Nous nous intéressons aux cristaux liquides nématiques, qui sont une phase de la matière intermédiaire entre les liquides et les solides cristallins. Ces états sont caractérisés par la présence de défauts ponctuels ou de ligne. Le but de cette thèse est d'apporter une contribution à l'étude mathématique des défauts, dans le cadre de la théorie variationnelle de Landau-de Gennes. Dans le premier chapitre, nous étudions les minimiseurs de l'énergie dans des domaines bornés de dimension deux. Lorsque la constante élastique tend vers zéro, les minimiseurs convergent vers une application localement harmonique, avec un nombre fini de singularités ponctuelles. Au voisinage de celles-ci, les minimiseurs sont biaxes (le molécules sont alignées localement dans plusieurs directions). Le deuxième chapitre est consacré à l'analyse asymptotique des minimiseurs en dimension trois, en supposant l'énergie majorée par le logarithme de la constante élastique. Comme dans le cas bidimensionnel, nous obtenons un résultat de compacité des minimiseurs, mais cette fois l'application limite peut présenter à la fois des singularités ponctuelles et de ligne. Nous donnons aussi des conditions suffisantes pour que l'hypothèse sur l'énergie évoquée précédemment soit satisfaite. Le troisième chapitre porte sur l'existence de minimiseurs à symétrie radiale dans une couronne en dimension trois. Enfin, dans le dernier chapitre nous présentons une obstruction topologique à l'existence de champs de vecteurs unitaires de faible régularité, sur des variétés à bord. Ce résultat constitue une étape préliminaire à l'étude de modèles variationnels pour les films nématiques sur une surface. / Nematic liquid crystals are an intermediate phase of matter, sharing properties with liquids and crystalline solids. They are composed of molecules which can flow freely, but tend to align locally along some preferred directions. Nematic phases exhibit defects, which can occur at isolated points or along lines, and are one of their mean features. This thesis mainly aims at discussing some mathematical results about defects and their generation, in the framework of the Landau-de Gennes theory. In the first chapter, we study minimizers of the energy functional in a bounded, smooth domain in dimension two. We show that, as the elastic constant tends to zero, minimizers converge to a locally harmonic map with a finite number of point singularities. Minimizers are biaxial in the core of defects (that is, more than one preferred direction of molecular alignment exists at a given point). Chapter two deals with the asymptotic analysis of minimizers in dimension three. We assume that the energy is comparable to the logarithm of the elastic constant and prove a compactness result. However, the limiting map is now allowed to have line singularities as well as point singularities. We also provide sufficient conditions for the logarithmic energy estimate to be satisfied. In chapter three, we study the existence of radially symmetric minimizers on spherical shells, in dimension three. Finally, in chapter four, we discuss a topological obstruction to the existence of unit vector fields of low regularity, on a compact manifold with boundary. This result can be understood as a first step in the analysis of some variational models for a surface coated with a thin nematic film.

On étudie différentes notions de courbure riemanniennes: la $p$-courbure, qui interpole entre courbure scalaire et courbure sectionnelle, les courbures de Gauss-Bonnet-Weyl qui constituent une autre interpolation allant de la courbure scalaire <br />jusqu'à l'intégrand de Gauss-Bonnet.<br />Les $(p,q)$-courbures que nous dégageons englobent toutes ces notions. On examine ensuite le terme en courbure de la formule classique de Weitzenböck. On étudie aussi les propriétés de positivité de la $p$-courbure, la seconde courbure de Gauss-Bonnet-Weyl, la courbure d'Einstein et de la courbure isotrope.

