This thesis explores a new way to analyze spatiotemporal data. By combining topology, the path signature and machine learning a robust model to analyze swarming behavior over time is created. Using persistent homology a representation of spatial data is obtained and the path signature gives us a representation for how this changes over time. This representation allows us to compare samples even if they have different amounts of time steps and different length of the sequence. It is also resistant to noise in the spatial representation. Using this data is then used to train a gaussian process regressor to extract parameters that govern the movement of swarms. Our analysis shows that the tested method is a good candidate for analyzing spatiotemporal data and that it warrants further studies. / Detta examensarbete utforskar ett nytt sätt att analysera spatiotemporal data. Genom att kombinera topologi, vägsignaturer och maskininlärning skapas en robust modell för att analysera svärmar beter sig över tid. Genom persistent homology erhålls en representation av spatial data och dess vägsignatur ger oss en representation för hur detta förändras över tiden. Denna representation gör det möjligt för oss att jämföra data även om de har olika antal tidssteg och sekvenserna är olika långa. Den är också motståndskraftig mot brus i den spatiala representationen. Denna data används sedan för att träna en gaussisk process-regressor för att extrahera parametrar som styr svärmarnas rörelse. Vår analys visar att den testade metoden är en bra kandidat för att analysera spatiotemporal data och att den är värd att studera ytterligare.

Stable rank has recently been proposed as an invariant to encode the result of persistent homology, a method used in topological data analysis. In this thesis we develop methods for statistical analysis as well as machine learning methods based on stable rank. As stable rank may be viewed as a mapping to a Hilbert space, a kernel can be constructed from the inner product in this space. First, we investigate this kernel in the context of kernel learning methods such as support-vector machines. Next, using the theory of kernel embedding of probability distributions, we give a statistical treatment of the kernel by showing some of its properties and develop a two-sample hypothesis test based on the kernel. As an alternative approach, a mapping to a Euclidean space with learnable parameters can be conceived, serving as an input layer to a neural network. The developed methods are first evaluated on synthetic data. Then the two-sample hypothesis test is applied on the OASIS open access brain imaging dataset. Finally a graph classification task is performed on a dataset collected from Reddit. / Stable rank har föreslagits som en sammanfattning på datanivå av resultatet av persistent homology, en metod inom topologisk dataanalys. I detta examensarbete utvecklar vi metoder inom statistisk analys och maskininlärning baserade på stable rank. Eftersom stable rank kan ses som en avbildning i ett Hilbertrum kan en kärna konstrueras från inre produkten i detta rum. Först undersöker vi denna kärnas egenskaper när den används inom ramen för maskininlärningsmetoder som stödvektormaskin (SVM). Därefter, med grund i teorin för inbäddning av sannolikhetsfördelningar i reproducing kernel Hilbertrum, undersöker vi hur kärnan kan användas för att utveckla ett test för statistisk hypotesprövning. Slutligen, som ett alternativ till metoder baserade på kärnor, utvecklas en avbildning i ett euklidiskt rum med optimerbara parametrar, som kan användas som ett ingångslager i ett neuralt nätverk. Metoderna utvärderas först på syntetisk data. Vidare utförs ett statistiskt test på OASIS, ett öppet dataset inom neuroradiologi. Slutligen utvärderas metoderna på klassificering av grafer, baserat på ett dataset insamlat från Reddit. / <p>QC 20200523</p>

