<p>Sammanfattning: Syftet med examensarbetet var att få en fördjupad förståelse över hur barn tänker matematik med fokus på subtraktion. Arbetet koncentrerades kring vilken uppfattning eleverna har om subtraktion i relation till addition, vilka subtraktionsstrategier de har samt om dessa skiljer sig utifrån ett genusperspektiv. Syftet var också att ta reda på hur subtraktion presenteras under de första skolåren, med hjälp av lärarintervjuer och läroboksanalyser. Tillvägagångssättet var således kvalitativa intervjuer med elever och lärare samt analys av skolornas läromedel.</p><p> </p><p>Det jag kom fram till med arbetet var att elever ofta behärskar många strategier innan de börjar skolan men att de sedan utvecklas till att enbart använda en metod. Lärare har därför ett ansvar i klassrummet att pedagogiskt lägga upp ett arbetssätt som hjälper eleverna att etablera de strategier som de har och lära ut flera strategier. Den vanligaste subtraktionsstrategin för elever i tidiga år är att räkna med borttagningsmetoden.</p>

Sammanfattning: Syftet med examensarbetet var att få en fördjupad förståelse över hur barn tänker matematik med fokus på subtraktion. Arbetet koncentrerades kring vilken uppfattning eleverna har om subtraktion i relation till addition, vilka subtraktionsstrategier de har samt om dessa skiljer sig utifrån ett genusperspektiv. Syftet var också att ta reda på hur subtraktion presenteras under de första skolåren, med hjälp av lärarintervjuer och läroboksanalyser. Tillvägagångssättet var således kvalitativa intervjuer med elever och lärare samt analys av skolornas läromedel.   Det jag kom fram till med arbetet var att elever ofta behärskar många strategier innan de börjar skolan men att de sedan utvecklas till att enbart använda en metod. Lärare har därför ett ansvar i klassrummet att pedagogiskt lägga upp ett arbetssätt som hjälper eleverna att etablera de strategier som de har och lära ut flera strategier. Den vanligaste subtraktionsstrategin för elever i tidiga år är att räkna med borttagningsmetoden.

SAMMANFATTNING Jag har i mina tidigare yrkesår i förskoleklass upptäckt hur viktigt det är att barnen förstår de matematiska begreppen och har ord på dem. De måste ges en möjlighet att tidigt få utveckla en grundläggande taluppfattning. Syftet med min studie blev då att undersöka hur elever med svag taluppfattning förstår subtraktion, som jag upplevt är den första svårigheten de stöter på i matematiken. Jag ville också undersöka om mitt sätt att kunna variera matematiken i subtraktion, skulle hjälpa eleverna att hitta en gynnsam tankeform. Jag gjorde min studie med en grupp på 6 elever i åk. 3. Den metod jag använde mig av var observationer och loggbok. Jag gjorde en taluppfattningstest för att se vilken nivå eleverna låg på i början av studien och en sluttest för att se om mina aktiviteter med eleverna gav något resultat. Taluppfattningstesten visade att eleverna har svag taluppfattning, men samtidigt var testen väldigt bred med många vardagsnära uppgifter och uppgifter där eleverna skulle uppskatta och omvandla enheter. Det var inte tillräckligt många subtraktionsuppgifter för att kunna använda till att analysera vad eleverna förstått av aktiviteterna. Därför gjorde jag en annan sluttest med uppgifter enbart från våra aktiviteter. Sluttesten jag gjorde med eleverna visade ett bättre resultat. Jag har också under mina aktiviteter sett att eleverna utvecklar sitt tänkande när de får "prata" subtraktion och samtidigt får laborera med konkret material.

