Cette thèse est dédiée au développement et à l'analyse de schémas numériques de type volumes finis pour des équations de convection-diffusion, qui apparaissent notamment dans des modèles issus de la physique ou de la biologie. Nous nous intéressons plus particulièrement à la préservation de comportements asymptotiques au niveau discret. Ce travail s'articule en trois parties, composées chacune de deux chapitres. Dans la première partie, nous considérons la discrétisation du système de dérive-diffusion linéaire pour les semi-conducteurs par le schéma de Scharfetter-Gummel implicite en temps. Nous nous intéressons à la préservation par ce schéma de deux types d'asymptotiques : l'asymptotique en temps long et la limite quasi-neutre. Nous démontrons des estimations d'énergie--dissipation d'énergie discrètes qui permettent de prouver d'une part la convergence en temps long de la solution approchée vers une approximation de l'équilibre thermique, d'autre part la stabilité à la limite quasi-neutre du schéma. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à des schémas volumes finis préservant l'asymptotique en temps long dans un cadre plus général. Plus précisément, nous considérons des équations de type convection-diffusion non linéaires qui apparaissent dans plusieurs contextes physiques : équations des milieux poreux, système de dérive-diffusion pour les semi-conducteurs... Nous proposons deux discrétisations en espace permettant de préserver le comportement en temps long des solutions approchées. Dans un premier temps, nous étendons la définition du flux de Scharfetter-Gummel pour une diffusion non linéaire. Ce schéma fournit des résultats numériques satisfaisants si la diffusion ne dégénère pas. Dans un second temps, nous proposons une discrétisation dans laquelle nous prenons en compte ensemble les termes de convection et de diffusion, en réécrivant le flux sous la forme d'un flux d'advection. Le flux numérique est défini de telle sorte que les états d'équilibre soient préservés, et nous utilisons une méthode de limiteurs de pente pour obtenir un schéma précis à l'ordre deux en espace, même dans le cas dégénéré. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à l'étude d'un schéma numérique pour un modèle de chimiotactisme avec diffusion croisée pour lequel les solutions n'explosent pas en temps fini, quelles que soient les données initiales. L'étude de la convergence du schéma repose sur une estimation d'entropie discrète nécessitant l'utilisation de versions discrètes d'inégalités fonctionnelles telles que les inégalités de Poincaré-Sobolev et de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. La démonstration de ces inégalités fait l'objet d'un chapitre indépendant dans lequel nous proposons leur étude dans un contexte assez général, incluant notamment le cas de conditions aux limites mixtes et une généralisation au cadre des schémas DDFV.