This thesis aims to give insight into a novel approach for quantifying car traffic in developing cities. This is necessary to improve efficiency in resource allocation for improvements in infrastructure. The project took form of a case study of neighborhoods in the city of Nairobi, Kenya. The approach consists of a method which relies on topics from the field of Topological Data Analysis, together with the use of large data sources from taxi services in the city. With this, both qualitative and quantitative insight can be given about the traffic. The method was proven useful for understanding how traffic spreads, and to differentiate between levels of congestion: quantifying it. However, it failed to detect the effect of previous improvements of infrastructure. / Målet med rapporten är att ge insikt i en innovativ ansats för att kvantifiera biltrafik i utvecklingsstäder. Detta kommer som en nödvändighet för att kunna förbättra resursfördelning i utvecklandet av infrastruktur. Projektet utspelade sig som en fallstudie där stadsdelar i Nairobi, Kenya studerades. Ansatsen innefattar en metod som bygger på tekniker från topologisk dataanalys (eng. \textit{Topological Data Analysis}), tillsammans med stora datakällor från taxitjänster i staden. Detta hoppas ge både kvalitativ och kvantitativ information om trafiken i staden. Metoden visade sig vara användbar för att förstå hur trafik sprider sig och att differentiera mellan nivåer av trafik, alltså att kvantifiera den. Tyvärr så misslyckades metoden visa sig användbar för att mäta förbättringar i infrastruktur.

This thesis concerns the topological features of plane geometric shapes and financial transaction data. Topological properties of the data such as homology groups and their stable ranks are analysed. It is investigated how to mathematically describe differences between data sets and it is found that stable ranks can be used to capture these differences. Sub sampling is introduced as a way to apply stochastic methods to geometric structures. It is found that the average stable rank can be used to differentiate data sets. Furthermore, the sensitivity of average stable ranks to random noise is explored and it is studied how a single point changes the average stable ranks of geometric shapes and financial transaction data. A method to incorporate categorical data within the analysis is introduced. The theory is applied to financial transaction data with the objective to understand if there are topological differences between fraudulent and legit transactions which can be used to classify them. / I denna uppsats analyseras finansiell transaktionsdata samt plana geometriska objekt med hjälp av verktyg inom Topologisk Dataanalys. Topologiska egenskaper såsom homologi samt stabil rang analyseras och det undersöks hur en matematiskt kan beskriva skillnaden mellan geometriska objekt. Det visar sig att simplistiska komplex och dess motsvarande stabila rang kan användas för att beskriva dessa skillnader. Det undersöks även hur stokastiska metoder kan appliceras på geometrisk data och begreppet genomsnittlig stabil rang introduceras. Känsligheten för brus hos den genomsnittliga stabila rangen undersöks för plana objekt och det undersöks hur den genomsnittliga stabila rangen av en datamängd ändras om en datapunkt läggs till. En metod för att beskriva avstånd på kategorisk data introduceras eftersom analysen av stabil rang kräver ett definierat avstånd mellan datapunkter. Det undersöks huruvida det finns topologiska skillnader mellan bedrägliga och icke-bedrägliga transaktioner, samt om det finns skillnader mellan olika typer av bedrägliga transaktioner.

With the arrival of 5G networks, telecommunication systems are becoming more intelligent, integrated, and broadly used. This thesis focuses on predicting the upcoming traffic to efficiently promote resource allocation, guarantee stability and reliability of the network. Since networks modeled as graphs potentially capture more information than tabular data, the construction of the graph and choice of the model are key to achieve a good prediction. In this thesis traffic prediction is based on a time-evolving graph, whose node and edges encode the structure and activity of the system. Edges are created by dynamic time-warping (DTW), geographical distance, and $k$-nearest neighbors. The node features contain different temporal information together with spatial information computed by methods from topological data analysis (TDA). To capture the temporal and spatial dependency of the graph several dynamic graph methods are compared. Throughout experiments, we could observe that the most successful model GConvGRU performs best for edges created by DTW and node features that include temporal information across multiple time steps. / Med ankomsten av 5G nätverk blir telekommunikationssystemen alltmer intelligenta, integrerade, och bredare använda. Denna uppsats fokuserar på att förutse den kommande nättrafiken, för att effektivt hantera resursallokering, garantera stabilitet och pålitlighet av nätverken. Eftersom nätverk som modelleras som grafer har potential att innehålla mer information än tabulär data, är skapandet av grafen och valet av metod viktigt för att uppnå en bra förutsägelse. I denna uppsats är trafikförutsägelsen baserad på grafer som ändras över tid, vars noder och länkar fångar strukturen och aktiviteten av systemet. Länkarna skapas genom dynamisk time warping (DTW), geografisk distans, och $k$-närmaste grannarna. Egenskaperna för noderna består av dynamisk och rumslig information som beräknats av metoder från topologisk dataanalys (TDA). För att inkludera såväl det dynamiska som det rumsliga beroendet av grafen, jämförs flera dynamiska grafmetoder. Genom experiment, kunde vi observera att den mest framgångsrika modellen GConvGRU presterade bäst för länkar skapade genom DTW och noder som innehåller dynamisk information över flera tidssteg.

