Pagrindinėje mokykloje tiesinių nelygybių sprendimo mokoma aštuntoje klasėje. Tačiau nėra pakankamai vaizdžių priemonių, kurios padėtų mokiniams geriau įsisavinti ir suvokti nelygybių sprendimą. Jas dažniausiai mokoma aiškinant nelygybių sprendimo algoritmą. Mokiniai dažniausiai daro klaidas pritaikydami nelygybių savybes dauginant ar dalijant nelygybės abi puses iš neigiamo skaičiaus. Taip pat sunkiai sekasi pavaizduoti nelygybės sprendinius skaičių tiesėje ar užrašyti intervalu, nes intervalai iki begalybės nėra realiai matomi. Didžiausia problema – tekstinių (probleminių) uždavinių sprendimas. Mokiniai, mokėdami spręsti tiesines nelygybes, nesugeba žinių pritaikyti praktikoje. Dažnai daromos klaidos sudarant nelygybes bei užrašant sprendinius. Labai dažnai pamirštama, kad sprendžiama nelygybė yra tik būdas surasti tekstinio uždavinio sprendiniams. Šios problemos sprendimas – interaktyvių priemonių kūrimas ir panaudojimas ugdymo procese. Integruotos matematikos ir informacinių technologijų pamokos mokiniams ���domios, skatina loginį mąstymą bei motyvaciją. Todėl atsižvelgiant į mokinių daromų klaidų analizę bei ieškant efektyvaus sprendimo būdo, sukurta interaktyvi mokymo priemonė, kuri padės mokiniams aiškiai suprasti tiesinių nelygybių sprendimo algoritmą. / Solutions for linear inequalities are taught in the eight form in basic school. But there are still lack of examples that would greatly contribute to pupils’ knowledge concerning solving tasks of linear inequalities. Usually they are being taught by explaining algorithm of solution of inequalities. The most common mistakes pupils face proceed by multiplicating or divisioning both sides of inequality with the negative count. Also they face with difficulties expressing inequalities solutions in the linear counts or noting that according interval rules, because intervals are without end and the rest of counts can not be seen by them. One of the biggest problem – text’s (problemic) tasks solutions. Even having ability to solve tasks of linear inequalities they are not able to adopt it practically. There are often maddening such mistakes in composing inequalities and writing the solutions. Also they often forget that method of inequality is appointed just to find solution for the text’s tasks. Solution for this problem – creation of interactive measures and applying them in the process of education. Integrated lessons of mathematics and IT are very interesting for the pupils, prompt logical thinking and promote their motivation. Regarding to this problem I created an interactive methodical material, that would greatly contribute to pupils’ abilities to understand tasks connected to solving of linear inequalities and its algorithm solutions.

Sprendėme tiesinį dinaminę sistemą su valdomomis pradinėmis sąlygomis. Šio uždavinio sprendimas susiveda į valdymo funkcijos persijungimo taškų suradimą. O valdymo funkcija, remiantis Pontriagino principu, buvo ieškojama gabalais pastovių funkcijų klasėje. Iš pateiktų skaičiavimų ir rezultatų galima daryti išvadą, kad persijungimo taškų vieta intervale (santykis su intervalo ilgiu) priklauso nuo intervalo ilgio, pasirinktų kraštinių apribojimų, pradinių valdomų sąlygų, bet visiškai nepriklauso nuo intervalo suskaidymo žingsnio. Bet, pakeitus kraštines sąlygas iš nelygybių į lygybes, gauname, kad persijungimo taškų vieta intervale lieka pastovi santykiškai intervalo ilgiui. Darbe palyginta Simplekso ir adaptyvinio metodų efektyvumas, sprendžiant tiesines dinamines sistemas su valdomomis kraštinėmis sąlygomis. Galima daryti išvadą, kad adaptyvinis metodas yra efektyvesnis. Tai galima paaiškinti tuo, kad sprendžiant tiesinio programavimo uždavinį adaptyviu metodu nebūtina jį susivesti į kanoninį tiesinio programavimo uždavinį. Dėl šios priežasties sumažėja duomenų struktūros ir išlaikoma pradinė informacija apie modelį. / 8. Summary (Linear dynamic system optimisation with guided initial conditions) The linear dinamic operating problem with guided initial conditions was solved. The solution of this problem consists of finding the guided function of switching points. Guiding function, according principle of Pontragin, was searched in uniform functions class by piecemeal. The conclusion can be drawn from results and showed calculations that the place in interval of switching points depends on the length of interval, chosen marginal confines, initial guided conditions, but does not depend at all on the step of interval separation. But if we change marginal conditions from inequality to equality, we will see that the place of switched points in the interval does not depend on the length of interval. There were compared the efficiency of Simplex method and adapted method in solving linear dynamic systems with guided marginal conditions. So, we can draw the conclusion that the adapted method is much more effective than Simplex one. This can be explained by a fact that when you solve linear programming problem by adapted method it is not necessary to transform it into canonic linear programming problem. That’s why the structure of data decreases and the initial information about the model is kept.

