Dans ce mémoire, nous détaillons différents travaux que j'ai efféctués ces dernières années sur des problèmes d'analyse harmonique réelle et plus particulièrement d'analyse de Fourier en lien avec l'analyse des EDPs. Le coeur de l'analyse de Fourier réside dans la procédure suivante : afin d'étudier un objet mathématique (une fonction, un opérateur, un espace fonctionnel, ...), on le décompose en objets élémentaires, vérifiant certaines propriétés supplémentaires. Le but et la difficulté de l'analyse est alors d'utiliser des informations sur ces objets élémentaires et de les sommer (le plus finement possible) afin d'obtenir l'information désirée sur l'objet initial. Le qualificatif "de Fourier" fait ici référence au fait que l'opération de décomposition sera toujours associée à une décomposition temps-fréquence. Nous allons nous consacrer à deux cadres différents (mais pas complètement indépendants) d'application de cette "technique" : 1) L'analyse de Fourier Euclidienne bilinéaire : plus précisément, l'étude des continuités dans les espaces de Lebesgue d'opérateurs bilinéaires, définis en fréquence par la transformée de Fourier (principalement les multiplicateurs de Fourier bilinéaires). Ici, le caractère "Euclidien" renvoie à l'utilisation de la transformée de Fourier. Nous décrirons aussi une application pour l'analyse d'EDPs présentant une non-linéarité quadratique ainsi que l'obtention d'estimations bilinéaires de dispersion. 2) L'analyse de Fourier non Euclidienne fonctionnelle : le but sera de définir un cadre où la notion de "fréquence" n'est plus donnée par la transformée de Fourier mais nous travaillerons sur la notion plus générale "d'oscillations". Ceci permet de nous extraire du cadre Euclidien et de travailler dans un espace de type homogène, ou une variété Riemanienne. Nous essaierons alors d'étudier certaines propriétés d'espaces fonctionnels ainsi que certains opérateurs, définis par l'intermédiaire de ces oscillations. L'utilisation de le notion d'oscillations permet de travailler sur un espace ambiant plus général et permet aussi d'adapter l'analyse à un opérateur générant un semi-groupe. Ces deux cadres présentent un aspect commun : une "analyse temps-fréquence". Cette analyse est une situation particulière de l'analyse de Fourier où nous avons besoin de décomposer notre objet mathématique, non pas dans l'espace physique ou dans l'espace fréquentiel, mais simultanément dans les deux espaces, tout en respectant le principe d'incertitude d'Heisenberg. Dans le cadre de l'analyse de Fourier Euclidienne, la transformée de Fourier permet de donner une notion très pratique de "fréquence" et de décomposition fréquentielle. Dans le cadre de l'analyse fonctionnelle, la notion de "fréquence" sera donnée par des opérateurs, appelés "opérateurs d'oscillation". Nous verrons comment on peut alors transposer certaines techniques Euclidiennes à ce cadre et de ce fait étendre "l'analyse temps-fréquence" à des espaces non-Euclidiens très généraux (tels que ensembles fractals, variétés Riemaniennes, ...).

This thesis is about using appropriate tools in functional analysis arid classical analysis to tackle the problem of existence and uniqueness of nonlinear partial differential equations. There being no unified strategy to deal with these equations, one approaches each equation with an appropriate method, depending on the characteristics of the equation. The correct setting of the problem in appropriate function spaces is the first important part on the road to the solution. Here, we choose the setting of Sobolev spaces. The second essential part is to choose the correct tool for each equation. In the first part of this thesis (Chapters 3 and 4) we consider a variety of nonlinear hyperbolic partial differential equations with mixed boundary and initial conditions. The methods of compactness and monotonicity are used to prove existence and uniqueness of the solution (Chapter 3). Finding a priori estimates is the main task in this analysis. For some types of nonlinearity, these estimates cannot be easily obtained, arid so these two methods cannot be applied directly. In this case, we first linearise the equation, using linear recurrence (Chapter 4). In the second part of the thesis (Chapter 5), by using an appropriate tool in functional analysis (the Sobolev Imbedding Theorem), we are able to improve previous results on a posteriori error estimates for the finite element method of lines applied to nonlinear parabolic equations. These estimates are crucial in the design of adaptive algorithms for the method, and previous analysis relies on, what we show to be, unnecessary assumptions which limit the application of the algorithms. Our analysis does not require these assumptions. In the last part of the thesis (Chapter 6), staying with the theme of choosing the most suitable tools, we show that using classical analysis in a proper way is in some cases sufficient to obtain considerable results. We study in this chapter nonexistence of positive solutions to Laplace's equation with nonlinear Neumann boundary condition. This problem arises when one wants to study the blow-up at finite time of the solution of the corresponding parabolic problem, which models the heating of a substance by radiation. We generalise known results which were obtained by using more abstract methods.