This Master's Thesis delves into the application of topological regularization techniques and relative latent representations within the realm of zero-shot model stitching. Building upon the prior work of Moschella et al. (2022) that introduces relative latent representations to enhance the similarities between latent spaces of different models, we incorporate the approach of Hofer et al. (2021), which combines Topological Data Analysis (TDA) and Machine Learning techniques for topological densification of class distributions in the latent space. The main research objective is to investigate the impact of topological regularization on zero-shot stitching performance when employing relative latent representations. Theoretical foundations for the relative transformation are established based on the intertwiner groups of activation functions. Empirical analyses are conducted to validate the assumptions underlying the construction of the relative transformation in the latent space. Moreover, experiments are performed on a Large Language Model trained on multilingual Amazon Reviews datasets to evaluate the effectiveness of zero-shot stitching while using the topological densification technique and the relative transformation. The findings indicate that the proposed methodologies can enhance the performance of multilingual model stitching. Specifically, enforcing the relative transformation to preserve the H0 homology death times distributions proves beneficial. Additionally, the presence of similar topological features plays a crucial role in achieving higher model compatibility. However, a more in-depth exploration of the geometric properties of the post-relative transformation latent space is necessary to further improve the topological densification technique. Overall, this work contributes to the emerging field of Topological Machine Learning and provides valuable insights for researchers in transfer learning and representation learning domains. / Denna masteruppsats undersöker tillämpningen av topologiska regleringstekniker och relativa latenta representationer inom området för zero-shot model stitching. Genom att bygga vidare på tidigare arbete av Moschella et al. (2022), som introducerade relativa latenta representationer för att förbättra likheterna mellan latenta rummet hos olika modeller, inkorporerar vi tillvägagångssättet av Hofer et al. (2021), som kombinerar topologisk dataanalys (TDA) och maskininlärningstekniker för topologisk ``förtätning'' av klassfördelningar i det latenta utrymmet. Den huvudsakliga forskningsuppgiften är att undersöka effekten av topologisk reglering på zero-shot model stitching-prestanda när man använder relativa latenta representationer. Teoretiska grunder för den relativa transformationen etableras baserat på intertwinergrupperna för aktiveringsfunktioner. Empiriska analyser genomförs för att validera antagandena som ligger till grund för konstruktionen av den relativa transformationen i det latenta rummen. Dessutom utförs experiment på en stor språkmodell tränad på multilinguella Amazon Reviews-dataset för att utvärdera effektiviteten hos zero-shot model stitching med Hofer's topologiska reglering och relativa transformation. Resultaten visar att de föreslagna metoderna kan förbättra prestationen hos zero-shot model stitching för flerspråkiga modeller. Specifikt är det fördelaktigt att tvinga den relativa transformationen att bevara H0 homologins dödstidsfördelningar. Dessutom spelar närvaron av liknande topologiska egenskaper en avgörande roll för att uppnå högre modellkompatibilitet. Dock krävs en mer ingående utforskning av de geometriska egenskaperna hos det latenta utrymmet efter den relativa transformationen för att ytterligare förbättra Hofer's topologiska reglering. Sammanfattningsvis bidrar detta arbete till det framväxande området Topologisk Maskininlärning och ger värdefulla insikter för forskare inom ``transfer-inlärning'' och representationsinlärningsdomäner.