Šiame darbe yra pateikta 16 Pasaulinių olimpiadų uždavinių ir jų sprendimų. Uždaviniai yra lyginami pagal jų sudėtingumo lygį. / Sixteen problems and their solutions from International Mathematical Olympiads are presented in this work. Problems are compared by their difficulty.

Analysis of optimisation and decision-making theories was made during this master degree thesis. The study of the optimisation tasks types and their solving methods was made. Main focus was given to the solutions of multiple criteria optimization problems. Computing software MINIMUM and existing software for the solution of multiple criteria optimization tasks were analyzed during the study. Applying computing software MINIMUM strategy for the solution of multiple criteria optimization tasks has been developed and special software for the efficiency research created. Experimental trials have been carried out in order to investigate and compare efficiency of the existing and specially created software for the solution of multiple criteria optimization tasks. Using specially created software, experimental solutions of multiple criteria optimisation tasks in graphical environment showed that optimal solution is found faster i. e. duration of the optimum result computing time was most economical. New programming language PowerBuilder was also analyzed during the development of the special software for the efficiency research and more experience in modern software development was gained.

Šiandien kiekvienam iš mūsų tenka susidurti su kasdieniais sunkumais. Ir kiekvienas jas sprendžia individualiai, vieni bando „tiesiogiai prasimušti“ pro sunkumus, o kiti ieško kitokių aplinkinių, pasisekus ir gerokai lengvesnių kelių įvairioms problemoms spręsti. Panašia samprata remiasi ir interpretacijos metodas matematikoje ir kitose mokslo bei žmogiškosios veiklos srityse. Jeigu sprendžiant kažkokias problemas įprastiniais būdais, susiduriama su tam tikrais sunkumais, tai duotąją problemą galima pamėginti interpretuoti ir „išversti“ į kitą, pasisekus, daug lengvesnį uždavinį (iš galimai kitos srities). Interpretacijos metodas – tai bendras būdas uždavinių sprendimams, kuris pagrįstas bendrais pamąstymais: „jeigu tiesiame kelyje atsiranda kliūtis , tai ją galima pamėginti apeiti kitu keliu“. Taigi interpretacijos metodo esmė tokia: jeigu turimą uždavinį sunku arba neįmanoma išspręsti duotosios matematinės srities pagalba, tada visi duotojo uždavinio dydžiai ir ryšiai tarp dydžių „išverčiami“ (interpretuojami) į kitą matematikos sritį arba į kitą mokslo šaką ir sprendžiamas naujas uždavinys, po to rezultatas „išverčiamas“ atgal į pirmykštę sritį. / The interpretation method essence is that: if the task is difficult or impossible to solve by the given mathematical field assistance, then all of a given task and the relations between the value "translated" (interpreted) to another area of mathematics or in other branches of knowledge (science), and solving new task, then the result "translate" back into the original area. Besides the interpretation method shows the unity between various branches of science, special in mathematics. Method of interpretation is the general method of solving different problems (such as geometric, arithmetic, weighing problems) when the proposition is replaced by the similar problem which is more easy solving than original task. That’s why it is important introduce method of interpretation to the pupils, because it developed pupils ability to analyze and synthesize knowledge’s.

