Cette thèse est consacrée à l'étude de certains aspects du comportement en temps longs des solutions de deux équations de Schrödinger non-linéaires en dimension trois dans des régimes perturbatives convenables. Le premier modèle consiste en une équation de Schrödinger avec une non-linéarité concentrée obtenue en considérant une interaction ponctuelle de force $alpha$, c'est-à-dire une perturbation singulière du Laplacien décrite par un opérateur autoadjoint $H_{alpha}$, où la force $alpha$ dépend de la fonction d'onde : $ifrac{du}{dt}= H_alpha u$, $alpha=alpha(u)$. Il est bien connu que les éléments du domaine d'une interaction ponctuelle en trois dimensions peuvent être décrits comme la somme d'une fonction régulière et d'une fonction ayant une singularité proportionnelle à $|x - x_0|^{-1}$, où $x_0$ est l'emplacement du point d'interaction. Si $q$ est la charge d'un élément du domaine $u$, c'est-à-dire le coefficient de sa partie singulière, alors pour introduire une non-linéarité, on fait dépendre la force $alpha$ de $u$ selon la loi $alpha=-nu|q|^sigma$, avec $nu > 0$. Ce modèle est défini comme une équation de Schrödinger non-linéaire focalisant de type puissance avec une non-linéarité concentrée en $x_0$. Notre étude regarde la stabilité orbitale et asymptotique des ondes stationnaires de ce modèle. Nous prouvons l'existence d'ondes stationnaires de la forme $u (t)=e^{iomega t}Phi_{omega}$, qui soient orbitalement stables pour $sigma in (0,1)$ et orbitalement instables quand $sigma geq 1.$ De plus nous montrons que si $sigma in (0,frac{1}{sqrt 2}) cup (frac{1}{sqrt 2}, 1)$, alors chaque onde stationnaire est asymptotiquement stable, à savoir que pour des données initiales proches d'un état stationnaire dans la norme d'énergie et appartenant à un espace $L^p$ pondéré où les estimations dispersives sont valides, l'affirmation suivante est vérifiée : il existe $omega_{infty} > 0$ et $psi_{infty} in L^2(R^3)$ tel que $psi_{infty} = O_{L^2}(t^{-p})$ quand $t rightarrow +infty$, tel que $u(t) = e^{iomega_{infty} t +il(t)} Phi_{omega_{infty}} +U_t*psi_{infty} +r_{infty}$, où $U_t$ est le propagateur de Schrödinger libre, $p = frac{5}{4}$, $frac{1}{4}$ respectivement en fonction de $sigma in (0, 1/sqrt{2})$, $sigma in left( frac{1}{sqrt{2}}, frac{sqrt{3} +1}{2sqrt{2}} right)$, et $l(t)$ est une fonction à croissance logarithmique qui apparaît quand $sigma in (frac{1}{sqrt{2}}, sigma^*)$, où $sigma^* in left( frac{1}{sqrt{2}},frac{sqrt{3} +1}{2sqrt{2}} right]$. Notons que dans ce modèle les non-linéarités pour lesquelles on a la stabilité asymptotique sont sous-critiques dans le sens où quelle que soit la donnée initiale il n'y a pas de solutions explosives. Quant au deuxième modèle, il s'agit de l'équation de Schrödinger non-linéaire focalisant à énergie critique : $i frac{du}{dt}=-Delta u-|u|^4 u$. Pour ce cas, nous prouvons, pour tout $nu$ et $alpha_0$ suffisamment petits, l'existence de solutions radiales à énergie finie de la forme $u(t,x)=e^{ialpha(t)}lambda^{1/2}(t)W(lambda(t)x)+e^{iDelta t}zeta^*+o_{dot H^1} (1)$ tout $trightarrow +infty$, où $alpha(t)=alpha_0ln t$, $lambda(t)=t^{nu}$, $W(x)=(1+frac13|x|^2)^{-1/2}$ est l'état stationnaire et $zeta^*$ est arbitrairement petit en $dot H^1$ / The present thesis is devoted to the investigation of certain aspects of the large time behavior of the solutions of two nonlinear Schrödinger equations in dimension three in some suitable perturbative regimes. The first model consist in a Schrödinger equation with a concentrated nonlinearity obtained considering a {point} (or contact) interaction with strength $alpha$, which consists of a singular perturbation of the Laplacian described by a self adjoint operator $H_{alpha}$, and letting the strength $alpha$ depend on the wave function: $ifrac{du}{dt}= H_alpha u$, $alpha=alpha(u)$.It is well-known that the elements of the domain of a point interaction in three dimensions can be written as the sum of a regular function and a function that exhibits a singularity proportional to $|x - x_0|^{-1}$, where $x_0$is the location of the point interaction. If $q$ is the so-called charge of the domain element $u$, i.e. the coefficient of itssingular part, then, in order to introduce a nonlinearity, we let the strength $alpha$ depend on $u$ according to the law $alpha=-nu|q|^sigma$, with $nu > 0$. This characterizes the model as a focusing NLS with concentrated nonlinearity of power type. In particular, we study orbital and asymptotic stability of standing waves for such a model. We prove the existence of standing waves of the form $u (t)=e^{iomega t}Phi_{omega}$, which are orbitally stable in the range $sigma in (0,1)$, and orbitally unstable for $sigma geq 1.$ Moreover, we show that for $sigma in(0,frac{1}{sqrt 2}) cup left(frac{1}{sqrt{2}}, frac{sqrt{3} +1}{2sqrt{2}} right)$ every standing wave is asymptotically stable, in the following sense. Choosing an initial data close to the stationary state in the energy norm, and belonging to a natural weighted $L^p$ space which allows dispersive stimates, the following resolution holds: $u(t) =e^{iomega_{infty} t +il(t)} Phi_{omega_{infty}}+U_t*psi_{infty} +r_{infty}$, where $U_t$ is the free Schrödinger propagator,$omega_{infty} > 0$ and $psi_{infty}$, $r_{infty} inL^2(R^3)$ with $| r_{infty} |_{L^2} = O(t^{-p}) quadtextrm{as} ;; t right arrow +infty$, $p = frac{5}{4}$,$frac{1}{4}$ depending on $sigma in (0, 1/sqrt{2})$, $sigma in (1/sqrt{2}, 1)$, respectively, and finally $l(t)$ is a logarithmic increasing function that appears when $sigma in (frac{1}{sqrt{2}},sigma^*)$, for a certain $sigma^* in left(frac{1}{sqrt{2}}, frac{sqrt{3} +1}{2sqrt{2}} right]$. Notice that in the present model the admitted nonlinearities for which asymptotic stability of solitons is proved, are subcritical in the sense that it does not give rise to blow up, regardless of the chosen initial data. The second model is the energy critical focusing nonlinear Schrödinger equation $i frac{du}{dt}=-Delta u-|u|^4 u$. In this case we prove, for any $nu$ and $alpha_0$ sufficiently small, the existence of radial finite energy solutions of the form$u(t,x)=e^{ialpha(t)}lambda^{1/2}(t)W(lambda(t)x)+e^{iDeltat}zeta^*+o_{dot H^1} (1)$ as $tright arrow +infty$, where$alpha(t)=alpha_0ln t$, $lambda(t)=t^{nu}$,$W(x)=(1+frac13|x|^2)^{-1/2}$ is the ground state and $zeta^*$is arbitrarily small in $dot H^1$

