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Soit (M, ω) une variété symplectique. Nous construisons une version de l’éclatement et de la contraction symplectique, que nous définissons relative à une sous-variété lagrangienne L ⊂ M. En outre, si M admet une involution anti-symplectique ϕ, et que nous éclatons une configuration suffisament symmetrique des plongements de boules, nous démontrons qu’il existe aussi une involution anti-symplectique sur l’éclatement ~M. Nous dérivons ensuite une condition homologique pour les surfaces lagrangiennes réeles L = Fix(ϕ), qui détermine quand la topologie de L change losqu’on contracte une courbe exceptionnelle C dans M. Finalement, on utilise ces constructions afin d’étudier le packing relatif dans (ℂP²,ℝP²). / Given a symplectic manifold (M,ω) and a Lagrangian submanifold L, we construct versions of the symplectic blow-up and blow-down which are defined relative to L. Furthermore, if M admits an anti-symplectic involution ϕ, i.e. a diffeomorphism such that ϕ2 = Id and ϕ*ω = —ω , and we blow-up an appropriately symmetric configuration of symplectic balls, then we show that there exists an antisymplectic involution on the blow-up ~M as well. We derive a homological condition for real Lagrangian surfaces L = Fix(ϕ) which determines when the topology of L changes after a blow down, and we then use these constructions to study the real packing numbers for real Lagrangian submanifolds in (ℂP²,ℝP²).

Ce mémoire porte sur quelques notions appropriées d'actions de groupe sur les variétés symplectiques, à savoir en ordre décroissant de généralité : les actions symplectiques, les actions faiblement hamiltoniennes et les actions hamiltoniennes. Une connaissance des actions de groupes et de la géométrie symplectique étant prérequise, deux chapitres sont consacrés à des présentations élémentaires de ces sujets. Le cas des actions hamiltoniennes est étudié en détail au quatrième chapitre : l'importante application moment y est définie et plusieurs résultats concernant les orbites de la représentation coadjointe, tels que les théorèmes de Kirillov et de Kostant-Souriau, y sont démontrés. Le dernier chapitre se concentre sur les actions hamiltoniennes des tores, l'objectif étant de démontrer le théorème de convexité d'Atiyha-Guillemin-Sternberg. Une discussion d'un théorème de classification de Delzant-Laudenbach est aussi donnée. La présentation se voulant une introduction assez exhaustive à la théorie des actions hamiltoniennes, presque tous les résultats énoncés sont accompagnés de preuves complètes. Divers exemples sont étudiés afin d'aider à bien comprendre les aspects plus subtils qui sont considérés. Plusieurs sujets connexes sont abordés, dont la préquantification géométrique et la réduction de Marsden-Weinstein. / This Master thesis is concerned with some natural notions of group actions on symplectic manifolds, which are in decreasing order of generality : symplectic actions, weakly hamiltonian actions and hamiltonian actions. A knowledge of group actions and of symplectic geometry is a prerequisite ; two chapters are devoted to a coverage of the basics of these subjects. The case of hamiltonian actions is studied in detail in the fourth chapter : the important moment map is introduced and several results on the orbits of the coadjoint representation are proved, such as Kirillov's and Kostant-Souriau's theorems. The last chapter concentrates on hamiltonian actions by tori, the main result being a proof of Atiyah-Guillemin-Sternberg's convexity theorem. A classification theorem by Delzant and Laudenbach is also discussed. The presentation is intended to be a rather exhaustive introduction to the theory of hamiltonian actions, with complete proofs to almost all the results. Many examples help for a better understanding of the most tricky concepts. Several connected topics are mentioned, for instance geometric prequantization and Marsden-Weinstein reduction.

Soit (M, ω) une variété symplectique. Nous construisons une version de l’éclatement et de la contraction symplectique, que nous définissons relative à une sous-variété lagrangienne L ⊂ M. En outre, si M admet une involution anti-symplectique ϕ, et que nous éclatons une configuration suffisament symmetrique des plongements de boules, nous démontrons qu’il existe aussi une involution anti-symplectique sur l’éclatement ~M. Nous dérivons ensuite une condition homologique pour les surfaces lagrangiennes réeles L = Fix(ϕ), qui détermine quand la topologie de L change losqu’on contracte une courbe exceptionnelle C dans M. Finalement, on utilise ces constructions afin d’étudier le packing relatif dans (ℂP²,ℝP²). / Given a symplectic manifold (M,ω) and a Lagrangian submanifold L, we construct versions of the symplectic blow-up and blow-down which are defined relative to L. Furthermore, if M admits an anti-symplectic involution ϕ, i.e. a diffeomorphism such that ϕ2 = Id and ϕ*ω = —ω , and we blow-up an appropriately symmetric configuration of symplectic balls, then we show that there exists an antisymplectic involution on the blow-up ~M as well. We derive a homological condition for real Lagrangian surfaces L = Fix(ϕ) which determines when the topology of L changes after a blow down, and we then use these constructions to study the real packing numbers for real Lagrangian submanifolds in (ℂP²,ℝP²).

