Ce mémoire présente des résultats dans trois directions. En géométrie riemannienne, on montre une généralisation de l'inégalité de Günther sur le volume, et en dimension 4 une inégalité isopérimétrique pour les variétés à courbure majorée. En géométrie des espaces de Wasserstein, issus du transport optimal, on montre des résultats plongement et de non-plongement, on calcule des groupes d'isométries, et on étudie la dynamique de l'action sur les mesures des applications dilatantes du cercle. En topologie de Chabauty, on montre que l'espace des sous-groupes fermés de $R^n$ est simplement connexe.

Dans cette thèse, nous proposons un cadre Riemannien pour comparer, déformer, calculer des statistiques et organiser de manière hiérarchique des surfaces faciales. Nous appliquons ce cadre à la biométrie faciale 3D où les défis sont les expressions faciales, les variations de la pose et les occultations du visage par des objets externes. Les surfaces faciales sont repr'esentées par un ensemble de courbes de niveaux et de courbes radiales. L'ensemble des courbes fermées (de niveau) constitue une sous-variété non-linéaire de dimension infinie et est utilisé pour représenter le nez, la partie la plus stable du visage. La surface faciale est présentée, par ailleurs, par une collection indexée de courbes radiales. Dans ce cas, le calcul se simplifie et l'espace des formes des courbes ouvertes se ramène à une hyper sphère de l'espace de Hilbert. La comparaison dans l'espace des formes se fait via une métrique élastique afin de faire face aux d'eformations non-isométriques (ne conservant pas les longueurs) des surfaces faciales. Nous proposons des algorithmes pour calculer les moyennes, les vecteurs propres dans ces variétés non-linéaires et l'estimation des parties manquantes des surfaces faciales 3D. L'approche présentée dans cette thèse a été validée sur des Benchmarks connus (FRGCv2, GAVAB, BOSPHORUS) et obtenu des résultats compétitifs par rapport aux méthodes de l'état de l'art.

Ces dernières années, le besoin de cadres rigoureux pour traiter des données non-linéaires s'est développé considérablement en imagerie médicale. Ici, nous avons proposé plusieurs cadres généraux pour traiter certains de ces types de données, qui appartiennent à des groupes de Lie. Pour ce faire, nous nous sommes appuyés sur les propriétés algébriques de ces espaces. Ainsi, nous avons présenté un cadre de traitement général pour les matrices symétriques définies positives, appelé log-euclidien, très simple à utiliser et avec d'excellentes propriétés théoriques ; il est particulièrement adapté au traitement des images de tenseurs de diffusion. Nous avons également proposé des cadres, dits polyaffines, pour paramétrer les transformations localement rigides ou affines, en garantissant leur inversibilité avec d'excellentes propriétés théoriques. Leur utilisation est illustrée avec succès dans le cas du recalage localement rigide de coupes histologiques et du recalage 3D localement affine d'IRMs du cerveau humain. Ce travail nous a menés à proposer deux cadres généraux nouveaux pour le calcul de statistiques dans les groupes de Lie en dimension finie : d'abord le cadre log-euclidien, qui généralise notre travail sur les tenseurs, et un cadre basé sur la notion nouvelle de moyenne bi-invariante, dont les propriétés généralisent celles de la moyenne arithmétique des espaces euclidiens. Enfin, nous avons généralisé notre cadre log-euclidien aux déformations géométriques difféomorphes afin de permettre un calclul simple des statistiques sur ces transformations, ce qui ouvre la voie à un cadre général et cohérent pour les statistiques en anatomie computationnelle.

Cette thèse comporte deux parties distinctes, toutes les deux liées à la théorie du transport optimal. Dans la première partie, nous considérons une variété riemannienne, deux mesures à densité régulière et un coût de transport, typiquement la distance géodésique quadratique et nous nous intéressons à la régularité de l'application de transport optimal. Le critère décisif à cette régularité s'avère être le signe du tenseur de Ma-Trudinger-Wang (MTW). Nous présentons tout d'abord une synthèse des travaux réalisés sur ce tenseur. Nous nous intéressons ensuite au lien entre la géométrie des lieux d'injectivité et le tenseur MTW. Nous montrons que dans de nombreux cas, la positivité du tenseur MTW implique la convexité des lieux d'injectivité. La deuxième partie de cette thèse est liée aux équations aux dérivées partielles. Certaines peuvent être considérées comme des flots gradients dans l'espace de Wasserstein W2. C'est le cas de l'équation de Keller-Segel en dimension 2. Pour cette équation nous nous intéressons au problème de quantification de la masse lors de l'explosion des solutions ; cette explosion apparaît lorsque la masse initiale est supérieure à un seuil critique Mc. Nous cherchons alors à montrer qu'elle consiste en la formation d'un Dirac de masse Mc. Nous considérons ici un modèle particulaire en dimension 1 ayant le même comportement que l'équation de Keller-Segel. Pour ce modèle nous exhibons des bassins d'attractions à l'intérieur desquels l'explosion se produit avec seulement le nombre critique de particules. Finalement nous nous intéressons au profil d'explosion : à l'aide d'un changement d'échelle parabolique nous montrons que la structure de l'explosion correspond aux points critiques d'une certaine fonctionnelle.