Cette thèse développe une méthodologie originale et non intrusive de construction de modèles de substitution applicable à des modèles physiques multiparamétriques.La méthodologie proposée permet d’approcher en temps réel, sur l’ensemble du domaine paramétrique, de multiples quantités d’intérêt hétérogènes issues de modèles physiques.Les modèles de substitution sont basés sur des représentations en train de tenseurs obtenues lors d'une phase hors ligne de calculs intensifs.L'idée essentielle de la phase d'apprentissage est de construire simultanément les approximations en se basant sur un nombre limité de résolutions du modèle physique lancées à la volée.L'exploration parcimonieuse du domaine paramétrique couplée au format compact de train de tenseurs permet de surmonter le fléau de la dimension.L'approche est particulièrement adaptée pour traiter des modèles présentant un nombre élevé de paramètres définis sur des domaines étendus.Les résultats numériques sur des lois élasto-viscoplastiques non linéaires montrent que des modèles de substitution compacts en mémoire qui approchent précisément les différentes variables mécaniques dépendantes du temps peuvent être obtenus à des coûts modérés.L'utilisation de tels modèles exploitables en temps réel permet la conception d'outils d'aide à la décision destinés aux experts métiers dans le cadre d'études paramétriques et visent à améliorer la procédure de calibration des lois matériaux. / This thesis presents a novel non-intrusive methodology to construct surrogate models of parametric physical models.The proposed methodology enables to approximate in real-time, over the entire parameter space, multiple heterogeneous quantities of interest derived from physical models.The surrogate models are based on tensor train representations built during an intensive offline computational stage.The fundamental idea of the learning stage is to construct simultaneously all tensor approximations based on a reduced number of solutions of the physical model obtained on the fly.The parsimonious exploration of the parameter space coupled with the compact tensor train representation allows to alleviate the curse of dimensionality.The approach accommodates particularly well to models involving many parameters defined over large domains.The numerical results on nonlinear elasto-viscoplastic laws show that compact surrogate models in terms of memory storage that accurately predict multiple time dependent mechanical variables can be obtained at a low computational cost.The real-time response provided by the surrogate model for any parameter value allows the implementation of decision-making tools that are particularly interesting for experts in the context of parametric studies and aim at improving the procedure of calibration of material laws.

Cette thèse aborde le problème de la décomposition booléenne des tableaux multidimensionnels de données binaires par modèle de mélange post non-linéaire. Dans la première partie, nous introduisons une nouvelle approche pour la factorisation booléenne en matrices binaires (FBMB) fondée sur un modèle de mélange post non-linéaire. Contrairement aux autres méthodes de factorisation de matrices binaires existantes, fondées sur le produit matriciel classique, le modèle proposé est équivalent au modèle booléen de factorisation matricielle lorsque les entrées des facteurs sont exactement binaires et donne des résultats plus interprétables dans le cas de sources binaires corrélées, et des rangs d'approximation matricielle plus faibles. Une condition nécessaire et suffisante d'unicité pour la FBMB est également fournie. Deux algorithmes s'appuyant sur une mise à jour multiplicative sont proposés et illustrés dans des simulations numériques ainsi que sur un jeu de données réelles. La généralisation de cette approche au cas de tableaux multidimensionnels (tenseurs) binaires conduit à la factorisation booléenne de tenseurs binaires (FBTB). La démonstration de la condition nécessaire et suffisante d’unicité de la décomposition booléenne de tenseurs binaires repose sur la notion d'indépendance booléenne d'une famille de vecteurs. L'algorithme multiplicatif fondé sur le modèle de mélange post non-linéaire est étendu au cas multidimensionnel. Nous proposons également un nouvel algorithme, plus efficace, s'appuyant sur une stratégie de type AO-ADMM (Alternating Optimization -ADMM). Ces algorithmes sont comparés à ceux de l'état de l'art sur des données simulées et sur un jeu de données réelles / This work is dedicated to the study of boolean decompositions of binary multidimensional arrays using a post nonlinear mixture model. In the first part, we introduce a new approach for the boolean factorization of binary matrices (BFBM) based on a post nonlinear mixture model. Unlike the existing binary matrix factorization methods, the proposed method is equivalent to the boolean factorization model when the matrices are strictly binary and give thus more interpretable results in the case of correlated sources and lower rank matrix approximations compared to other state-of-the-art algorithms. A necessary and suffi-cient condition for the uniqueness of the BFBM is also provided. Two algorithms based on multiplicative update rules are proposed and tested in numerical simulations, as well as on a real dataset. The gener-alization of this approach to the case of binary multidimensional arrays (tensors) leads to the boolean factorisation of binary tensors (BFBT). The proof of the necessary and sufficient condition for the boolean decomposition of binary tensors is based on a notion of boolean independence of binary vectors. The multiplicative algorithm based on the post nonlinear mixture model is extended to the multidimensional case. We also propose a new algorithm based on an AO-ADMM (Alternating Optimization-ADMM) strategy. These algorithms are compared to state-of-the-art algorithms on simulated and on real data

