Cette thèse porte sur l'étude du comportement asymptotique de quelques équations dissipatives en présence d'un amortissement et une force extérieure. Notre travail se divise en quatre chapitres. Dans le premier chapitre, on considère un modèle réduit uni-dimensionnel d'un système de Davey-Stewartson, une équation aux dérivées partielles de type Schrödinger non linéaire avec une non linéarité non locale, avec un terme de force et un terme d'amortissement. On démontre l'existence d'un attracteur global régulier pour le système dynamique associé. Dans le deuxième chapitre, on travaille sur un système de Davey-Stewartson DS dans le cas elliptique-elliptique. On démontre l'existence et la régularité d'un attracteur global avec données initiales assez petites. Dans le troisième chapitre, on considère l'équation de Schrödinger non elliptique NES avec une non linéarité sous-critique. On démontre que le système dynamique associé à cette équation possède un attracteur global, pour des données initiales assez petites. Dans le quatrième chapitre, on reprend les problématiques de deux premiers chapitres, mais avec discrétisation en temps par un schéma de relaxation. On démontre l'existence d'un attracteur global régulier pour les systèmes dynamiques discrets associés en dimension infinie. / Our aim in this thesis is to study the long time behavior of the solutions to somme dissipative equations. Our work is subdivided in four chapters. In the first chapter, we consider a simplified 1-D model of a weakly damped forced Davey-Stewartson equation, which is a partial differential equation of Schrödinger type with a non local nonlinearity and with forcing and damping terms. We prove the existence of a regular global attractor for the associated dynamical system. In the second chapter, we are interested in the Davey-Stewartson system in the elliptic-elliptic case. We prove the existence and the regularity of a global attractor for sufficient small initial datas. In the third chapter, we consider the non elliptic Schrödinger equation NES with a subcritical nonlinearity. We prove that the associated dynamical system has a global attractor for sufficient small initial datas. In the fourth chapter, we go back to the issue of the first and the second chapter, but with discrete time using the relaxation scheme. We prove the existence and the regularity of a global attractor for the infinite-dimensional discrete associated dynamical systems.

Ce sujet de recherche revêt, d'une part, un caractère théorique puisqu'il aborde le problème d'estimation des systèmes singuliers linéaires et non linéaires à temps discret pour lesquels très peu de résultats sont disponibles et, d'autre part, un aspect pratique, car le modèle utilisé est d'une station d'épuration des eaux usées à boues activées. Dans la partie théorique, nous nous sommes intéressés, dans un premier temps, à l'estimation d'état des systèmes singuliers linéaires en utilisant l'approche d'estimation à horizon glissant. Deux estimateurs optimaux, au sens des moindres carrés et au sens de la variance minimale, ont été présentés. L'analyse de la convergence et de la stabilité de ces estimateurs est traités. Ensuite, nous avons présenté une approche pour l'observation de la classe des systèmes non linéaires lipschitziens à temps discret. En supposant que la partie linéaire de cette classe de systèmes est variante dans le temps, le problème de l'estimation d'état d'un système non linéaire est transformé en un problème d'estimation d'état d'un système LPV. La condition de stabilité de l'observateur proposé est exprimée en terme d'inégalités matricielles linéaires (LMI). Enfin, dans la partie pratique, les résultats obtenus sont validés par une application à un modèle d'une station d'épuration des eaux usées à boues activées.