La recherche d'une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques sur une surface amène naturellement à l'étude des "surfaces à Courbure Intégrale Bornée au sens d'Alexandrov". Il s'agit d'une géométrie singulière, développée par A. Alexandrov et l'école de Leningrad dans les années 1970, et dont la caractéristique principale est de posséder une notion naturelle de courbure, qui est une mesure. Cette large classe géométrique contient toutes les surfaces "raisonnables" que l'on peut imaginer.Le résultat principal de cette thèse est un théorème de compacité pour des métriques d'Alexandrov sur une surface ; un corollaire immédiat concerne les métriques Riemanniennes à singularités coniques. On décrit dans ce manuscrit trois hypothèses adaptées aux surfaces d'Alexandrov, à la manière du théorème de compacité de Cheeger-Gromov qui concerne les variétés Riemanniennes à courbure bornée, rayon d'injectivité minoré et volume majoré. On introduit notamment la notion de rayon de contractibilité, qui joue le rôle du rayon d'injectivité dans ce cadre singulier.On s'est également attachés à étudier l'espace (de module) des métriques d'Alexandrov sur la sphère, à courbure positive le long d'une courbe fermée. Un sous-ensemble intéressant est constitué des convexes compacts du plan, recollés le long de leurs bords. A la manière de W. Thurston, C. Bavard et E. Ghys, qui ont considéré l'espace de module des polyèdres et polygones (convexes) à angles fixés, on montre que l'identification d'un convexe à sa fonction de support fait naturellement apparaître une géométrie hyperbolique de dimension infinie, dont on étudie les premières propriétés. / If we look for a compactification of the space of Riemannian metrics with conical singularities on a surface, we are naturally led to study the "surfaces with Bounded Integral Curvature in the Alexandrov sense". It is a singular geometry, developed by A. Alexandrov and the Leningrad's school in the 70's, and whose main feature is to have a natural notion of curvature, which is a measure. This large geometric class contains any "reasonable" surface we may imagine.The main result of this thesis is a compactness theorem for Alexandrov metrics on a surface ; a straightforward corollary concerns Riemannian metrics with conical singularities. We describe here three hypothesis which pair with the Alexandrov surfaces, following Cheeger-Gromov's compactness theorem, which deals with Riemannian manifolds with bounded curvature, injectivity radius bounded by below and volume bounded by above. Among other things, we introduce the new notion of contractibility radius, which plays the role of the injectivity radius in this singular setting.We also study the (moduli) space of Alexandrov metrics on the sphere, with non-negative curvature along a closed curve. An interesting subset is the set of compact convex sets, glued along their boundaries. Following W. Thurston, C. Bavard and E. Ghys, who considered the moduli space of (convex) polyhedra and polygons with fixed angles, we show that the identification between a convex set and its support function give rise to an infinite dimensional hyperbolic geometry, for which we study the first properties.

