Motivated by the desire to understand classical-quantum correspondences, we study concentration phenomena of approximate eigenfunctions of a semiclassical pseudodifferential operator $P(h)$. Such eigenfunctions appear as steady state solutions of quantum systems. Here we think of $h$ as being a small parameter such that $h^{2}$ is inversely proportional to the energy of such a system. As we understand classical mechanics to be the high energy (or small $h$) limit of quantum mechanics we expect the behaviour of eigenfunctions $u(h)$ for small $h$ to be related to properties of the associated classical system. In particular we study the connection between the classical flow and the quantum concentration properties. The flow, $(x(t),\xi(t))$, of a classical system describes the system's motion through phase space where $x(t)$ is interpreted as position and $\xi(t)$ is interpreted as momentum. In the quantum regime we think of an eigenfunction as being composed of highly localised packets moving along bicharacteristics of the classical flow. With this intuition we relate concentration of eigenfunctions in a region to the time spent by projections of bicharacteristics there. We use the $L^{p}$ norm of $u$ when restricted to submanifolds as a measure of concentration. A high $L^{p}$ norm particularly for small $p$ is indicative of concentration near the submanifold. We reduce the estimates on eigenfunctions to operator norm estimates on associated evolution operators. Using the semiclassical analysis methods developed in Chapter 3 we express these evolution operators as oscillatory integral operators. Chapter 2 covers the technical background needed to work with such operators. In Chapter 4 we determine eigenfunction estimates for eigenfunctions restricted to a smooth embedded submanifold $Y$ of arbitrary dimension. If $Y$ is a hypersurface, the greatest concentration occurs when there are bicharacteristics of the classical flow embedded in $Y$. In Chapter 5 we assume that projections of such bicharacteristics can be at worst simply tangent to $Y$ and thereby obtain better results for small values of $p$.

This thesis consists of a summary of four papers dealing with resonances of Dirac operators on Euclidean 3-space. In Paper I we show that the Complex Absorbing Potential (CAP) method is valid in the semiclassical limit for resonances sufficiently close to the real line if the potential is smooth and compactly supported. In Paper II  we continue the investigations initiated in Paper I but here we study clouds of resonances close to the real line and show that in some sense the CAP method remains valid also for multiple resonances. In Paper III we study perturbations of Dirac operators with smooth decaying scalar potentials  and show that these possess many resonances near certain points related to the maximum and the minimum of the potential. In Paper IV we show a trace formula of Poisson type for Dirac operators having compactly supported potentials which is related to resonances. The techniques mainly stem from complex function theory and scattering theory.

Cette thèse traite de plusieurs problèmes de théorie de la diffusion dans la limite semi-classique, c’est à dire des propriétés des fonctions propres généralisées d’un opérateur de Schrödinger à haute fréquence. Les fonctions propres généralisées d’un opérateur de Schrödinger sur l’espace euclidien, pour un potentiel lisse à support compact, peuvent toujours se décomposer comme la somme d’une partie entrante et d’une partie sortante, plus un terme négligeable à l’infini. La matrice de diffusion relie alors la partie entrante et la partie sortante de la fonction propre. Une première partie de ce travail concerne le spectre de la matrice de diffusion. On montre un résultat d’équidistribution des valeurs propres de la matrice de diffusion, sous l’hypothèse sans doute générique que les ensembles de points fixes de certaines applications définies à partir de la dynamique classique sont de mesure de Lebesgue nulle. Ce résultat était connu précédemment, sous l’hypothèse additionnelle que la dynamique classique est sans ensemble capté.Une seconde partie du travail concerne les ondes planes tordues, qui sont une famille particulière de fonctions propres généralisées d’un opérateur de Schrödinger, pouvant s'écrire comme la somme d'une onde plane et d'une partie purement sortante. Nous faisons l’hypothèse que la dynamique classique sous-jacente possède un ensemble capté hyperbolique, et qu’une certaine pression topologique est négative. Sous ces hypothèses, on obtient dans la limite semi-classique une description précise des ondes planes tordues comme une somme convergente d’états lagrangiens. On peut en particulier en déduire la mesure semi-classique associée aux ondes planes tordues. Si la variété est de courbure négative, et que le potentiel est nul, ces états lagrangiens sont associés à des lagrangiennes se projetant sans caustiques sur la variété de base. On peut alors en déduire des résultats sur les normes C^l et les ensembles nodaux des ondes planes tordues. Nous obtenons aussiune borne inférieure sur le nombre de domaine nodaux de la somme de deux ondes planes tordues de directions incidentes proches, pour une petite perturbation générique d’une métrique de courbure négative vérifiant la condition de pression topologique. / This thesis deals with several problems of scattering theory in the semi-classical limit, that is to say, with properties of the generalised eigenfunctions of a Schrödinger operator at high frequencies. The generalised eigenfunctions of a Schrödinger operator on the Euclidean space, with a compactly supported smooth potential, may always be written as the sum of an incoming wave and an outgoing wave, plus a term which is negligible at infinity. The scattering matrix relates the incoming part with the outgoing part. The first part of this work deals with the spectrum of the scattering matrix. We show an equidistribution result for the eigenvalues of the scattering matrix, under the hypothesis that the sets of fixed points of some maps defined from the classical dynamics has measure zero. This result was previously known under the additional assumption that the classical dynamics has an empty trapped set.A second part of this work deals with the distorted plane waves, which are a particular family of generalized eigenfunctions of a Schrödinger operator, which can be written as the sum of a plane wave and a purely outgoing part. We make the hypothesis that the underlying classical dynamics has a hyperbolic trapped set, and that a certain topological pressure is negative. Under these assumptions, we obtain in the semiclassical limit a precise description of distorted plane waves as a convergent sum of Lagrangian states. In particular, we can deduce from this the semiclassical measure associated to distorted plane waves. If we furthermore assume that the manifold has non-positive curvature, and that the potential is zero, these Lagrangian states project on the base manifold without caustics. We deduce from this results on the C^l norms and on the nodal sets of distorted plane waves. We also obtain a lower bound on the number of nodal domains of the sum of two distorted plane waves with close enough incoming directions , for a small generic perturbation of a metric of negative curvature satisfying the topological pressure assumption.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第20880号 / 理博第4332号 / 新制||理||1622(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 堤 誉志雄, 教授 上 正明, 教授 宍倉 光広 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