Le premier chapitre présente les axes principaux de recherche ainsi que les problèmes traités dans cette thèse. Plus précisément, il expose une synthèse sur le sujet, en y donnant les propriétés essentielles pour la bonne compréhension de cette étude, accompagnée des références bibliographiques les plus importantes. Il présente également les motivations de ce travail en précisant les contributions originales dans ce domaine. Le deuxième chapitre est composé d’une recherche originale sur l’estimation du risque sismique, dans la zone du nord de la mer Egée (Grèce), en faisant usage de la théorie des processus semi-markoviens à temps continue. Il propose des estimateurs des mesures importantes qui caractérisent les processus semi-markoviens, et fournit une modélisation dela prévision de l’instant de réalisation d’un séisme fort ainsi que la probabilité et la grandeur qui lui sont associées. Les chapitres 3 et 4 comprennent une première tentative de modélisation du processus de génération des séismes au moyen de l’application d’un temps discret des modèles cachés markoviens et semi-markoviens, respectivement. Une méthode d’estimation non paramétrique est appliquée, qui permet de révéler des caractéristiques fondamentales du processus de génération des séismes, difficiles à détecter autrement. Des quantités importantes concernant les niveaux des tensions sont estimées au moyen des modèles proposés. Le chapitre 5 décrit les résultats originaux du présent travail à la théorie des processus stochastiques, c’est- à-dire l’étude et l’estimation du « Intensité du temps d’entrée en temps discret (DTIHT) » pour la première fois dans des chaînes semi-markoviennes et des chaînes de renouvellement markoviennes cachées. Une relation est proposée pour le calcul du DTIHT et un nouvel estimateur est présenté dans chacun de ces cas. De plus, les propriétés asymptotiques des estimateurs proposés sont obtenues, à savoir, la convergence et la normalité asymptotique. Le chapitre 6 procède ensuite à une étude de comparaison entre le modèle markovien caché et le modèle semi-markovien caché dans un milieu markovien et semi-markovien en vue de rechercher d’éventuelles différences dans leur comportement stochastique, déterminé à partir de la matrice de transition de la chaîne de Markov (modèle markovien caché) et de la matrice de transition de la chaîne de Markov immergée (modèle semi-markovien caché). Les résultats originaux concernent le cas général où les distributions sont considérées comme distributions des temps de séjour ainsi que le cas particulier des modèles qui sont applique´s dans les chapitres précédents où les temps de séjour sont estimés de manière non-paramétrique. L’importance de ces différences est spécifiée à l’aide du calcul de la valeur moyenne et de la variance du nombre de sauts de la chaîne de Markov (modèle markovien caché) ou de la chaîne de Markov immergée (modèle semi-markovien caché) pour arriver dans un état donné, pour la première fois. Enfin, le chapitre 7 donne des conclusions générales en soulignant les points les plus marquants et des perspectives pour développements futurs. / The first chapter describes the definition of the subject under study, the current state of science in this area and the objectives. In the second chapter, continuous-time semi-Markov models are studied and applied in order to contribute to seismic hazard assessment in Northern Aegean Sea (Greece). Expressions for different important indicators of the semi- Markov process are obtained, providing forecasting results about the time, the space and the magnitude of the ensuing strong earthquake. Chapters 3 and 4 describe a first attempt to model earthquake occurrence by means of discrete-time hidden Markov models (HMMs) and hidden semi-Markov models (HSMMs), respectively. A nonparametric estimation method is followed by means of which, insights into features of the earthquake process are provided which are hard to detect otherwise. Important indicators concerning the levels of the stress field are estimated by means of the suggested HMM and HSMM. Chapter 5 includes our main contribution to the theory of stochastic processes, the investigation and the estimation of the discrete-time intensity of the hitting time (DTIHT) for the first time referring to semi-Markov chains (SMCs) and hidden Markov renewal chains (HMRCs). A simple formula is presented for the evaluation of the DTIHT along with its statistical estimator for both SMCs and HMRCs. In addition, the asymptotic properties of the estimators are proved, including strong consistency and asymptotic normality. In chapter 6, a comparison between HMMs and HSMMs in a Markov and a semi-Markov framework is given in order to highlight possible differences in their stochastic behavior partially governed by their transition probability matrices. Basic results are presented in the general case where specific distributions are assumed for sojourn times as well as in the special case concerning the models applied in the previous chapters, where the sojourn time distributions are estimated non-parametrically. The impact of the differences is observed through the calculation of the mean value and the variance of the number of steps that the Markov chain (HMM case) and the EMC (HSMM case) need to make for visiting for the first time a particular state. Finally, Chapter 7 presents concluding remarks, perspectives and future work.

