Detta examensarbete beskriver hur olika nollpunktsmotstånd och resistanser i ett felställe påverkar nollföljdsströmmarna och nollföljdsspänningarna vid olika snedavstämningar i eldistributionsnätet. Eftersom snedavstämningarna i nätet påverkar om jordfelsskydden detekterar en jordslutning, genomförs en jämförelse mellan två olika jordfelsfunktioner, vinkelmätande funktion och admittansmätande funktion. Skillnaden mellan jordfels-funktionerna är att riktningen på jordslutningen och inställningarna för känsligheten sker på olika sätt. Syftet med rapporten är att redovisa för- respektive nackdelar med de båda jordfelsfunktionerna. På grund av att luftledningar ersätts med bland annat markkabel, har de kapacitiva jordslutningsströmmarna ökat i fördelningsstationerna. De kapacitiva jordslutnings-strömmara måste kompenseras eftersom kapacitansen kan orsaka stora snedavstämningar i nätet. Vid för stora snedavstämningar blir nollföljdsspänningen och den resistiva nollföljdsströmmen för låga och jordfelsskydden kommer inte att detektera en eventuell jordslutning. Risken med detta är att ett överliggande reservskydd istället löser ut hela fördelningsstationen eller att jordslutningen inte bortkopplas alls. Efter ideala simuleringar och olika provningar av ett jordfelsskydd i laboratoriemiljö, kan det konstateras att det inte är någon större skillnad mellan de båda jordfelsfunktioner. Det finns dock vissa avvikelser vid de experimentella provningarna av jordfelsskyddet. Avvikelserna beror bland annat på vilken jordfelsfunktion som testades, eftersom upplösningen på jordfelsskyddet ställdes olika. Vilken jordfelsfunktion som är den bättre i verkliga nät är svårt att konstatera eftersom sådana tester ej har genomförts i denna studie. Målet med examensarbetet har uppfyllts eftersom författarna har kunnat redovisa för- och nackdelar med de båda jordfelsfunktionerna, även när skillnaden mellan dem var liten / This thesis describes how different values on a neutral grounding resistor and an uncompensated power distribution network affect the zero sequence current and the zero sequence voltage. If the neutral grounding reactor in the power distribution network is too overcompensated or undercompensated, the directional earth-fault relay may not work. The purpose of this study is to present the advantages and disadvantages of two different earth-fault functions. The two earth-fault functions that will be compared are an admittance-based earth-fault protection and a directional earth-fault protection with angle calculation between the zero sequence current and the zero sequence voltage. The capacitive earth-fault currents have increased in the distribution stations because the overhead lines are replaced with underground cables. The capacitive current must be compensated since the capacitance can cause an overcompensated or an undercompensated network. An uncompensated distribution network may cause the zero sequence current and voltage becoming too low so that the earth-fault protections do not detect an earth-fault. After the comparison of the two earth-fault functions it can be concluded that there is a minor difference between the both functions. There are some deviations in the test results conducted in a laboratory environment. It is not possible to state which one of the functions that is the most suitable to use in real power distribution networks, since no such tests have been conducted in this study. The authors of this thesis have presented some advantages and disadvantages of the two earth-fault functions

In 2020, Huh, Matherne, Mészáros, and St. Dizier established the Lorentzian property of normalized Schur polynomials and conjectured the Lorentzian nature of other Schur-type symmetric polynomials. More recently in 2022, Matherne, Morales, and Selover proved that chromatic symmetric functions of indifference graphs of abelian Dyck paths are Lorentzian. In this thesis, we study the more general class of Lorentzian polynomials that is also invariant under the standard permutation action on variables. Throughout this work, we give exposition to the classical theory of symmetric polynomials and Lorentzian polynomials. Then we present several fundamental results on symmetric Lorentzian polynomials and highlight potential avenues for future research. / År 2020 bevisade Huh-Matherne-Mészáros-St.Dizier att normaliserade schur polynom är lorentziska och antog att andra symmetriska polynom av Schur-typ också är det. År 2022 bevisade Matherne-Morales-Selover att kromatiska symmetriska funktioner för indifferensgrafer av abeliska Dyck-paths är lorentziska. Motiverade av dessa resultat studerar vi den mer allmänna klassen av lorentziska polynom som också är invarianta under standardpermutationsverkan på variabler. I avhandlingen ger vi några grundläggande resultat om symmetriska lorentziska polynom och pekar på möjliga framtida riktningar.