Didėjant informacinių ir komunikacinių technologijų plėtrai į visas gyvenimo sritis, visų socialinių lygių žmonių bendravimas, ypatingai paauglių, vis labiau persikelia į virtualią erdvę. Kas paskatina priklausomybės nuo virtualios komunikacijos atsiradimą. Moksliniame lygmenyje vis labiau kalbama apie virtualią priklausomybę, tačiau gilesnės mokslinės analizės ypač Lietuvoje, labai trūksta. Siekiant išvengti ar mažinti šią priklausomybę būtinas gilesnis požiūris į šią problematiką, todėl ir atliekama nagrinėjamos temos analizė, kuri padės priartėti prie gilesnio šios problemos suvokimo. Tikslas – nustatyti priklausomybės nuo virtualios komunikacijos požymius. Darbo objektas – požymių nuo virtualios komunikacijos identifikavimas. Tyrimo uždaviniai: 1. Nustatyti komunikacijos proceso sudedamąsias dalis. 2. Apibrėžti psichologinės priklausomybės raidos ir požymių santykį. 3. Identifikuoti priklausomybės nuo kompiuterio požymius. 4. Identifikuoti priklausomybės nuo interneto požymius. 5. Apžvelgti Lietuvoje esančias prevencines priemonių nuo priklausomybės kompiuteriui ir internetui. 6. Atlikti paauglių priklausomybės nuo virtualios komunikacijos požymių identifikavimo empirinį tyrimą. Tikslui pasiekti ir uždaviniams išspręsti naudotasi šiais metodais: mokslinės literatūros palyginamąja analize ir sinteze, kontent analize, anketine apklausa. Tyrimas iš dalies patvirtino hipotezę, jog paaugliai jaučia stipriausią priklausomybę internetui, kuri didžiausias neigiamas pasekmes... [toliau žr. visą tekstą] / The relationship among various level of cociety has been moving on to virtuality, because the development of information and communication technologies grows to all spheres of life. It incites the dependence of virtual communication. There is a big discussion about virtual communication on the scientific level, but also we face a shortage of deeper analysis even in Lithuania. The deeper attitude is necessary to solve this problem. That is why this work deals with a discussed problem into a deeper way. Purpose of work – to ascertain the signs of dependence from virtual communication. Object of work – the signs identification from virtual communication. Tasks of work: 1. To ascertain the components of communication process. 2. To definite the relation of psychological dependence evolution and its sings. 3. To identify the signs of dependence from computer. 4. To identify the signs of dependence from internet. 5. To review and eveluate prevention means of dependence from computer and internet in Lithuania. 6. To carry out the empirical research of teens dependence signs identification from virtual communication. The research has been approved the hyphotesis partly only. The stongest dependence for teens is the internet, which has high negative impact for youth psychology. 50 per cent of teens agree with the biggest dependence from internet (33,3 per cent). But on the other hand there has been ascertain that researches of dependencies are very popular and the most important... [to full text]

Logika - mokslas, tiriantis mąstymo, samprotavimo dėsnius ir jo formas. Logikos pagalba mes galime nagrinėti teiginius ir įrodymus bei išsiaiškinti, teisingi jie ar ne. Logika yra naudojama daugelyje gyvenimo sričių: filosofijoje, matematikoje, kompiuterinėse programose, ir t.t. Plačiai yra paplitusi klasikinė logika. Šios logikos formulėmis galima nagrinėti uždavinius, kurių objektų būsena yra statinė, tačiau taip pat yra uždavinių, kurių būsena yra dinaminė, t.y. reikšmės ne visada vienodos, jos kinta. Todėl jų negalima išspręsti klasikinėmis logikos formulėmis. Reikalinga kita logika, kuri atsižvelgtų, kaip keičiasi objektų reikšmės kintant laikui, kadangi uždavinio vertė gali visiškai skirtis jei jį nagrinėsime kitu laiko momentu. Tiesinės baigtinės laiko logikos taisyklės gali nagrinėti ir tokius uždavinius, kuriuose reikia atsižvelgti į reikšmių kaitą atitinkamais laiko momentais. Pagrindinis šios logikos skirtumas: tikslesnis uždavinio detalizavimas, papildomos uždavinio nagrinėjimo (sprendimo) priemonės, t.y. naudosime naujus operatorius - laiko. Svarbu atsižvelgti ir į tai, kad uždaviniuose informacija gali būti nepilna. Sprendžiant reikia apibrėžti visus galimus variantus, t.y. esant tam tikrom sąlygom būtina atlikti atitinkamus veiksmus. Tiesinė baigtinė logika neapsiriboja vien tik praeitimi, taip pat yra atsižvelgiama ir į ateitį: nuo to laiko kai žingsnis po žingsnio einame nuo pradinės formos iki tikslo. Šios logikos struktūra yra baigtinė į abi puses, t.y. ir... [toliau žr. visą tekstą] / The aim of the present paper was to go deeper into the logics of time. By the formula of the classical logic it is possible to analyze only those problems where the condition of the objects is static. However, there are such problems where the condition of the objects is dynamic, i.e., the meanings are not always the same, they change. That is why it is not possible to solve them by the formula of classical logic. By referring to the articles (look [CM97], [MSC97]) calculation rules for the finite linear temporal logic as well as predicates’ logic above the finite temporal logic (PLBLL) were formulated. Concrete possible problem cases were defined by those rules. Therefore, it is no longer difficult to analyze the problems wanted with the help of those rules. Moreover, the formulated rules make it possible to analyze such problems where it is necessary to pay attention to the change of meanings at appropriate time moments. The main difference of this logic is: a more exact detailed analysis of the problem, additional tools of a problem analysis, i.e. new time operators are used. The work of the Turing machine was analyzed (look [Nor04]) over finite temporal structure. Necessary predicates were formulated, with the help of which transit formula were described. Also, this work aims at verifying the effective possibility of using Linear Time logic as a planning language. The main advantage of such a rich and expressive language is the possibility of encoding problem specific... [to full text]