Les opérateurs de Berezin--Toeplitz permettent de quantifier des fonctions, ou des symboles, sur des variétés kähleriennes compactes, et sont définies à partir du noyau de Bergman (ou de Szeg\H{o}). Nous étudions le spectre des opérateurs de Toeplitz dans un régime asymptotique qui correspond à une limite semiclassique. Cette étude est motivée par le comportement magnétique atypique observé dans certains cristaux à basse température. Nous étudions la concentration des fonctions propres des opérateurs de Toeplitz, dans des cas où les effets sous-principaux (du même ordre que le paramètre semiclassique) permet de différencier entre plusieurs configurations classiques, un effet connu en physique sous le nom de sélection quantique Nous exhibons un critère général pour la sélection quantique et nous donnons des développements asymptotiques précis de fonctions propres dans le cas Morse et Morse--Bott, ainsi que dans un cas dégénéré. Nous développons également un nouveau cadre pour le traitement du noyau de Bergman et des opérateurs de Toeplitz en régularité analytique. Nous démontrons que le noyau de Bergman admet un développement asymptotique, avec erreur exponentiellement petite, sur des variétés analytiques réelles. Nous obtenons aussi une précision exponentiellement fine dans les compositions et le spectre d'opérateurs à symbole analytique, et la décroissance exponentielle des fonctions propres. / Berezin-Toeplitz operators allow to quantize functions, or symbols, on compact Kähler manifolds, and are defined using the Bergman (or Szeg\H{o}) kernel. We study the spectrum of Toeplitz operators in an asymptotic regime which corresponds to a semiclassical limit. This study is motivated by the atypic magnetic behaviour observed in certain crystals at low temperature. We study the concentration of eigenfunctions of Toeplitz operators in cases where subprincipal effects (of same order as the semiclassical parameter) discriminate between different classical configurations, an effect known in physics as quantum selection . We show a general criterion for quantum selection and we give detailed eigenfunction expansions in the Morse and Morse-Bott case, as well as in a degenerate case. We also develop a new framework in order to treat Bergman kernels and Toeplitz operators with real-analytic regularity. We prove that the Bergman kernel admits an expansion with exponentially small error on real-analytic manifolds. We also obtain exponential accuracy in compositions and spectra of operators with analytic symbols, as well as exponential decay of eigenfunctions.

