Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et expérimentale de la phase des ondes sismiques et des ultrasons se propageant dans les milieux désordonnés.<br>La théorie des distributions et des corrélations des dérivées spatiales et temporelles de la phase est développée dans l'hypothèse d'un champ scalaire analytique gaussien et circulaire. Ces fonctions statistiques permettent de caractériser les diffuseurs dans les deux dispositifs expérimentaux au coeur de cette thèse. D'une part, les fluctuations temporelles de la phase d'ultrasons sont utilisées pour sonder la dynamique d'une suspension de billes millimétriques sur des échelles de temps allant de la milliseconde à la seconde. D'autre part les fluctuations spatiales de la phase donnent une caractérisation de la diffusion multiple des ondes de flexion dans une plaque de Plexiglas ® perforée aléatoirement. Le comportement asymptotique en loi de puissance des distributions des dérivées de la phase démontre les propriétés gaussiennes des codas dans ces deux dispositifs.<br>Enfin, l'étude de la coda de séismes régionaux en Californie a permis de proposer une application à la détermination du libre parcours moyen des ondes sismiques dans la croûte terrestre : il est montré que c'est la seule échelle caractéristique de la fonction de corrélation de la dérivée spatiale de la phase.

Nous proposons de montrer que la signature Lorentzienne de la métrique d'espace-temps (+++-) n'est plus fixe à l'échelle de Planck lp et présente des "oscillations quantiques" entre les formes Lorentzienne et Euclidienne (+++±) jusqu'à l'échelle 0 où elle prend la forme Euclidienne (+ + + +). 1- Au plan algébrique, nous suggérons l'existence d'un "chemin de fluctuation" (3, 1)-(4, 0) excluant la signature ultra-hyperbolique (2, 2). Nous construisons l'espace topologique quotient *top décrivant la superposition des métriques Lorentzienne et Riemannienne. Nous montrons que *top comporte un point singulier S correspondant à l'origine de l'espace de superposition. En termes de groupes quantiques, nous établissons le lien entre q-déformation et "déformation" de la signature, notre principal résultat étant la construction du nouveau produit bicroisé cocyclique Mc(H). Une telle construction nous a permis de réaliser l'unification des signatures Lorentzienne et Euclidienne au sein du produit bicroisé cocyclique entre le groupe quantique Lorentzien Uq(so(3, 1)) et le groupe quantique Euclidien Uq(so(4))op. Nous suggérons aussi que la "semidualisation" de Majid décrit la transition q-Euclidien Æ q-Lorentzien. De même, la q-déformation de l'espace-temps indique que les structures naturelles Rq(4) et Rq(3,1) , covariantes sous Uq(so(4)) et Uq(so(3, 1)) sont reliées par semidualité. 2- Au plan physique, dans le cadre de la supergravité N=2, nous considérons qu'à l'échelle de Planck, le (pré)espace-temps est en état KMS (Kubo-Martin-Schwinger), le paramètre d'échelle ß du système étant complexe. L'algèbre de von Neumann associée à l'état non trivial des mesures sur la métrique à l'échelle de Planck est un facteur sans trace, de type IIIl. Nous étendons alors à l'échelle de supergravité la gravité relativiste et adoptons le Lagrangien L-supergravité = R2 + ßR + RR* incluant des termes de courbure quadratiques en R2, avec une composante physique (le terme d'Einstein ) associée à la signature Lorentzienne et une composante topologique (le terme topologique ) associée à la signature Euclidienne. La limite infrarouge de la théorie de superposition est alors donnée, à l'échelle de Planck, par le terme en R (+++-) tandis que la limite ultraviolette est donnée, à ß = 0, par le terme topologique RR* (++++). Nous proposons une dualité nouvelle entre instantons (secteur topologique) et monopôles (secteur physique) en dimension 4 représentant la superposition des métriques. 3- Au plan cosmologique, nous décrivons la Singularité Initiale de l'espace-temps par l'invariant topologique Is = Tr(-1)S, analogue au premier invariant de Donaldson. La Singularité Initiale, dont nous proposons la solution dans le cadre de la théorie topologique des champs, est ici identifiée à un instanton gravitationel singulier de rayon r = 0. Les observables physiques sont alors remplacées, à l'échelle 0, par des cycles d'homologie dans l'espace des modules des instantons. Nous conjecturons l'existence d'une amplitude topologique associée à une phase "d'expansion topologique" du pré-espace-temps de l'échelle 0 à l'échelle de Planck, précédant la phase d'expansion conventionnelle. L'expansion topologique du pré-espace-temps à partir de l'échelle 0 devrait alors correspondre à une pseudo-dynamique en temps imaginaire, que nous décrivons par le semi-groupe à un paramètre des automorphismes de l'algèbre M0,1 des pseudo-observables du système, M0,1 est un facteur à trace de type II*, associé à l'état ergodique de la mesure au voisinage de la Singularité Initiale.

Contexte.<!--SEC END --><br /> Le but de ce travail est de proposer une contribution au traitement numérique de la detection d'obstacles rigides dans des domaines acoustiques tridimensionnels bornés dont la taille est grande relativement à la longueur d'onde. Ce contexte peut être considéré comme un problème modèle, représentatif de situations physiquement plus complexes associées au contrôle non destructif, et relevant pour ses aspects théoriques de la diffraction inverse. Le contexte de la diffraction inverse présente de nombreuses difficultés sur le plan des méthodes numériques, et une grande partie des références traitant de ce type d'inversion se placent dans l'hypothèse d'un milieu infini. Celle-ci est plus pertinente pour des applications en électromagnétisme, telles que la furtivité radar, que pour l'identification de défauts dans des structures.<BR><br /><br />Nous nous plaçons donc dans le cadre classique de l'acoustique linéaire avec un domaine éclairé par des sources monochromatiques. Par ailleurs, on part du principe, également classique, de poser le problème d'inversion (identification de la position et la taille des obstacles) en termes de l'optimisation d'une fonction coût. La procédure alors employée est itérative, elle consiste à résoudre le problème direct pour des obstacles hypothétiques d'essais. Vu le coût de résolution d'un problème direct, cette approche préfère en général les algorithmes utilisant le gradient que les approches type évolutionnaire.<BR><br /><br /><strong>1 -- Résolution du problème acoustique direct par la méthode multipôle rapide.</strong> Le premier aspect sur lequel ce travail s'est penché porte sur l'accélération du problème direct (calcul du champ acoustique pour une configuration donnée d'obstacle), indispensable pour évaluer la fonction-coût du problème inverse. Plusieurs méthodes numériques existent pour cela, chacune ayant des avantages et des inconvénients ; on citera les éléments finis, les différences finies et les éléments de frontière. La méthode des éléments de frontière, qui nécessite uniquement le maillage de la frontière du domaine, est bien adaptée à la résoution du problème inverse, le remaillage nécessité par un changement de configuration d'obstacle étant très simple. L'équation intégrale conduit à un système linéaire dont la matrice est pleine et complexe, ce qui limite sévèrement (besoin mémoire <I>O</I>(<I>N</I><SUP>2</SUP>) et temps de calcul <I>O</I>(<I>N</I><SUP>3</SUP>)) la taille numérique (nombre <I>N</I> d'inconnues nodales sur les éléments de frontière) des problèmes si un solveur direct est employé. Pour traiter les calculs de grande taille occasionnés par le contexte 3D, on est ainsi amené à faire appel à un solveur itératif, qui ne demande pas le stockage de la matrice. La rapidité de résolution dépend alors essentiellement de celle du calcul d'un produit matrice-vecteur. Cette opération est a priori de complexité <I>O</I>(<I>N</I><SUP>2</SUP>), rédhibitoire pour les cas de grande taille (domaine grand devant la longueur d'onde). La Fast Multipole Method (FMM), initialement proposée par Greengard et Rohklin vers 1985 et depuis étendue aux formulations intégrales de nombreux problèmes de la physique, permet d'accélérer cette phase cruciale du calcul et réduire la complexité d'un produit matrice-vecteur à <I>O(</I><I>N</I>log<I>N</I>) en dynamique.<BR><br /><br />La mise en oeuvre de la FMM pour l'acoustique linéaire en 3D est ainsi l'une des composantes importantes de ce travail. Elle s'appuie sur des études récentes (en particulier thèse Sylvand, ENPC, 2002; articles E. Darve, 2000s) effectuées dans le cadre de la résolution numérique des équations de Maxwell. Le code issu de ce travail de thèse vérifie en particulier la complexité <I>O</I>(<I>N</I>log<I>N</I>) théorique, et a été validé sur des solutions exactes de l'acoustique 3D.<BR><br /><br /><strong>2 -- Méthode d'identification approchée d'obstacles par sensibilité topologique.</strong> Le second point étudié porte sur l'initialisation des algorithmes d'inversion utilisant la minimisation de la fonction coût. Les algorithmes globaux (par exemple de type évolutionnaire) ne sont pas réalistes en raison du très grand nombre de simulations directes nécessaires. Les algorithmes plus classiques utilisant le gradient dépendent des choix initiaux (position, taille, forme, nombre) sur les obstacles à identifier et peuvent ne pas converger pour des choix inadéquats. Des travaux récents (Bonnet et Guzina, 2005, entre autres) ont montré que le calcul du champ de sensibilité topologique associé à la fonction coût du problème inverse (une notion initialement proposée vers 1995 pour l'optimisation topologique des structures) permet d'obtenir de bonnes informations qualitatives sur la localisation d'obstacles à identifier. Le champ de sensibilité topologique, donnant le comportement asymptotique de la fonction-coût sous l'effet de l'apparition d'un obstacle de taille infinitésimale en un point spécifié du milieu, s'exprime comme une combinaison du champ direct et du champ adjoint associé à la fonction-coût, tous deux définis en l'absence d'obstacle. Le calcul de ce champ de sensibilité repose ainsi sur l'évaluation des formules de représentation intégrale donnant les champs direct et adjoint aux points d'une grille d'échantillonnage de la région 3D dans laquelle on cherche à identifier un défaut. Ce calcul, également coûteux a priori (<I>O</I>(<I>NM</I>) pour <I>O</I>(<I>N</I>) DDLs sur la frontière et<br /><I>O</I>(<I>M</I>) points d'échantillonnage), est lui aussi considérablement accéléré par l'emploi de la FMM. La FMM constitue donc au total une approche numérique bien adaptée à cette méthode d'exploration globale approchée reposant sur la sensibilité topologique. Le calcul FMM du champ de sensibilité topologique a été mis en oeuvre, et son intérêt testé sur des exemples synthétiques d'inversion. En particulier, pour une fonction-coût de type moindres carrés, la sensibilité topologique dépend linéairement des erreurs de mesure, et son calcul est donc moins sensible à ces erreurs que d'autres méthodes d'inversion.<BR><br /><br />Ce travail débouche donc sur une méthode approchée et rapide, utilisant les deux aspects présentés, qui donne des indications sur le nombre d'obstacles et leurs positions dans le domaine.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à diverses propriétés algébriques des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes de variétés. On appelle fragmentation la possibilité d'écrire un homéomorphisme en tant que composé d'homéomorphismes supportés dans des boules. Tout d'abord, nous étudions la longueur des commutateurs sur le groupe des homéomorphismes du tore et de l'anneau, ainsi que la norme de fragmentation, qui associe à tout homéomorphisme le nombre minimal de facteurs nécessaires pour écrire cet homéomorphisme en tant que composé d'homéomorphismes supportés dans des boules. Dans une deuxième partie de la thèse, nous abordons una autre propriété algébrique des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes : la distorsion. Celle-ci est reliée de manière surprenante à des propriétés de fragmentation des homéomorphismes.

Les transferts de chaleur et de masse sont deux phénomènes physiques à la base de nombreux systèmes thermiques employés dans des secteurs variés tels que l'industrie, le bâtiment ou encore les énergies renouvelables. Les présents travaux de recherche envisagent différentes méthodologies d'optimisation de configurations assurant le transfert de flux de chaleur, couplé ou non à un écoulement fluide, au sens topologique du terme. Les équations aux dérivées partielles décrivant les phénomènes physiques sont discrétisées avec la méthode des volumes finis. La première partie du manuscrit examine successivement trois classes différentes de méthodes: la théorie constructale, les automates cellulaires et les méthodes par pénalisation. Le même cas académique, portant sur le refroidissement d'un volume fini générant de la chaleur, est résolu au moyen de ces trois méthodes, ce qui permet ainsi de comparer les performances de chaque algorithme. Cette comparaison démontre l'ascendant des méthodes par pénalisation sur les deux premiers types, tant structurellement que quantitativement, et permet également d'établir des solutions basées sur des compromis dans le cadre d'optimisations multi-objectifs. Par conséquent, la seconde partie envisage l'application de cette approche à des configurations réalisant des transferts de chaleur conducto-convectifs en régime laminaire. L'utilisation de paramètres de pénalisation en conjonction avec les volumes finis requiert une régularisation de la dissipation visqueuse le long de l'interface fluide/solide. Une approche bi-objectif est développée visant à minimiser la puissance dissipée par le fluide, tout en maximisant l'énergie thermique récupérée sur le système. Les solutions obtenues adoptent des configurations non-triviales qui sont divisibles en quatre classes topologiques différentes. La thèse ouvre ainsi un nouveau champ d'investigation pour l'optimisation d'écoulements couplés à la problématique du transport de chaleur.