In this work is analyzed a co-frame bundle first differential extension . Received local co-ordinates transformation law of the space, constructed this space linear connection and linear co-connection. In this work is proved basis space linear connection‘s object inducts objects linear connection and linear co-connection in space. Founded inducted connection curvature tensors.

NB: santraukoje neįsikelia formulės! The graduation paper examines frame bundles B (Vn ), whose base is n–dimensional differential manifold Vn and the first differential extensions of this stratification J1B(Vn). The bundle of frames is normalized by way of linear connection object F ; provided this object is the linear function of coordinates p , then the linear connection of stratification B(Vn) defines affine connection Vn of reference space. The thesis analyses the overall linear connection and linear co-connection of stratification J1B(Vn) and related basal differentiations. It has been proven that the linear connection of bundle of frames B(Vn) indicates the linear connection and linear co-connection of extended stratification J1B(Vn), the relation between the ratios of the induced connection and the induced co-connection and the representation of the components of curvature objects of the obtained induced linear connection.

Šiame magistro baigiamajame darbe yra nagrinėjami tiesinės algebros uždavinių sprendimai, panaudojant įvairias skaičiavimo priemones bei specializuotas bibliotekas. Pagrindinis darbo tikslas yra ištirti tokių uždavinių sprendimo būdus bei išnagrinėti jų išlygiagretinimo galimybes. Išanalizavus susijusią literatūrą, ištyrus pasirinktų tiesinių lygčių sistemų sprendimo algoritmus bei atlikus susijusius praktinius bandymus buvo pateikta detali algoritmų analizė bei jų panaudojimo rekomendacijos. Be to, panaudojant BalticGrid technologines galimybes, pavyko paskirstyti tiesinės algebros uždavinių sprendimą tarp keliasdešimties kompiuterių, tuo pačiu sumažinus bendrą užduočių skaičiavimo laiką. / The title of this work is “Parallel algorithms for linear algebra problems”. The main goal of Master thesis is to research solving possibilities of linear algebra problems, using different kind of computing machines and dedicated linear algebra libraries. In the beginning of the work author introduces the comparison of the system for parallel computing such as symmetric multi-processing and massively parallel processing. Later in this chapter the main linear algebra problems and theirs solutions were introduced. In the beginning of the second part, different kinds of algorithms for solving linear equation systems, such as LU factorization and SVD – singular value decomposition, were researched. In the next part of this chapter author looked for possibility to make computations of linear equation system in a parallel way. In the practical part of the work, the author developed few programs, which were used for analysis of different kind of algorithms and used BalticGrid technologies for parallel solving of linear equation systems. In the closing part of the work author presents the main results of the work and suggests some recommendations.

Šiame darbe išnagrinėtas tiesinių sistemų parametrų įvertinimo metodas. Visas darbas susideda iš dviejų dalių: teorinės ir praktinės. Teorinėje dalyje aprašytas modelis, modelio kūrimas bei jo struktūra. Pateiktas Markovo įvertinimas arba įvertinimas apibendrintuoju mažiausiųjų kvadratų metodu, taip pat apibendrintojo modelio aprašymas, jo naudojimas. Praktinėje dalyje atlikti ir aprašyti eksperimentai. Modeliavimo eksperimentai atlikti naudojant programinį paketą MATLAB. Skaičiavimams atlikti buvo sukurtos ir panaudotos funkcijos matrica, period. Eksperimentų rezultatai pateikti lentelėse ir grafikuose. Padarytos išvados apie blokinio parametrų įvertinimo metodo efektyvumą. / In this work a block parameter estimation method for linear time-invariant systems is discussed. The whole work consists of two parts: theoretical and practical. The theoretical part is based on the description of the model, its creation and structure. Furthermore, Markov estimation or an estimation of the least squares generalized method and the description of the experiments and their description. The experiments of modeling have been performed using MATLAB program. In addition, the functions matrica, period were created and used to do the estimations. The results of the experiments are illustrated in charts and diagrams. Finally, the conclusions about the efficiency of the block parameter estimation method are done.