L'objectif de cette thèse était de développer des méthodes de synthèse d'observateurs offrant des conditions de synthèse non contraignantes. Trois méthodes ont été proposées et différentes classes de systèmes ont été traitées. La première est la méthode de transformation en système LPV basée sur l'utilisation du théorème des accroissements finis (DMVT). Cette technique, qui fournit des conditions de synthèse non restrictives, est étendue à plusieurs classes de systèmes non linéaires tels que les systèmes non différentiables, les systèmes à sorties non linéaires, les systèmes à entrées inconnues, les systèmes à retard et les systèmes à temps discret. La seule limitation liée à la méthode est le fait qu'elle n'est applicable que pour des non-linéarités à jacobiennes bornées. Afin de surmonter cette limitation, une deuxième méthode est obtenue en combinant la technique du DMVT avec une nouvelle structure d'observateurs de type Luenberger généralisés. Grâce à cette structure, de nouvelles conditions de synthèse sont établies. Ces conditions sont valables même si la jacobienne de la non-linéarité n'est pas bornée. Par ailleurs, une nouvelle méthode de synthèse d'observateurs spécifique aux systèmes à temps discret est également proposée. Cette méthode utilise la condition de Lipschitz conjointement avec la fonction de Lyapunov standard. Des améliorations, qui permettent d'obtenir des conditions de synthèse non contraignantes, sont ensuite proposées en faisant appel à une nouvelle fonction de Lyapunov plus générale (qui tient compte de la non-linéarité du système) et à un observateur de Luenberger généralisé (OLG) qui permet de réduire l'effet de la constante de Lipschitz. Enfin, les résultats obtenus sont validés par une application à la synchronisation et au cryptage/décryptage dans les systèmes de communications chaotiques

The escape of trajectories is a ubiquitous phenomenon in open dynamical systems and stochastic processes. If escape occurs repetitively for a statistical ensemble of trajectories, the population of remaining trajectories often undergoes an exponential decay characterised by the so-called escape rate. Its inverse defines the lifetime of the decaying state, which represents an intrinsic property of the system. This paradigm is fundamental to nucleation theory and reaction-rate theory in chemistry, physics, and biology.<p><p>In many circumstances, escape is activated by the presence of noise, which may be of internal or external origin. This is the case for thermally activated escape over a potential energy barrier and, more generally, for noise-induced escape in continuous-time or discrete-time dynamics. <p><p>In the weak-noise limit, the escape rate is often observed to decrease exponentially with the inverse of the noise amplitude, a behaviour which is given by the van't Hoff-Arrhenius law of chemical kinetics. In particular, the two important quantities to determine in this case are the exponential dependence (the ``activation energy') and its prefactor.<p><p>The purpose of the present thesis is to develop an analytical method to determine these two quantities. We consider in particular one-dimensional continuous and discrete-time systems perturbed by Gaussian white noise and we focus on the escape from the basin of attraction of an attracting fixed point.<p><p>In both classes of systems, using path-integral methods, a formula is deduced for the noise-induced escape rate from the attracting fixed point across an unstable fixed point, which forms the boundary of the basin of attraction. The calculation starts from the trace formula for the eigenvalues of the operator ruling the time evolution of the probability density in noisy maps. The escape rate is determined by the loop formed by two heteroclinic orbits connecting back and forth the two fixed points in a two-dimensional auxiliary deterministic dynamical system. The escape rate is obtained, including the expression of the prefactor to van't Hoff-Arrhenius exponential factor./L'échappement des trajectoires est un phénomène omniprésent dans les systèmes dynamiques ouverts et les processus stochastiques. Si l'échappement se produit de façon répétitive pour un ensemble statistique de trajectoires, la population des trajectoires restantes subit souvent une décroissance exponentielle caractérisée par le taux d'échappement. L'inverse du taux d'échappement définit alors la durée de vie de l'état transitoire associé, ce qui représente une propriété intrinsèque du système. Ce paradigme est fondamental pour la théorie de la nucléation et, de manière générale, pour la théorie des taux de transitions en chimie, en physique et en biologie.