The Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT) lattice became of great mathematical interest when it was observed that it exhibited a near-recurrence of its initial condition, despite it being a nonlinear system. This behavior was explained by showing that the Korteweg-de Vries (KdV) equation serves as a continuum limit for the FPUT and has soliton solutions. Much work has been done into analyzing the solitary wave solutions of the FPUT and the relationship between the lattice and its continuum limit. For certain potentials the modified KdV (mKdV) instead serves as the continuum limit for the FPUT. However, there has been little research done to examine how the defocusing mKdV can be used a modulation equation for the FPUT or how the kink solutions of the mKdV relate to solutions of the FPUT. This thesis first addresses the existence of kink-like solutions of the FPUT and shows that their profiles can be approximated by the profiles of the kink solutions of the mKdV. Next, it is shown that the defocusing mKdV can be used more widely as a modulation equation for small-amplitude, long-wavelength solutions of the FPUT lattice. Finally, the issue of stability of the kink-like solutions is discussed, and some results toward linear stability are given.

Η παρούσα εργασία αφορά στη μελέτη Χαμιλτώνιων συστημάτων Ν μη γραμμικών ταλαντωτών, όπως είναι αυτό των Fermi Pasta και Ulam (FPU), με στόχο την βαθύτερη κατανόηση της δυναμικής των σχεδόν-περιοδικών τροχιών και του ρόλου των αντίστοιχων τόρων στο χώρο φάσεων, καθώς αυξάνουμε την ενέργεια Ε και τον αριθμό βαθμών ελευθερίας Ν του συστήματος. Το βασικό μας αποτέλεσμα είναι ότι υπάρχουν τόροι χαμηλής διάστασης, που προκύπτουν από τη συνέχεια των αντίστοιχων του γραμμικού συστήματος, οι οποίοι ευθύνονται για τις FPU επαναλήψεις και εμποδίζουν την ισοκατανομή της ενέργειας μεταξύ όλων των κανονικών τρόπων ταλάντωσης. Αναλύοντας ευστάθεια αυτών των τόρων, μπορέσαμε να δώσουμε μια πληρέστερη ερμηνεία στο Παράδοξο των FPU, συνδέοντας και συμπληρώνοντας έτσι δύο από τις επικρατέστερες ερμηνείες του εν λόγω φαινομένου. / The present work concerns the study of Hamiltonian systems of N nonlinear coupled oscillators, as it is the one by Fermi Pasta and Ulam (FPU), in order to understand the dynamics of quasi-periodic orbits and the role of their corresponding tori in phase space, as we increase the energy E and the number N of the degrees of freedom. Our fundamental result is that there exist tori of low dimension, that come from the continuation of the corresponding tori of the linear system, which are responsible for the FPU recurrences and prevent the system from equipartition of the energy among all normal modes. By investigating the stability of these tori, we achieved to provide a more complete explanation for the FPU paradox, connecting and supplementing in this way two of the most dominant approaches for this paradox.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissFPM.pdf: 979275 bytes, checksum: 1b13e7e3772ecbeac26224804b180369 (MD5) Previous issue date: 2007-06-27 / Universidade Federal de Sao Carlos / In this work, we study the Artin braid group, B(n), and the confguration spaces (ordered and unordered) of a path connected manifold of dimension ¸ 2. The fundamental group of confguration space (unordered) of IR2 is identifed with the Artin braid group. This identifcation is used to conclude that the confguration space of IR2 is an Eilenberg-MacLane space of type K(B(n), 1). Therefore, it can be proved that the braid group B(n) contains no nontrivial element of the finite order. We use this fact to prove a generalization of a 2−dimensional version of the Borsuk-Ulam theorem presented by Connett [3]. / Neste trabalho, apresentamos o grupo de tranças de Artin, B(n), e os espaços de configurações (ordenado e não ordenado) de uma variedade conexa por caminhos de dimensão ¸ 2, a fim de identificar o grupo fundamental do espaço de configurações (não ordenado) de IR2 com o grupo de tranças de Artin. Usamos este fato para concluir que o espaço de configurações de IR2 é um espaço de Eilenberg-MacLane do tipo K(B(n), 1). Deste modo pode ser provado que o grupo de tranças B(n) não possui elementos não triviais de ordem finita, e usamos este fato na demonstração de uma generalização da versão bi-dimensional do teorema de Borsuk-Ulam apresentado por Connett [3].