Cette thèse étudie deux problèmes de nature géométrique et topologique associés au crochet de Poisson sur les variétés symplectiques. Le premier problème porte sur la notion de submersion symplectique que nous introduisons dans le présent texte et qui généralise la notion de symplectomorphisme. Il s'avère qu'une submersion symplectique est un morphisme de Poisson : il s'agit d'une application entre variétés symplectiques qui préserve le crochet de Poisson. Notre intérêt pour ces fonctions réside dans le fait que le théorème de non-tassement de Gromov porte sur l'aire minimale possible pour les images des submersions symplectiques (allant d'une boule symplectique vers le plan symplectique) obtenues comme compositions d'un plongement symplectique dans l'espace symplectique euclidien de dimension 2n et de la projection standard vers le plan de coordonnées conjuguées (p_1, q_1). Nous investiguons le problème inverse dit « de représentabilité » : nous obtenons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une submersion symplectique comme ci-dessus se factorise comme précédemment à travers un plongement ou une immersion symplectique dans l'espace euclidien. Nous montrons par ailleurs qu'il existe une submersion symplectique qui ne se factorise pas de la sorte à travers une immersion et qu'il existe aussi une submersion symplectique qui se factorise de la sorte à travers une immersion, mais pas à travers un plongement. Le deuxième problème porte sur la conjecture du crochet de Poisson de Polterovich. Étant donné une variété symplectique (M, omega) et un recouvrement U de M, nous pouvons définir l'invariant pb(F) associé à une partition de l'unité F subordonnée à U, qui est une sorte de norme sur les crochets de Poisson entre les paires de fonctions de la partition. En dénotant e(U) l'énergie de disjonction de Hofer maximale d'un ouvert du recouvrement U, la conjecture demande s'il existe une constante positive C indépendante de U et de F telle que le produit de pb(F) et de e(U) soit supérieur à C. Cette conjecture a été établie récemment par Buhovski-Logunov-Tanny dans le cas des surfaces ; en nous inspirant de travaux antérieurs de Buhovski-Tanny, nous avons aussi démontré la conjecture pour les surfaces de genre plus grand que 1. Nous exposons notre approche dans le second chapitre de cette thèse. À l'aide des submersions symplectiques, nous généralisons nos méthodes afin d'attaquer la conjecture en dimensions supérieures ; nous obtenons ainsi une nouvelle preuve d'un théorème de Polterovich et de Buhovski-Tanny concernant l'invariant pb pour des recouvrements formés de petits ouverts. Afin de rendre cette thèse aussi accessible et auto-suffisante que possible, nous débutons par une introduction à la topologie symplectique. Des annexes recueillent les faits plus particuliers que nous utilisons tout au long de ce travail. / This thesis studies two problems of geometric and topological nature associated to the Poisson bracket on symplectic manifolds. The first problem concerns the notion of "symplectic submersion" that we introduce here and which generalizes the concept of symplectomorphism. A symplectic submersion turns out to be a Poisson morphism, namely a map between symplectic manifolds which preserves the Poisson bracket. Our interest in those maps stems from the fact that Gromov's nonsqueezing theorem is a statement about the minimal area possible for the images of the symplectic submersions (going from a symplectic ball to a symplectic plane) which are compositions of a symplectic embedding into the Euclidean symplectic space and of the standard projection onto the plane of conjugated variables (p_1, q_1). We investigate the inverse "representability" problem: we give necessary and sufficient conditions for a symplectic submersionas above to factorize in the previous way either through a symplectic embedding or through a symplectic immersion into Euclidean space. We show moreover that there exists a symplectic submersion which does not factorize in this way through an immersion, and also that there exists a symplectic submersion which does factorize in this way through an immersion, but not through an embedding. The second problem concerns Polterovich's Poisson bracket conjecture. Given a symplectic manifold (M, omega) and an open cover U of M, we can define the invariantpb(F) of a partition of unity F subordinated to U, which is a sort of norm on the pairwise Poisson brackets of the functions in F. Denoting e(U) the maximal Hofer displacement energy of a set in U, the conjecture asks whether there exists a positive constant C independent of U and F such that the product of pb(F) and e(U) is greater than C. This conjecture was proved recently by Buhovsky-Logunov-Tanny in the case of surfaces; based on earlier work of Buhovsky-Tanny , we also proved the conjecture for surfaces of genus one and above. We present our approach in the second chapter of this thesis. Using symplectic submersions, we generalize our methods in order to tackle the conjecture in higher dimensions; in particular, we obtain a new proof of a theorem of Polterovich and Buhovsky-Tanny about the pb invariant of covers made up of small open sets. In order to make this thesis as accessible and self-contained as possible, we first give an introduction to symplectic topology. The appendices also collect the more specialized facts we use throughout this work.