Les travaux de cette thèse portent sur des méthodes de volumes finis sur maillages quelconque pour la discrétisation de problèmes d'évolution non linéaires modélisant le transport de contaminants en milieu poreux et les écoulements diphasiques.Au Chapitre 1, nous étudions une famille de schémas numériques pour la discrétisation d'une équation parabolique dégénérée de convection-reaction-diffusion modélisant le transport de contaminants dans un milieu poreux qui peut être hétérogène et anisotrope. La discrétisation du terme de diffusion est basée sur une famille de méthodes qui regroupe les schémas de volumes finis hybrides, de différences finies mimétiques et de volumes finis mixtes. Le terme de convection est traité à l'aide d'une famille de méthodes qui s'appuient sur les inconnues hybrides associées aux interfaces du maillage. Cette famille contient à la fois les schémas centré et amont. Les schémas que nous étudions permettent une discrétisation localement conservative des termes d'ordre un et d'ordre deux sur des maillages arbitraires en dimensions d'espace deux et trois. Nous démontrons qu'il existe une solution unique du problème discret qui converge vers la solution du problème continu et nous présentons des résultats numériques en dimensions d'espace deux et trois, en nous appuyant sur des maillages adaptatifs.Au Chapitre 2, nous proposons un schéma de volumes finis hybrides pour la discrétisation d'un problème d'écoulement diphasique incompressible et immiscible en milieu poreux. On suppose que ce problème a la forme d'une équation parabolique dégénérée de convection-diffusion en saturation couplée à une équation uniformément elliptique en pression. On considère un schéma implicite en temps, où les flux diffusifs sont discrétisés par la méthode des volumes finis hybride, ce qui permet de pouvoir traiter le cas d'un tenseur de perméabilité anisotrope et hétérogène sur un maillage très général, et l'on s'appuie sur un schéma de Godunov pour la discrétisation des flux convectifs, qui peuvent être non monotones et discontinus par rapport aux variables spatiales. On démontre l'existence d'une solution discrète, dont une sous-suite converge vers une solution faible du problème continu. On présente finalement des cas test bidimensionnels.Le Chapitre 3 porte sur un problème d'écoulement diphasique, dans lequel la courbe de pression capillaire admet des discontinuité spatiales. Plus précisément on suppose que l'écoulement prend place dans deux régions du sol aux propriétés très différentes, et l'on suppose que la loi de pression capillaire est discontinue en espace à la frontière entre les deux régions, si bien que la saturation de l'huile et la pression globale sont discontinues à travers cette frontière avec des conditions de raccord non linéaires à l'interface. On discrétise le problème à l'aide d'un schéma, qui coïncide avec un schéma de volumes finis standard dans chacune des deux régions, et on démontre la convergence d'une solution approchée vers une solution faible du problème continu. Les test numériques présentés à la fin du chapitre montrent que le schéma permet de reproduire le phénomène de piégeage de la phase huile.

Ce mémoire d'Habilitation à Diriger des Recherches (HDR) retrace dix années de recherche en tant que maître de conférences, autour de modèles d'EDP appliqués à des écoulements de fluides. On y trouve aussi bien des aspects analyse mathématique, qu'analyse numérique, algorithmique ou encore calcul et mise en oeuvre informatique. Les principaux modèles d'EDP abordés sont les équations de Navier-Stokes ou Stokes surface libre (micro-fluidique, glaciologie), les équations de St-Venant ou asymptotique "shallow" (hydraulique fluviale, glaciologie). L'orientation de ces études vers les thématiques applicatives a conduit à élaborer des modèles numériques potentiellement applicables aux problèmes réels posés. Ainsi, les aspects calibration de modèles, optimisation, identification, analyse de sensibilité et assimilation de données (via le contrôle optimal) y sont largement représentés. En termes de réalisation de logiciels prototypes, sont présentés un code d'hydraulique fluviale (inondations) dédié à l'analyse de sensibilité, l'assimilation variationnelle de données et le couplage, un code surface libre d'impact de gouttelettes (2D axisymétrique ALE) et un code d'optimisation de forme appliqué à l'électro-capillarité. <br /> Le premier chapitre présente des analyses mathématiques et analyse de schémas éléments finis basées sur des troncatures. Un second chapitre décrit un cadre mathématique et algorithmique pour l'optimisation de forme, avec applications à un modèle Navier-Stokes - thermique radiative et à une gouttelette électrifiée (électro-capillarité). Un troisième chapitre traite de la modélisation numérique de la dynamique d'une gouttelette sur un substrat solide. La dynamique de la ligne triple y est décrite à l'aide du modèle de Shikhmurzaev. Dans un quatrième chapitre sont présentés plusieurs travaux autour d'écoulements fluviaux et zones d'inondations (St-Venant 1.5D-2D, schémas volumes finis). Les processus de calibrage de modèles, de couplage et d'assimilation variationnelle de données constituent une grand part des travaux. Des applications à des écoulements réels avec données non standards (trajectoires lagrangiennes, image satellite) démontrent la potentialité des méthodes développées. Le dernier chapitre traite des travaux récemment initiés et tout particulièrement ceux relatifs aux calottes polaires (Stokes non-Newtonien et équations asymptotiques). Parmi les difficultés mathématiques soulevées figurent la réduction de modèles (asymptotique, réduction d'ordre), le couplage, la sensibilité des modèles aux erreurs et aux paramètres, et enfin l'assimilation de données et le calibrage.