Cette thèse concerne l'étude spectrale de l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique et paramètre semi-classique, sur un domaine borné et régulier en dimension 2, avec condition de Neumann au bord. On s'intéresse plus particulièrement au cas où le champ magnétique s'annule sur une union de courbes régulières. L'objectif est de comprendre l'influence d'une annulation du champ et d'expliciter le comportement des basses valeurs propres et des fonctions propres associées lorsque le paramètre semi-classique tend vers 0. Dans cette limite - dite semi-classique - la description précise des éléments propres passe par la compréhension de différents opérateurs modèles sous-jacents. La première partie est consacrée au cas d'un champ magnétique qui s'annule de manière non dégénérée le long d'une courbe régulière simple intersectant le bord du domaine. La deuxième partie concerne le cas d'une annulation quadratique à l'intérieur du domaine. Dans de ces deux cas d'étude, on donne dans un premier temps un équivalent asymptotique de la première valeur propre. La majoration s'obtient par une construction de fonctions tests appropriées tandis que la minoration s'obtient par une méthode de localisation quantique. Ce dernier aspect est délicat car il s'agit de gérer la transition entre des modèles ayant des homogénéités différentes. Dans un second temps, on examine les propriétés de localisation des premières fonctions propres, via des estimées d'Agmon semi-classiques. Ceci permet d'obtenir un développement asymptotique complet des premières valeurs propres, à n'importe quel ordre. Dans le cas d'une annulation quadratique, la thèse est complétée par une étude de l'opérateur modèle pour lequel le lieu d'annulation est une union de deux droites sécantes faisant un angle non nul. Dans la limite petit angle, la structure du spectre est gouvernée un symbole opérateur à deux paramètres. On établit différentes propriétés de ce symbole opérateur et de la fonction de bande associée. Des simulations numériques basées sur la librairie éléments finis Mélina++ ont guidé l'analyse et illustrent les résultats obtenus. Les difficultés numériques - dues aux fortes oscillations de la phase dans l'expression des fonctions propres - sont gérées grâce à une interpolation polynomiale de haut degré. / This thesis is devoted to the spectral analysis of the Schrödinger operator with magnetic field and semiclassical parameter, on a bounded regular domain in dimension two, with Neumann boundary condition. We investigate the case when the magnetic field vanishes along a union of smooth curves. The aim is to understand the influence of the cancellation and to study the behaviour of the lowest eigenvalues and the associated eigenfunctions when the semiclassical parameter tends to 0. In this regime - called the semiclassical limit - the precise description of the eigenpairs requires the understanding of underlying models. In the first part, we consider a magnetic field which vanishes linearly along a smooth simple curve intersecting the boundary. The second part is devoted to the case when the magnetic field vanishes quadratically. In both cases, we firstly give a one term asymptotics of the lowest eigenvalue. The upper bound is obtained by using appropriate test functions whereas the lower bound results from a localisation process. This last aspect constitutes the most difficult part because of the different scales involved. Then we investigate the localisation properties of the first eigenfunctions thanks to semiclassical Agmon estimates. This leads to a full asymptotic expansion of the first eigenvalues. In the case when the magnetic field vanishes quadratically, we study in addition the model operator for which the cancellation set is a union of two straight lines, whose intersection form a non-zero angle. In the small angle regime, the structure of the spectrum is governed by an operator symbol with two parameters. We establish different properties of this symbol and the associated band function. Numerical simulations based on the finite elements library Mélina++ have guided the analysis and illustrate the obtained results. The difficulties of the numerical computations - induced by the high phase oscillations of the eigenfunctions - are circumvented by polynomial interpolation of high degree.

Dans la première partie de cette thèse nous étudions la propagation des mesures de Wigner associées aux solutions de l'équation de Schrödinger à potentiels présentant des singularités coniques, et nous montrons qu'elles sont transportées par deux différents flots Hamiltoniens, l'un sur le fibré cotangent à la variété des singularités et l'autre ailleurs dans l'espace des phases, à moins d'un phénomène d'échange entre ces deux régimes qui peut se produire quand des trajectoires du flot extérieur atteignent le fibré cotangent. Nous décrivons en détail et le flot et la concentration de masse autour et sur la variété singulière, et illustrons avec des exemples quelques questions issues de la faute d'unicité des trajectoires classiques sur les singularités en dépit de l'unicité des solutions quantiques, ce qui refute tout principe de sélection classique, mais qui n'empêche dans certains cas de résoudre complètement le problème.Dans la deuxième partie nous présentons un travail mené en collaboration avec Dr. Clotilde Fermanian et Dr. Fabricio Macià où nous analysons une équation de type Schrödinger pertinente à l'étude semiclassique de la dynamique d'un électron dans un cristal avec impuretés et montrons que, dans la limite où la période caractérisique du réseau cristallin est sufisamment petite par rapport à la variation du potentiel extérieur représentant les impuretés, cette équation peut être approximée par une équation de masse effective, ou, plus généralement, que sa solution se décompose en modes de Bloch et que chacun d'eux satisfait une équation de masse effective spécifique à son énergie de Bloch / In the first part of this thesis we study the propagation of Wigner measures linked to solutions of the Schrödinger equation with potentials presenting conical singularities and show that they are transported by two different Hamiltonian flows, one over the bundle cotangent to the singular set and the other elsewhere in the phase space, up to a transference phenomenon between these two regimes that may arise whenever trajectories in the outsider flow lead in or out the bundle. We describe in detail either the flow and the mass concentration around and on the singular set and illustrate with examples some issues raised by the lack of uniqueness for the classical trajectories on the singularities despite the uniqueness of quantum solutions, dismissing any classical selection principle, but in some cases being able to fully solve the problem.In the second part we present a work in collaboration with Dr. Clotilde Fermanian and Dr. Fabricio Macià where we analyse a Schrödinger-like equation pertinent to the semiclassical study of the dynamics of an electron in a crystal with impurities, showing that in the limit where the characteristic lenght of the crystal's lattice can be considered sufficiently small with respect to the variation of the exterior potential modelling the impurities, then this equation is approximated by an effective mass equation, or, more generally, that its solution decomposes in terms of Bloch modes, each of them satisfying an effective mass equation specificly assigned to their Bloch energies

