Les processus autorégressifs à bifurcation (BAR) ont été au centre de nombreux travaux de recherche ces dernières années. Ces processus, qui sont l'adaptation à un arbre binaire des processus autorégressifs, sont en effet d'intérêt en biologie puisque la structure de l'arbre binaire permet une analogie aisée avec la division cellulaire. L'objectif de cette thèse est l'estimation les paramètres de variantes de ces processus autorégressifs à bifurcation, à savoir les processus BAR à valeurs entières et les processus BAR à coefficients aléatoires. Dans un premier temps, nous nous intéressons aux processus BAR à valeurs entières. Nous établissons, via une approche martingale, la convergence presque sûre des estimateurs des moindres carrés pondérés considérés, ainsi qu'une vitesse de convergence de ces estimateurs, une loi forte quadratique et leur comportement asymptotiquement normal. Dans un second temps, on étudie les processus BAR à coefficients aléatoires. Cette étude permet d'étendre le concept de processus autorégressifs à bifurcation en généralisant le côté aléatoire de l'évolution. Nous établissons les mêmes résultats asymptotiques que pour la première étude. Enfin, nous concluons cette thèse par une autre approche des processus BAR à coefficients aléatoires où l'on ne pondère plus nos estimateurs des moindres carrés en tirant parti du théorème de Rademacher-Menchov.

Dans cette étude, nous avons cherché à caractériser le profil linguistique et le développement d’une population portugaise d’enfants ayant une perturbation spécifique du développement du langage (TSDL) et à analyser, dans le contexte de la théorie de l’attachement, la façon dont ces enfants porteurs de TSDL utilisent la mère comme base sûre, en les comparant à des enfants sans perturbation du langage. D’un autre côté, nous avons étudié la valeur prédictive de l’attachement et des variables développementales dans les compétences linguistiques des enfants. Nous avons retenu comme sujets de notre recherche, 83 dyades mère/enfant, les enfants étant âgés de 4 /5 ans, partagés en deux groupes. À travers les diverses mesures du langage et du AQS (Waters, 1995), il a été possible de vérifier que ces enfants :1) présentaient à l’âge mental propre de la maternelle (préscolaire), des changements sévères du langage, bien que leurs profils soient très hétérogènes ;2) étaient surtout des garçons, d’un ratio de 3:1 ; 3) révèlent une qualité de sécurité de l’attachement à la mère, inférieure comparativement à leurs pairs sans changement au niveau du langage, ainsi que moins de comportements d’attachement, telles que l’interaction douce, la proximité et le contact physique avec la mère.Nous avons également vérifié que l’attachement et les variables de consommation maternelle de tabac pendant la grossesse, la relation avec les amis et les antécédents familiaux de perturbation du langage sont des prédicteurs des difficultés linguistiques de ces enfants, ainsi que des durées d’acquisition du langage, ce qui explique une variance entre 7% et 21%. / This study aims to characterize the linguistic and developmental profile of a population of Portuguese-speaking children with specific language impairment (SLI) and analyze, within the context of attachment theory, how the SLI child uses his mother as a secure base, compared to children without language disorders. In the other eAs a final point, we tried to study the predictive value of attachment and developmental variables in the language skills of children. The participants of our study were 83 mother-child dyads (children aged 4-5 years), divided into two groups. Through various measures of language and AQS (Waters, 1995), we found that these children: 1) present, in pre-school age, severe alterations of language, though their profiles are very heterogeneous; 2) are mostly boys, with a ratio of 3:1; 3) show a lower quality of attachment security, when compared with their peers without language alterations, as well as less attachment behaviors, such as smooth interaction, proximity and physical contact with the mother. It was also found that attachment and tobacco use, relationship with friends and family background are predictors of the linguistic difficulties of these children, as well as of language acquisition timing, explaining 7% to 21% of the variance.

