Le premier chapitre de cette thèse est consacré, d'une part à l'étude des quotients kaehlériens et hyperkaehlériens dans le cadre banachique et, d'autre part, à la construction par quotient hyperkaehlérien (d'une variété banachique non hilbertienne par un groupe de Lie banachique) d'une variété hilbertienne qui s'identifie (en fonction de la structure complexe distinguée) soit à l'espace cotangent d'une composante connexe de la grassmannienne restreinte définie par G. Segal et G. Wilson, soit à une complexification naturelle de cette grassmannienne. Le second chapitre comprend trois parties. La première partie est consacrée à la classification des orbites coadjointes affines hermitiennes symétriques irréductibles des L*-groupes de type compact. La seconde partie est consacrée a la démonstration du théorème de Mostow pour un L*-groupe semi-simple de type compact. Dans la troisième partie, je construis une structure hyperkaehlérienne sur les orbites complexifiées des orbites coadjointes affines hermitiennes symétriques des L*-groupes semi-simples de type compact.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Soit Γ un sous-groupe fini de SU2(ℂ). Alors le quotient ℂ2/Γ peut être plongé dans ℂ3 sous la forme d'une surface munie d'une singularité isolée. Le quotient ℂ2/Γ est appelé singularité de Klein, d'après F. Klein qui fut le premier à les décrire en 1884. A travers leurs résolutions minimales, ces singularités ont un lien étroit avec les diagrammes de Dynkin simplement lacés de types Ar, Dr et Er. Dans les années 1970, E. Brieskorn et P. Slodowy ont tiré profit de cette connection pour décrire les résolutions et les déformations de ces singularités à l'aide de la théorie de Lie. En 1998 P. Slodowy et H. Cassens ont construit les déformations semiuniverselles des ℂ2/Γ à l'aide de la théorie des carquois ainsi que des travaux de P.B. Kronheimer en géométrie symplectique datant de 1989. En théorie de Lie, la classification des algèbres de Lie simples divisent ces dernières en deux classes: les algèbres de Lie de types Ar, Dr et Er qui sont simplement lacées, et celles de types Br, Cr, F4 et G2 appelées non-homogènes. A l'aide d'un second sous-groupe fini Γ' de SU2(ℂ) tel que Γ ⊲ Γ', P. Slodowy a étendu en 1978 la notion de singularité de Klein aux algèbres de Lie non-homogènes en ajoutant à ℂ2/Γ le groupe d'automorphismes Ω= Γ'/Γ du diagramme de Dynkin associé à la singularité. L'objectif de cette thèse est de généraliser la construction de H. Cassens et P. Slodowy à ces singularités de types Br, Cr, F4 et G2. Il en résultera des constructions explicites des déformations semiuniverselles de types inhomogènes sur les fibres desquelles le groupe Ω agit. Le passage au quotient d'une telle application révèle alors une déformation d'une singularité de type ℂ2/Γ' / Let Γ be a finite subgroup of SU2(ℂ). Then the quotient ℂ2/Γ can be embedded in ℂ3 as a surface with an isolated singularity. The quotient ℂ2/Γ is called a Kleinian singularity, after F. Klein who studied them first in 1884. Through their minimal resolutions, these singularities have a deep connection with simply-laced Dynkin diagrams of types Ar, Dr and Er. In the 1970's E. Brieskorn and P. Slodowy took advantage of this connection to describe the resolutions and deformations of these singularities in terms of Lie theory. In 1998 P. Slodowy and H. Cassens constructed the semiuniversal deformations of the Kleinian singularities using quiver theory and work from 1989 by P.B. Kronheimer on symplectic geometry. In Lie theory, the classification of simple Lie algebras allows for a separation in two classes: those simply-laced of types Ar, Dr and Er, and those of types Br, Cr, F4 and G2 called inhomogeneous. With the use of a second finite subgroup Γ’ of SU2(ℂ) such that Γ ⊲ Γ’, P. Slodowy extended in 1978 the definition of a Kleinian singularity to the inhomogeneous types by adding to ℂ2/Γ the group of automorphisms Ω= Γ’/Γ of the Dynkin diagram associated to the singularity. The purpose of this thesis is to generalize H. Cassens' and P. Slodowy's construction to the singularities of types Br, Cr, F4 and G2. It will lead to explicit semiuniversal deformations of inhomogeneous types on the fibers of which the group Ω acts. By quotienting such a map we obtain a deformation of a singularity ℂ2/Γ’

Pour d non puissance d'un nombre premier, le nombre maximal de bases deux à deux décorrélées d'un espace de Hilbert de dimension d n'est pas encore connu. Dans ce mémoire, nous commençons par donner une construction de bases décorrélées en lien avec une famille de représentations irréductibles de l'algèbre de Lie su(2) et faisant appel aux sommes de Gauss.<br /> Puis nous étudions de façon systématique la possibilité de construire de telles bases au moyen des opérateurs de Pauli. 1) L'étude de la droite projective sur (Z_d)^m montre que, pour obtenir des ensembles maximaux de bases décorrélées à l'aide d'opérateurs de Pauli, il est nécessaire de considérer des produits tensoriels de ces opérateurs. 2) Les sous-modules lagrangiens de (Z_d)^2n, dont nous donnons une classification complète, rendent compte des ensembles maximalement commutant d'opérateurs de Pauli. Cette classification permet de savoir lesquels de ces ensembles sont susceptibles de donner des bases décorrélées : ils correspondent aux demi-modules lagrangiens, qui s'interprètent encore comme les points isotropes de la droite projective (P(Mat(n, Z_d)^2),ω). Nous explicitons alors un isomorphisme entre les bases décorrélées ainsi obtenues et les demi-modules lagrangiens distants, ce qui précise aussi la correspondance entre sommes de Gauss et bases décorrélées. 3) Des corollaires sur le groupe de Clifford et l'espace des phases discret sont alors développés.<br /> Enfin, nous présentons quelques outils inspirés de l'étude précédente. Nous traitons ainsi du rapport anharmonique sur la sphère de Bloch, de géométrie projective en dimension supérieure, des opérateurs de Pauli continus et nous comparons l'entropie de von Neumann à une mesure de l'intrication par calcul d'un déterminant.

