem for the orbital transfer and of generic situations on the two-dimensional sphere of revolution is motivated by the homotopic approach to solve numerically the orbital transfer problem.The homotopy method using simple shooting techniques is applied to solve a transfer minimizing the fuel consumption.The geometric tools are also useful in the local analysis of tangency points in two-dimensional almost-Riemannian geometry. In this framework, we compute wavefronts, sphere of small radius and cut and conjugate loci.

L'objet de cette thèse est l'étude mathématique de familles d'espaces-temps satisfaisant aux équations d'Einstein de la Relativité Générale. Deux approches sont considérées pour cette étude. La première partie, composée des trois premiers chapitres, examine les propriétés géométriques des espaces-temps d'Emparan-Reall et dePomeransky-Senkov, de dimension 5. Nous montrons qu'ils contiennent un trou noir, dont l'horizon des événements est à sections compactes non-homéomorphes à la sphère. Nous en construisons une extension analytique et prouvons que cette extension est maximale et unique dans une certaine classe d'extensions pour les espaces-temps d'Emparan-Reall. Nous établissons ensuite le diagramme de Carter-Penrose de ces extensions, puis analysons la structure de l'ergosurface des espaces-temps de Pomeransky-Senkov. La deuxième partie est consacrée à l'étude de données initiales, solutions des équations des contraintes, induites par les équations d'Einstein. Nous effectuons un recollement d'une classe de données initiales avec des données initiales d'espaces-temps de Kerr-Kottler-deSitter, en utilisant la méthode de Corvino. Nous construisons, d'autre part, des métriques asymptotiquement hyperboliques en dimension 3, satisfaisant les hypothèses du théorème de masse positive à l'exception de la complétude, et ayant un vecteur moment-énergie de genre causal arbitraire. / The aim of this thesis is the mathematical study of families of spacetimes satisfying the Einstein's equations of General Relativity. Two methodsare used in this context.The first part, consisting of the first three chapters of this work,investigates the geometric properties of the Emparan-Reall andPomeransky-Senkov families of 5-dimensional spacetimes. We show that they contain a black-hole region, whose event horizon has non-spherical compact cross sections. We construct an analytic extension, and show its maximality and its uniqueness within a natural class in the Emparan-Reallcase. We further establish the Carter-Penrose diagram for these extensions, and analyse the structure of the ergosurface of the Pomeransky-Senkovspacetimes.The second part focuses on the study of initial data, solutions of theconstraint equations induced by the Einstein's equations. We perform agluing construction between a given family of inital data sets andinitial data of Kerr-Kottler-de Sitter spacetimes, using Corvino'smethod.On the other hand, we construct 3-dimensional asymptotically hyperbolicmetrics which satisfy all the assumptions of the positive mass theorem but the completeness, and which display an energy-momentum vector of arbitry causal type.

On considère ici deux sujets différents, en utilisant des idées issues de la théorie de l'information : 1) Context Tree Weighting est un algorithme de compression de texte qui calcule exactement une prédiction Bayésienne qui considère tous les modèles markoviens visibles : on construit un "arbre de contextes", dont les nœuds profonds correspondent aux modèles complexes, et la prédiction est calculée récursivement à partir des feuilles. On étend cette idée à un contexte plus général qui comprend également l'estimation de densité et la régression, puis on montre qu'il est intéressant de remplacer les mixtures Bayésiennes par du "switch", ce qui revient à considérer a priori des suites de modèles plutôt que de simples modèles. 2) Information Geometric Optimization (IGO) est un cadre général permettant de décrire plusieurs algorithmes d'optimisation boîte noire, par exemple CMA-ES et xNES. On transforme le problème initial en un problème d'optimisation d'une fonction lisse sur une variété Riemannienne, ce qui permet d'obtenir une équation différentielle du premier ordre invariante par reparamétrage. En pratique, il faut discrétiser cette équation, et l'invariance n'est plus valable qu'au premier ordre. On définit l'algorithme IGO géodésique (GIGO), qui utilise la structure de variété Riemannienne mentionnée ci-dessus pour obtenir un algorithme totalement invariant par reparamétrage. Grâce au théorème de Noether, on obtient facilement une équation différentielle du premier ordre satisfaite par les géodésiques de la variété statistique des gaussiennes, ce qui permet d'implémenter GIGO. On montre enfin que xNES et GIGO sont différents dans le cas général, mais qu'il est possible de définir un nouvel algorithme presque invariant par reparamétrage, GIGO par blocs, qui correspond exactement à xNES dans le cas Gaussien. / We study two different topics, using insight from information theory in both cases: 1) Context Tree Weighting is a text compression algorithm that efficiently computes the Bayesian combination of all visible Markov models: we build a "context tree", with deeper nodes corresponding to more complex models, and the mixture is computed recursively, starting with the leaves. We extend this idea to a more general context, also encompassing density estimation and regression; and we investigate the benefits of replacing regular Bayesian inference with switch distributions, which put a prior on sequences of models instead of models. 2) Information Geometric Optimization (IGO) is a general framework for black box optimization that recovers several state of the art algorithms, such as CMA-ES and xNES. The initial problem is transferred to a Riemannian manifold, yielding parametrization-invariant first order differential equation. However, since in practice, time is discretized, this invariance only holds up to first order. We introduce the Geodesic IGO (GIGO) update, which uses this Riemannian manifold structure to define a fully parametrization invariant algorithm. Thanks to Noether's theorem, we obtain a first order differential equation satisfied by the geodesics of the statistical manifold of Gaussians, thus allowing to compute the corresponding GIGO update. Finally, we show that while GIGO and xNES are different in general, it is possible to define a new "almost parametrization-invariant" algorithm, Blockwise GIGO, that recovers xNES from abstract principles.

