In this thesis we use nonstandard methods for the valuation of derivatives on electricity. We model the dynamics of electricity spot price as mean reverting processes on the hyperfinite binomial tree and by switching to the risk-neutral world we derive analytical formulas for the price of forward contracts. Both of our models are fitted to the German electricity market and forward price predictions are compared with forward products traded on the exchange. We conclude that both the Ornstein-Uhlenbeck and the Schwartz one factor model fit long-term forward contracts well while our prediction results for short-term forward prod- ucts are not conclusive due to low liquidity and alternative approaches might be suitable. 1

La thèse est consacrée à étudier les relations entre les Équations aux Derivées Partielles Stochastiques et l'operateur de Kolmogorov associé dans des espaces de fonctions continues.<br />Dans la première partie, la théorie de la convergence faibles des fonctions est mis au point afin de donner des résultats généraux sur les semi-groupes des Markov et leur générateur.<br />Dans la deuxième partie, des modèles de semi-groups de Markov associés à des équations aux dérivées partielles stochastiques sont étudiés. En particulier, Ornstein-Uhlenbeck, réaction-diffusion et équations de Burgers ont été envisagées. Pour chaque cas, le semi-groupe de transition et son générateur infinitésimal ont été étudiées dans un espace de fonctions continues.<br />Les résultats principaux montrent que l'ensemble des fonctions exponentielles fournit un Core pour l'opérateur de Kolmogorov. En conséquence, on prouve l'unicité de l'équation de Kolmogorov de mesures (autrement dit de Fokker-Planck).

Dans cette thèse de Doctorat, on étudie dans un premier temps les processus d'Ornstein-Uhlenbeck à valeurs complexes (Zt = Xt + iYt, t ≥ 0), où (Xt, t ≥ 0) et (Yt, t ≥ 0) sont ses coordonnées cartésiennes. En prenant le paramètre du processus d'Ornstein-Uhlenbeck égal à 0, on discute, en particulier, le cas du mouvement brownien plan. Plus précisément, on étudie la distribution de certains temps d'atteinte associés aux nombres de tours autour d'un point fixé. Pour obtenir des résultats analytiques, on utilise et on étend l'identité de Bougerol. Cette identité dit que, pour un mouvement brownien réel Nous développons quelques identités en loi concernant les processus d'Ornstein-Uhlenbeck à valeurs complexes, qui sont équivalentes à l'identité de Bougerol. Ces identités nous permettent de caractériser les lois de temps d'atteinte Tc ≡ inf{t : θt = c}, (c > 0) du processus continu des nombres de tours θt, t ≥ 0 associé au processus d'Ornstein-Uhlenbeck à valeurs complexes Z. De plus, on étudie la distribution du temps aléatoire T−d,c ≡ inf{t : θt= −d ou c}, (c, d > 0) et particulièrement de T−c,c ≡ inf{t : θt=−c, c}, (c > 0). Une étude approfondie de l'identité de Bougerol montre que 1/Au(β), où Au(β) est l'horloge qui intervient dans l'identité de Bougerol, considéré sous une mesure appropriée, changée à partir de la mesure de Wiener, est infiniment divisible. En utilisant les résultats précédents, on estime le temps de rotation moyen, noté TRM. Ce dernier est la moyenne du premier temps pour qu'un polymère plan modélisé comme une collection de n cordes paramétrées par un angle brownien fasse un tour autour d'un autre point (winding). On est ainsi conduit à étudier une somme d'exponentielles i.i.d. avec un mouvement brownien réél en argument. On montre que la position finale satisfait à une nouvelle équation stochastique, avec un drift non-linéaire. Finalement, on obtient une formule asymptotique pour le TRM. Le terme dominant dépend de √n et, notablement, il dépend aussi faiblement de la configuration initiale moyenne. Nos résultats analytiques sont confirmés par des simulations browniennes.