Dans cette thèse, j’étudie trois sujets reliés : les modèles de tenseurs, les nombres de Hurwitz et les polynômes de Macdonald-Koornwinder. Les modèles de tenseurs généralisent les modèles de matrices en tant qu’une approche à la gravité quantique en dimension arbitraire (les modèles de matrices donnent une version bidimensionnelle). J’étudie un modèle particulier qui s’appelle le modèle quartique mélonique. Sa spécialité est qu’il s’écrit en termes d’un modèle de matrices qui est lui-même aussi intéressant. En utilisant les outils bien établis, je calcule les deux premiers ordres de leur 1=N expansion. Parmi plusieurs interprétations, les nombres de Hurwitz comptent le nombre de revêtements ramifiés de surfaces de Riemann. Ils sont connectés avec de nombreux sujets en mathématiques contemporaines telles que les modèles de matrices, les équations intégrables et les espaces de modules. Ma contribution principale est une formule explicite pour les nombres doubles avec 3-cycles complétées d’une part. Cette formule me permet de prouver plusieurs propriétés intéressantes de ces nombres. Le dernier sujet de mon étude est les polynôme de Macdonald et Koornwinder, plus précisément les identités de Littlewood. Ces polynômes forment les bases importantes de l’algèbre des polynômes symétriques. Un des problèmes intrinsèques dans la théorie des fonctions symétriques est la décomposition d’un polynôme symétrique dans la base de Macdonald. La décomposition obtenue (notamment si les coefficients sont raisonnablement explicites et compacts) est nommée une identité de Littlewood. Dans cette thèse, j’étudie les identités démontrées récemment par Rains et Warnaar. Mes contributions incluent une preuve d’une extension d’une telle identité et quelques progrès partiels vers la généralisation d’une autre. / In this thesis, I study three related subjects: tensor models, Hurwitz numbers and Macdonald-Koornwinder polynomials. Tensor models are generalizations of matrix models as an approach to quantum gravity in arbitrary dimensions (matrix models give a 2D version). I study a specific model called the quartic melonic tensor model. Its specialty is that it can be transformed into a multi-matrix model which is very interesting by itself. With the help of well-established tools, I am able to compute the first two leading orders of their 1=N expansion. Among many interpretations, Hurwitz numbers count the number of weighted ramified coverings of Riemann surfaces. They are connected to many subjects of contemporary mathematics such as matrix models, integrable equations and moduli spaces of complex curves. My main contribution is an explicit formula for one-part double Hurwitz numbers with completed 3-cycles. This explicit formula also allows me to prove many interesting properties of these numbers. The final subject of my study is Macdonald-Koornwinder polynomials, in particular their Littlewood identities. These polynomials form important bases of the algebra of symmetric polynomials. One of the most important problems in symmetric function theory is to decompose a symmetric polynomial into the Macdonald basis. The obtained decomposition (in particular, if the coefficients are explicit and reasonably compact) is called a Littlewood identity. In this thesis, I study many recent Littlewood identities of Rains and Warnaar. My own contributions include a proof of an extension of one of their identities and partial progress towards generalization of one another.

Le principal sujet de cette thèse est la mise au point d'algorithmes de recalage rigide de surfaces au sein de VirtualScope, un système de guidage per-opératoire dédié au percement des axes des implants dentaires. Elle est basée sur une approche purement statistique, qui, en essayant de maximiser la vraisemblance calculée à partir d'une modélisation explicite du bruit, permet de justifier l'utilisation de l'ICP pour le recalage d'amers géométriques, puis de proposer l'ICP/EM multi-échelles, un peu plus précis et surtout beaucoup plus robuste et rapide. De nouveaux modèles de bruits sont proposés pour adapter l'algorithme aux surfaces échantillonnées et bruitées. La prédiction théorique de l'incertitude est abordée, et permet en particulier de guider l'acquisition des données. L'étude expérimentale très poussée des performances de l'algorithme permet de régler efficacement ses paramètres, mettre au point des systèmes de sécurité, et garantir ainsi un fonctionnement parfaitement satisfaisant au sein de VirtualScope. La seconde partie de cette thèse aborde plus généralement le problème de la modélisation statistique des courbes et surfaces échantillonnées bruitées. En regroupant les travaux sur la saillance et le vote de tenseurs, elle présente la notion de champs de vote, qui permet d'exprimer la probabilité d'un élément de la courbe ou surface connaissant un autre élément. Elle donne des exemples rudimentaires mais facilement programmables de champs de votes, qui prennent en compte la forme de la surface et la façon dont les points ont été échantillonnés et bruités. Elle montre comment les appliquer avec succès au problème du recalage, puis indique comment ils pourraient servir pour dériver des algorithmes bayésiens pour de nombreuses autres applications concernant les courbes et surfaces. Ces travaux seraient alors susceptibles de déboucher sur la mise au point d'un canevas statistique et multi-échelles commun à toutes ces méthodes.