Ce manuscrit étudie les images omnidirectionnelles catadioptriques couleur en tant que variétés Riemanniennes. Cette représentation géométrique ouvre des pistes intéressantes pour résoudre les problèmes liés aux distorsions introduites par le système catadioptrique dans le cadre de la perception couleur des systèmes autonomes. Notre travail démarre avec un état de l’art sur la vision omnidirectionnelle, les différents dispositifs et modèles de projection géométriques. Ensuite, nous présentons les notions de base de la géométrie Riemannienne et son utilisation en traitement d’images. Ceci nous amène à introduire les opérateurs différentiels sur les variétés Riemanniennes, qui nous seront utiles dans cette étude. Nous développons alors une méthode de construction d’un tenseur métrique hybride adapté aux images catadioptriques couleur. Ce tenseur a la double caractéristique, de dépendre de la position géométrique des points dans l’image, et de leurs coordonnées photométriques également. L’exploitation du tenseur métrique proposé pour différents traitements des images catadioptriques, est une partie importante dans cette thèse. En effet, on constate que la fonction Gaussienne est au cœur de plusieurs filtres et opérateurs pour diverses applications comme le débruitage, ou bien l’extraction des caractéristiques bas niveau à partir de la représentation dans l’espace-échelle Gaussien. On construit ainsi un nouveau noyau Gaussien dépendant du tenseur métrique Riemannien. Il présente l’avantage d’être applicable directement sur le plan image catadioptrique, également, variable dans l’espace et dépendant de l’information image locale. Dans la dernière partie de cette thèse, nous discutons des applications robotiques de la métrique hybride, en particulier, la détection de l’espace libre navigable pour un robot mobile, et nous développons une méthode de planification de trajectoires optimal. / This manuscript investigates omnidirectional catadioptric color images as Riemannian manifolds. This geometric representation offers insights into the resolution of problems related to the distortions introduced by the catadioptric system in the context of the color perception of autonomous systems. The report starts with an overview of the omnidirectional vision, the different used systems, and the geometric projection models. Then, we present the basic notions and tools of Riemannian geometry and its use in the image processing domain. This leads us to introduce some useful differential operators on Riemannian manifolds. We develop a method of constructing a hybrid metric tensor adapted to color catadioptric images. This tensor has the dual characteristic of depending on the geometric position of the image points and their photometric coordinates as well.In this work, we mostly deal with the exploitation of the previously constructed hybrid metric tensor in the catadioptric image processing. Indeed, it is recognized that the Gaussian function is at the core of several filters and operators for various applications, such as noise reduction, or the extraction of low-level characteristics from the Gaussian space- scale representation. We thus build a new Gaussian kernel dependent on the Riemannian metric tensor. It has the advantage of being applicable directly on the catadioptric image plane, also, variable in space and depending on the local image information. As a final part in this thesis, we discuss some possible robotic applications of the hybrid metric tensor. We propose to define the free space and distance transforms in the omni- image, then to extract geodesic medial axis. The latter is a relevant topological representation for autonomous navigation, that we use to define an optimal trajectory planning method.

The thesis comprises two parts. In the first part, we investigate various cohomological aspects of hypercomplex manifolds and analyse the existence of special metrics. In the second part, we define Seiberg-Witten equations on the leaf space of manifolds which admit a Riemannian foliation of codimension four. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished