Les algorithmes distribués de consensus sont des algorithmes itératifs de faible complexité où les nœuds de capteurs voisins interagissent les uns avec les autres pour parvenir à un accord commun sans unité coordinatrice. Comme les nœuds dans un réseau de capteurs sans fil ont une puissance de calcul et une batterie limitées, ces algorithmes distribués doivent parvenir à un consensus en peu de temps et avec peu d’échange de messages. La première partie de cette thèse s’est basée sur l’étude et la comparaison des différents algorithmes de consensus en mode synchrone et asynchrone en termes de vitesse de convergence et taux de communications. La seconde partie de nos travaux concerne l’application de ces algorithmes de consensus au problème de la détection de trous de couverture dans les réseaux de capteurs sans fil.Ce problème de couverture fournit aussi le contexte de la suite de nos travaux. Il se décrit comme étant la façon dont une région d’intérêt est surveillée par des capteurs. Différentes approches géométriques ont été proposées mais elles sont limitées par la nécessité de connaitre exactement la position des capteurs ; or cette information peut ne pas être disponible si les dispositifs de localisation comme par exemple le GPS ne sont pas sur les capteurs. À partir de l’outil mathématique appelé topologie algébrique, nous avons développé un algorithme distribué de détection de trous de couverture qui recherche une fonction harmonique d’un réseau, c’est-à-dire annulant l’opérateur du Laplacien de dimension 1. Cette fonction harmonique est reliée au groupe d’homologie H1 qui recense les trous de couverture. Une fois une fonction harmonique obtenue, la détection des trous se réalise par une simple marche aléatoire dans le réseau. / Distributed consensus algorithms are iterative algorithms of low complexity where neighboring sensors interact with each other to reach an agreement without coordinating unit. As the nodes in a wireless sensor network have limited computing power and limited battery, these distributed algorithms must reach a consensus in a short time and with little message exchange. The first part of this thesis is based on the study and comparison of different consensus algorithms synchronously and asynchronously in terms of convergence speed and communication rates. The second part of our work concerns the application of these consensus algorithms to the problem of detecting coverage holes in wireless sensor networks.This coverage problem also provides the context for the continuation of our work. This problem is described as how a region of interest is monitored by sensors. Different geometrical approaches have been proposed but are limited by the need to know exactly the position of the sensors; but this information may not be available if the locating devices such as GPS are not on the sensors. From the mathematical tool called algebraic topology, we have developed a distributed algorithm of coverage hole detection searching a harmonic function of a network, that is to say canceling the operator of the 1-dimensional Laplacian. This harmonic function is connected to the homology group H1 which identifies the coverage holes. Once a harmonic function obtained, detection of the holes is realized by a simple random walk in the network.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux espaces temps dit globalement hyperboliques Cauchy compacts. Ce sont des espaces temps qui admettent une fonction, dite fonction temps de Cauchy, propre qui croit strictement le long des courbes causales inextensibles. Les niveaux de telles fonctions sont des hypersurfaces de type espace appelées hypersurfaces de Cauchy. La donnée d'une fonction temps définit naturellement une famille à 1-paramètres d'espaces métriques. Notre but est d'étudier le comportement asymptomatique de ces familles d'espaces métriques Il y a deux cas de figure à considérer : le premier étant le comportement asymptomatique dans le passé ; le deuxième est celui du comportement asymptomatique dans le futur. Plus de conditions géométriques sur l'espace temps et les fonctions temps à considérer seront nécessaires / In this thesis we're interested in globally hyperbolic Cauchy compact space-times. These are space-times that possess a proper function, called Cauchy time function, which ist strictly increasing along inextensible causal curves. A Cauchy time function defines naturally a 1-parameter family of metric spaces. One asks the natural and important question of the asymptomatic behaviour of this family with respect to the time : when time goes to 0 and when it goes towards infinity. Of course additional geometric condition on the space-ime and the time function will be necessary for a more appropriate study