<p><p>Dans de nombreux cas, l'échappement est induit par la présence de bruit, qui peut être d'origine interne ou externe. Ceci concerne en particulier l'échappement activé thermiquement à travers une barrière d'énergie potentielle, et plus généralement, l'échappement dû au bruit dans les systèmes dynamiques à temps continu ou à temps discret.<p><p>Dans la limite de faible bruit, on observe souvent une décroissance exponentielle du taux d'échappement en fonction de l'inverse de l'amplitude du bruit, un comportement qui est régi par la loi de van't Hoff-Arrhenius de la cinétique chimique. En particulier, les deux quantités importantes de cette loi sont le coefficient de la dépendance exponentielle (c'est-à-dire ``l'énergie d'activation') et son préfacteur.<p><p>L'objectif de cette thèse est de développer une théorie analytique pour déterminer ces deux quantités. La théorie que nous présentons concerne les systèmes unidimensionnels à temps continu ou discret perturbés par un bruit blanc gaussien et nous considérons le problème de l'échappement du bassin d'attraction d'un point fixe attractif. Pour s'échapper, les trajectoires du système bruité initialement contenues dans ce bassin d'attraction doivent alors traverser un point fixe instable qui forme la limite du bassin.<p><p>Dans le présent travail, et pour les deux types de systèmes, une formule est dérivée pour le taux d'échappement du point fixe attractif en utilisant des méthodes d'intégrales de chemin. Le calcul utilise la formule de trace pour les valeurs propres de l'opérateur gouvernant l'évolution temporelle de la densité de probabilité dans le système bruité. Le taux d'échappement est déterminé en considérant la boucle formée par deux orbites hétéroclines liant dans les deux sens les deux points fixes dans un système dynamique auxiliaire symplectique et bidimensionnel. On obtient alors le taux d'échappement, comprenant l'expression du préfacteur de l'exponentielle de la loi de van't Hoff-Arrhenius. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

L’analyse et la synthèse des systèmes dynamiques ont connu un développement important au cours des dernières décennies comme l’atteste le nombre considérable des travaux publiés dans ce domaine, et continuent d’être un axe de recherche régulièrement exploré. Si la plupart des travaux concernent les systèmes linéaires et non linéaires temps continu, peu de résultats ont étaient établis dans le cas temps discret. Les travaux de cette thèse portent sur l’observation et la commande d’une classe de systèmes non linéaires à temps discret. Dans un premier temps, le problème de synthèse d’observateur d’état utilisant une fenêtre de mesures glissante est abordé. Des conditions de stabilité et de robustesse moins restrictives sont déduites. Deux classes de systèmes non linéaires à temps discret sont étudiées : les systèmes de type Lipschitz et les systèmes « one-sided Lipschitz ». Ensuite, une approche duale a été explorée afin de déduire une loi de commande stabilisante basée sur un observateur. Les conditions d’existence d’un observateur et d’un contrôleur stabilisant les systèmes étudiés sont formulées sous forme d’un problème d’optimisation LMI. L’efficacité et la validité des approches présentées sont montrées à travers des exemples académiques / The analysis and synthesis of dynamic systems has undergone significant development in recent decades, as illustrated by the considerable number of published works in this field, and continue to be a research theme regularly explored. While most of the existing work concerns linear and nonlinear continuous-time systems, few results have been established in the discrete-time case. This thesis deals with the observation and control of a class of nonlinear discrete-time systems. First, the problem of state observer synthesis using a sliding window of measurements is discussed. Non-restrictive stability and robustness conditions are deduced. Two classes of discrete time nonlinear systems are studied: Lipschitz systems and one-side Lipschitz systems. Then, a dual approach was explored to derive a stabilizing control law based on observer-based state feedback. The conditions for the existence of an observer and a controller stabilizing the studied classes of nonlinear systems are expressed in term of LMI. The effectiveness and validity of the proposed approaches are shown through numerical examples