Cette thèse est divisée en deux parties. La première est consacrée à la méthode du barycentre, introduite en 1995 par G. Besson, G. Courtois et S. Gallot pour résoudre la conjecture de l'Entropie Minimale. Dans le Chapitre 1 nous décrivons ses développements les plus récents, notamment l'extension de cette méthode au cadre des variétés dont la courbure sectionnelle est de signe quelconque (voir les énoncés 1.2.1 et 1.4.1). Dans le Chapitre 2 et 3 nous présentons des résultats dans lesquels la méthode du barycentre joue un rôle important. Le problème “deux variétés dont les flots géodésiques sont conjugués sont-elles isométriques ?” (problème de la rigidité par conjugaison des flots) est le thème du Chapitre 2. Après avoir montré que deux telles variétés ont la même géométrie à grande échelle, on montre comment on peut utiliser ce résultat et la méthode du barycentre pour donner une nouvelle preuve de la rigidité (par conjugaison des flots) des variétés plates. Dans le Chapitre 3 nous utilisons la méthode du barycentre (en courbure de signe quelconque) et des inégalités de Sobolev itérées pour démontrer un théorème de comparaison entre les spectres de deux variétés riemanniennes (Y , g) et (X , g') de volumes proches, sachant qu'il existe une approximation de Gromov-Hausdorff de degré non nul entre ces deux variétés. Il s'agit d'un résultat d'approximation avec majoration de l'erreur d'approximation (et pas seulement d'un résultat de convergence). Remarquons qu'il n'est fait aucune autre hypothèse géométrique (et en particulier aucune hypothèse de courbure) sur la variété (Y , g), ce qui autorise un grand nombre de contre-exemples prouvant que le résultat est optimal. Dans la deuxième partie de la thèse (chapitre 4), on démontre un Lemme de Margulis sans hypothèse sur la courbure, qui s'applique aux variétés dont les groupes fondamentaux sont des produits libres (et qui ne possèdent pas d'élément de torsion d'ordre 2). Nous donnons également une borne inférieure de la systole des variétés dont le diamètre et l'entropie volumique sont majorés et dont le groupe fondamental est isomorphe à un produit libre sans torsion. Comme conséquences de ce dernier résultat nous obtenons des résultats de précompacité et de finitude topologique ou différentiable pour les variétés riemanniennes et une minoration de leur volume, tout ceci sans faire d'hypothèse de courbure. / This Ph.D. Thesis is divided into two parts. In the first part we present the barycenter method, a technique which has been introduced by G. Besson, G. Courtois and S. Gallot in 1995, in order to solve the Minimal Entropy conjecture. In Chapter 1 we are interested in the more recent developments of this method, more precisely in the recent extension of the method to the case of manifolds having sectional curvature of variable sign. In Chapters 2 and 3 we shall present some new results whose proofs make use of the barycenter method. The Conjugacy Rigidity problem is the theme of Chapter 2. First we show a general result which provide a comparison between the large scale geometry of the Riemannian universal coverings of two compact manifolds whose geodesic flows are conjugates. Then we shall show how we can apply the latter result and the barycenter method in curvature of variable sign in order to give a new proof of the conjugacy rigidity of flat manifolds. In Chapter 3 we shall give a proof of a spectra comparison theorem for a compact Riemannian manifold which admits a Gromov-Hausdorff-approximation of non zero absolute degree on a fixed compact manifold (X,g') and which has volume almost smaller than the one of the reference manifold. The proof relies on the barycenter method in curvature of variable sign and on iterated Sobolev inequalities. We underline that it is an approximation result (and not just a convergence result) and that no curvature assumptions are made or inferred on (Y,g). The second part of the Thesis consists of a single chapter. In this chapter we prove a Margulis Lemma without curvature assumptions for Riemannian manifolds having decomposable 2-torsionless fundamental group. We shall give also a proof of a universal lower bound for the homotopy systole of compact Riemannian manifolds having bounded volume entropy and diameter, and decomposable torsionless fundamental group. As a consequence of the latter result we shall deduce a Precompactness and Finiteness theorem and a Volume estimate without curvature assumptions.