Nous nous intéressons dans cette thèse, à l'étude de certaines méthodes numériques de type krylov dans le cas symplectique, en utilisant la technique de blocs. Ces méthodes, contrairement aux méthodes classiques, permettent à la matrice réduite de conserver la structure Hamiltonienne ou anti-Hamiltonienne ou encore symplectique d'une matrice donnée. Parmi ces méthodes, nous nous sommes intéressés à la méthodes d'Arnoldi symplectique par bloc que nous appelons aussi bloc J-Arnoldi. Notre but essentiel est d’étudier cette méthode de façon théorique et numérique, sur la nouvelle structure du K-module libre ℝ²nx²s avec K = ℝ²sx²s où s ≪ n désigne la taille des blocs utilisés. Un deuxième objectif est de chercher une approximation de l'epérateur exp(A)V, nous étudions en particulier le cas où A est une matrice réelle Hamiltonnienne et anti-symétrique de taille 2n x 2n et V est une matrice rectangulaire ortho-symplectique de taille 2n x 2s sur le sous-espace de Krylov par blocs Km(A,V) = blockspan {V,AV,...,Am-1V}, en conservant la structure de la matrice V. Cette approximation permet de résoudre plusieurs problèmes issus des équations différentielles dépendants d'un paramètre (EDP) et des systèmes d'équations différentielles ordinaires (EDO). Nous présentons également une méthode de Lanczos symplectique par bloc, que nous nommons bloc J-Lanczos. Cette méthode permet de réduire une matrice structurée sous la forme J-tridiagonale par bloc. Nous proposons des algorithmes basés sur deux types de normalisation : la factorisation S R et la factorisation Rj R. Dans une dernière partie, nous proposons un algorithme qui généralise la méthode de Greville afin de déterminer la pseudo inverse de Moore-Penros bloc de lignes par bloc de lignes d'une matrice rectangulaire de manière itérative. Nous proposons un algorithme qui utilise la technique de bloc. Pour toutes ces méthodes, nous proposons des exemples numériques qui montrent l'efficacité de nos approches. / We study, in this thesis, some numerical block Krylov subspace methods. These methods preserve geometric properties of the reduced matrix (Hamiltonian or skew-Hamiltonian or symplectic). Among these methods, we interest on block symplectic Arnoldi, namely block J-Arnoldi algorithm. Our main goal is to study this method, theoretically and numerically, on using ℝ²nx²s as free module on (ℝ²sx²s, +, x) with s ≪ n the size of block. A second aim is to study the approximation of exp (A)V, where A is a real Hamiltonian and skew-symmetric matrix of size 2n x 2n and V a rectangular matrix of size 2n x 2s on block Krylov subspace Km (A, V) = blockspan {V, AV,...Am-1V}, that preserve the structure of the initial matrix. this approximation is required in many applications. For example, this approximation is important for solving systems of ordinary differential equations (ODEs) or time-dependant partial differential equations (PDEs). We also present a block symplectic structure preserving Lanczos method, namely block J-Lanczos algorithm. Our approach is based on a block J-tridiagonalization procedure of a structured matrix. We propose algorithms based on two normalization methods : the SR factorization and the Rj R factorization. In the last part, we proposea generalized algorithm of Greville method for iteratively computing the Moore-Penrose inverse of a rectangular real matrix. our purpose is to give a block version of Greville's method. All methods are completed by many numerical examples.