Game theory is the study of strategic interaction between rational agents. The need for understanding interaction arises in many different fields, such as: economics, psychology, philosophy, computer science and biology. The purpose of game theory is to analyse the outcomes and strategies of these interactions, in mathematical models called games. Some of these games have stood out from the rest, e.g. Prisoner's Dilemma, Chicken and Stag Hunt. These games, commonly referred to as the standard games, have attracted interest from many fields of research. In order to understand why these games are interesting and how they differ from each other and other games, many have attempted to sort games into interestingly different classes. In this thesis some already existing classifications are reviewed based on their mathematical structure and how well justified they are. Emphasis is put on mathematical simplicity because it makes the classification more generalisable to larger game spaces. From this review we conclude that none of the classifications captures both of these aspects. We therefore propose a classification of symmetric 2x2 games based on decomposition. We show that our proposed method captures everything that the previous classifications caputure. Our method arguably explains the interesting differences between the games, and we justify this claim by computer experiments. Moreover it has a simple mathematical structure. We also provide some results concerning the size of different game spaces.

<p>One of ABB Power Systems´s business areas is HVDC (High Voltage Direct Current) technology. HVDC is used for transmissions for both short and long distances. One of Power Systems’s products is called HVDC Light. </p><p>HVDC Light is a relatively new technology for power transmission, but have before only been used for motor drives applications. The technology is based on VSC (Voltage Source Converter) that uses a technique called PWM (Pulse Width Modulation). </p><p>There are a lot of PWM patterns that have been examined, but not in the field of power transmission where ABB Power Systems is working. </p><p>The different PWM patterns can be used for reducing switching losses or harmonics, that can cause the need of external filters to decrease or increase. </p><p>The purpose of this report is to give a general picture of the system that generates the PWM patterns. The report describes some main components in the system. T</p><p>he thesis also present amplitude spectrum from various PWM patterns - generated by signals that have been pulse width modulated with a triangle- shaped wave. </p><p>By showing the frequency-content, the decisions are eased for the engineers and technicians that are working with this kind of questions. </p><p>An analysis of different PWM patterns have been done. The kind of reference waves that generate the PWM patterns are called Dead Band PWM and Modified SPWM. </p><p>Comparisons have been done for Dead Band PWM, between harmonics and the width of Dead Band. Comparisons have been done for Modified SPWM, between: </p><p>1. fundamental frequency and modulation index. </p><p>2. different Modified SPWM and their harmonics.</p>

One of ABB Power Systems´s business areas is HVDC (High Voltage Direct Current) technology. HVDC is used for transmissions for both short and long distances. One of Power Systems’s products is called HVDC Light. HVDC Light is a relatively new technology for power transmission, but have before only been used for motor drives applications. The technology is based on VSC (Voltage Source Converter) that uses a technique called PWM (Pulse Width Modulation). There are a lot of PWM patterns that have been examined, but not in the field of power transmission where ABB Power Systems is working. The different PWM patterns can be used for reducing switching losses or harmonics, that can cause the need of external filters to decrease or increase. The purpose of this report is to give a general picture of the system that generates the PWM patterns. The report describes some main components in the system. T he thesis also present amplitude spectrum from various PWM patterns - generated by signals that have been pulse width modulated with a triangle- shaped wave. By showing the frequency-content, the decisions are eased for the engineers and technicians that are working with this kind of questions. An analysis of different PWM patterns have been done. The kind of reference waves that generate the PWM patterns are called Dead Band PWM and Modified SPWM. Comparisons have been done for Dead Band PWM, between harmonics and the width of Dead Band. Comparisons have been done for Modified SPWM, between: 1. fundamental frequency and modulation index. 2. different Modified SPWM and their harmonics.