Le traitement massif et automatique des données requiert le développement de techniques de filtration des informations les plus importantes. Parmi ces méthodes, celles présentant des structures parcimonieuses se sont révélées idoines pour améliorer l’efficacité statistique et computationnelle des estimateurs, dans un contexte de grandes dimensions. Elles s’expriment souvent comme solution de la minimisation du risque empirique régularisé s’écrivant comme une somme d’un terme lisse qui mesure la qualité de l’ajustement aux données, et d’un terme non lisse qui pénalise les solutions complexes. Cependant, une telle manière d’inclure des informations a priori, introduit de nombreuses difficultés numériques pour résoudre le problème d’optimisation sous-jacent et pour calibrer le niveau de régularisation. Ces problématiques ont été au coeur des questions que nous avons abordées dans cette thèse.Une technique récente, appelée «Screening Rules», propose d’ignorer certaines variables pendant le processus d’optimisation en tirant bénéfice de la parcimonie attendue des solutions. Ces règles d’élimination sont dites sûres lorsqu’elles garantissent de ne pas rejeter les variables à tort. Nous proposons un cadre unifié pour identifier les structures importantes dans ces problèmes d’optimisation convexes et nous introduisons les règles «Gap Safe Screening Rules». Elles permettent d’obtenir des gains considérables en temps de calcul grâce à la réduction de la dimension induite par cette méthode. De plus, elles s’incorporent facilement aux algorithmes itératifs et s’appliquent à un plus grand nombre de problèmes que les méthodes précédentes.Pour trouver un bon compromis entre minimisation du risque et introduction d’un biais d’apprentissage, les algorithmes d’homotopie offrent la possibilité de tracer la courbe des solutions en fonction du paramètre de régularisation. Toutefois, ils présentent des instabilités numériques dues à plusieurs inversions de matrice, et sont souvent coûteux en grande dimension. Aussi, ils ont des complexités exponentielles en la dimension du modèle dans des cas défavorables. En autorisant des solutions approchées, une approximation de la courbe des solutions permet de contourner les inconvénients susmentionnés. Nous revisitons les techniques d’approximation des chemins de régularisation pour une tolérance prédéfinie, et nous analysons leur complexité en fonction de la régularité des fonctions de perte en jeu. Il s’ensuit une proposition d’algorithmes optimaux ainsi que diverses stratégies d’exploration de l’espace des paramètres. Ceci permet de proposer une méthode de calibration de la régularisation avec une garantie de convergence globale pour la minimisation du risque empirique sur les données de validation.Le Lasso, un des estimateurs parcimonieux les plus célèbres et les plus étudiés, repose sur une théorie statistique qui suggère de choisir la régularisation en fonction de la variance des observations. Ceci est difficilement utilisable en pratique car, la variance du modèle est une quantité souvent inconnue. Dans de tels cas, il est possible d’optimiser conjointement les coefficients de régression et le niveau de bruit. Ces estimations concomitantes, apparues dans la littérature sous les noms de Scaled Lasso, Square-Root Lasso, fournissent des résultats théoriques aussi satisfaisants que celui du Lasso tout en étant indépendant de la variance réelle. Bien que présentant des avancées théoriques et pratiques importantes, ces méthodes sont aussi numériquement instables et les algorithmes actuellement disponibles sont coûteux en temps de calcul. Nous illustrons ces difficultés et nous proposons à la fois des modifications basées sur des techniques de lissage pour accroitre la stabilité numérique de ces estimateurs, ainsi qu’un algorithme plus efficace pour les obtenir. / Massive and automatic data processing requires the development of techniques able to filter the most important information. Among these methods, those with sparse structures have been shown to improve the statistical and computational efficiency of estimators in a context of large dimension. They can often be expressed as a solution of regularized empirical risk minimization and generally lead to non differentiable optimization problems in the form of a sum of a smooth term, measuring the quality of the fit, and a non-smooth term, penalizing complex solutions. Although it has considerable advantages, such a way of including prior information, unfortunately introduces many numerical difficulties both for solving the underlying optimization problem and to calibrate the level of regularization. Solving these issues has been at the heart of this thesis. A recently introduced technique, called "Screening Rules", proposes to ignore some variables during the optimization process