Es werden spektrale Eigenschaften des zweidimensionalen Schrödinger-Operators mit einem zweifach periodischen Potential und starkem magnetischem Feld untersucht mit Hilfe semiklassischer Methoden. Man beschreibt die spektrale Asymptotik durch Benutzung der Reeb-Graph-Technik. Im Falle des rationalen Flusses konstruiert man semiklassische Magneto-Bloch-Funktionen und beschreibt die Asymptotik des Spektrums auf dem physikalischen Beweisniveau. / Spectral properties of the two-dimensional Schroedinger operator with a two-periodic potential and a strong uniform magnetic field is studied with the help of semiclassical methods. The spectral asymptotics is described using the Reeb graph technique. In the case of the rational flux one constructs semiclassical magneto-Bloch functions and describes the asymptotics of the band spectrum on the physical level of proof.

Quantum Monte Carlo (QMC) methods are a class of stochastic techniques that can be used to compute the properties of electronic systems accurately from first principles. This thesis is mainly concerned with the development of trial wave functions for QMC. An extension of the backflow transformation to inhomogeneous electronic systems is presented and applied to atoms, molecules and extended systems. The backflow transformation I have developed typically retrieves an additional 50% of the remaining correlation energy at the variational Monte Carlo level, and 30% at the diffusion Monte Carlo level; the number of parameters required to achieve a given fraction of the correlation energy does not appear to increase with system size. The expense incurred by the use of backflow transformations is investigated, and it is found to scale favourably with system size. Additionally, I propose a single wave function form for studying the electron-hole system which includes pairing effects and is capable of describing all of the relevant phases of this system. The effectiveness of this general wave function is demonstrated by applying it to a particular transition between two phases of the symmetric electron-hole bilayer, and it is found that using a single wave function form gives a more accurate physical description of the system than using a different wave function to describe each phase. Both of these developments are new, and they provide a powerful set of tools for designing accurate wave functions. Backflow transformations are particularly important for systems with repulsive interactions, while pairing wave functions are important for attractive interactions. It is possible to combine backflow and pairing to further increase the accuracy of the wave function. The wave function technology that I have developed should therefore be useful across a very wide range of problems.