Ce mémoire a pour but de présenter un panorama des recherches que j'ai effectuées depuis la soutenance de ma thèse en 1998. J'en ai également profité pour réordonner mes résultats et émailler le texte de réflexions parfois nouvelles afin de tenter de combiner l'introduction au sujet avec la synthèse de mes recherches. Il sera question de systèmes hamiltoniens complètement intégrables, de leur étude locale, de leurs singularités, de leurs aspects globaux et de certains liens qu'il entretiennent avec les variétés toriques, tout ceci du point de vue de la mécanique classique ainsi que de celui de leur quantification semi-classique. Une étude détaillée des singularités dites non-dégénérées sera présentée.

Dans cette thèse, nous étudions les opérateurs de Berezin-Toeplitz sur les variétés kähleriennes et leur généralisation aux variétés symplectiques compactes. Le premier chapitre porte sur l'intégrale de Feynman : nous exprimons le noyau du propagateur quantique à l'aide d'une intégrale de Wiener en fonction de l'action classique. Dans le second chapitre, nous proposons un ansatz pour le noyau des opérateurs de Berezin-Toeplitz, grâce auquel on donne une preuve directe des résultats connus sur ces opérateurs et l'on décrit le calcul des symboles covariants et contravariants en fonction de la métrique kählerienne. Ceci mène à la définition de plusieurs star-produits sur les variétés kähleriennes par une formule universelle. Dans le troisième chapitre, nous généralisons l'ansatz précédent afin de quantifier les sous-variétés lagrangiennes des variétés kähleriennes. Nous appliquons ceci de diverses manières : construction de quasi-modes, énoncé des conditions de Bohr-Sommerfeld, quantification des symplectomorphismes, réalisation d'équivalence microlocale. En comparaison avec la théorie des opérateurs pseudodifférentiels, les invariants de la géométrie des cotangents sont remplacés par des invariants de la géométrie kählerienne. Dans le dernier chapitre, nous entreprenons la généralisation des résultats précédents aux variétés symplectiques compactes, notamment nous quantifions les sous-variétés lagrangiennes et décrivons le calcul symbolique des opérateurs de Berezin-Toeplitz.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique du faisceau dans les anneaux de stockage : seule la dynamique transverse des particules individuelles est abordée. Dans une première partie, nous présentons des outils permettant l'étude et la caractérisation de la dynamique (Hamiltonien, intégrateur, Analyse en Fréquence) ainsi que des simulations numériques réalisées sur quatre machines de rayonnement synchrotron : l'ALS, l'ESRF, SOLEIL et Super-ACO. Un code d'intégration des équations du mouvement a été écrit utilisant une nouvelle classe d'intégrateurs symplectiques à pas tous positifs (Laskar et Robutel, 2000). L'intégrateur, plus précis d'un ordre de grandeur que le traditionnel schéma de Forest et Ruth, est comparé avec les codes BETA, DESPOT et MAD. L'Analyse en Fréquence (Laskar, 1990), méthode numérique d'analyse de systèmes dynamiques fondée sur une technique de Fourier raffinée, est notre principal outil d'analyse ; il permet de calculer des cartes en fréquence, véritables empreintes de la dynamique d'un accélérateur. La grande sensibilité de la dynamique aux défauts magnétiques et aux réglages hexapolaires est mise en évidence.<br /><br />La seconde partie est dédiée à l'analyse d'expériences réalisées sur deux sources de lumière. Avec l'équipe de l'ALS (Berkeley), nous avons obtenu la première carte en fréquence expérimentale d'un accélérateur. L'accord entre l'expérience et la modélisation est remarquable. A Super-ACO (Orsay), l'étude des glissements des nombres d'ondes avec l'amplitude a permis de mettre en évidence un fort pseudo-octupôle issu des champs de fuite des quadripôles. Les implications sont importantes et permettent de mieux comprendre les performances actuelles de l'anneau. Ces résultats reposent sur l'analyse de données tour par tour. De nombreux phénomènes connexes tels l'analyse des matrices-réponse et la décohérence sont également abordés.