Cette étude porte sur la modélisation et la simulation numérique d'un piano, en domaine temporel, par modèles phy- siques. Nous souhaitons rendre compte du comportement vibratoire et acoustique du piano, en prenant en compte les éléments principaux qui contribuent à la production du son. La table d'harmonie est modélisée par une équation bidimensionnelle de plaque épaisse, le système de Reissner Mindlin, pour un matériau orthotrope et hétérogène, dont l'amortissement dépend de la fréquence. Grâce aux équations de la vibroacoustique, la table rayonne dans l'air, dans lequel on souhaite calculer le champ acoustique complet autour de la ceinture du piano, que l'on suppose rigide. La table d'harmonie est d'autre part sollicitée par les cordes, à travers le chevalet où elles présentent un léger angle par rapport au plan horizontal. Chaque corde est modélisée par un système d'équations monodimensionnelles amorties dans lequel on prend en compte non seulement les ondes transversales excitées par le marteau, mais aussi la raideur à travers les ondes de cisaillement, ainsi que le couplage avec les ondes longi- tudinales provenant de la prise en compte des non linéarités géométriques. Le marteau est lancé avec une vitesse initiale vers un chœur de cordes, contre lequel il s'écrase avant d'être repoussé par les cordes. La force d'interaction dépend de façon non linéaire de l'écrasement du marteau.Le modèle complet de piano, que l'on souhaite résoudre numériquement, consiste donc en un système couplé d'équations aux dérivées partielles, dont chacune revêt des difficultés de nature différente : la corde est régie par un système d'équations non linéaires, la table d'harmonie est soumise à un amortissement dépendant de la fréquence, la propagation acoustique requiert un très grand nombre d'inconnues; auxquelles s'ajoute la difficulté inhérente aux couplages. D'une part, la stabilité numérique du schéma discret peut être compromise par la présence d'équations non linéaires et de nombreux couplages. Une méthode efficace pour garantir cette stabilité a priori est de construire un schéma qui conserve, ou dissipe, un équivalent discret de l'énergie physique d'un pas de temps au suivant. Une contribution majeure de ce travail a été de développer des schémas préservant une énergie discrète pour une classe de systèmes non linéaires dans laquelle s'inscrit le modèle de corde. D'autre part, afin d'augmenter l'efficacité de la méthode et de réduire le coût des calculs numériques, il est souhaitable de mettre à jour de façon découplée les inconnues liées aux différentes parties du problème, sur lesquelles la discrétisation en temps est faite de façon différente, afin de s'adapter aux spécificités de chacune. L'introduction de multiplicateurs de Lagrange nous permet de réaliser ce découplage artificiel grâce à des compléments de Schur adaptés. L'utilisation du code de calcul en situation réaliste montre le potentiel d'une telle modélisation d'un piano complet en domaine temporel. Au delà de très bien reproduire les mesures, il est possible d'étudier l'influence de certains phénomènes physiques (corde raide, non linéaire), de la géométrie ou encore des matériaux utilisés sur le comportement vibratoire général du piano, et sur le son en particulier. L'enrichissement spectral, ainsi que l'apparition des " partiels fantômes " et du précurseur non linéaire sont clairement mis en évidence pour les grandes amplitudes de jeu, soulignant l'intérêt de notre approche dans la compréhension du fonctionnement de l'instrument.