Syftet med denna studie är att synliggöra några elevers svårigheter när det gäller de centrala aspekterna i grundläggande taluppfattning, med fokus på addition och subtraktion. Studien grundar sig på 13 intervjuer med elever i årskurs 3-5. Som utgångsmaterial för intervjuerna användes den muntliga diagnosen Individuella samtal som ingår i Diagnostiska uppgifter i matematik för användning i de tidiga skolåren (Skolverket, 2010c). I samband med intervjuerna observerades även hur eleverna konkretiserar uppgifterna med stöd av sina fingrar och tiobasmaterial. Den muntliga diagnosen ger en tydlig bild av vilka strategier eleverna använder sig av när de löser en uppgift samt visar vilka svårigheter eleverna har när det gäller grundläggande taluppfattning. Studiens resultat visar att eleverna har svårigheter med den grundläggande taluppfattningen, dock i varierande grad. Eleverna använder sig till stor del av en och samma strategi där de vid addition använder sig av uppåträkning med stöd av fingerräkning och vid subtraktion använder de sig antingen av uppåträkning eller nedåträkning med fingrarna som stöd. Flera av eleverna verkar ha lärt sig en strategi för addition och en för subtraktion som de sedan konsekvent använder sig av när de ska lösa en uppgift. Eleverna reflekterar vare sig över om svaret de kommer fram till eller om den strategi de använder är rimlig och effektiv. Många av eleverna visar att de kan tiokamraterna, men de har svårt att generalisera den kunskapen när de ska lösa andra uppgifter där talet tio inte implicit används i uppgiften. Även dubblorna visar de att de kan men det tycks se de som kunskaper som skilda från varandra där de vare sig har förståelse eller ser hur de kan använda sig av den kunskapen i andra sammanhang. Eleverna uttrycker att de tycker att subtraktion är svårt, vilket kan tyda på att de inte ser sambandet mellan addition och subtraktion. I mina intervjuer visade det sig på så vis att de elever som inte behärskade talraden till fullo också visade på stora svårigheter med de nakna additions- och subtraktionsuppgifterna.

Syftet med studien var att skapa kunskap om elevers subtraktionsstrategier vid tvåsiffriga tal. Studien bestod av elevers lösning av skriftliga subtraktionsuppgifter, skriftlig redovisning av sina subtraktionsstrategier samt elevintervjuerna, Studien genomfördes i åk 2 och åk 3 på två olika skolor. Studien visade att de flesta av deltagare inte hade utvecklat sin taluppfattning så långt för att de skulle behärska mera avancerade subtraktionsstrategier samt att växla mellan olika subtraktionsstrategier. I de fall flexibel användning av subtraktionsstrategier förekom visade det sig inte ha koppling till egenskaper hos talen. Skillnader mellan skolor och individuella skillnader mellan eleverna gällande val av subtraktionsstrategier och på vilket sätt de uttrycktes var stora. Den skriftliga uttrycksformen passade inte för många elever i årskurs 2. För att kunna använda avancerade subtraktionsstrategier krävs en utvecklad taluppfattning samt att eleverna undervisats om de mest effektiva subtraktionsstrategier. Förmågan att uttrycka sina matematiska tankar med hjälp av olika uttrycksformer är individuell och den behöver tränas. / <p>Matematik</p>

The purpose of this study is to investigate how the teaching of mathematics is reflected in the students' understanding of the concept of the subtraction. The empirical data is based on observations in the classroom and student interviews. The understanding of the concept of the subtraction is shown through vocabulary and choice of examples and representations. The study used both qualitative methods and quantitative reports. The data is represented by one school and one classroom in grade three.  The theoretical framework is based on Liping Mas Subject Matter Knowledge and the variation theory of Marton and Booth and the relationship between these frameworks and concepts of variation, concretization, aids, subtraction and types of subtraction.  The results show that the impact of education is that subtraction is understood as the invers of addition. Complement and add to, is the type of strategy most frequently used, followed closely by the strategy remove and count down. The strategy compare is the least used. The observations in the classrooms shows several aspects and variations of the concept of the subtraction. Although the number line, and various forms of representation used in teaching has shown small effects of these aids in the students' own counting. The conclusions that can be drawn is that more and other metaphors and tools are needed in education to deepen students' understanding of the concept of the subtraction. They also need to be connected in the teaching. The language and the mathematical ideas discussed plays a critical role in the pupils’ acquisition of understanding.