by benefiting from the expected sparsity of the solutions. These elimination rules are said to be safe when the procedure guarantees to not reject any variable wrongly. In this work, we propose a unified framework for identifying important structures in these convex optimization problems and we introduce the "Gap Safe Screening Rules". They allows to obtain significant gains in computational time thanks to the dimensionality reduction induced by this method. In addition, they can be easily inserted into iterative algorithms and apply to a large number of problems.To find a good compromise between minimizing risk and introducing a learning bias, (exact) homotopy continuation algorithms offer the possibility of tracking the curve of the solutions as a function of the regularization parameters. However, they exhibit numerical instabilities due to several matrix inversions and are often expensive in large dimension. Another weakness is that a worst-case analysis shows that they have exact complexities that are exponential in the dimension of the model parameter. Allowing approximated solutions makes possible to circumvent the aforementioned drawbacks by approximating the curve of the solutions. In this thesis, we revisit the approximation techniques of the regularization paths given a predefined tolerance and we propose an in-depth analysis of their complexity w.r.t. the regularity of the loss functions involved. Hence, we propose optimal algorithms as well as various strategies for exploring the parameters space. We also provide calibration method (for the regularization parameter) that enjoys globalconvergence guarantees for the minimization of the empirical risk on the validation data.Among sparse regularization methods, the Lasso is one of the most celebrated and studied. Its statistical theory suggests choosing the level of regularization according to the amount of variance in the observations, which is difficult to use in practice because the variance of the model is oftenan unknown quantity. In such case, it is possible to jointly optimize the regression parameter as well as the level of noise. These concomitant estimates, appeared in the literature under the names of Scaled Lasso or Square-Root Lasso, and provide theoretical results as sharp as that of theLasso while being independent of the actual noise level of the observations. Although presenting important advances, these methods are numerically unstable and the currently available algorithms are expensive in computation time. We illustrate these difficulties and we propose modifications based on smoothing techniques to increase stability of these estimators as well as to introduce a faster algorithm.

Ce mémoire porte sur la présentation des estimateurs de Bernstein qui sont des alternatives récentes aux différents estimateurs classiques de fonctions de répartition et de densité. Plus précisément, nous étudions leurs différentes propriétés et les comparons à celles de la fonction de répartition empirique et à celles de l'estimateur par la méthode du noyau. Nous déterminons une expression asymptotique des deux premiers moments de l'estimateur de Bernstein pour la fonction de répartition. Comme pour les estimateurs classiques, nous montrons que cet estimateur vérifie la propriété de Chung-Smirnov sous certaines conditions. Nous montrons ensuite que l'estimateur de Bernstein est meilleur que la fonction de répartition empirique en terme d'erreur quadratique moyenne. En s'intéressant au comportement asymptotique des estimateurs de Bernstein, pour un choix convenable du degré du polynôme, nous montrons que ces estimateurs sont asymptotiquement normaux. Des études numériques sur quelques distributions classiques nous permettent de confirmer que les estimateurs de Bernstein peuvent être préférables aux estimateurs classiques. / This thesis focuses on the presentation of the Bernstein estimators which are recent alternatives to conventional estimators of the distribution function and density. More precisely, we study their various properties and compare them with the empirical distribution function and the kernel method estimators. We determine an asymptotic expression of the first two moments of the Bernstein estimator for the distribution function. As the conventional estimators, we show that this estimator satisfies the Chung-Smirnov property under conditions. We then show that the Bernstein estimator is better than the empirical distribution function in terms of mean squared error. We are interested in the asymptotic behavior of Bernstein estimators, for a suitable choice of the degree of the polynomial, we show that the Bernstein estimators are asymptotically normal. Numerical studies on some classical distributions confirm that the Bernstein estimators may be preferable to conventional estimators.