Submitted by Livia Mello (liviacmello@yahoo.com.br) on 2016-10-05T14:40:49Z No. of bitstreams: 1 DissCHFP.pdf: 1216039 bytes, checksum: e21e062b0283d2bfe6ec436442e824a5 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-10-20T19:23:38Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissCHFP.pdf: 1216039 bytes, checksum: e21e062b0283d2bfe6ec436442e824a5 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-10-20T19:23:43Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissCHFP.pdf: 1216039 bytes, checksum: e21e062b0283d2bfe6ec436442e824a5 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-10-20T19:23:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissCHFP.pdf: 1216039 bytes, checksum: e21e062b0283d2bfe6ec436442e824a5 (MD5) Previous issue date: 2016-02-25 / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / In this work, we will use topological methods in combinatorics and geometry to present a proof of the topological Tverberg theorem and a result about many Tverberg partitions. / O objetivo principal desta dissertação consiste em desenvolver um estudo detalhado de métodos topológicos em combinatória e geometria visando apresentar uma prova da versão topológica do teorema de Tverberg e de um teorema sobre a quantidade de partições de Tverberg. / FAPESP: 2015/01264-7

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 3303.pdf: 932927 bytes, checksum: ea2dbce8b4c74b352bd38bd9e272f28e (MD5) Previous issue date: 2010-07-06 / Financiadora de Estudos e Projetos / Let G be a finite group acting freely in a Hausdorff paracompact topological space X and let Y be a k-dimensional metrizable space (or k-dimensional CW-complex). In this work, by using the genus of X; gen(X;G), we prove coincidence theorems for maps f : X ! Y . Such theorems generalize the main theorem proved by Aarts, Fokkink and Vermeer in [2]. Moreover, by using the Volovikov index defined in [39], we prove a Borsuk- Ulam theorem for compact Lie groups, which generalizes the main result proved by Biasi and Mattos in [7, 12]. / Sejam G um grupo finito agindo livremente sobre um espaço paracompacto Hausdorff X e Y um espaço metrizável de dimensão k (ou Y um cone CW-complexo de dimensão k). Neste trabalho, usando o gênus de X; gen(X; G), nós provamos teoremas de coincidências para aplicações contínuas f : X ! Y. Tais teoremas generalizam o resultado principal provado por Aarts, Fokkink e Vermeer em [2]. Mais ainda, usando o índice definido por Volovikov em [39], nós provamos uma versão do teorema de Borsuk-Ulam para grupos compactos de Lie, o qual generaliza o resultado principal provado por Biasi e Mattos em [7, 12].