L'un des buts de la physique de la matière condensée est à l'heure actuelle de fournir de nouveaux systèmes topologiques en particulier dans le domaine de la supraconductivité. L'une des manières envisagée pour générer des supraconducteurs topologiques est d'utiliser une interaction magnétique locale sous la forme de chaînes d'impuretés magnétiques, de vortex ou de clusters d'impuretés magnétiques ordonnées. Dans cette thèse nous avons étudié un ensemble d'effets en partant de l'étude d'impuretés individuelles en allant jusqu'aux clusters organisés en interaction avec un supraconducteur bidimensionnel. En utilisant la microscopie et la spectroscopie tunnel nous avons étudié des monocrystaux de 2H-NbSe$_{2}$ ainsi que les monocouches de Pb/Si(111). En raison du caractère électronique bi-dimensionnel de ces deux systèmes nous avons pu montrer que l'étendue spatiale des états liés induits par des impuretés magnétiques était considérablement augmentée en comparaison avec les supraconducteurs tridimensionnels. En combinant ces atomes magnétiques par auto-assemblage nous sommes parvenus à réaliser des clusters ferromagnétiques qui génèrent une supraconductivité topologique dans la monocouche de Pb. Nous présentons en particulier ici la mesure d'états de bords topologiques à l'interface entre Pb/Si(111) et Pb/Co/Si(111). Nous présentons également la mesure d'états liés à zéro énergie au centre de clusters magnétiques signant la présence de fermions de Majorana dans ces systèmes. / One of the present days goals of condensed matter physics is to create new systems with topological properties, especially in the field of superconductivity. One of the ways envisioned to create topological superconductors is to locally induce a magnetic interaction in the form of chains of magnetic impurities, vortices or magnetic clusters of ordered magnetic impurities. In this thesis we studied a set of effects from individual impurities to organized clusters interacting with two-dimensional superconductors. Using scanning tunneling microscopy and spectroscopy we considered two systems, monocrystals of 2H-NbSe$_{2}$ and monolayers of Pb/Si(111). Thanks to the two-dimensional electronic behavior of these two systems we show how the spatial extent of the bound states induced by magnetic impurities is considerably enhanced compared to the case of a three-dimensional superconductor. By combining these magnetic atoms using a self-assembly method we were able to create ferromagnetic clusters that lead to a topological superconductivity in Pb monolayers. In particular we present here measurement of topological edge states at the interface Pb/Si(111) and Pb/Co/Si(111). We also present the measurement of zero bias peaks in the center of larger magnetic clusters that sign the presence of Majorana fermions in these systems. Our results show that an adequate patterning of surfaces could realize topological patches and call for a pursuit of the efforts in the subject in order to be able to control Majorana fermions that could eventually lead to breakthrough in quantum computation.

L’objectif de cette thèse est de démontrer que π4(S3) ≃ Z/2Z en théorie des types homotopiques. En particulier, c’est une démonstration constructive et purement homotopique. On commence par rappeler les concepts de base de la théorie des types homotopiques et on démontre quelques résultats bien connus sur les groupes d’homotopie des sphères : le calcul des groupes d’homotopie du cercle, le fait que ceux de la forme πk(Sn) avec k < n sont triviaux et la construction de la fibration de Hopf. On passe ensuite à des outils plus avancés. En particulier, on définit la construction de James, ce qui nous permetde démontrer le théorème de suspension de Freudenthal et le fait qu’il existe un entier naturel n tel que π4(S3) ≃ Z/2Z. On étudie ensuite le produit smash des sphères, on construit l’anneau de cohomologie des espaces et on introduit l’invariant de Hopf, ce qui nous permet de montrer que n est égal soit à 1, soit à 2. L’invariant de Hopf nous permet également de montrer que tous les groupes de la forme π4n−1(S2n) sont infinis. Finalement, on construit la suite exacte de Gysin, ce qui nous permet de calculer la cohomologie de CP2 et de démontrer que π4(S3) ≃ Z/2Z, et que plus généralement on a πn+1(Sn) ≃ Z/2Z pour tout n ≥ 3 / The goal of this thesis is to prove that π4(S3) ≃ Z/2Z in homotopy type theory. In particular it is a constructive and purely homotopy-theoretic proof. We first recall the basic concepts of homotopy type theory, and we prove some well-known results about the homotopy groups of spheres: the computation of the homotopy groups of the circle, the triviality of those of the form πk(Sn) with k < n, and the construction of the Hopf fibration. We then move to more advanced tools. In particular, we define the James construction which allows us to prove the Freudenthal suspension theorem and the fact that there exists a natural number n such that π4(S3) ≃ Z/nZ. Then we study the smash product of spheres, we construct the cohomology ring of a space, and we introduce the Hopf invariant, allowing us to narrow down the n to either 1 or 2. The Hopf invariant also allows us to prove that all the groups of the form π4n−1(S2n) are infinite. Finally we construct the Gysin exact sequence, allowing us to compute the cohomology of CP2 and to prove that π4(S3) ≃ Z/2Z and that more generally πn+1(Sn) ≃ Z/2Z for every n ≥ 3