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés à la modélisation et à la simulation numérique de l'échange et du transfert de matière entre fluide aqueux et minéraux dans un processus qui associe réactions chimiques et transport. Notre application porte sur les skarns constitués de grenat ou de pyroxènes. Nous situons d'abord le problème dans son cadre thermodynamique et nous présentons un modèle de solution pour chaque phase et deux modèles de construction de la fonction isotherme obtenus à partir des potentiels chimiques ou en utilisant les constantes d'équilibre. Le modèle quantitatif a été obtenu en exprimant un bilan total isovolumique de matière ou en se restreignant à un bilan sur la phase fluide. En se plaçant sous l'hypothèse de la roche et les paramètres hydrogéologiques, nous obtenons un système hyperbolique de type <i>'modèle de la chromatographie'</i>. Nous avons également étudié le problème d'interaction fluide-minéral dans un cas général et aussi quand la température devient assez grande. L'isotherme s'exprime sous la forme d'une isotherme de Langmuir. L'étude du modèle à un constituant nous permet de retrouver la condition de stabilité thermodynamique du système et d'envisager les conditions permettant de simplifier le modèle de la chromatographie à plusieurs constituantes. La partie numérique de ce travail consiste à tester l'influence des paramètres thermodynamiques sur la stabilité du système et sur le processus de la transformation et de valider le modèle en procédant à une confrontation aux observations géologiques sur divers cas tests.

Dans une première partie, je me suis intéressé au développement et à l'analyse de nouveaux schémas de codage conjoint d'images stéréoscopiques reposant sur le concept du lifting vectoriel. En ce sens, contrairement aux méthodes classiques, les méthodes proposées ne génèrent aucune image résiduelle mais deux représentations multirésolution compactes de l'image gauche et l'image droite. De plus, elles sont adaptées au contenu intra et inter de la paire stéréo. Une analyse théorique en termes de performances statistiques a été menée pour mettre en évidence l'intérêt des structures proposées. Comme les méthodes de codage conjoint de ces vues reposent principalement sur l'étape de l'estimation et la compensation de la disparité afin d'exploiter les redondances inter-images, j'ai proposé par la suite d'intégrer une méthode récente d'estimation de disparité dans des applications de codage d'images stéréoscopiques. Cette technique d'estimation, qui se base sur une formulation ensembliste du problème de mise en correspondance, utilise différentes contraintes convexes caractérisant toute propriété a priori sur le champ de disparité à estimer. Ainsi, les contraintes utilisées permettent de produire un champ lisse tout en respectant les discontinuités (objets) présentes dans la scène. D'autre part, je me suis intéressé aux schémas 2D non séparables, afin de mieux exploiter le caractère bi-dimensionnel des images, tout en me focalisant sur les aspects d'optimisation des différents filtres mis en jeu. Dans ce contexte, j'ai d'eveloppé également une analyse théorique pour le cas d'un signal autorégressif d'ordre 2 afin de donner des formes explicites des coefficients de tous les filtres. Les expressions théoriques obtenues sont intéressantes en pratique puisqu'elles permettent de simplifier l'implémentation de la méthode d'optimisation proposée.

Dans le premier chapitre, on démontre divers résultats sur le plus grand quotient du groupe fondamental étale premier aux caractéristiques, parmi lesquels la formule de Künneth et l'invariance par changement de corps séparablement clos pour les schémas de type fini sur un corps. Ces énoncés sont déduits de faits généraux sur les images directes de champs, une fois spécialisés au cas des torseurs sous un groupe constant fini d'ordre inversible sur la base. Des résultats analogues<br />pour le groupe fondamental modéré sont également discutés.<br /><br />Au deuxième chapitre, on déduit de la formule du conducteur, conjecturée par S. Bloch, celle de P. Deligne exprimant, dans le cas d'une singularité isolée, la dimension totale des cycles évanescents en fonction du nombre de Milnor.<br />En particulier, la formule de Deligne est établie en dimension relative un.<br /><br />Dans le troisième chapitre, on compare les 1-isomotifs de P. Deligne sur un corps avec la théorie de V. Voevodsky en dimension inférieure à 1.