Orientador: Maria Gorete Carreira Andrade / Banca: Denise de Mattos / Banca: Ermínia de Lourdes Campello Fanti / Resumo: Em Topologia, mais especificamente em Topologia Algébrica, temos alguns resultados clássicos que de alguma forma estão relacionados. No desenvolvimento deste trabalho, estudamos alguns desses resultados, a saber: Teorema de Lefschetz-Hopf, Teorema do Ponto Fixo de Lefschetz, Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, Teorema da Curva de Jordan e o Teorema Clássico de Borsuk-Ulam. Além disso, tivemos como objetivo principal mostrar relações existentes entre esses teoremas a partir do Teorema de Lefschetz-Hopf. / Abstract: In Topology, more specifically in Algebraic Topology, we have some classical results that are in some way related. In developing this work, we studied some of these results, namely the Lefschetz-Hopf Theorem, the Lefschetz Fixed Point Theorem, the Brouwer Fixed Point Theorem, the Jordan Curve Theorem and the Classic Borsuk-Ulam Theorem. Moreover, our main objective was to show relationships among those theorems by using Lefschetz-Hopf Theorem. / Mestre

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<p align="justify">Il y a un demi siècle, Fermi, Pasta et Ulam découvraient la récurrence du même nom, et créaient une discipline nouvelle, la dynamique non linéaire. Leur expérience numérique consistait à exciter le mode fondamental d'une chaîne d'oscillateurs reliés entre eux par des ressorts linéaires et faiblement non linéaires. Alors qu'ils s'attendaient à ce que l'énergie se répartisse progressivement sur un large spectre en raison du couplage non linéaire, ils observèrent au contraire un échange périodique (récurrent) d'énergie entre quelques-uns des modes d'ordre inférieur uniquement. Dix ans plus tard, des chercheurs ont interprété ce comportement récurrent comme le résultat de l'interaction entre des impulsions qui se propagent sans se déformer et résistent aux collisions entre elles, les solitons. Par la suite, le soliton a émergé dans différents domaines pour finalement occuper le cœur des sciences non linéaires. Et c'est sans doute en optique non linéaire que le soliton a connu ses plus grands succès, tant sur le plan fondamental que sur celui des applications. En particulier, les phénomènes non linéaires sont aisés à observer dans les fibres optiques grâce au large éventail des sources lasers disponibles et en raison du fort confinement de la lumière qui s'y propage.</p> <p align="justify">Dans notre travail de thèse, nous avons apporté la première démonstration expérimentale de la récurrence de Fermi-Pasta-Ulam dans la dynamique d'instabilité modulationnelle en fibre optique. En effet, une onde continue perturbée évolue spontanément, sous certaines conditions, en un train d'impulsions : l'énergie est transférée du mode fondamental (l'onde continue) aux modes d'ordre supérieur. La théorie prévoit qu'ensuite, l'onde continue initiale se reforme comme l'énergie revient vers le mode fondamental. Pour réaliser cette expérience, il faut parvenir à rencontrer les conditions prescrites par la théorie tout en évitant l'intervention d'effets perturbateurs. Dans ce but, nous avons étudié l'évolution d'impulsions plateaux, qui reproduisent les conditions d'onde continue requises par la théorie tout en permettant d'atteindre des puissances suffisantes pour observer la récurrence.</p> <p align="justify">Nous nous sommes ensuite intéressés à un nouveau type de soliton appelé paroi de domaines de polarisation, qui se présente comme la structure de commutation entre deux domaines semi-continus de polarisations circulaires orthogonales. En principe, les parois de domaines pourraient être exploitées dans les lignes de transmission optique où elles serviraient à séparer des séquences de bits de valeurs différentes, le 1 logique étant représenté par exemple par une polarisation circulaire droite, et le 0 par la polarisation circulaire orthogonale. Ces parois se propagent sans déformation et, contrairement aux solitons habituellement utilisés pour la transmission par fibre optique, elles conservent une position stable au sein du train de données transmis. Grâce à cette stabilité intrinsèque des parois de domaines, il devient possible de rapprocher des impulsions successives et d'accroître le débit des lignes de transmission, qui pourrait atteindre le Tbit/s en monocanal. Toutefois, les parois de domaines de polarisation n'existent en théorie que dans les fibres isotropes, alors que les fibres réelles sont soumises à de nombreuses perturbations qui les rendent biréfringentes. Dans notre travail, nous avons déterminé les paramètres d'une fibre spéciale qui permette l'observation de parois de domaines dans des conditions réalistes, mais nous n'avons pas réalisé l'expérience car la fibre commandée n'a pas pu être fabriquée.