La tomodensitométrie est une technique très utile qui permet de mener avec succès des analyses non-invasives dans plusieurs types d'applications, par exemple médicales ou industrielles. L'analyse manuelle des structures d'intérêt présentes dans une image peut prendre beaucoup de temps, être laborieuse et parfois même impossible à faire en raison de sa complexité. C'est pour cela que dans cette thèse, nous proposons et développons des algorithmes nécessaires à cette analyse, basés sur la géométrie discrète et la topologie. Ces algorithmes peuvent servir dans de nombreuses applications, et en particulier au niveau de l'analyse quantitative automatique de l'arbre bronchique humain, sur la base d'images de tomodensitométrie. La première partie introduit les notions fondamentales de la topologie et de la géométrie discrètes utiles dans cette thèse. Ensuite, nous présentons le principe de méthodes utilisées dans de nombreuses applications : les algorithmes de squelettisation, de calcul de l'axe médian, les algorithmes de fermeture de tunnels et les estimateurs de tangentes. La deuxième partie présente les nouvelles méthodes que nous proposons et qui permettent de résoudre des problèmes particuliers. Nous avons introduit deux méthodes nouvelles de filtrage d'axe médian. La première, que nous appelons "hierarchical scale medial axis", est inspirée du "scale axis transform", sans les inconvénients qui sont propres à la méthode originale. La deuxième est une méthode nommée "discrete adaptive medial axis", où le paramètre de filtrage est adapté dynamiquement aux dimensions locales de l'objet. Dans cette partie, nous introduisons également des estimateurs de tangente nouveaux et efficaces, agissant sur des courbes discrètes tridimensionnelles, et que nous appelons "3Dlambda maximal segment tangent direction". Enfin, nous avons montré que la géométrie discrète et les algorithmes topologiques pouvaient être utiles dans le problème de l'analyse quantitative de l'arbre bronchique humain à partir d'images tomodensitométriques. Dans une chaîne de traitements de structure classique par rapport à l'état de l'art, nous avons appliqué des méthodes de topologie et de géométrie discrète afin de résoudre des problèmes particuliers dans chaque étape du processus de l'analyse quantitative. Nous proposons une méthode robuste pour segmenter l'arbre bronchique à partir d'un ensemble de données tomographiques (CT). La méthode est basée sur un algorithme de fermeture de tunnels qui est utilisé comme outil pour réparer des images CT abîmées par les erreurs d'acquisition. Nous avons aussi proposé un algorithme qui sert à créer un modèle artificiel d'arbre bronchique. Ce modèle est utilisé pour la validation des algorithmes présentés dans cette thèse. Ensuite nous comparons la qualité des différents algorithmes en utilisant un ensemble de test constitué de fantômes (informatiques) et d'un ensemble de données CT réelles. Nous montrons que les méthodes récemment présentées dans le cadre des complexes cubiques, combinées avec les méthodes présentées dans cette thèse, permettent de surmonter des problèmes indiqués par la littérature et peuvent être un bon fondement pour l'implémentation future des systèmes de quantification automatique des particularités de l'arbre bronchique / Computed tomography is a very useful technic which allow non-invasive diagnosis in many applications for example is used with success in industry and medicine. However, manual analysis of the interesting structures can be tedious and extremely time consuming, or even impossible due its complexity. Therefore in this thesis we study and develop discrete geometry and topology algorithms suitable for use in many practical applications, especially, in the problem of automatic quantitative analysis of the human airway trees based on computed tomography images. In the first part, we define basic notions used in discrete topology and geometry then we showed that several class of discrete methods like skeletonisation algorithms, medial axes, tunnels closing algorithms and tangent estimators, are widely used in several different practical application. The