Cette thèse se compose de trois parties. Dans la première partie, en utilisant les théorèmes limites par moyennisation logarithmique pour des martingales continues en temps continu, on construit un estimateur du couple $(\theta,\sigma^{2})$ pour un modèle autorégressif gaussien stable à temps continu et on montre que cet estimateur est asymptotiquement distribué comme un couple de variables aléatoires gaussiennes indépendantes quelle que soit la loi de l'\état initial $X_{0}$. La deuxième partie est consacrée à établir des résultats autour du théorème limite presque-sûre pour des martingales vectorielles quasi-continues à gauche en temps continu et à croissance explosive ou mixte. On applique les résultats obtenus au modèle d'Ornstein-Uhlenbeck bivarié utilisé en modélisation biologique et en mathématiques financières. Dans la dernière partie, on établit pour l'estimateur des moindres carrés $\hat{\theta}$ de $\theta$ d'un modèle autorégressif gaussien à temps continu non nécessairement stable, un théorème limite centrale presque-sûre (TLCPS), une loi forte quadratique associée au TLCPS et un théorème de la limite centrale logarithmique. Dans le cas stable, on propose d'utiliser l'estimateur des moindres carrés pondéré $\tilde{\theta}$ de $\theta$ pour améliorer les vitesses de convergence logarithmique dans les théorèmes obtenus. Dans le cas instable, on établit, pour l'estimateur des moindres carrés $\hat{\theta}$, les mêmes type de propriétés asymptotiques avec une vitesse de convergence arithmétique.

Les modèles aléatoires basés sur l'observation bruitée de diffusions discrétisées sont couramment utilisés en biologie ou en finance pour rendre compte de la présence d'erreur (ou bruit) entâchant la mesure d'un phénomène dont le comportement est dirigé par une équation différentielle stochastique. Deux questions statistiques sont liées à ces modèles : l'estimation d'un paramètre theta déterminant le comportement de la diffusion cachée, et le calcul du filtre optimal, ou d'une approximation. La première partie de cette thèse porte sur l'étude d'un modèle d'Ornstein-Uhlenbeck bidimensionnel partiellement observé et bruité, en lien avec l'estimation de paramètres de microvascularisation pour un modèle pharmacocinétique stochastique. Plusieurs résultats sur données médicales sont présentés. Dans la seconde partie, des estimateurs pour les paramètres de la diffusion cachée, sont obtenus dans un contexte de données haute fréquence, comme minima de fonctions de contraste ou comme zéros de fonctions d'estimation basées sur des moyennes locales d'observations bruitées. On montre en particulier la consistence et la normalité asymptotique de ces estimateurs. Enfin, la troisième partie étudie la tension de la suite des variances asymptotiques obtenues dans le théorème central limite associé à l'approximation particulaire du filtre et de la prédiction dans un modèle de Markov caché.

Brownian motion has met growing interest in mathematics, physics and particularly in finance since it was introduced in the beginning of the twentieth century. Stochastic processes generalizing Brownian motion have influenced many research fields theoretically and practically. Moreover, along with more refined techniques in measure theory and functional analysis more stochastic processes were constructed and studied. Lévy processes, with Brownian motionas a special case, have been of major interest in the recent decades. In addition, Lévy processes include a number of other important processes as special cases like Poisson processes and subordinators. They are also related to stable processes. In this thesis we generalize a result by S. Chandrasekhar [2] and Edward Nelson who gave a detailed proof of this result in his book in 1967 [12]. In Nelson’s first result standard Ornstein-Uhlenbeck processes are studied. Physically this describes free particles performing a random and irregular movement in water caused by collisions with the water molecules. In a further step he introduces a nonlinear drift in the position variable, i.e. he studies the case when these particles are exposed to an external field of force in physical terms. In this report, we aim to generalize the result of Edward Nelson to the case of α-stable Lévy processes. In other words we replace the driving noise of a standard Ornstein-Uhlenbeck process by an α-stable Lévy noise and introduce a scaling parameter uniformly in front of all vector fields in the cotangent space, even in front of the noise. This corresponds to time being sent to infinity. With Chandrasekhar’s and Nelson’s choice of the diffusion constant the stationary state of the velocity process (which is approached as time tends to infinity) is the Boltzmann distribution of statistical mechanics.The scaling limits we obtain in the absence and presence of a nonlinear drift term by using the scaling property of the characteristic functions and time change, can be extended to other types of processes rather than α-stable Lévy processes. In future, we will consider to generalize this one dimensional result to Euclidean space of arbitrary finite dimension. A challenging task is to consider the geodesic flow on the cotangent bundle of a Riemannian manifold with scaled drift and scaled Lévy noise. Geometrically the Ornstein-Uhlenbeck process is defined on the tangent bundle of the real line and the driving Lévy noise is defined on the cotangent space.