Cette thèse s'intéresse à la construction auto-stabilisante de structures couvrantes dans un système réparti. L'auto-stabilisation est un paradigme pour la tolérance aux fautes dans les algorithmes répartis. Plus précisément, elle garantit que le système retrouve un comportement correct en temps fini après avoir été perturbé par des fautes transitoires. Notre modèle de système réparti se base sur des mémoires localement partagées pour la communication, des identifiants uniques pour briser les symétries et un ordonnanceur inéquitable, c'est-à-dire le plus faible des ordonnanceurs. Dans la mesure du possible, nous nous imposons d'utiliser les plus faibles hypothèses, afin d'obtenir les constructions les plus générales de structures couvrantes réparties. Nous présentons quatre algorithmes auto-stabilisants originaux pour le k-partitionnement, la construction d'une (f,g)-alliance et l'indexation. Pour chacun de ces problèmes, nous prouvons la correction de nos solutions. De plus, nous analysons leur complexité en temps et en espace à l'aide de preuves formelles et de simulations. Enfin, pour le problème de (f,g)-alliance, nous prenons en compte la notion de convergence sûre qui vient s'ajouter à celle d'auto-stabilisation. Elle garantit d'abord que le comportement du système assure rapidement un minimum de conditions, puis qu'il continue de converger jusqu'à se conformer à une spécification plus exigeante. / This thesis deals with the self-stabilizing construction of spanning structures over a distributed system. Self-stabilization is a paradigm for fault-tolerance in distributed algorithms. It guarantees that the system eventually satisfies its specification after transient faults hit the system. Our model of distributed system assumes locally shared memories for communicating, unique identifiers for symmetry-breaking, and distributed daemon for execution scheduling, that is, the weakest proper daemon. More generally, we aim for the weakest possible assumptions, such as arbitrary topologies, in order to propose the most versatile constructions of distributed spanning structures. We present four original self-stabilizing algorithms achieving k-clustering, (f,g)-alliance construction, and ranking. For every of these problems, we prove the correctness of our solutions. Moreover, we analyze their time and space complexity using formal proofs and simulations. Finally, for the (f,g)-alliance problem, we consider the notion of safe convergence in addition to self-stabilization. It enforces the system to first quickly satisfy a specification that guarantees a minimum of conditions, and then to converge to a more stringent specification.

Les processus autorégressifs à bifurcation (BAR) ont été au centre de nombreux travaux de recherche ces dernières années. Ces processus, qui sont l'adaptation à un arbre binaire des processus autorégressifs, sont en effet d'intérêt en biologie puisque la structure de l'arbre binaire permet une analogie aisée avec la division cellulaire. L'objectif de cette thèse est l'estimation les paramètres de variantes de ces processus autorégressifs à bifurcation, à savoir les processus BAR à valeurs entières et les processus BAR à coefficients aléatoires. Dans un premier temps, nous nous intéressons aux processus BAR à valeurs entières. Nous établissons, via une approche martingale, la convergence presque sûre des estimateurs des moindres carrés pondérés considérés, ainsi qu'une vitesse de convergence de ces estimateurs, une loi forte quadratique et leur comportement asymptotiquement normal. Dans un second temps, on étudie les processus BAR à coefficients aléatoires. Cette étude permet d'étendre le concept de processus autorégressifs à bifurcation en généralisant le côté aléatoire de l'évolution. Nous établissons les mêmes résultats asymptotiques que pour la première étude. Enfin, nous concluons cette thèse par une autre approche des processus BAR à coefficients aléatoires où l'on ne pondère plus nos estimateurs des moindres carrés en tirant parti du théorème de Rademacher-Menchov. / Bifurcating autoregressive (BAR) processes have been widely investigated this past few years. Those processes, which are an adjustment of autoregressive processes to a binary tree structure, are indeed of interest concerning biology since the binary tree structure allows an easy analogy with cell division. The aim of this thesis is to estimate the parameters of some variations of those BAR processes, namely the integer-valued BAR processes and the random coefficients BAR processes. First, we will have a look to integer-valued BAR processes. We establish, via a martingale approach, the almost sure convergence of the weighted least squares estimators of interest, together with a rate of convergence, a quadratic strong law and their asymptotic normality. Secondly, we study the random coefficients BAR processes. The study allows to extend the principle of bifurcating autoregressive processes by enlarging the randomness of the evolution. We establish the same asymptotic results as for the first study. Finally, we conclude this thesis with an other approach of random coefficient BAR processes where we do not weight our least squares estimators any more by making good use of the Rademacher-Menchov theorem.