Ce manuscrit est consacré à l'étude de la mécanique classique et la mécanique quantique en présence d'un champ magnétique. En mécanique classique, nous utilisons un Hamiltonien pour décrire la dynamique d'une particule chargée dans un domaine soumis à un champ magnétique. Nous nous intéressons ici à deux problèmes classiques de physique : le problème de confinement et le problème de scattering. Dans le cas quantique, nous étudions le problème spectral du laplacien magnétique au niveau semi-classique dans des domaines de dimension deux: sur une variété Riemanienne compacte à bord et dans ℝ ². En supposant que le champ magnétique ait un unique minimum strictement positif et non-dégénéré, nous pouvons décrire les fonctions propres par les méthodes WKB. Grâce au théorème spectral, nous pouvons estimer efficacement les vraies fonctions propres et les fonctions propres approchées localement proche du minimum du champ magnétique. Dans ℝ ², sous l'hypothèse additionnelle d'une symétrie radiale du champ magnétique, nous pouvons montrer que les fonctions propres du laplacien magnétique décroissent de manière exponentielle à l'infini avec une vitesse contrôlée par la fonction phase de la procédure WKB. De plus, les fonctions propres sont très bien approchées dans un espace à poids exponentiel. / This manuscript is devoted to classical mechanics and quantum mechanics, especially in the presence of magnetic field. In classical mechanics, we use Hamiltonian dynamics to describe the motion of a charged particle in a domain affected by the magnetic field. We are interested in two classical physical problems: the confinement and the scattering problem. In the quantum case, we study the spectral problem of the magnetic Laplacian at the semi-classical level, in two-dimensional domains: on a compact Riemmanian manifold with boundary and on ℝ ². Under the assumption that the magnetic field has a unique positive and non-degenerate minimum, we can describe the eigenfunctions by WKB methods. Thanks to the spectral theorem, we estimated efficiently the true eigenfunctions and the approximate eigenfunctions locally near the minimum point of the magnetic field. On ℝ ², with the additional assumption that the magnetic field is radially symmetric, we can show that the eigenfunctions of the magnetic Laplacian decay exponentially at infinity and at a rate controlled by the phase function created in WKB procedure. Furthermore, the eigenfunctions are very well approximated in an exponentially weighted space.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(人間・環境学) / 甲第19200号 / 人博第741号 / 新制||人||178(附属図書館) / 27||人博||741(吉田南総合図書館) / 32192 / 京都大学大学院人間・環境学研究科共生人間学専攻 / (主査)教授 宇敷 重廣, 教授 森本 芳則, 准教授 木坂 正史 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Human and Environmental Studies / Kyoto University / DGAM

Es werden spektrale Eigenschaften des zweidimensionalen Schrödinger-Operators mit einem zweifach periodischen Potential und starkem magnetischem Feld untersucht mit Hilfe semiklassischer Methoden. Man beschreibt die spektrale Asymptotik durch Benutzung der Reeb-Graph-Technik. Im Falle des rationalen Flusses konstruiert man semiklassische Magneto-Bloch-Funktionen und beschreibt die Asymptotik des Spektrums auf dem physikalischen Beweisniveau. / Spectral properties of the two-dimensional Schroedinger operator with a two-periodic potential and a strong uniform magnetic field is studied with the help of semiclassical methods. The spectral asymptotics is described using the Reeb graph technique. In the case of the rational flux one constructs semiclassical magneto-Bloch functions and describes the asymptotics of the band spectrum on the physical level of proof.