L'organisation structurée (graphe avec hiérarchies et propriétés sémantiques) d'objets du plan implique plusieurs opérations complexes qui doivent être effectuées en toute sécurité de cohérence topologique. La précision inhérente d'une machine étant nécessairement limitée, il faut souvent recourir à une arithmétique exacte couteuse. Cette thèse présente, à partir de travaux liés à la réalisation du module de facettisation d'un simulateur de vol industriel, une solution permettant l'utilisation d'une arithmétique mixte, de précision arbitraire et de coût très inférieur statistiquement a la solution exacte. On y trouve aussi l'unification des méthodes de construction d'un diagramme de Voronoi, d'une triangulation de Delaunay pour un nuage de points dans le plan et de la triangulation contrainte de Delaunay de la représentation par segments d'un graphe planaire, autour d'une technique incrémentale optimale, fondamentalement plus simple que la méthode diviser-pour-résoudre classique. La technique incrémentale permet, par ailleurs, de donner un algorithme linéaire et très simple de construction du diagramme de Voronoi et de la triangulation de Delaunay d'un nuage de points situes sur la frontière d'un polygone monotone ou convexe.

Les transferts de chaleur et de masse sont deux phénomènes physiques à la base de nombreux systèmes thermiques employés dans des secteurs variés tels que l'industrie, le bâtiment ou encore les énergies renouvelables. Les présents travaux de recherche envisagent différentes méthodologies d'optimisation de configurations assurant le transfert de flux de chaleur, couplé ou non à un écoulement fluide, au sens topologique du terme. Les équations aux dérivées partielles décrivant les phénomènes physiques sont discrétisées avec la méthode des volumes finis. La première partie du manuscrit examine successivement trois classes différentes de méthodes: la théorie constructale, les automates cellulaires et les méthodes par pénalisation. Le même cas académique, portant sur le refroidissement d'un volume fini générant de la chaleur, est résolu au moyen de ces trois méthodes, ce qui permet ainsi de comparer les performances de chaque algorithme. Cette comparaison démontre l'ascendant des méthodes par pénalisation sur les deux premiers types, tant structurellement que quantitativement, et permet également d'établir des solutions basées sur des compromis dans le cadre d'optimisations multi-objectifs. Par conséquent, la seconde partie envisage l'application de cette approche à des configurations réalisant des transferts de chaleur conducto-convectifs en régime laminaire. L'utilisation de paramètres de pénalisation en conjonction avec les volumes finis requiert une régularisation de la dissipation visqueuse le long de l'interface fluide/solide. Une approche bi-objectif est développée visant à minimiser la puissance dissipée par le fluide, tout en maximisant l'énergie thermique récupérée sur le système. Les solutions obtenues adoptent des configurations non-triviales qui sont divisibles en quatre classes topologiques différentes. La thèse ouvre ainsi un nouveau champ d'investigation pour l'optimisation d'écoulements couplés à la problématique du transport de chaleur.

On s'intéresse dans ce travail aux automates cellulaires unidimensionnels qui ont été largement étudiés mais où il reste beaucoup à faire. La théorie spectrale des automates cellulaires a notamment été peu abordée à l'exception de quelques résultats indirects. On cherche a mieux comprendre les cadres topologiques et ergodiques en étudiant l'existence de valeurs propres en particulier celles irrationnelles c'est à dire de la forme e^{2Iπα} où α est un irrationnel et I la racine carrée de l'unité. Cette question ne semble pas avoir été abordée jusqu'à présent. Dans le cadre topologique les résultats sur l'équicontinuité de Kůrka et Blanchard et Tisseur permettent de déduire directement que tout automate cellulaire équicontinu possède des valeurs propres topologiques rationnelles. La densité des points périodiques pour le décalage empêche l'existence de valeurs propres topologiques irrationnelles. La densité des points périodiques pour l'automate cellulaire semble être liée à la question des valeurs propres. Dans le cadre topologique, si l'automate cellulaire possède des points d'équicontinuité sans être équicontinu, la densité des points périodiques a comme conséquence le fait que le spectre représente l'ensemble des racines rationnelles de l'unité c'est à dire tous les nombres de la forme e^{2Iπα} avec α∈Q .Dans le cadre mesuré, la question devient plus difficile, on s'intéresse à la dynamique des automates cellulaires surjectifs pour lesquels la mesure uniforme est invariante en vertu du théorème de Hedlund. La plupart des résultats obtenus demeurent valable dans un cadre plus large. Nous commençons par montrer que les automates cellulaires ayant des points d'équicontinuité ne possèdent pas de valeurs propres mesurables irrationnelles. Ce résultat se généralise aux automates cellulaires possédant des points μ-équicontinu selon la définition de Gilman. Nous démontrons finalement que les automates cellulaires possédant des points μ-équicontinu selon la définition de Gilman possèdent des valeurs propres rationnelles