La gravité quantique à boucles est une théorie candidate à la description unifiée de la relativité générale et de la mécanique quantique à l'échelle de Planck. Cette théorie peut être formulée de deux manières. L'approche canonique, d'une part, cherche à résoudre l'équation de Wheeler--DeWitt et à définir les états physiques. L'approche par les écumes de spins, d'autre part, a pour but de calculer les amplitudes de transition de la gravité quantique via une intégrale de chemin covariante. Ces deux approches s'appuient sur a même structure d'espace de Hilbert, mais la question de leur correspondance exacte reste un important problème ouvert à ce jour. Dans ce travail de thèse, nous présentons quatre résultats en rapport avec ces deux approches. Après un premier chapitre introductif, le second chapitre concerne l'étude de la théorie classique. Historiquement, l'introduction des variables d'Ashtekar complexes (self-duales) dans la formulation hamiltonienne de la relativité générale fut motivée par l'obtention d'une contrainte scalaire polynomiale. Cette simplification drastique est à la base du programme de la gravité quantique à boucles. Pour un certain nombre de raisons techniques, ces variables complexes furent ensuite abandonnées au profit des variables d'Ashtekar-Barbero, pour lesquelles le groupe de jauge est SU(2). Avec ce choix de variables réelles, la contrainte hamiltonienne n'est malheureusement plus polynomiale. La formulation en terme des variables SU(2) réelles peut être obtenue à partir de l'action de Holst, qui contient le paramètre dit de Barbero-Immirzi comme constante de couplage additionnelle. Dans un premier temps, nous allons utiliser les variables d'Ashtekar complexes pour effectuer l'analyse canonique de l'action de Holst avec un paramètre de Barbero-Immirzi réel. Les contraintes qui découlent de cette analyse canonique dépendent de ce paramètre libre, et ont l'avantage d'être polynomiales. Afin de garantir que la métrique soit une quantité réelle, un ensemble de contraintes de réalité doivent être imposées. Il s'avère que ces conditions de réalité correspondent aux contraintes de simplicité linéaires utilisées pour la construction des modèles d'écumes de spins. Ces contraintes sont préservées par l'évolution hamiltonienne si et seulement si la connexion est sans torsion. Cette condition sur l'absence de torsion est en fait une contrainte secondaire de l'analyse canonique. La second chapitre concerne également la théorie classique, mais s'intéresse à sa discrétisation en terme des variables de premier ordre dites holonomie-flux. L'espace des phases qui résulte de cette construction possède une structure non-linéaire. Le formalisme des twisteurs permet d'accommoder cette non-linéarité en travaillant sur un espace des phases linéaire paramétré par les coordonnées canoniques de Darboux. Ce formalisme fut introduit par Freidel et Speziale, mais uniquement dans le cas des variables SU(2) d'Ashtekar-Barbero. Nous généralisons ce résultat au cas du groupe de Lorentz. Nous étudions ensuite la dynamique en terme d'écumes de spins obtenue à partir de ces variables, et développons une nouvelle formulation hamiltonienne de la gravité discrétisée. Ce nouveau formalisme est obtenu en écrivant l'action de la théorie continue sur une discrétisation simpliciale de l'espace-temps fixée. L'action discrète ainsi obtenue est la somme de l'analogue en terme de spineurs d'une action topologique de type BF et des contraintes de réalité qui garantissent l'existence d'une métrique réelle. Cette action est polynomiale en terme des spineurs, ce qui permet de procéder à sa quantification canonique de manière relativement aisée. Le dernier chapitre s'intéresse à la théorie quantique obtenue suivant cette procédure. Les amplitudes de transition reproduisent celles du modèle d'écume de spins EPRL (Engle Pereira Rovelli Livine). Ce résultat est intéressant car il démontre que la formulation de la gravité quantique en termes d'écumes de spins peut être obtenue à partir d'une action classique écrite en terme de spineurs.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Dans cette thèse, nous étudions les solutions des équations Hamilton-Jacobi. Plus précisément, nous comparons la solution de viscosité, obtenue comme limite de solutions de l'équation perturbée par un petit terme de diffusion, et la solution minmax, définie géométriquement à partir d'une fonction génératrice quadratique à l'infini. Dans la littérature, il y a des cas bien connus où les deux coïncident, par exemple lorsque le hamiltonien est convexe ou concave, le minmax pouvant alors être réduit à un min ou un max. Mais les solutions minmax et de viscosité diffèrent en général. Nous construisons des "minmax itérés" en répétant pas à pas la procédure de minmax et démontrons que, quand la taille du pas tend vers zéro, les minmax itérés tendent vers la solution de viscosité. Dans une deuxième partie, nous étudions les lois de conservation en dimension un d'espace par le méthode de "front tracking". Nous montrons que dans le cas où la donnée initiale est convexe, la solution de viscosité et le minmax sont égaux. Et comme application, nous décrivons sur des exemples la manière dont sont construites les singularités de la solution de viscosité. Pour finir, nous montrons que la notion de minmax n'est pas aussi évidente qu'il y paraît.