The principles of parallel counting, the MPI program parcel, which was used in this work, allow to adapt them to solve tasks using computer net and peculiarities of implanting this parcel.

Genetic algorithms (GA) are among the widely used in various areas of computer science, including optimization problems. Genetic algorithms (GA) are based on the biological process of natural selection. Many simulations have demonstrated the efficiency of GAs on different optimization problems, among them, bin-packing, qaudratic assignment problem, graph partitioning, job-shop scheduling problem, set covering problem, traveling salesman problem, vehicle routing. The quadratic assignment problem (QAP) belong to the class of NP-hard combinatorial optimization problems. One of the main operators in GA is a crossover (i.e. solution recombination). This operator plays a very important role by constructing competitive genetic algorithms (GAs). In this work, we investigate several crossover operators for the QAP, among them, ULX (uniform like crossover), SPX (swap path crossover), OPX (one point crossover), COHX (cohesive crossover), MPX (multiple parent crossover) and others. Comparison of these crossover operators was performed. The results show high efficiency of the cohesive crossover.

Praktinėje žmonių veikloje (transporto sistemoje, valdyme, projektuojant konstrukcijas ir kt.) dažnai reikia rinktis vieną sprendinį iš kelių galimų. Iškyla uždavinys – rasti geriausią sprendinį. Pavyzdžiui, įmonėje reikia taip organizuoti gamybą, kad pelnas, gautas už pagamintą produkciją, būtų didžiausias; reikia taip suplanuoti produktų išvežimą iš siuntimo punktų (sandėlių, bazių) į paskirties punktus (parduotuves, statybos aikšteles ir t. t.), kad bendrosios transportavimo išlaidos būtų mažiausios. Darbo tikslas išanalizuoti optimizavimo uždavinius transporte, sprendžiant transporto uždavinius įvairiais būdais, naudojant skirtingas programas ir atitinkamus jų modelius. Palyginti programų interfeisus, susipažinti su jų aplinka ir padaryti išvadas, su kuria programa yra patogu ir optimalu spręsti specializuotus uždavinius. Šio darbo teorinėje dalyje pirmiausiai buvo susipažinta su pagrindinėmis sąvokomis, kurios yra naudojamos nagrinėjant šią problemą. Buvo susipažinta su Solver, WinQSB ir Simplex programomis. Išnagrinėjome, kaip reikia dirbti su Solver, WinQSB ir Simplex programomis, kad būtų galima surasti optimalų sprendinį konkrečių uždavinių transporto sferoje. Darbe taip pat buvo susipažinta su pagrindinėmis Network Modeling programos Transportation Problem (transporto uždavinių sprendimo modulio) – darbo principais, kuris priklauso WinQSB programai. Šią problemą domėtis bei galvoti kaip ją spręsti ir tobulinti turimas žinias nusprendžiau dirbdama transporto... [toliau žr. visą tekstą] / Fairly often it is necessary choose one solution out of several possible ones in the practical human activities (in transport system, management, design of structures, etc.). Naturally, then it is necessary to find the best solution. For example, a company has to arrange its production so as to maximise the profit from the production; product transportation from dispatch points (storehouses, centres) to destination (shops, construction sites, etc.) is to be planned so as to minimise the overall transportation costs. The objective of the work is to analyse the methods of linear programming when solving transportation problems by applying various tools, using different software and their respective models, to compare the software interfaces, get acquainted with their environment and to conclude which of the programmes is the most convenient and optimum for the solution of specific problems. The theoretical part of the work, first of all, introduces the main definitions used in the analysis of the problem. Solver, WinQSB and Simplex software was introduced. It was analysed, how one is to work with Solver, WinQSB and Simplex software to find an optimum solution when dealing with a particular problem of the transport sector. The work also introduces the main principles when working with Transportation Problem module of Network Modelling, which is a part of WinQSB software. I had decided to analyse the problem and improve my knowledge while working in the transport sector – then... [to full text]