Šiame darbe nagrinėjama speciali atraminių elementų erdvė – tiesinių elementų erdvė. Šios geometrijos bendrąją tiesinių ir afiniųjų siečių teoriją sukūrė V. Bliznikas. Jis parodė, [5] kaip tiesinės sieties geometrinis objektas indukuoja aukštesniųjų eilių afiniųjų, taip pat tenzorinių siečių objektams. V. Blizniko sukurtais tyrimo metodais dalinai naudojomės ir šiame darbe. Metrinių hiperplokštuminių elementų erdvė yra taip vadinamų normalizuotų erdvių atvejis. Normalizuotos erdvės tai tokios, kuriose apibrėžtos koks nors diferencialinis – geometrinis objektas, kurio invariantai ir sudaro normalizuotos erdvės geometrijos turinį. Tokiais objektais dažnai būna skaliarinė funkcija. (Finslerio ar Kartano erdvės), metrinis tenzorius (tiesinių ar hiperplokštuminių elementų erdvės), afiniosios sieties objektas (afiniosios sieties erdvės) ir pan. Šiame darbe nagrinėjamos metrinių tiesinių elementų erdvės, kurios yra normalizuojamos metrinio tenzoriaus pagalba. Be to, tas tenzorius turi specialią struktūrą (žr. [1]). Ta struktūra charakteringa tuo, kad visuomet tokios erdvės yra Landsbergo erdvių analogai. Darbe pavyko tokioms metrikoms sukonstruoti vidines beveik kompleksines ir beveik sandaugos struktūras, surasti jų integruojamumo sąlygą, kurios dėka metrikos specifika yra kitokia nei analogiškos sąlygos Finslerio erdvėse. Darbas sudarytas ir iš įžangos ir 8 paragrafų. Pirmajame paragrafe dėstomas įvadas į liestinių sluoksniuočių geometriją. Antrajame nagrinėjama šių erdvių... [toliau žr. visą tekstą] / The elements of metric space with a special form of metric are dealt with in the work. It is shown how in such spase linear and affine links are defined with the help of metric tenzor, the ogjects of curvature are founds the existence of the type of metric affine links is proved. It is proved that the metric tenzor induces two parametric almost complex and almost the structures of product, the integration criteria of these structures are found. Keywords: • differentiable manifold • tangent stratified; • linear and affine traceable; • integrated struktures; • structural tensors.

The vector bundles with the basic structure space with affine connection. It is shown that in the present bundles the linear inducts the affine connection, and the curvature of the objects of the present connection is traced. Having defined the concept of the first differential extension of the vector bundles, an indication is made that the linear connection of vector bundles inducts the elongated linear connection of space and linear co-connection, expression form of the linear co-connection components and their interrelation. There are derived commutative formulas of the inducted connection and forms of its components of curvature objects.

Darbe nagrinėjamos simetrinės trečiosios eilės liestinės sluoksniuotės, kurios apibrėžiamos kaip 3 - džetų aibės. Surasta simetrinės erdvės izotropijų grupė, o taip pat jos izomorfijų grupė. Gautos izomorfijų grupės struktūrinės lygtys, surasti erdvės Maurerio – Kartano lygčių analogai, įrodytos formulės, išreiškiančios indukuotosios afiniosios sieties kreivumo tenzorių komponentes izomorfijų grupės struktūrinėmis konstantomis. Taip pat gauta visa eilė tapatybių, siejančių kreivumo objektus ir izomorfijų grupės struktūrines konstantas (apibendrintos Ričio ir Bianchi tapatybės). / The paper examined the symmetric third order tangent bundle, defined as 3- jet space. Found symmetric space isotropy group, as well as its isomorphy group. The resulting structural equation of isomorphy group, find this area Maurer - Cartan analogues of equations, an established formula, expressing inducted affines connection component of curvature tensors of the isomorphy group structural constants. Also received identities connecting the curvature objects structural constants of isomorphy group (generalized in Riči and Bianchi identity).

Darbe nagrinėjamos koliestinės sluoksniuotės su apibrėžta metrika. Parodyta kaip šių erdvių metrinis tenzorius indukuoja tiesinę ir afiniąją sietį, surasti šių siečių kreivumo objektai. Įrodyta, kad šiose sluoksniuotėse egzistuoja vidinės homogeninės beveik kompleksinės struktūros. Nustatytos šių struktūrų integruojamumo sąlygos, surastos sąlygos, kad šį struktūra būtų Kelerio tipo. / In this paper cotangent bundle with determinate metrics are analysed. It is shown how metrical tensor of those spaces induces linear and affine connections, also objects of those connections‘ curvature are found. It is proved that intrinsic homogeneous almost complex structure exists in that bundle. Conditions of those structure integration are identified as well as conditions for this structure to be Kahler‘s type are found.