Les travaux de cette thèse portent sur le choix du paramètre de lissage dans le problème de l'estimation non paramétrique de la fonction de densité associée à des processus stationnaires ergodiques à temps continus. La précision de cette estimation dépend du choix de ce paramètre. La motivation essentielle est de construire une procédure de sélection automatique de la fenêtre et d'établir des propriétés asymptotiques de cette dernière en considérant un cadre de dépendance des données assez général qui puisse être facilement utilisé en pratique. Cette contribution se compose de trois parties. La première partie est consacrée à l'état de l'art relatif à la problématique qui situe bien notre contribution dans la littérature. Dans la deuxième partie, nous construisons une méthode de sélection automatique du paramètre de lissage liée à l'estimation de la densité par la méthode du noyau. Ce choix issu de la méthode de la validation croisée est asymptotiquement optimal. Dans la troisième partie, nous établissons des propriétés asymptotiques, de la fenêtre issue de la méthode de la validation croisée, données par des résultats de convergence presque sûre. / The work this thesis focuses on the choice of the smoothing parameter in the context of non-parametric estimation of the density function for stationary ergodic continuous time processes. The accuracy of the estimation depends greatly on the choice of this parameter. The main goal of this work is to build an automatic window selection procedure and establish asymptotic properties while considering a general dependency framework that can be easily used in practice. The manuscript is divided into three parts. The first part reviews the literature on the subject, set the state of the art and discusses our contribution in within. In the second part, we design an automatical method for selecting the smoothing parameter when the density is estimated by the Kernel method. This choice stemming from the cross-validation method is asymptotically optimal. In the third part, we establish an asymptotic properties pertaining to consistency with rate for the resulting estimate of the window-width.

Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier regroupant deux problématiques distinctes. Dans la première partie nous nous intéressons au problème du transport optimal martingale, dont le but premier est de trouver des bornes de non-arbitrage pour des options quelconques. Nous nous intéressons tout d'abord à la question en temps discret de l'existence d'une loi de probabilité sous laquelle le processus canonique est martingale, ayant deux lois marginales fixées. Ce résultat dû à Strassen (1965) est le point de départ pour le problème primal de transport optimal martingale. Nous en donnons une preuve basée sur des techniques financières de maximisation d'utilité, en adaptant une méthode développée par Rogers pour prouver le théorème fondamental d'évaluation d'actif. Ces techniques correspondent à une version en temps discrétisé du transport optimal martingale. Nous considérons ensuite le problème de transport optimal martingale en temps continu introduit dans le cadre des options lookback par Galichon, Henry-Labordère et Touzi. Nous commencons par établir un résultat de dualité partiel concernant la surcouverture robuste d'une option quelconque. Pour cela nous adaptons au transport optimal martingale des travaux récents de Neufeld et Nutz. Nous étudions ensuite le problème de maximisation d'utilité robuste d'une option quelconque avec fonction d'utilité exponentielle dans le cadre du transport optimal martingale, et en déduisons le prix d'indifférence d'utilité robuste, sous une dynamique où le ratio de sharpe est constant et connu. Nous prouvons en particulier que ce prix d'indifférence d'utilité robuste est égal au prix de surcouverture robuste. La deuxième partie de cette thèse traite tout d'abord d'un problème de liquidation optimale d'un actif indivisible. Nous étudions la profitabilité de l'ajout d'une stratégie d'achat et de vente d'un actif orthogonal au premier sur la stratégie de liquidation optimale de l'actif indivisible. Nous fournissons ensuite quelques exemples illustratifs. Le dernier chapitre de cette thèse concerne le problème du prix d'indifférence d'utilité d'une option européenne en présence de petits coûts de transaction. Nous nous inspirons des travaux récents de Soner et Touzi pour obtenir un développement asymptotique des fonctions valeurs des problèmes de Merton avec et sans l'option. Ces développements sont obtenus en utilisant des techniques d'homogénisation. Nous obtenons formellement un système d'équations vérifiées par les composantes du problème et nous vérifions que celles-ci en sont bien solution. Nous en déduisons enfin un développement asymptotique du prix d'indifférence d'utilité souhaité.