Mon travail de thèse se situe dans le cadre de l'analyse semi-classique. Il se divise en trois parties. Dans la première, j'ai étudié l'opérateur de Klein-Gordon semi-classique en dimension un. Dans la zone où le potentiel reste sous le niveau d'énergie, il existe pour cet opérateur des constructions de solutions WKB, similaires à celles développées pour l'opérateur de Schrödinger. Sous certaines hypothèses, on a prolongé ces solutions hors de cette zone, grâce aux méthodes utilisées près des points tournants pour l'opérateur de Schrödinger. On a ensuite étudié un exemple pour lequel on peut faire des calculs explicites. Enfin, en dimension quelconque, on a obtenu une nouvelle majoration des fonctions propres, lorsque la distance d'Agmon associée à cet opérateur a un gradient lipschitzien. La deuxième partie concerne l'opérateur de Schrödinger et l'étude des résonances en dimension un. Lorsque le potentiel présente deux puits et une mer pour les niveaux d'énergies considérés, on a obtenu des conditions de non croisement des résonances ainsi que leur graphe, grâce à la construction de modes. En présence d'un nombre quelconque de puits, cela permet également de calculer une estimation de la partie imaginaire des résonances dans le cas d'une interaction simple. Enfin, dans la troisième partie, on considère un opérateur de Schrödinger dont le potentiel présente un maximum non dégénéré. On a étudié les résonances générées par une courbe homocline qui passe par ce maximum. En dimension un, on a obtenu une condition de quantification, et par suite les résonances recherchées. En dimension quelconque, on a construit une solution asymptotique sortante le long de cette courbe, en adaptant la méthode de B. Helffer et J. Sjöstrand pour le fond de puits non résonnant. Une transformation FBI permet ensuite de conjecturer un premier niveau de résonances.

This work is to give an overview over the research that I've done up to now. The overall idea behind my interests has been that of understanding analytical and geometrical properties of non smooth spaces both from both a theoretical and a practical point of view. The two main classes of spaces on which I focussed are: the Wasserstein space (P2(M),W2) built over a Riemannian manifold, and abstract metric and metric-measure spaces, in particular those with Ricci curvature bounded below.

Dans cette thèse, on étudie les ensembles de niveau de champs gaussiens lisses, ou fonctions lisses aléatoires. On explore plusieurs directions, certaines liées à la géométrie spectrale, d’autres à la mécanique statistique.L’attention est d’abord portée sur une famille de champs gaussiens sur des variétés riemanniennes compactes définis comme des combinaisons linéaires de fonctions propres du laplacien avec des points gaussiens indépendants. Dans certains cas particuliers, cette famille donne l’ensemble à bande limitée qui a été très étudié ces dernières années, mais elle donne aussi le champ libre gaussien coupé en fréquence, qui est la projection du champ libre gaussien sur les premiers espaces propres du laplacien. On étudie la fonction de covariance de ces champs, l’espérance du nombre de composantes connexes de leur lieu d’annulation et, dans le cas du champ libre gaussien, on en déduit une estimation précise des grandes déviation de l’événement que le champ est positif sur un ensemble fixé quand la limite de fréquence tend vers l’infini.Puis on étudie la percolation des sur-niveaux de champs stationnaires sur le plan en utilisant des techniques de percolation de Bernoulli. On prouve d’abord un résultat de mélange sur la topologie des ensembles nodaux pour des champs gaussiens planaires. Puis on prouve un résultat de transition de phase pour le champ de Bargmann-Fock. / In this thesis, we study the level sets of smooth Gaussian fields, or random smooth functions. Several directions are explored, some linked to spectral theory, some to statistical mechanics.The first object of focus is a family of Gaussian fields on compact Riemannian manifolds defined as linear combinations of eigenfunctions of the Laplacian with independent Gaussian weights. In special cases, this family specializes to the band-limited ensemble which has received a lot of attention in recent years, but also to the cut-off Gaussian Free Field, which is the projection of the Gaussian Free Field on the first eigenspaces of the Laplacian. We study the covariance function of these fields, the expected number of connected components of their zero set, and, in the case of the cut-off Gaussian Free Field, derive a precise large deviation estimate on the event that the field is positive on a fixed set when the energy cut-off tends to infinity.Next, we study percolation of excursion sets of stationary fields on the plane using techniques from Bernoulli precolation. We first derive a mixing bound for the topology of nodal sets of planar Gaussian fields. Then, we prove a sharp phase transition result for the Bargmann-Fock random field.