second part consist of a proposition and theory of a new methods for solving particular problems. We introduced two new medial axis filtering method. The hierarchical scale medial axis which is based on previously proposed scale axis transform, however, is free of drawbacks introduced in the previously proposed method and the discrete adaptive medial axis where the filtering parameter is dynamically adapted to the local size of the object. In this part we also introduced an efficient and parameter less new tangent estimators along three-dimensional discrete curves, called 3D maximal segment tangent direction. Finally, we showed that discrete geometry and topology algorithms can be useful in the problem of quantitative analysis of the human airway trees based on computed tomography images. According to proposed in the literature design of such system we applied discrete topology and geometry algorithms to solve particular problems at each step of the quantitative analysis process. First, we propose a robust method for segmenting airway tree from CT datasets. The method is based on the tunnel closing algorithm and is used as a tool to repair, damaged by acquisition errors, CT images. We also proposed an algorithm for creation of an artificial model of the bronchial tree and we used such model to validate algorithms presented in this work. Then, we compare the quality of different algorithms using set of experiments conducted on computer phantoms and real CT dataset. We show that recently proposed methods which works in cubical complex framework, together with methods introduced in this work can overcome problems reported in the literature and can be a good basis for the further implementation of the system for automatic quantification of bronchial tree properties

Les architectures des machines de calcul sont de plus en plus complexes et hiérarchiques, avec des processeurs multicœurs, des bancs mémoire distribués, et de multiples bus d'entrées-sorties. Dans le cadre du calcul haute performance, l'efficacité de l'exécution des applications parallèles dépend du coût de communication entre les tâches participantes qui est impacté par l'organisation des ressources, en particulier par les effets NUMA ou de cache.Les travaux de cette thèse visent à l'étude et à l'optimisation des communications haute performance sur les architectures hiérarchiques modernes. Ils consistent tout d'abord en l'évaluation de l'impact de la topologie matérielle sur les performances des mouvements de données, internes aux calculateurs ou au travers de réseaux rapides, et pour différentes stratégies de transfert, types de matériel et plateformes. Dans une optique d'amélioration et de portabilité des performances, nous proposons ensuite de prendre en compte les affinités entre les communications et le matériel au sein des bibliothèques de communication. Ces recherches s'articulent autour de l'adaptation du placement des tâches en fonction des schémas de transfert et de la topologie des calculateurs, ou au contraire autour de l'adaptation des stratégies de mouvement de données à une répartition définie des tâches. Ce travail, intégré aux principales bibliothèques MPI, permet de réduire de façon significative le coût des communications et d'améliorer ainsi les performances applicatives. Les résultats obtenus témoignent de la nécessité de prendre en compte les caractéristiques matérielles des machines modernes pour en exploiter la quintessence. / The emergence of multicore processors led to an increasing complexity inside the modern servers, with many cores, distributed memory banks and multiple Input/Output buses. The execution time of parallel applications depends on the efficiency of the communications between computing tasks. On recent architectures, the communication cost is largely impacted by hardware characteristics such as NUMA or cache effects. In this thesis, we propose to study and optimize high performance communication on hierarchical architectures. We first evaluate the impact of the hardware affinities on data movement, inside servers or across high-speed networks, and for multiple transfer strategies, technologies and platforms. We then propose to consider affinities between hardware and communicating tasks inside the communication libraries to improve performance and ensure their portability. To do so,we suggest to adapt the tasks binding according to the transfer method and thetopology, or to adjust the data transfer strategies to a defined task distribution. Our approaches have been integrated in some main MPI implementations. They significantly reduce the communication costs and improve the overall application performance. These results highlight the importance of considering hardware topology for nowadays servers.