Pagrindinėje mokykloje tiesinių nelygybių sprendimo mokoma aštuntoje klasėje. Tačiau nėra pakankamai vaizdžių priemonių, kurios padėtų mokiniams geriau įsisavinti ir suvokti nelygybių sprendimą. Jas dažniausiai mokoma aiškinant nelygybių sprendimo algoritmą. Mokiniai dažniausiai daro klaidas pritaikydami nelygybių savybes dauginant ar dalijant nelygybės abi puses iš neigiamo skaičiaus. Taip pat sunkiai sekasi pavaizduoti nelygybės sprendinius skaičių tiesėje ar užrašyti intervalu, nes intervalai iki begalybės nėra realiai matomi. Didžiausia problema – tekstinių (probleminių) uždavinių sprendimas. Mokiniai, mokėdami spręsti tiesines nelygybes, nesugeba žinių pritaikyti praktikoje. Dažnai daromos klaidos sudarant nelygybes bei užrašant sprendinius. Labai dažnai pamirštama, kad sprendžiama nelygybė yra tik būdas surasti tekstinio uždavinio sprendiniams. Šios problemos sprendimas – interaktyvių priemonių kūrimas ir panaudojimas ugdymo procese. Integruotos matematikos ir informacinių technologijų pamokos mokiniams ���domios, skatina loginį mąstymą bei motyvaciją. Todėl atsižvelgiant į mokinių daromų klaidų analizę bei ieškant efektyvaus sprendimo būdo, sukurta interaktyvi mokymo priemonė, kuri padės mokiniams aiškiai suprasti tiesinių nelygybių sprendimo algoritmą. / Solutions for linear inequalities are taught in the eight form in basic school. But there are still lack of examples that would greatly contribute to pupils’ knowledge concerning solving tasks of linear inequalities. Usually they are being taught by explaining algorithm of solution of inequalities. The most common mistakes pupils face proceed by multiplicating or divisioning both sides of inequality with the negative count. Also they face with difficulties expressing inequalities solutions in the linear counts or noting that according interval rules, because intervals are without end and the rest of counts can not be seen by them. One of the biggest problem – text’s (problemic) tasks solutions. Even having ability to solve tasks of linear inequalities they are not able to adopt it practically. There are often maddening such mistakes in composing inequalities and writing the solutions. Also they often forget that method of inequality is appointed just to find solution for the text’s tasks. Solution for this problem – creation of interactive measures and applying them in the process of education. Integrated lessons of mathematics and IT are very interesting for the pupils, prompt logical thinking and promote their motivation. Regarding to this problem I created an interactive methodical material, that would greatly contribute to pupils’ abilities to understand tasks connected to solving of linear inequalities and its algorithm solutions.

Bakalauro darbe nagrinėjamas trupmeninių tiesinių uždavinių sprendimas MS Office Excel Solver ir AMPL pagalba. Aprašomas taikomųjų projektų, skirtų trupmeniniams tiesiniams programavimo uždaviniams spręsti, kūrimas. Pateikti sprendimo rezultatai bei atliktas projektų palyginimas. Aptartos iškilusios problemos ir nurodyta, kaip jas išspręsti. / In this Bachelor work the derivation of fractional linear tasks are being researched and analyzed via MS Office Excel Solver and AMPL. Described in the application projects for fractional linear programming problem solution development. Provide the results and the comparison of the schemes was care out. Problems which appeared in this work were discussed as well as the solutions provided.