Les systèmes de télécommunications modernes exigent des débits de transmission très élevés. Dans ce cadre, le problème d'identification de canaux est un enjeu majeur. L'utilisation de techniques aveugles est d'un grand intérêt pour avoir le meilleur compromis entre un taux binaire adéquat et la qualité de l'information récupérée. En utilisant les propriétés des cumulants d'ordre 4 des signaux de sortie du canal, cette thèse introduit de nouvelles méthodes de traitement du signal tensoriel avec des applications pour les systèmes de communication radio-mobiles. En utilisant la structure symétrique des cumulants de sortie, nous traitons le problème de l'identification aveugle de canaux en ntroduisant un modèle multilinéaire pour le tenseur des cumulants d'ordre 4, basé sur une décomposition de type Parafac. Dans le cas SISO, les composantes du modèle tensoriel ont une structure de Hankel. Dans le cas de canaux MIMO instantanés, la redondance des facteurs tensoriels est exploitée pour l'estimation des coefficients du canal. Dans ce contexte, nous développons des algorithmes d'identification aveugle basés sur une minimisation de type moindres carrés à pas unique (SS-LS). Les méthodes proposées exploitent la structure multilinéaire du tenseur de cumulants aussi bien que les relations de symétrie et de redondance, ce qui permet d'éviter toute sorte de traitement au préalable. En effet, l'approche SS-LS induit une solution basée sur une seule et unique procédure d'optimisation, sans les étapes intermédiaires requises par la majorité des méthodes existant dans la littérature. En exploitant seulement les cumulants d'ordre 4 et le concept de réseau virtuel, nous abordons aussi le problème de la localisation de sources dans le cadre d'un réseau d'antennes multiutilisateur. Une contribution originale consiste à augmenter le nombre de capteurs virtuels en exploitant un arrangement particulier du tenseur de cumulants, de manière à améliorer la résolution du réseau, dont la structure équivaut à celle qui est typiquement issue de l'utilisation des statistiques d'ordre 6. Nous traitons par ailleurs le problème de l'estimation des paramètres physiques d'un canal de communication de type MIMO à trajets multiples. Dans un premier temps, nous considérons le canal à trajets multiples comme un modèle MIMO convolutif et proposons une nouvelle technique d'estimation des coefficients. Cette technique non-paramétrique généralise les méthodes proposées dans les chapitres précédents pour les cas SISO et MIMO instantané. En représentant le canal multi-trajet à l'aide d'un formalisme tensoriel, les paramètres physiques sont obtenus en utilisant une technique combinée de type ALS-MUSIC, basée sur un algorithme de sous-espaces. Enfin, nous considérons le problème de la détermination d'ordre de canaux de type RIF, dans le contexte des systèmes MISO. Nous introduisons une procédure complète qui combine la détection des signaux avec l'estimation des canaux de communication MISO sélectifs en fréquence. Ce nouvel algorithme, basé sur une technique de déflation, est capable de détecter successivement les sources, de déterminer l'ordre de chaque canal de transmission et d'estimer les coefficients associés.

Dans de nombreux problèmes physiques, un modèle incertain peut être traduit par un ensemble d'équations aux dérivées partielles stochastiques. Nous nous intéressons ici à des problèmes présentant de nombreuses sources d'incertitudes localisées en espace. Dans le cadre des approches fonctionnelles pour la propagation d'incertitudes, ces problèmes présentent deux difficultés majeures. La première est que leurs solutions possèdent un caractère multi-échelle, ce qui nécessite des méthodes de réduction de modèle et des stratégies de calcul adaptées. La deuxième difficulté est associée à la représentation de fonctions de nombreux paramètres pour la prise en compte de nombreuses variabilités. Pour résoudre ces difficultés, nous proposons tout d'abord une méthode de décomposition de domaine multi-échelle qui exploite le caractère localisé des aléas. Un algorithme itératif est proposé, qui requiert une résolution alternée de problèmes globaux et de problèmes locaux, ces derniers étant définis sur des patchs contenant les variabilités localisées. Des méthodes d'approximation de tenseurs sont ensuite utilisées pour la gestion de la grande dimension paramétrique. La séparation multi-échelle améliore le conditionnement des problèmes à résoudre et la convergence des méthodes d'approximation de tenseurs qui est liée aux propriétés spectrales des fonctions à décomposer. Enfin, pour la prise en compte de variabilités géométriques localisées, des méthodes spécifiques basées sur les approches de domaines fictifs sont introduites.