Cette thèse a pour objectif l'approfondissement de l'étude des équations régissant les écoulements à surface libre en dimension trois.<br />Nous proposons d'une part une nouvelle formulation variationnelle du problème hydrostatique aboutissant à un problème semi-discretisé en temps bien posé. Nous en faisons l'analyse mathématique et nous montrons quelques résultats numériques obtenus après programmation de l'approximation de ce problème dans le logiciel Telemac-3D développé au Laboratoire National d'Hydraulique et Environnement (LNHE) d'edf.<br />D'autre part, nous étudions la réinterprétation dans le cadre ALE de la méthode de discrétisation verticale de domaines tridimensionnels appelée transformation sigma, et nous en proposons une généralisation permettant d'améliorer la représentation des stratifications dans un écoulement<br />Finalement, nous présentons un schéma ALE-MURD conservatif pour la résolution des équations de convection linéaires posées sur un domaine mobile. Une condition particulière doit être vérifiée afin que le schéma soit conservatif lorsque le domain bouge effectivement. Nous montrons comment assurer cette contrainte dans le cas particulier où le domaine est tridimensionnel et ne bouge que selon la verticale. Ce résultat est illustré dans le cadre des écoulements à surface libre en dimension trois.

La technologie planar est très intéressante pour les transformateurs utilisés dans les équipements aéronautiques car elle mène à des composants minces et utilisables dans des espaces confinés. Malheureusement, le dimensionnement des transformateurs de ce type, lorsqu'ils fonctionnent au-delà de 100 kHz, est un travail aléatoire car les règles et les outils de conception ne sont pas les mêmes que pour un transformateur bobiné classique.<br />Au long de ce mémoire, on apprend à représenter ces composants par un circuit équivalent et à identifier ce circuit équivalent par des mesures d'impédances. Compte tenu du grand nombre de paramètres ajustables, l'optimisation d'un tel transformateur serait compromise s'il fallait compter sur des simulations à éléments finis pour déduire les éléments du circuit équivalent. C'est pourquoi nous essayons de déduire, par des moyens analytiques, les éléments de ce circuit en partant des caractéristiques physiques et géométriques du composant. Le but est atteint pour tous les éléments du transformateur de fuites obtenus à l'aide d'un calcul original exploitant les formules de la méthode PEEC. <br />Nous étudions ensuite les problèmes posés par la mise en parallèle de spires, inévitable lorsqu'on veut faire circuler des centaines d'Ampères. Une approche analytique simple s'avère alors très efficace et, grâce à elle, la meilleure disposition des spires peut être recherchée à l'aide d'un logiciel de simulation de circuits de type PSpice.<br />Enfin, diverses solutions sont envisagées et testées par simulation fem pour réduire les pertes par courants induits dans les transformateurs et dans les conducteurs méplats. Le développement multipolaire du champ magnétique est largement mis à contribution pour mener ces études.

Les nanocomposites noir de carbone sont obtenus par la dispersion de charge de noir de carbone dans une matrice. En fonction des conditions de mélange, l'arrangement spatial de ces charges peut présenter des hétérogénéités à plusieurs échelles. Dans le but de prédire les propriétés effectives de ce type de composites (comme la permittivité diélectrique), il est nécessaire de connaître les propriétés des deux constituants (la charge et la matrice) ainsi que leur arrangement spatial. Pour mener à bien ce projet, nous avons développé une méthodologie générale en plusieurs étapes: la morphologie est modélisée par des modèles aléatoires multi-échelles permettant de tenir compte des hétérogénéités de la distribution des agrégats. L'identification du modèle est réalisée à l'aide de l'analyse d'images d'observation de coupes minces. Dans un deuxième temps, des simulations tridimensionnelles du modèle sont réalisées pour estimer le seuil de percolation des nanocomposites (chargés en noir de carbone ou en nanotubes de carbone), et pour prédire la permittivité diélectrique effective par homogénéisation numérique. Les fluctuations statistiques de la permittivité à petite échelle sont utilisées pour accéder à la notion de V.E.R. (Volume Elémentaire Représentatif). Cette approche morphologique est une première étape menant à l'optimisation des propriétés diélectriques effectives de nanocomposites [Jeulin et Moreaud, 2006e]. La démarche a été appliquée à deux types de matériaux pour l'aéronautique utilisés par E.A.D.S.. Une étude portant sur la morphologie de catalyseurs à support de silice mésoporeux et nanoparticules de cérine a aussi été réalisée. Le but de cette étude est de comprendre et améliorer le procédé d'obtention de ces matériaux.