Dans cette thèse, nous étudions des transformées de type Radon sur certains espaces symétriques. Une transformée de type Radon associe à toute fonction continue à support compact sur une variété $M$ ses intégrales sur une classe $Xi$ de sous-variétés de $M$. Le problème sur lequel nous nous concentrons est l'inversion d'une telle transformée, c'est-à-dire déterminer la fonction à partir de ses intégrales sur les sous-variétés dans $Xi$. Nous présentons d'abord la solution de ce problème inverse due à Sigurdur Helgason et François Rouvière, entre autres, lorsque $M$ est un espace symétrique riemannien isotrope et $Xi$ une certaine orbite de sous-variétés totalement géodésiques de $M$ sous l'action d'un groupe de transformations de Lie de $M$. La transformée de Radon associée est qualifiée de totalement géodésique.Sur les espaces symétriques pseudo-riemanniens semisimples, nous considérons une autre transformée de type Radon, qui associe à toute fonction continue à support compact ses intégrales orbitales, c'est-à-dire ses intégrales sur les orbites du sous-groupe d'isotropie du groupe des transvections. L'inversion des intégrales orbitales, qui est donnée par une formule-limite, a été obtenue par Sigurdur Helgason sur les espaces symétriques lorentziens à courbure sectionnelle constante et par Jeremy Orloff sur tout espace symétrique pseudo-riemannien semisimple de rang un. Nous résolvons le problème d'inversion des intégrales orbitales sur les espaces de Cahen-Wallach, qui sont les modèles d'espaces symétriques lorentziens indécomposables résolubles.Pour finir, nous nous intéressons aux transformées de type Radon sur les espaces symétriques symplectiques à courbure de type Ricci. L'inversion des orbitales intégrales sur ces espaces lorsqu'ils sont semisimples a déjà été obtenue par Jeremy Orloff. En revanche, lorsque ces espaces ne sont pas semisimples, la transformée donnée par les intégrales orbitales n’est pas inversible. Ensuite, nous déterminons les orbites de sous-variétés totalement géodésiques symplectiques ou lagrangiennes sous l'action d'un groupe de transformations de Lie de l'espace de départ. Dans ce contexte, la méthode d'inversion développée par Sigurdur Helgason et François Rouvière, entre autres, ne fonctionne que pour les transformées de Radon totalement géodésiques symplectiques sur les espaces symétriques kählériens à courbure holomorphe constante. Les formules d'inversion de ces transformées sur les espaces hyperboliques complexes sont dues à François Rouvière. Nous calculons les formules d'inversion de ces transformées sur les espaces projectifs complexes. / In this thesis, we study Radon-type transforms on some symmetric spaces. A Radon-type transform associates to any compactly supported continuous function on a manifold $M$ its integrals over a class $Xi$ of submanifolds of $M$. The problem we address is the inversion of such a transform, that is determining the function in terms of its integrals over the submanifolds in $Xi$. We first present the solution to this inverse problem which is due to Sigurdur Helgason and François Rouvière, amongst others, when $M$ is an isotropic Riemannian symmetric space and $Xi$ a particular orbit of totally geodesic submanifolds of $M$ under the action of a Lie transformation group of $M$. The associated Radon transform is qualified as totally geodesic.On semisimple pseudo-Riemannian symmetric spaces, we consider an other Radon-type transform, which associates to any compactly supported continuous function its orbital integrals, that is its integrals over the orbits of the isotropy subgroup of the transvection group. The inversion of orbital integrals, which is given by a limit-formula, has been obtained by Sigurdur Helgason on Lorentzian symmetric spaces with constant sectional curvature and by Jeremy Orloff on any rank-one semisimple pseudo-Riemannian symmetric space. We solve the inverse problem for orbital integrals on Cahen-Wallach spaces, which are model spaces of solvable indecomposable Lorentzian symmetric spaces.In the last part of the thesis, we are interested in Radon-type transforms on symplectic symmetric spaces with Ricci-type curvature. The inversion of orbital integrals on these spaces when they are semisimple has already been obtained by Jeremy Orloff. However, when these spaces are not semisimple, the orbital integral operator is not invertible. Next, we determine the orbits of symplectic or Lagrangian totally geodesic submanifolds under the action of a Lie transformation group of the starting space. In this context, the technique of inversion that has been developed by Sigurdur Helgason and François Rouvière, amongst others, only works for symplectic totally geodesic Radon transforms on Kählerian symmetric spaces with constant holomorphic curvature. The inversion formulas for these transforms on complex hyperbolic spaces are due to François Rouvière. We compute the inversion formulas for these transforms on complex projective spaces. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Le but de cette thèse est d'étudier les structures symplectiques dans la catégorie des variétés linéaires par morceaux (PL). La question centrale est de déterminer si toute variété symplectique lisse $(M,omega)$ peut être triangulée de manière symplectique, au sens où il existe une variété linéaire par morceaux $K$ et une triangulation $h :K -> M$ telle que $h^*omega$ est une forme symplectique constante par morceaux. Nous étudions d'abord un problème plus simple, qui consiste à trianguler les formes volumes lisses. Étant donnée une variété lisse $M$ munie d'une forme volume $Omega$, nous montrons qu'il existe une triangulation lisse $h :K -> M$ telle que $h^*Omega$ est une forme volume constante par morceaux. En particulier, les variétés symplectiques lisses de dimension 2 admettent donc des triangulations symplectiques. Étant donnée une variété symplectique fermée $(M,omega)$, nous montrons ensuite que pour certaines triangulations lisses $h :K -> M$, on peut, par une modification arbitrairement petite du complexe $K$, supposer que la forme $h^*omega$ est de rang maximal le long de tous les simplexes de $K$. Ce résultat permet d'approximer arbitrairement bien toute variété symplectique fermée par une variété symplectique PL. Nous nous intéressons finalement au cas d'une sous-variété symplectique $M$ d'un espace ambiant qui admet lui-même une triangulation symplectique. Nous montrons qu'il est possible de construire un cobordisme entre la sous-variété $M$ considérée et une approximation lisse par morceaux de celle-ci, triangulée par un complexe symplectique. / In this thesis, we study symplectic structures in a piecewise linear (PL) setting. The central question is to determine whether a smooth symplectic manifold can be triangulated symplectically, in the sense that there exists a triangulation $h :K -> M$ such that $h^*omega$ is a piecewise constant symplectic form on $K$. We first focus on a simpler related problem, and show that any smooth volume form $Omega$ on $M$ can be triangulated. This means that there always exists a triangulation $h :K -> M$ such that $h^*Omega$ is a piecewise constant volume form. In particular, symplectic surfaces admit symplectic triangulations. Given a closed symplectic manifold $(M,omega)$, we then prove that there exists triangulations $h :K -> M$ for which the piecewise smooth form $h^*omega$ has maximal rank along all the simplices of $K$. This result allows to approximate arbitrarily closely any closed symplectic manifold by a PL one. Finally, we investigate the case of a symplectic submanifold $M$ of an ambient space which is itself symplectically triangulated, and give the construction of a cobordism between $M$ and a piecewise smooth approximation of $M$, triangulated by a symplectic complex. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Ce travail concerne la réalisation concrète en calcul formel d'algorithmes abstraits issus de publications récentes. Il comporte deux parties distinctes mais cependant issues du m(ê)me monde : l'action d'un groupe de Lie, sur une variété ou un espace vectoriel. La première partie traite de l'implémentation de la réduction d'un graphe de Goresky-Kottwitz-MacPherson. Ce graphe est l'analogue combinatoire d'une variété symplectique compacte connexe soumise à une action hamiltonienne d'un tore compact. La seconde partie est consacrée à l'implémentation du calcul de deux coefficients intervenant lors de l'action d'un groupe de Lie semi-simple complexe sur un espace vectoriel de dimension finie : la multiplicité d'un poids dans une représentation irréductible de dimension finie (nombre de Kostka) et les coefficients de décomposition du produit tensoriel de deux représentations irréductibles de dimension finie (coefficients de Littlewood-Richardson).

Cette thèse propose une notion de quantification par déformation des variétés de Poisson au sens des C*-algèbres, en lien notamment avec l'emploi de groupoïdes. Cette théorie s'appuie sur des exemples, notamment celui des variétés toriques. La première partie est un rappel de connaissances développées depuis quelques dizaines d'années sur les groupoïdes et leurs C*-algèbres. La deuxième partie présente les définitions de déformation et de quantification utilisées ensuite, et leur traduction, pour les groupoïdes, dans la notion importante de groupoïde de déformation. Une large classe de sous-groupoïdes des groupoïdes de Lie est de ce type. Enfin le résultat principal de cette thèse est une condition suffisante sur les variétés M munies de l'action d'un tore Tn pour construire un groupoïde de déformation associé, au moyen du choix d'une action de Rn sur une variété contenant le quotient M/Tn ; ce groupoïde se présente comme un sous-groupoïde du groupoïde de l'action d'un groupe discret. On retrouve alors des résultats de quantification connus pour Cn, les tores et les sphères de dimension 4 non commutatifs. La troisième partie applique ce résultat à l'exemple des variétés toriques, dont la géométrie étonnante, en terme de moment notamment, fut découverte dans les années 80. Cette construction fournit le premier exemple de quantification des variétés toriques dans un cadre C*-algebrique, même dans les cas les plus simples (sphère de dimension 2, espaces projectifs complexes).