Dans cette thèse, nous nous focalisons sur le problème de la décomposition polyadique minimale de tenseurs de dimension trois, problème auquel on se réfère généralement sous différentes terminologies : " Polyadique Canonique " (CP en anglais), " CanDecomp ", ou encore " Parafac ". Cette décomposition s'avère très utile dans un très large panel d'applications. Cependant, nous nous concentrons ici sur la spectroscopie de fluorescence appliquée à des données environnementales particulières de type échantillons d'eau qui pourront avoir été collectés en divers endroits ou différents moments. Ils contiennent un mélange de plusieurs molécules organiques et l'objectif des traitements numériques mis en œuvre est de parvenir à séparer et à ré-estimer ces composés présents dans les échantillons étudiés. Par ailleurs, dans plusieurs applications comme l'imagerie hyperspectrale ou justement, la chimiométrie, il est intéressant de contraindre les matrices de facteurs recherchées à être réelles et non négatives car elles sont représentatives de quantités physiques réelles non négatives (spectres, fractions d'abondance, concentrations, ...etc.). C'est pourquoi tous les algorithmes développés durant cette thèse l'ont été dans ce cadre (l'avantage majeur de cette contrainte étant de rendre le problème d'approximation considéré bien posé). Certains de ces algorithmes reposent sur l'utilisation de méthodes proches des fonctions barrières, d'autres approches consistent à paramétrer directement les matrices de facteurs recherchées par des carrés.

On s’intéresse dans cette thèse à la PGD (Proper Generalized Decomposition), l’une des méthodes de réduction de modèles qui consiste à chercher, a priori, la solution d’une équation aux dérivées partielles sous forme de variables séparées. Ce travail est formé de cinq chapitres dans lesquels on vise à étendre la PGD aux espaces fractionnaires et aux espaces des fonctions à variation bornée, et à donner des interprétations théoriques de cette méthode pour une classe de problèmes elliptiques et paraboliques. Dans le premier chapitre, on fait un bref aperçu sur la littérature puis on présente les notions et outils mathématiques utilisés dans le corps de la thèse. Dans le second chapitre, la convergence des suites des directions alternées (AM) pour une classe de problèmes variationnels elliptiques est étudiée. Sous une condition de non-orthogonalité uniforme entre les itérés et le terme source, on montre que ces suites sont en général bornées et compactes. Alors, si en particulier la suite (AM) converge faiblement alors elle converge fortement et la limite serait la solution du problème de minimisation alternée. Dans le troisième chapitre, on introduit la notion des dérivées fractionnaires au sens de Riemann-Liouville puis on considère un problème variationnel qui est une généralisation d’ordre fractionnaire de l’équation de Poisson. En se basant sur la nature quadratique et la décomposabilité de l’énergie associée, on démontre que la suite PGD progressive converge fortement vers la solution faible de ce problème. Dans le quatrième chapitre, on profite de la structure tensorielle des espaces BV par rapport à la topologie faible étoile pour définir les suites PGD dans ce type d’espaces. La convergence de telle suite reste une question ouverte. Le dernier chapitre est consacré à l’équation de la chaleur d-dimensionnelle, où on discrétise en temps puis à chaque pas de temps on cherche la solution de l’équation elliptique en utilisant la PGD. On montre alors que la fonction affine par morceaux en temps obtenue à partir des solutions construites en utilisant la PGD converge vers la solution faible de l’équation. / In this thesis, we are interested in the PGD (Proper Generalized Decomposition), one of the reduced order models which consists in searching, a priori, the solution of a partial differential equation in a separated form. This work is composed of five chapters in which we aim to extend the PGD to the fractional spaces and the spaces of functions of bounded variation and to give theoretical interpretations of this method for a class of elliptic and parabolic problems. In the first chapter, we give a brief review of the litterature and then we introduce the mathematical notions and tools used in this work. In the second chapter, the convergence of rank-one alternating minimisation AM algorithms for a class of variational linear elliptic equations is studied. We show that rank-one AM sequences are in general bounded in the ambient Hilbert space and are compact if a uniform non-orthogonality condition between iterates and the reaction term is fulfilled. In particular, if a rank-one (AM) sequence is weakly convergent then it converges strongly and the common limit is a solution of the alternating minimization problem. In the third chapter, we introduce the notion of fractional derivatives in the sense of Riemann-Liouville and then we consider a variational problem which is a generalization of fractional order of the Poisson equation. Basing on the quadratic nature and the decomposability of the associated energy, we prove that the progressive PGD sequence converges strongly towards the weak solution of this problem. In the fourth chapter, we benefit from tensorial structure of the spaces BV with respect to the weak-star topology to define the PGD sequences in this type of spaces. The convergence of this sequence remains an open question. The last chapter is devoted to the d-dimensional heat equation, we discretize in time and then at each time step one seeks the solution of the elliptic equation using the PGD. Then, we show that the piecewise linear function in time obtained from the solutions constructed using the PGD converges to the weak solution of the equation.