On introduit un modèle multi-fluides eulérien pour décrire l'évolution de sprays polydispersés dans des flammes diphasiques. Nous montrons que ce modèle peut être obtenu à partir d'un niveau cinétique de description. Il peut ainsi prendre en compte des interactions entre gouttes d'inerties différentes, comme la coalescence, ce qui n'avait jamais été fait avec un modèle eulérien. Il est validé par des comparaisons avec des mesures expérimentales pour le cas des sprays dilués sur des configurations de flammes laminaires de diffusion à contre-courant. Il est également comparé numériquement à des méthodes d'échantillonnages dans des cas de sprays dilués ou denses. D'autre part, son analyse numérique est menée dans un cas simplifié où seule subsiste l'évaporation. Cette analyse nous permet d'introduire d'autres méthodes numériques d'ordre arbitrairement élevé pour discrétiser l'espace des phases en taille et décrire l'évaporation. Elle nous permet aussi de considérer la propagation de flammes planes de prémélange, en présence d'un spray polydispersé. Cette configuration est décrite par un système de réaction-diffusion pour un modèle thermo-diffusif du gaz couplé au modèle cinétique du spray. La propagation de telles flammes est décrite par des ondes progressives du système complet. Pour en étudier l'existence, on utilise des méthodes de degré topologique pour des opérateurs elliptiques dans des domaines non bornés. Cependant, le modèle cinétique introduit une EDP hyperbolique. Les résultats d'analyse numérique permettent d'envisager une discrétisation de l'espace des tailles de gouttes, afin de se ramener à un système dynamique de dimension finie. Il reste à ajouter une diffusion dans la partie hyperbolique du système, afin d'obtenir un système elliptique et pouvoir appliquer une méthode de degré topologique. En passant à la limite sur la diffusion, puis sur le pas de discrétisation, on montre l'existence de flamme plane se propageant, en présence d'un spray polydispersé.

En 2003, Kechris, Pestov et Todorcevic démontrèrent que la structure de certains espaces métriques - dits ultrahomogènes - est intimement liée au comportement combinatoire de la classe de leurs sous-espaces métriques finis. La présente thèse a pour but d'explorer les différents aspects de cette connexion. Dans la première partie, la notion d'ultrahomogénéité métrique et les espaces ultrahomogènes complets séparables les plus remarquables, à savoir la sphère unité S_H de l'espace de Hilbert, l'espace de Baire et la sphère d'Urysohn S_U (à isométrie près, le seul espace complet séparable ultrahomogène et universel pour la classe des espaces métriques séparables de diamètre inférieur à 1) sont présentés. Dans la seconde partie, la notion de classe de Ramsey d'espaces métriques finis ordonnés est introduite et mise en lien avec les propriétés dynamiques des groupes d'isométries des espaces ultrahomogènes. Une importance particulière est attachée au théorème de Nesetril et à sa conséquence (originalement due à Pestov) selon laquelle toute action continue du groupe des autoisométries de S_U sur un compact admet un point fixe. Des résultats analogues sont ensuite obtenus dans d'autres cas, en particulier les espaces ultramétriques et l'espace de Baire. La troisième partie est quant à elle axée sur la notion de stabilité par oscillations. Pour la sphere de l'espace de Hilbert, la stabilité par oscillations n'est pas satisfaite ; il sagit d'un résultat essentiel en analyse fonctionnelle dû à Odell et Schlumprecht et équivalent à l'existence d'une application uniformément continue f de S_H dans [0,1] qui ne stabilise (ne devient presque constante) sur aucune copie isométrique de S_H dans S_H. En revanche, pour la majorité des autres espaces séparables ultrahomogènes, rien ne permet de démontrer ou de réfuter la stabilité par oscillations. C'est à ce problème qu'est consacré l'essentiel de la dernière partie. Cela conduit à la caractérisation complète des espaces ultramétriques séparables ultrahomogènes stables par oscillations et à une solution partielle dans le cas de la sphère d'Urysohn S_U.