Dans cette thèse, nous allons dans un premier temps proposer une définition d'espaces analytiques sur un anneau d'entiers de corps de nombres muni de la norme induite par le maximum des normes de ses différents plongements complexes. Cette définition s'appuie sur la théorie des espaces analytiques sur un corps non archimédien introduite par V. Berkovich.Nous montrerons ensuite que la définition que nous proposons donne lieu à une catégorie qui satisfait des propriétés essentielles comme une description " simple " des ensembles morphismes entre espaces analytiques, l'existence de produits fibrés et d'un foncteur d'analytification induit par une propriété universelle.Dans une troisième partie, nous étudierons divers propriétés des morphismes finis entre espaces analytiques et en déduirons la connexité locale par arcs des espaces analytiques sur un anneau d'entiers de corps de nombres muni de la norme décrite ci-dessus.Enfin, nous définirons une notion de dimension pour les espaces de Berkovich sur un anneau d'entiers de corps de nombres et étudierons plus en détail le foncteur d'analytification en montrant par exemple que le morphisme d'analytification est fidèlement plat et que ce foncteur respecte la dimension. / In the first part of this thesis, we give a definition of analytic spaces over a ring of integers of a number field provided with the norm induced by the maximum of the norms of thel complex embeddings. This definition uses V. Berkovich’s theory of analytic spaces over a non-archimedean field. Then we show that this definition leads to a category which satisfies some basic properties as a “simple” description of sets of morphisms between analytic spaces, the existence of fiber products and analytification functor defines by a universal property. In a third part, we study some properties of finite morphisms between analytic spaces and deduce the local arcwise connectedness of analytic spaces over a ring of integers of a number field provided with the norm described above. Finally, we define a notion of dimension for Berkovich spaces over a ring of integers of number field and study in more detail the analytification functor, in particular, that the analytification morphism is faithfully flat and that this functor respects dimension.

Dans cette thèse on étudie un invariant topologique des variétés de dimension 3, la torsion de Reidemeister, comme un objet global sur les variétés de caractères du groupe fondamental dans SL(2,C). Dans le cas du complexe cohomologique associé à la représentation adjointe, on définit la torsion « adjointe » comme une forme différentielle méromorphe sur la variété des caractères. On reliera l’apparition de pôles ou de zéros à :-des singularités de la variété des caractères-la topologie de certaines surfaces incompressibles plongées, produites via la théorie de Culler-Shalen.On obtiendra, comme conséquence de ces résultats, une formule reliant le genre de ces surfaces incompressibles, et celui de la variété des caractères.Dans le cas du complexe standard, la torsion « acyclique » est une fonction méromorphe sur la variété des caractères. Une étude poussée des pôles apparaissant aux points à l’infini nous permettra, entre autre, de donner des conditions suffisantes pour que la torsion soit non constante. / In this PhD dissertation, we study a topological invariant of 3-manifolds, namely the Reidemeister torsion, as globally defined on character varieties of the fundamental group in SL(2,C). The « adjoint » torsion will be the torsion of the cohomological complex associated to the adjoint representation. We explain that it can be seen as a meromorphic differential form on the character variety, and we aim to understand its poles and zeros. They will be related with -singular points of the character variety -the topology of incompressible surfaces embedded in the 3-manifold, provided by the Culler-Shalen theory. As an application, we prove a relation between the genus of those incompressible surface and the genus of the character variety. The « acyclic » torsion of the standard complex is a rational function on the character variety. We study its poles at infinity in the character variety, and we give sufficient conditions for this torsion to be non constant.