Ce mémoire porte sur la présentation des estimateurs de Bernstein qui sont des alternatives récentes aux différents estimateurs classiques de fonctions de répartition et de densité. Plus précisément, nous étudions leurs différentes propriétés et les comparons à celles de la fonction de répartition empirique et à celles de l'estimateur par la méthode du noyau. Nous déterminons une expression asymptotique des deux premiers moments de l'estimateur de Bernstein pour la fonction de répartition. Comme pour les estimateurs classiques, nous montrons que cet estimateur vérifie la propriété de Chung-Smirnov sous certaines conditions. Nous montrons ensuite que l'estimateur de Bernstein est meilleur que la fonction de répartition empirique en terme d'erreur quadratique moyenne. En s'intéressant au comportement asymptotique des estimateurs de Bernstein, pour un choix convenable du degré du polynôme, nous montrons que ces estimateurs sont asymptotiquement normaux. Des études numériques sur quelques distributions classiques nous permettent de confirmer que les estimateurs de Bernstein peuvent être préférables aux estimateurs classiques. / This thesis focuses on the presentation of the Bernstein estimators which are recent alternatives to conventional estimators of the distribution function and density. More precisely, we study their various properties and compare them with the empirical distribution function and the kernel method estimators. We determine an asymptotic expression of the first two moments of the Bernstein estimator for the distribution function. As the conventional estimators, we show that this estimator satisfies the Chung-Smirnov property under conditions. We then show that the Bernstein estimator is better than the empirical distribution function in terms of mean squared error. We are interested in the asymptotic behavior of Bernstein estimators, for a suitable choice of the degree of the polynomial, we show that the Bernstein estimators are asymptotically normal. Numerical studies on some classical distributions confirm that the Bernstein estimators may be preferable to conventional estimators.

Cette thèse porte sur l'étude des propriétés asymptotiques d'un estimateur non paramétrique de la densité de type Parzen-Rosenblatt, sous un modèle de données censurées à droite, vérifiant une structure de dépendance de type associé. Dans ce cadre, nous rappelons d'abord les résultats existants, avec détails, dans les cas i.i.d. et fortement mélangeant (α-mélange). Sous des conditions de régularité classiques, il est établi que la vitesse de coonvergence uniforme presque sûre de l'estimateur étudié, est optimale. Dans la partie dédiée aux résultats de cette thèse, deux résultats principaux et originaux sont présentés : le premier résultat concerne la convergence uniforme presque sûre de l'estimateur étudié sous l'hypothèse d'association. L'outil principal ayant permis l'obtention de la vitesse optimale est l'adaptation du Théorème de Doukhan et Neumann (2007), dans l'étude du terme des fluctuations (partie aléatoire) de l'écart entre l'estimateur considéré et le paramètre étudié (densité). Comme application, la convergence presque sûre de l'estimateur non paramétrique du mode est établie. Les résultats obtenus ont fait l'objet d'un article accepté pour publication dans Communications in Statistics-Theory and Methods ; Le deuxième résultat établit la normalité asymptotique de l'estimateur étudié sous le même modèle et constitute ainsi une extension au cas censuré, du résultat obtenu par Roussas (2000). Ce résultat est soumis pour publication. / This thesis deals with the study of asymptotic properties of e kernel (Parzen-Rosenblatt) density estimate under associated and censored model. In this setting, we first recall with details the existing results, studied in both i.i.d. and strong mixing condition (α-mixing) cases. Under mild standard conditions, it is established that the strong uniform almost sure convergence rate, is optimal. In the part dedicated to the results of this thesis, two main and original stated results are presented : the first result concerns the strong uniform consistency rate of the studied estimator under association hypothesis. The main tool having permitted to achieve the optimal speed, is the adaptation of the Theorem due to Doukhan and Neumann (2007), in studying the term of fluctuations (random part) of the gap between the considered estimator and the studied parameter (density). As an application, the almost sure convergence of the kernel mode estimator is established. The stated results have been accepted for publication in Communications in Statistics-Theory & Methods ; The second result establishes the asymptotic normality of the estimator studied under the same model and then, constitute an extension to the censored case, the result stated by Roussas (2000). This result is submitted for publication.