Dans cette these, produit de techniques issues de la theorie des $C^*$-algebres et de la theorie spectrale, nous etablissons de nouveaux resultats concernant les proprietes spectrales d'operateurs agissant sur les arbres et divers criteres concernant la stabilite du spectre essentiel d'operateurs non-bornes.<br />Elle se compose de trois articles.<br /><br />Les deux premiers traitent de la theorie spectrale et de la diffusion des operateurs de Schroedinger sur un arbre et de sa generalisation naturelle aux espaces de Fock. Les problemes abordes sont : la validite de l'estimation de Mourre et la caracterisation du spectre essentiel d'operateurs anisotropes par des methodes $C^*$-algebriques.<br /><br />Dans le troisieme article, nous nous proposons une recherche de criteres de stabilite du spectre essentiel pour des operateurs agissant sur des modules de Banach. Les applications couvrent les operateurs de Dirac, les perturbations de metriques riemanniennes, les operateurs sous forme divergence et bien d'autres. Outre son formalisme algebrique, ce travail est caracterise par l'absence de conditions de regularite dans les hypotheses.

On présente dans cette thèse quelques résultats nouveaux concernant l'optique non-linéaire diffractive. Tout d'abord, des solutions oscillantes régulières de systèmes hyperboliques sont analysées grâce à des développements asymptotiques (BKW) 3 échelles multiphases, à phases courbes : l'échelle la plus rapide est celle des oscillations, l'échelle intermédiaire décrit des phénomènes transverses à la propagation, cette dernière suivant les rayons de l'optique géométrique, à l'échelle la plus lente. L'utilisation des phases non planes permet de traiter le cas des systèmes à coefficients variables, et nécessite des hypothèses de cohérence et de petits diviseurs, dont on montre la généricité. On donne des exemples d'interactions d'ondes diffractées, en particulier en acoustique non linéaire. De plus, la diffraction transverse est considérée dans des cadres fonctionnels différents : périodique, faiblement décroissant, et pour des profils de chocs. Ces comportements sont appliqués à l'étude de la perturbation des phases oscillantes, ainsi qu'au problème des frontières ombre/lumière. On analyse dans chaque cas l'influence des effets de rectification (interaction entre moyenne et oscillations). Enfin, on décrit les oscillations se réfléchissant près d'un point diffractif (où la réflexion est tangentielle), pour une équation de Klein-Gordon semi-linéaire dissipative : une asymptotique $H^1$ met en évidence les interactions et la formation d'une \begin{guillemets}zone d'ombre\end{guillemets}.

Notre principal but est le probleme de l'unicite pour les operateurs de diffusion dans $L^\infty$. Ce travail commence par un etude des $C_0$-semi-groupes et des semi-groupes integres dans un contexte tres general. Nous etudions les $C_0$-semi-groupes sur un espace localement convexe et nous introduisons une nouvelle topologie sur l'espace dual tel que l'adjoint d'un $C_0$-semi-groupe est de classe $C_0$ par rapport a cette topologie. Les resultats les plus importants sont un theoreme de caracterisation d'un core du generateur et un theoreme de caracterisation complet d'un generateur essentiel sur un espace localement convexe. Finalement, nous presentons quelques exemples des generateurs essentiels dans $L^\infty$. Dans cette these ont ete obtenues pour la premiere fois la $L^\infty$-unicite des operateurs de Schroedinger et des operateurs de Schroedinger generalises sur une variete riemannienne complete, ainsi que $L^1$-unicite des solutions faibles pour l'equation de transport de masse.

No description available.

On étudie, dans cette thèse, la diffusion d'ondes dans différents milieux nonlinéaires possédant une bande interdite naturelle. On montre, en particulier, l'existence d'un comportement de bistabilité dans les milieux régis, soit par l'équation de sine-Gordon (chaîne de pendules courte, réseaux de jonctions Josephson, double couches à effet Hall quantique), soit par l'équation de Schrödinger nonlinéaire (milieu Kerr et milieu de Bragg), dans les cas discrets et continus. Ces différents milieux sont soumis à des conditions aux bords périodiques, dont la fréquence est prise dans la bande interdite et avec une amplitude déterminant l'état de stabilité du système. En effet, pour une amplitude suffisante (supratransmission), le milieu n'est plus réfléchissant et absorbe de l'énergie, faisant passer le signal de sortie d'un état d'amplitude évanescente vers un état de très grande amplitude. On donne, par ailleurs, une description analytique complète de la bistabilité qui permet de comprendre les différents états stationnaires observés dans ces milieux et de prédire le passage d'un état à un autre.