L'IRM de diffusion (IRMd) est une modalité d'imagerie qui permet d'étudier in vivo la structure des faisceaux de la substance blanche grâce à la caractérisation des propriétés de diffusion des molécules d'eau dans le cerveau. Les travaux de cette thèse se sont concentrés sur la comparaison de groupes d'individus en IRMd. Le but est d'identifier les zones de la substance blanche dont les propriétés structurelles sont statistiquement différentes entre les deux populations ou significativement corrélées avec certaines variables explicatives. L’enjeu est de pouvoir localiser et caractériser les lésions causées par une pathologie et de comprendre les mécanismes sous-jacents. Pour ce faire, nous avons proposé dans cette thèse des méthodes d'analyse basées voxel reposant sur le Modèle Linéaire Général (MLG) et ses extensions multivariées et sur des variétés, qui permettent d'effectuer des tests statistiques intégrant explicitement des variables explicatives. En IRMd, la diffusion des molécules d'eau peut être modélisée par un tenseur d'ordre deux représenté par une matrice symétrique définie-positive de dimension trois. La principale contribution de cette thèse a été de montrer la plus-value de considérer, dans le MLG, l'information complète du tenseur par rapport à un unique descripteur scalaire caractérisant la diffusion (fraction d’anisotropie ou diffusion moyenne), comme cela est généralement fait dans les études en neuro-imagerie. Plusieurs stratégies d’extension du MLG aux tenseurs ont été comparées, que ce soit en termes d’hypothèse statistique (homoscédasticité vs hétéroscédasticité), de métrique utilisée pour l’estimation des paramètres (Euclidienne, Log-Euclidienne et Riemannienne), ou de prise en compte de l’information du voisinage spatial. Nous avons également étudié l'influence de certains prétraitements comme le filtrage et le recalage. Enfin, nous avons proposé une méthode de caractérisation des zones détectées afin d’en faciliter l’interprétation physiopathologique. Les validations ont été menées sur données synthétiques ainsi que sur une base d’images issues d’une cohorte de patients atteints de Neuromyélite optique de Devic. / Diffusion Tensor MRI (DT-MRI) is an imaging modality that allows to study in vivo the structure of white matter fibers through the characterization of diffusion properties of water molecules in the brain. This work focused on group comparison in DT-MRI. The aim is to identify white matter regions whose structural properties are statistically different between two populations or significantly correlated with some explanatory variables. The challenge is to locate and characterize lesions caused by a disease and to understand the underlying mechanisms. To this end, we proposed several voxel-based strategies that rely on the General Linear Model (GLM) and its multivariate and manifold-based extensions, to perform statistical tests that explicitly incorporate explanatory variables. In DT-MRI, diffusion of water molecules can be modeled by a second order tensor represented by a three dimensional symmetric and positive definite matrix. The main contribution of this thesis was to demonstrate the added value of considering the full tensor information as compared to a single scalar index characterizing some diffusion properties (fractional anisotropy or mean diffusion) in the GLM, as it is usually done in neuroimaging studies. Several strategies for extending the GLM to tensor were compared, either in terms of statistical hypothesis (homoscedasticity vs heteroscedasticity), or metrics used for parameter estimation (Euclidean, Log-Euclidean and Riemannian), or the way to take into account the spatial neighborhood information. We also studied the influence of some pre-processing such as filtering and registration. Finally, we proposed a method for characterizing the detected regions in order to facilitate their physiopathological interpretation. Validations have been conducted on synthetic data as well as on a cohort of patients suffering from Neuromyelitis Optica.

Le travail de cette thèse porte sur l'étude des lieux conjugué et de coupure de métriques riemanniennes ou pseudo-riemanniennes en dimension 2. On se place du point de vue du contrôle optimal pour appliquer le principe du maximum de Pontryagin afin de caractériser les extrémales des problèmes considérés.On va utiliser des méthodes géométriques, numériques et d'intégrabilité pour étudier des métriques de Clairaut-Liouville ou de Liouville sur la sphère. Dans le cas dégénéré de révolution, l'étude de l'ellipsoïde utilise des méthodes géométriques pour déterminer le lieu de coupure et la nature du lieu conjugué dans les cas oblat et prolat. Dans le cas général, les extrémales auront deux types de comportements distincts qui se rapportent à ceux observés dans le cas de révolution, et sont séparés par celles passant par des points ombilicaux. Les méthodes numériques sont utilisées pour retrouver rapidement la dernière conjecture géométrique de Jacobi : le lieu de coupure est un segment et le lieu conjugué contient quatre points de rebroussement.L'étude d'une métrique pseudo-riemannienne vient d'un problème de contrôle quantique où le but est de transférer en temps minimal l'état d'un spin à travers une chaîne de trois spins couplés par des interactions de type Ising. Après réduction, la métrique obtenue possède une intégrale première supplémentaire et on peut donc la mettre sous forme de Liouville, ce qui nous donne les équations des géodésiques. En dehors du cas particulier de Grushin, dont la caustique est décrite, on utilise les méthodes numériques pour étudier le lieu conjugué et le lieu de coupure dans le cas général. / The work of this thesis is about the study of the conjugate and cut loci of 2D riemannian or almost-riemannian metrics. We take the point of view of optimal control to apply the Pontryagin Maximum Principle in the purpose of characterize the extremals of the problem considered.We use geometric, numerical and integrability methods to study some Liouville and Clairaut-Liouville metrics on the sphere. In the degenerate case of revolution, the study of the ellipsoid uses geometric methods to fix the cut locus and the nature of the conjugate locus in the oblate and prolate cases. In the general case, extremals will have two distinct type of comportment which correspond to those observed in the revolution case, and are separated by those which pass by umbilical points. The numerical methods are used to find quickly the Jacobi's Last Geometric Statement : the cut locus is a segment and the conjugate locus has exactly four cusps.The study of an almost-riemannian metric comes from a quantum control problem in which the aim is to transfer in a minimal time the state of one spin through an Ising chain of three spins. After reduction, we obtain a metric with a second first integral so it can be written in the Liouville normal form, which leads us to the equations of geodesics. Outside the particular case of Grushin, of which the caustic is described, we use numerical methods to study the conjugate locus and the cut locus in the general case.