Virtual Reality (VR) is valuable for educational purposes, particularly procedural learning. However, single-user applications lack the benefits of teacher guidance. Symmetrical VR systems, where both teacher and student use VR, have limitations in supervision and accessing external materials. Asymmetrical systems can solve this problem by allowing the teacher to use a different device. To investigate the potential of an asymmetrical VR system and the impact of embodiment on the learning experience, an asymmetrical VR system was developed using a tablet. The system was tested using an assembly task to explore the impact of embodiment (no avatar, avatar without hands, avatar with hands) and the teacher’s device, VR Head-Mounted Display (HMD) or tablet, on task difficulty, performance, social presence, communication quality, and preference. Results indicated that an avatar with hands yielded the best outcomes, and communication was similar to face-to-face interaction. The experience of the asymmetrical system, in which only the student used a VR HMD, was perceived alike compared to a similar symmetrical system, in which both student and teacher used a VR HMD. Therefore, an asymmetrical VR system can be a feasible option for Collaborative Virtual Environments, offering cost-effectiveness and easier set-up while not isolating the teacher from the physical environment. / Virtual Reality (VR) är värdefullt för utbildningsändamål, särskilt inom procedurellt lärande. Applikationer för enskilda användare saknar dock fördelarna med lärarhandledning. Symmetriska VR-system, där både lärare och student använder VR, har begränsningar när det gäller bevakning och tillgång till externa material. Asymmetriska system kan lösa detta problem genom att låta läraren använda en annan enhet. För att undersöka potentialen hos ett asymmetriskt VR-system och förkroppsligandets inverkan på lärandeupplevelsen utvecklades ett asymmetriskt VR-system med hjälp av en surfplatta. Systemet testades med en montageuppgift för att utforska hur förkroppsligandet (ingen avatar, avatar utan händer, avatar med händer) och lärarens enhet, VR Head-Mounted Display (HMD) eller surfplatta, påverkar uppgiftens svårighetsgrad, prestation, social närvaro, kommunikationskvalitet och preferenser. Resultaten visade att en avatar med händer gav bäst resultat och att kommunikationen var liknande ansikte mot ansikte-interaktion. Upplevelsen av det asymmetriska systemet, där bara studenten använde en VR HMD, uppfattades snarlik ett liknande symmetriskt system, där både studenten och läraren använde en VR HMD. Därför kan ett asymmetriskt VR-system vara ett användbart alternativ för virtuella miljöer för samarbete, eftersom det är kostnadseffektivt och enklare att installera samtidigt som det inte isolerar läraren från den fysiska miljön.

In this thesis we present research on mathematical properties of methods for solv- ing symmetric systems of linear equations that arise in various optimization problem formulations and in methods for solving such problems. In the first and third paper (Paper A and Paper C), we consider the connection be- tween the method of conjugate gradients and quasi-Newton methods on strictly convex quadratic optimization problems or equivalently on a symmetric system of linear equa- tions with a positive definite matrix. We state conditions on the quasi-Newton matrix and the update matrix such that the search directions generated by the corresponding quasi-Newton method and the method of conjugate gradients respectively are parallel. In paper A, we derive such conditions on the update matrix based on a sufficient condition to obtain mutually conjugate search directions. These conditions are shown to be equivalent to the one-parameter Broyden family. Further, we derive a one-to-one correspondence between the Broyden parameter and the scaling between the search directions from the method of conjugate gradients and a quasi-Newton method em- ploying some well-defined update scheme in the one-parameter Broyden family. In paper C, we give necessary and sufficient conditions on the quasi-Newton ma- trix and on the update matrix such that equivalence with the method of conjugate gra- dients hold for the corresponding quasi-Newton method. We show that the set of quasi- Newton schemes admitted by these necessary and sufficient conditions is strictly larger than the one-parameter Broyden family. In addition, we show that this set of quasi- Newton schemes includes an infinite number of symmetric rank-one update schemes. In the second paper (Paper B), we utilize an unnormalized Krylov subspace frame- work for solving symmetric systems of linear equations. These systems may be incom- patible and the matrix may be indefinite/singular. Such systems of symmetric linear equations arise in constrained optimization. In the case of an incompatible symmetric system of linear equations we give a certificate of incompatibility based on a projection on the null space of the symmetric matrix and characterize a minimum-residual solu- tion. Further we derive a minimum-residual method, give explicit recursions for the minimum-residual iterates and characterize a minimum-residual solution of minimum Euclidean norm. / I denna avhandling betraktar vi matematiska egenskaper hos metoder för att lösa symmetriska linjära ekvationssystem som uppkommer i formuleringar och metoder för en mängd olika optimeringsproblem. I första och tredje artikeln (Paper A och Paper C), undersöks kopplingen mellan konjugerade gradientmetoden och kvasi-Newtonmetoder när dessa appliceras på strikt konvexa kvadratiska optimeringsproblem utan bivillkor eller ekvivalent på ett symmet- risk linjärt ekvationssystem med en positivt definit symmetrisk matris. Vi ställer upp villkor på kvasi-Newtonmatrisen och uppdateringsmatrisen så att sökriktningen som fås från motsvarande kvasi-Newtonmetod blir parallell med den sökriktning som fås från konjugerade gradientmetoden. I den första artikeln (Paper A), härleds villkor på uppdateringsmatrisen baserade på ett tillräckligt villkor för att få ömsesidigt konjugerade sökriktningar. Dessa villkor på kvasi-Newtonmetoden visas vara ekvivalenta med att uppdateringsstrategin tillhör Broydens enparameterfamilj. Vi tar också fram en ett-till-ett överensstämmelse mellan Broydenparametern och skalningen mellan sökriktningarna från konjugerade gradient- metoden och en kvasi-Newtonmetod som använder någon väldefinierad uppdaterings- strategi från Broydens enparameterfamilj. I den tredje artikeln (Paper C), ger vi tillräckliga och nödvändiga villkor på en kvasi-Newtonmetod så att nämnda ekvivalens med konjugerade gradientmetoden er- hålls. Mängden kvasi-Newtonstrategier som uppfyller dessa villkor är strikt större än Broydens enparameterfamilj. Vi visar också att denna mängd kvasi-Newtonstrategier innehåller ett oändligt antal uppdateringsstrategier där uppdateringsmatrisen är en sym- metrisk matris av rang ett. I den andra artikeln (Paper B), används ett ramverk för icke-normaliserade Krylov- underrumsmetoder för att lösa symmetriska linjära ekvationssystem. Dessa ekvations- system kan sakna lösning och matrisen kan vara indefinit/singulär. Denna typ av sym- metriska linjära ekvationssystem uppkommer i en mängd formuleringar och metoder för optimeringsproblem med bivillkor. I fallet då det symmetriska linjära ekvations- systemet saknar lösning ger vi ett certifikat för detta baserat på en projektion på noll- rummet för den symmetriska matrisen och karaktäriserar en minimum-residuallösning. Vi härleder även en minimum-residualmetod i detta ramverk samt ger explicita rekur- sionsformler för denna metod. I fallet då det symmetriska linjära ekvationssystemet saknar lösning så karaktäriserar vi en minimum-residuallösning av minsta euklidiska norm. / <p>QC 20150519</p>