Cette thèse traite de la vérification automatique de composants matériels décrits en VHDL. C'est une étude de faisabilité d'un outil de vérification automatique qui réunit: exhaustivité, efficacité de calcul et simplicité d'utilisation. La méthodologie de l'interprétation abstraite a été adoptée: l'algorithme de simulation de VHDL est d'abord formalisé par une sémantique opérationnelle, de laquelle une analyse statique est dérivée de façon systématique par abstraction. L'analyse calcule un sur-ensemble des états accessibles. Le domaine numérique utilisé pour représenter les valeurs possibles des signaux de la description peut être choisi librement. Une instance possible de l'analyse a été implémenté en OCaml. Le domaine numérique choisi ici est celui des égalités linéaires entre variables booléennes. L'outil a permi de valider un code correcteur d'erreur de type Reed Solomon. Les performances sont excellentes, en particulier meilleures que celles du model checker à base de BDDs VIS.

Nous calculons presque sûrement, simultanément, les dimensions de Hausdorff des ensembles de branches infinies de la frontière d'un arbre de Galton-Watson super-critique (muni d'une métrique aléatoire) le long desquelles les moyennes empiriques d'une marche aléatoire de branchement vectorielle admettent un ensemble donné de points limites. Cela va au-delà de l'analyse multifractale, question pour laquelle nous complétons les travaux antérieurs en considérant les ensembles associés à des niveaux situés dans la frontière du domaine d'étude. Nous utilisons une méthode originale dans ce contexte, consistant à construire des mesures de Mandelbrot inhomogènes appropriées. Cette méthode est inspirée de l'approche utilisée pour résoudre des questions similaires dans le contexte de la dynamique hyperboliques pour les moyennes de Birkhoff de potentiels continus. Elle exploite des idées provenant du chaos multiplicatif et de la théorie de la percolation pour estimer la dimension inférieure de Hausdorff des mesures de Mandelbrot inhomogènes. Cette méthode permet de renforcer l'analyse multifractale en raffinant les ensembles de niveaux de telle sorte qu'ils contiennent des branches infinies le long desquels on observe une version quantifiée de la loi des grands nombres d'Erdös Renyi ; de plus elle permet d'obtenir une loi de type $0-\infty$ pour les mesures de Hausdorff de ces ensembles. Nos résultats donnent naturellement des informations géométriques et de grandes déviations sur l'hétérogénéité du processus de naissance le long des différentes branches infinies de l'arbre de Galton-Watson.

Nous généralisons dans le cadre de groupe localement compact non necessairement abélien, une famille d'espaces de Banach qui sont entre autres des sous-espaces d'espaces d'amalgames de Wiener admettant une dilatation isométrique, et sous-espaces d'espaces de Morrey. Sur ces espaces, nous établissons des inégalités à poids pour l'opérateur maximal fractionnaire et l'intégrale fractionnaire.

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Dans cette thèse, nous étudions le comportement asymptotique précis à basse température de l’événement de sortie d'un domaine métastable $Omegasubset mathbb R^d$ (point de sortie et temps de sortie) pour le processus de Langevin sur amorti. En pratique, le processus de Langevin sur amorti peut par exemple simuler l'évolution des positions des atomes d'une molécule ou la diffusion d'impuretés interstitielles dans un cristal. Nos résultats principaux concernent le comportement asymptotique précis de la distribution de la loi du point de sortie de $Omega$. Dans la limite d'une petite température, ces résultats permettent de justifier l'utilisation de la formule d'Eyring-Kramers pour modéliser les événements de sortie de $Omega$. La loi d'Eyring-Kramers est par exemple utilisée pour calculer les taux de transition entre les états d'un système dans un algorithme de Monte-Carlo cinétique afin de simuler efficacement les différents états visités par le système. L'analyse repose de manière essentielle sur la distribution quasi stationnaire associée au processus de Langevin sur amorti dans $Omega$. Nos preuves utilisent des outils d'analyse semi-classique. La thèse se décompose en trois chapitres indépendants. Le premier chapitre (rédigé en français) est une introduction aux résultats obtenus. Les deux autres chapitres (rédigées en anglais) sont consacrés aux énoncés mathématiques / This thesis is dedicated to the study of the sharp asymptotic behaviour in the low temperature regime of the exit event from a metastable domain $Omegasubset mathbb R^d$ (exit point and exit time) for the overdamped Langevin process. In practice, the overdamped Langevin dynamics can be used to describe for example the motion of the atoms of a molecule or the diffusion of interstitial impurities in a crystal. The obtention of sharp asymptotic approximations of the first exit point density in the small temperature regime is the main result of this thesis. These results justify the use of the Eyring-Kramers law to model the exit event. The Eyring-Kramers law is used for example to compute the transition rates between the states of a system in a kinetic Monte-Carlo algorithm in order to sample efficiently the state-to-state dynamics. The cornerstone of our analysis is the quasi stationary distribution associated with the overdamped Langevin dynamics in $Omega$. The proofs are based on tools from semi-classical analysis. This thesis is divided into three independent chapters. The first chapter (in French) is dedicated to an introduction to the mathematical results. The other two chapters (in English) are devoted to the precise statements and proofs