Ce travail étudie les variétés pseudo-riemanniennes compactes localement homogènes à travers le prisme des (G,X)-structures, introduites par Thurston dans son programme de géométrisation. Nous commençons par présenter la problématique générale et discutons notamment du rapport entre la complétude géodésique de ces variétés et une autre notion de complétude propre aux (G,X)-structures. Nous donnons également dans le chapitre 1 une nouvelle preuve d’un théorème de Bromberg et Medina qui classifie les métriques lorentziennes invariantes à gauche sur SL(2,R) dont le flot géodésique est complet. Conjecturalement, toute (G,X)-structure pseudo-riemannienne sur une variété compacte est complète. Nous prouvons ici que cela est vrai pour certaines géométries, sous l’hypothèse que la (G,X)-structure est a priori kleinienne. On en déduit que, pour ces géométries, la complétude est une condition fermée. Lorsque X est un groupe de Lie de rang 1 muni de sa métrique de Killing, ce résultat complète un théorème de Guéritaud–Guichard–Kassel–Wienhard selon lequel la complétude est une condition ouverte. Nous nous tournons ensuite vers l’étude des représentations d’un groupe de surface à valeurs dans les isométries d’une variété riemannienne M complète simplement connexe de courbure sectionnelle inférieure à -1. Étant donnée une telle représentation ρ, nous montrons que l’ensemble des représentations fuchsiennes j telles qu’il existe une application (j,ρ)-équivariante et contractante de H2 dans M est un ouvert non vide et contractile de l’espace de Teichmüller (sauf lorsque ρ est elle-même fuchsienne). Ce résultat nous permet de décrire l’espace des métriques lorentziennes de courbure constante -1 sur un fibré en cercle au-dessus d’une surface compacte. Nous montrons que cet espace possède un nombre fini de composantes connexes classifiées par un invariant que nous appelons longueur de la fibre. Nous prouvons également que le volume total de ces métriques ne dépend que de la topologie du fibré et de la longueur de la fibre. / In this work, we study closed locally homogeneous pseudo-Riemannian manifolds through the notion of (G,X)-structure, introduced by Thurston in his geometrization program. We start by presenting the general problem. In particular, we discuss the link between geodesical completeness of those manifolds and another notion of completeness specific to (G,X)-structures. In chapter 1, we also give a new proof of a theorem by Bromberg and Medina which classifies left invariant Lorentz metrics on SL(2,R) that are geodesically complete. Conjecturally, every pseudo-riemannian (G,X)-structure on a closed manifold is complete. Here we prove that it holds for certain geometries, provided that the (G,X )-structure is a priori Kleinian . This implies that, for such geometries, completeness is a closed condition. When X is a Lie group of rank 1 handled with its Killing metric, this result complements a theorem of Guéritaud–Guichard–Kassel–Wienhard, acording to which completeness is an open condition. We then turn to the study of representations of surface groups into the isometry group of a complete simply connected Riemannian manifold M of curvature less than or equal to -1. Given such a representation ρ, we prove that the set of Fuchsian representations j for which there exists a (j,ρ)-equivariant contracting map from H2 to M is a non-empty open contractible subset of the Teichmüller space (unless ρ itself is Fuchsian). This result allows us to describe the space of Lorentz metrics of constant curvature -1 on a circle bundle over a closed surface. We show that this space has finitely many connected components, classified by an invariant that we call the length of the fiber. We also prove that the total volume of those metrics only depends on the topology of the bundle and on the length of the fiber.