Parallellgående kraftledningar inducerar spänning i varandra som i sin tur driver en ström. I denna rapport utreds hur osymmetriska kortslut-ningar på en kraftledning påverkar strömmen i en parallellgående kraft-ledning på grund av ömsesidig induktion och vilka faror inducerad spän-ning och den av inducerade spänningen drivna strömmen kan leda till, ur hänsyn till leveranssäkerhet samt underhållsarbetare på parallell kraft-ledning.Målet med examensarbetet är att öka noggrannheten för felströmsberäk-ningar på Vattenfalls elnät samt att öka kunskapen för vattenfallpersonal om fenomenet av ömsesidig koppling och de faror den kan innebära.Rapporten kunde konstatera att ömsesidig koppling kan leda till faror för leveranssäkerheten av elnätet och att det finns ett behov av analys av specifika fall av parallella kraftledningar i Vattenfalls elnät. / Parallel overhead power lines induce voltage in one another, which in turn drives a current. In this report an investigation is made in how asymmetrical short circuits on an overhead power line influence the cur-rent in a parallel overhead power lines due to the inductive coupling be-tween the power lines and which hazards it can cause for the electrical delivery dependability as well as high voltage workers.The aim with this bachelor thesis is to increase the accuracy in fault cur-rent calculation in the Vattenfall electricity grid as well as to increase the knowledge within Vattenfall of the phenomena of inductive coupling and the hazards which comes with it.The report could ascertain that inductive coupling can lead to danger for electrical delivery dependability and that there exists a need of analysis on specific parallel overhead power lines within the Vattenfall electricity grid.