A stochastic differential equationdriven by a Brownian motion where the dispersion is determined by a parameter is considered. The parameter undergoes a change at a certain time point. Estimates of the time change point and the parameter, before and after that time, is considered.The estimates were presented in Lacus 2008. Two cases are considered: (1) the drift is known, (2) the drift is unknown and the dispersion space-independent. Applications to Dow-Jones index 1971-1974  and Goldmann-Sachs closings 2005-- May 2009 are given.

<p>A stochastic differential equationdriven by a Brownian motion where the dispersion is determined by a parameter is considered. The parameter undergoes a change at a certain time point. Estimates of the time change point and the parameter, before and after that time, is considered.The estimates were presented in Lacus 2008. Two cases are considered: (1) the drift is known, (2) the drift is unknown and the dispersion space-independent. Applications to Dow-Jones index 1971-1974  and Goldmann-Sachs closings 2005-- May 2009 are given.</p>

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Parameteridentifikation in finanzmathematischen Modellen, welche sich durch eine zeitabhängige Volatilitätsfunktion und stochastische Driftkomponente auszeichnen. Als Referenzmodell wird eine Variante des Bivariaten Ornstein-Uhlenbeck-Modells betrachtet. Ziel ist es, die zeitabhängige Volatilitätsfunktion sowohl in der Vergangenheit als auch für ein kleines zukünftiges Zeitintervall zu identifizieren. Weiterhin sollen einige reellwertige Parameter, welche die stochastische Drift beschreiben, bestimmt werden. Dabei steht nicht die Anpassung des betrachteten Modells an reale Aktienpreisdaten im Vordergrund sondern eine mathematische Untersuchung der Chancen und Risiken der betrachteten Schätzverfahren. Als Daten können Aktienpreise und Optionspreise beobachtet werden. Aus hochfrequenten Aktienpreisdaten wird mittels Wavelet-Projektion die (quadrierte) Volatilitätsfunktion auf einem vergangenen Zeitintervall geschätzt. Mit der so bestimmten Volatilitätsfunktion und einigen Aktienpreisen können anschließend die reellwertigen Parameter mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode bestimmt werden, wobei die Likelihoodfunktion mit Hilfe des Kalman Filters berechnet werden kann. Die Identifikation der Volatilitätsfunktion (oder abgeleiteter Größen) auf dem zukünftigen Zeitintervall aus Optionspreisen führt auf ein inverses Problem des Option Pricings, welches in ein äußeres nichtlineares und ein inneres lineares Problem zerlegt werden kann. Das innere Problem (die Identifikation einer Ableitung) ist ein Standardbeispielfür ein inkorrektes inverses Problem, d.h. die Lösung dieses Problems hängt nicht stetig von den Daten ab. Anhand von analytischen Untersuchungen von Nemytskii-Operatoren und deren Inversen wird in der Arbeit gezeigt, dass das äußere Problem gut gestellt aber in einigen Fällen schlecht konditioniert ist. Weiterhin wird ein Algorithmus für die schnelle Lösung des äußeren Problems unter Einbeziehung der Monotonieinformationen vorgeschlagen. Alle in der Arbeit diskutierten Verfahren werden anhand von numerischen Fallstudien illustriert.

Title: Stochastic Differential Equations with Gaussian Noise Author: Josef Janák Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Department of Probability and Mathematical Statistics Abstract: Stochastic partial differential equations of second order with two un- known parameters are studied. The strongly continuous semigroup (S(t), t ≥ 0) for the hyperbolic system driven by Brownian motion is found as well as the formula for the covariance operator of the invariant measure Q (a,b) ∞ . Based on ergodicity, two suitable families of minimum contrast estimators are introduced and their strong consistency and asymptotic normality are proved. Moreover, another concept of estimation using "observation window" is studied, which leads to more families of strongly consistent estimators. Their properties and special cases are descibed as well as their asymptotic normality. The results are applied to the stochastic wave equation perturbed by Brownian noise and illustrated by several numerical simula- tions. Keywords: Stochastic hyperbolic equation, Ornstein-Uhlenbeck process, invariant measure, paramater estimation, strong consistency, asymptotic normality.