Nous étudions deux problèmes différents qui ont leur origine dans la théorie du contrôle géométrique. Le Problème I consiste à étendre le concept du groupe d'holonomie horizontale sur une variété affine. Plus précisément, nous considérons une variété connexe lisse de dimension finie M, une connexion affine ∇ avec le groupe d'holonomie H∇ et une distribution lisse ∆ complètement non intégrable. Dans un premier temps, nous définissons le groupe d'holonomie ∆-horizontale H∆∇ comme le sous-groupe de H∇ obtenu par le transport parallèle le long des lacets tangents à ∆. Nous donnons les propriétés élémentaires de H∆∇ et ensuite nous faisons une étude détaillée en utilisant le formalisme de roulement. Il est montré en particulier que H∆∇ est un groupe de Lie. Dans un second temps, nous avons étudié un exemple explicite où M est un groupe de Carnot libre d'ordre 2 avec m ≥ 2 générateurs, et ∇ est la connexion de Levi-Civita associé à une métrique riemannienne sur M. Nous avons montré dans ce cas particulier que H∆∇ est compact et strictement inclus dans H∇ dès que m≥3. Le Problème II étudie la modélisation du problème du solveur d'esquisse. Ce problème est une des étapes d'un logiciel de CFAO. Notre but est d'arriver à une modélisation mathématique bien fondée et systématique du problème du solveur d'esquisse. Il s'agira ensuite de comprendre la convergence de l'algorithme, d'en améliorer les résultats et d'en étendre les fonctionnalités. L'idée directrice de l'algorithme est de remplacer tout d'abord les points de l'espace des sphères par des déplacements (éléments du groupe) et puis d'utiliser une méthode de Newton sur les groupes de Lie ainsi obtenus. Dans cette thèse, nous avons classifié les groupes de déplacements possibles en utilisant la théorie des groupes de Lie. En particulier, nous avons distingué trois ensembles, chaque ensemble contenant un type d'objet: le premier est l'ensemble des points, noté Points , le deuxième est l'ensemble des droites, noté Droites, et le troisième est l'ensemble des cercles et des droites, que nous notons ∧. Pour chaque type d'objet nous avons étudié tous les groupes de déplacements possibles, selon les propriétés souhaitées. Nous proposons finalement d'utiliser les groupes de déplacements suivant: pour le déplacement des points, le groupe des translations, qui agit transitivement sur Points ; pour les droites, le groupe des translations et rotations, qui est de dimension 3 et agit transitivement (globalement mais pas localement) sur Droites ; sur les droites et cercles, le groupe des anti-translations, rotations et dilatations qui est de dimension 4 et agit transitivement (globalement mais pas localement) sur ∧. / We study two problems arising from geometric control theory. The Problem I consists of extending the concept of horizontal holonomy group for affine manifolds. More precisely, we consider a smooth connected finite-dimensional manifold M, an affine connection ∇ with holonomy group H∇ and ∆ a smooth completely non integrable distribution. We define the ∆-horizontal holonomy group H∆∇ as the subgroup of H∇ obtained by ∇-parallel transporting frames only along loops tangent to ∆. We first set elementary properties of H∆∇ and show how to study it using the rolling formalism. In particular, it is shown that H∆∇ is a Lie group. Moreover, we study an explicit example where M is a free step-two homogeneous Carnot group with m≥2 generators, and ∇ is the Levi-Civita connection associated to a Riemannian metric on M, and show in this particular case that H∆∇ is compact and strictly included in H∇ as soon as m≥3. The Problem II is studying the modeling of the problem of solver sketch. This problem is one of the steps of a CAD/CAM software. Our goal is to achieve a well founded mathematical modeling and systematic the problem of solver sketch. The next step is to understand the convergence of the algorithm, to improve the results and to expand the functionality. The main idea of the algorithm is to replace first the points of the space of spheres by displacements (elements of the group) and then use a Newton's method on Lie groups obtained. In this thesis, we classified the possible displacements of the groups using the theory of Lie groups. In particular, we distinguished three sets, each set containing an object type: the first one is the set of points, denoted Points, the second is the set of lines, denoted Lines, and the third is the set of circles and lines, we note that ∧. For each type of object, we investigated all the possible movements of groups, depending on the desired properties. Finally, we propose to use the following displacement of groups for the displacement of points, the group of translations, which acts transitively on Lines ; for the lines, the group of translations and rotations, which is 3-dimensional and acts transitively (globally but not locally) on Lines ; on lines and circles, the group of anti-translations, rotations and dilations which has dimension 4 and acts transitively (globally but not locally) on ∧.