An estimated 30% of the faults in Induction Machine (IM) are related to its stator. These faults are mostly in the form of an Inter-Turn Short Circuit (ITSC) fault i.e., when two winding inside the stator of IM are shorted due to insulation failure. However, ITSC fault can be avoided by detecting them in advance and then scheduling the maintenance of the IM. This thesis studies two methods for detecting this incipient ITSC fault in a three-phase IM and then estimating the stator resistance unbalance due to the ITSC fault. The first method is based on the asymmetry caused in the IM by the ITSC fault. As a result of this asymmetry, the negative sequence components of the stator voltages and the stator currents are generated inside the IM. A healthy IM also have these negative sequence components due to the manufacturing process and the supply voltage unbalances. The characteristics and the compensation methods of these negative sequence components in a healthy IM are discussed. The results show that after compensating the negative sequence components in a healthy machine, they can be used for detecting an ITSC fault and then to calculate the fault quantities as well as the stator resistance unbalances. The second method for detecting an ITSC fault is based on analysing the stator resistance unbalances. A three-phase drive is used to inject DC voltage in the stationary reference frame. The DC current generated by this DC voltage is measured and then by applying Ohm’s law stator phase resistances are calculated. In a healthy IM, the phase resistances are balanced. However, in case of ITSC fault in any of the phases, the phase resistance of that phase deviates from those of the other two phases which can be utilized for detecting ITSC fault. / Uppskattningsvis 30% av alla fel i induktionsmaskiner (IM) är kopplad till dess stator. Dessa fel är i huvudsak Inter-Turn Short Circuit (ITSC)-fel, dvs. två lindningar inom IM:ens stator blir kortsluta pga. ett isoleringsfel. Emellertid kan man undvika ITSC-fel genom att detektera dem i förhand och planera underhåll. Det här examensarbetet undersöker två metoder för att detektera ett förestående ITSC-fel i en tre-fas IM. Den första metoden är baserad på asymmetrin i IM:er pga. ITSC-felet. Resultatet av den här asymmetrin är att en negativ sekvens genereras i IM:ens statorspänning och statorström. En oskadad IM kan också visa dessa negativa sekvenser pga. tillverksprocessen och statorspänningsobalanser. Egenskaperna och kompensationsmetoderna för dessa negativa sekvenser i en oskadad IM kommer att diskuteras. Resultaten visar att efter kompenseringen av de negativa sekvenserna i en oskadad IM, kan de användas för att detektera ITSC-fel och efteråt för att beräkna felstorheter och även statormotståndobalanser. Den andra metoden för att detektera ITSC-fel är baserad på en undersökning av statormotståndobalanser. Ett tre-fas-drivsystem används för att injektera likspänning i den stationära referensramen. Likströmmen som följer av denna likspänning mäts och statorfasmotstånden beräkna efteråt med Ohms lag. I en oskadad IM är fasmotstånden balanserade. Däremot, när ett ITSC-fel uppstår i en fas, avviker fasmotståndet i den felaktiga fasen från de andra två fasernas, vilket kan användas för att detektera ITSC-fel.

Rapidly growing Inverter- Based Resources (IBR) have different fault properties compared to Synchronous Generators (SG). Therefore, it is necessary to study the fault behavior of systems that contain different types of IBR and compare it to the conventional system responses in order to understand what steps should be taken to adapt conventional protection settings for new types of sources. For a two bus model, it is found out that sequence profiles in a system with one IBR are different from those observed in conventional system. Thermal and electrical limitations of the power electronics reduce the fault current from the IBR significantly, driving negative sequence current to small values compared to conventional sources. This is true for all studied types of IBR. Moreover, if IBR is connected to the grid through one line only, during Three Phase Fault (3hp) it is possible to lose synchronism with grid due to erroneous estimation of the grid angle through the Phase-Locked Loop (PLL). Verification of the obtained results is made through comparison to the Fault Recordings taken from the protection relays placed at substations. It is shown that for some faults simulation results can predict the behavior of symmetrical components in the network whereas for others they do not. To explain the latter behavior modifications to the sequence networks are proposed. / Snabbt växande inverterbaserade resurser (IBR) har olika felinmatningsegenskaper jämfört med synkrongeneratorer (SG). Därför är det nödvändigt att studera felbeteende hos system som innehåller olika typer av IBR och jämför det med konventionella källor för att kunna förstå vilka steg som ska göras för att anpassa konventionella skyddsinställningar för nya typer av källor. Under litteraturöversikten introduktion till det fast jordade systemet och dess speciella fall med isolerad transformatorjordning är klar. Kort introduktion till den studerade IBR och typer av simulerade fel görs också. För en tvåbussmodell har det visat sig att sekvensprofiler i ett system med en IBR skiljer sig från de som observerats i konventionella system. Termisk och elektrisk begränsningar i kraftelektroniska komponenter minskar felströmmen från IBR avsevärt och driver negativ sekvensström till små värden jämfört med konventionella källor. Detta gäller för alla studerade typer av IBR. Dessutom, om IBR är ansluten till nätet endast genom en linje, är det möjligt under trefasfel (3hp) att tappa synkronisering med nätet på grund av felaktig uppskattning av fasvinkeln genom styrsystemets faslåst slinga (PLL). Verifiering av de erhållna resultaten görs genom jämförelse med Fel Inspelningar från reläet placerade på transformatorstationer. Det visas att för vissa fel simuleringsresultat kan förutsäga symmetriska komponenters beteende i nätverket medan andra inte gör det. För att förklara de senare beteendena föreslås modifieringar i sekvensnätverket.