Le présent travail se veut une contribution à l’extension du domaine des applications de la théorie des chemins rugueux à travers l’étude de la convergence des processus discrets, qui permet un nouveau regard sur plusieurs problèmes qui se posent dans le cadre du calcul stochastique classique. Nous étudions la convergence en topologie rugueuse, d’abord des chaînes de Markov sur graphes périodiques, ensuite des marches de Markov cachées, et ce changement de cadre permet d’apporter des informations supplémentaires sur la limite grâce à l’anomalie d’aire, invisible en topologie uniforme. Nous voulons montrer que l’utilité de cet objet dépasse le cadre des équations différentielles. Nous montrons également comment le cadre des chemins rugueux permet d’en- coder la manière dont on plonge un modèle discret dans l’espace des fonctions continues, et que les limites des différents plongements peuvent être différenciées précisément grâce à l’anomalie d’aire. Nous définissons ensuite les temps d’occupation itérés pour une chaîne de Markov et montrons, en utilisant les sommes itérées, qu’ils donnent une structure combinatoire aux marches de Markov cachées. Nous proposons une construction des chemins rugueux en passant par les sommes itérées et la comparons à la construction classique, faite par les intégrales itérées, pour trouver à la limite deux types de chemins rugueux différents, non-géométrique et géométrique respectivement. Pour finir, nous illustrons le calcul et la construction de l’anomalie d’aire et nous donnons quelques résultats supplémentaires sur la convergence des sommes et temps d’occupation itérés. / Through the present work, we hope to contribute to extending the domain of applications of rough paths theory by studying the convergence of discrete processes and thus allowing for a new point of view on several issues appearing in the setting of classical stochastic calculus. We study the convergence, first of Markov chains on periodic graphs, then of hidden Markov walks, in rough path topology, and we show that this change of setting allows to bring forward extra information on the limit using the area anomaly, which is invisible in the uniform topology. We want to show that the utility of this object goes beyond the setting of dierential equations. We also show how rough paths can be used to encode the way we embed a discrete process in the space of continuous functions, and that the limits of these embeddings dier precisely by the area anomaly term. We then define the iterated occupation times for a Markov chain and show using iterated sums that they form an underlying combinatorial structure for hidden Markov walks. We then construct rough paths using iterated sums and compare them to the classical construction, which uses iterated integrals, to get two dierent types of rough paths at the limit: the non-geometric and the geometric one respectively. Finally, we illustrate the computation and construction of the area anomaly and we give some extra results on the convergence of iterated sums and occupation times.

Des liens de caténation sont progressivement crées lors de la réplication de l’ADN et sont responsables de la cohésion des chromatides sœurs. La topoisomérase IV est une topoisomérase de type II impliquée dans la résolution de ces liens de caténation accumulés derrière la fourche de réplication, et lors de la dernière étape de séparation des chromatides sœurs à la fin de la réplication. Nous avons étudié la liaison de la topoIV à l’ADN ainsi que son activité catalytique à l’aide de méthodes de biologie moléculaire et de génomique. Une expérience de ChIPseq a révélé que l’interaction de la topoIV de chez E.coli avec l’ADN est contrôlée par la réplication. Durant la réplication, la topoIV a accès à des centaines de sites sur l’ADN mais ne se lie qu’à quelques sites où elle exerce son activité catalytique. La conformation locale de la chromatine et l’expression des gènes influencent la sélection de certains sites. De plus, une forte liaison et une activité catalytique renforcée a été trouvée au site de résolution des dimers, dif. Le site dif est situé à l’opposé de l’origine de réplication dans le macrodomaine ter. Nous avons montré qu’il existe une interaction physique et fonctionnelle entre la topoIV et la recombinase XerCD, qui agit au site dif. Cette interaction est médiée par MatP, une protéine essentielle dans l’organisation du macrodomaine ter. L’ensemble de ces résultats montre que la topoIV, XerCD/dif et MatP œuvrent ensemble pour permettre l’étape finale de ségrégation des chromosomes lors du cycle cellulaire. / Catenation links between sister chromatids are formed progressively during DNA replication and are involved in the establishment of sister chromatid cohesion. Topo IV is a bacterial type II topoisomerase involved in the removal of catenation links both behind replication forks and after replication during the final separation of sister chromosomes. We have investigated the global DNA-binding and catalytic activity of Topo IV in E. coli using genomic and molecular biology approaches. ChIP-seq revealed that Topo IV interaction with the E. coli chromosome is controlled by DNA replication. During replication, Topo IV has access to most of the genome but only selects a few hundred specific sites for its activity. Local chromatin and gene expression context influence site selection. Moreover strong DNA-binding and catalytic activities are found at the chromosome dimer resolution site, dif, located opposite the origin of replication. We reveal a physical and functional interaction between Topo IV and the XerCD recombinases acting at the dif site. This interaction is modulated by MatP, a protein involved in the organization of the Ter macrodomain. These results show that Topo IV, XerCD/dif and MatP are part of a network dedicated to the final step of chromosome management during the cell cycle.