The purpose of this qualitative study was to investigate how the progression appears in the teaching of subtraction between preschool class and grade 1. What was examined was whether the teaching in subtraction is interrelated be- tween these grades or whether it differs completely. In order to find this out, interviews were conducted with employed qualified teachers in pre-school class and grade 1. Through these interviews we got to learn about the teachers' stories about how they work and what influences their choices in their work on subtraction. A teaching media analysis was also carried out on the teaching materials that teachers stated they used in the teaching of subtraction. The re- sults show that teachers in pre-school class work very much with laboratory teaching materials in their teaching as well as in whole class or smaller groups, while teachers in grade 1 work less in whole class/groups but more with indi- vidual work. The work in grade 1 proves to be more focused on the fact that teachers want something to assess the students compared to the preschool class' work where much of the learning is done through play. The results show that preschool teachers work either very little with subtraction or not at all com- pared to primary school teachers in grade 1 where subtraction is practiced on a regular basis. In preschool the terminology that is used is both formal and informal, however, overall more informal words are used compared to grade 1 where more formal words are used. The results also show that preschool teach- ers prepare the subtraction strategy step-by-step calculations. In grade 1 the strategy step-by-step calculations are used as well as the numerical calculations strategy. / Syftet med denna kvalitativa studie var att undersöka hur progressionen ser ut i subtraktionsundervisning mellan förskoleklass och årskurs 1. Det som un- dersöktes var om undervisningen i subtraktion hänger samman mellan dessa årskurser eller om den ser helt olika ut. För att få reda på detta genomfördes intervjuer med verksamma behöriga lärare i förskoleklass samt årskurs 1. Ge- nom dessa intervjuer fick vi ta del av lärares berättelser om hur de arbetar och vad som påverkar deras val i sitt arbete med subtraktion. En läromedelsanalys genomfördes även på de läromedel som lärare uppgav att de använde sig av i subtraktionsundervisningen. Resultatet visar att lärare i förskoleklass arbetar väldigt mycket med laborativa läromedel i sin undervisning samt i helklasser eller mindre grupper medan lärare i årskurs 1 arbetar betydligt mindre del i helklass/grupper men desto mer med individuellt arbete. Arbetet i årskurs 1 visar sig vara mer inriktat på att lärare vill ha något som de kan bedöma ele- verna på jämfört med förskoleklassens arbete där stor del av lärandet sker ge- nom lek. Resultatet visar att lärare i förskoleklass arbetar väldigt lite eller inte alls med subtraktion till skillnad från årskurs 1 där subtraktion tränas regel- bundet. Terminologin som används i förskoleklass är en kombination av in- formella och formella ord, dock merparten informella ord till skillnad från årskurs 1 där det används mer formella ord. Resultatet visar att lärare i för- skoleklass förbereder subtraktionsstrategin stegvisa beräkningar och i årskurs 1 tränas strategierna stegvisa beräkningar samt talsortsvisa beräkningar.

Med den kvalitativa metoden design-research har vi i vår studie, likt en bro kombinerat teori och praktik genom att genomföra tre lektioner, i en cyklisk process med en årskurs 3. Vårt syfte var att skapa förståelse för hur en lektionssekvens kan främja SUM-elevers inlärning av rimlighetsbedömning samt lämpligt val av  subtraktionsstrategi, genom inkludering i den ordinarie undervisningen. Lektionssekvensen har bestått av utvalda matematiska centrala moment, vilka skapat design-principer som varit lektionernas utgångspunkt. Dessa principer har prövats, efter analys förändrats och anpassats under studien gång. Vårt resultat visar att begreppsförståelse måste läras in på en konkret nivå, där uppgifter är anpassade efter elevens verklighet i ett känt sammanhang. Korta och tydliga genomgångar, samt modellering hjälper till med begreppsutveckling av uppskattning och rimlighetsbedömning. Studiens slutsats är att SUM-elever utvecklas bäst genom reflektion och resonemang, i par, där kamraten har något högre kunskapsnivå. Reflektion och resonemang ger djupare kunskap och begrepp kan då förstås i ett sammanhang. Läraren har en viktig roll genom att vara SUM-elevers tankestöd samt ställa kontrollfrågor av typen; ”Är det rimligt?” för att uppmana elever att tänka efter om exempelvis strategin eller svaret kan vara möjligt. Representationsformen tallinje har vi sett som ett viktigt redskap för att SUM-elever ska synliggöra sambandet mellan talen som ska subtraheras på ett konkret sätt, för att se om talen är nära och då förstå att strategin ”räkna uppåt” är mest lämplig att använda. De steg som skiljer dessa tal blir då enklare att räkna och eleverna har förutsättning att göra en rimlighetsbedömning.