</p> <p align="justify">Si l'amélioration des performances des systèmes de télécommunications futurs passera nécessairement par l'accroissement des débits d'information en monocanal, elle exigera également la mise au point de dispositifs tout optiques, donc ultra-rapides, destinés au routage et au traitement des signaux transmis. Au-delà des applications en télécommunications, le développement de tels dispositifs provoquerait une véritable révolution photonique : les photons, plus rapides, supplanteraient pour les tâches usuelles les électrons utilisés dans les transistors électroniques. Ces dispositifs photoniques sont généralement basés sur les propriétés particulières résultant de la périodicité intrinsèque des matériaux utilisés. Cette périodicité se traduit par l'existence d'une bande interdit : quand les photons s'y trouvent (on dit alors qu'ils vérifient approximativement la condition de Bragg), ils ne peuvent se propager. Par ailleurs, la transmission de ces dispositifs est contrôlée en exploitant leurs propriétés non linéaires. Dans le cas des fibres, la bande interdite peut être réalisée quasiment sur mesure en imposant une modulation périodique contrôlée de l'indice de réfraction de la fibre. On crée ainsi un réseau de Bragg fibré, dans lequel la lumière subit une forte réflexion quand elle vérifie la condition de Bragg. Pourtant, même dans ces conditions, des impulsions suffisamment intenses appelées solhiatons peuvent encore subsister et se déplacer dans le réseau, les effets non linéaires compensant la réflexion du réseau. Pour observer les solhiatons, il faut toutefois parvenir à plonger immédiatement et complètement les impulsions dans le réseau, sans quoi elles sont irrémédiablement réfléchies par le réseau. Pour y parvenir, nous avons généré un réseau de Bragg dynamique : il se déplace le long de la fibre avec les impulsions. Nous avons constaté le confinement de deux impulsions qui, en l'absence du réseau dynamique, se propageraient à des vitesses différentes en raison de la dispersion chromatique. Ces impulsions devraient en plus se propager sans déformation, mais nous n'avons pas pu l'observer dans nos conditions expérimentales. Ce confinement constitue la première démonstration expérimentale du processus de formation de solhiatons stationnaires. Transposé des fibres aux matériaux semi-conducteurs, le solhiaton pourrait être exploité dans certains types de transistors photoniques. Les perspectives sont ambitieuses de voir un jour les résultats de notre recherche fondamentale contribuer à l'émergence de nouvelles applications.</p>

<p align="justify">Il y a un demi siècle, Fermi, Pasta et Ulam découvraient la récurrence du même nom, et créaient une discipline nouvelle, la dynamique non linéaire. Leur expérience numérique consistait à exciter le mode fondamental d'une chaîne d'oscillateurs reliés entre eux par des ressorts linéaires et faiblement non linéaires. Alors qu'ils s'attendaient à ce que l'énergie se répartisse progressivement sur un large spectre en raison du couplage non linéaire, ils observèrent au contraire un échange périodique (récurrent) d'énergie entre quelques-uns des modes d'ordre inférieur uniquement. Dix ans plus tard, des chercheurs ont interprété ce comportement récurrent comme le résultat de l'interaction entre des impulsions qui se propagent sans se déformer et résistent aux collisions entre elles, les solitons. Par la suite, le soliton a émergé dans différents domaines pour finalement occuper le cœur des sciences non linéaires. Et c'est sans doute en optique non linéaire que le soliton a connu ses plus grands succès, tant sur le plan fondamental que sur celui des applications. En particulier, les phénomènes non linéaires sont aisés à observer dans les fibres optiques grâce au large éventail des sources lasers disponibles et en raison du fort confinement de la lumière qui s'y propage.</p><p><p align="justify">Dans notre travail de thèse, nous avons apporté la première démonstration expérimentale de la récurrence de Fermi-Pasta-Ulam dans la dynamique d'instabilité modulationnelle en fibre optique. En effet, une onde continue perturbée évolue spontanément, sous certaines conditions, en un train d'impulsions :l'énergie est transférée du mode fondamental (l'onde continue) aux modes d'ordre supérieur. La théorie prévoit qu'ensuite, l'onde continue initiale se reforme comme l'énergie revient vers le mode fondamental. Pour réaliser cette expérience, il faut parvenir à rencontrer les conditions prescrites par la théorie tout en évitant l'intervention d'effets perturbateurs. Dans ce but, nous avons étudié l'évolution d'impulsions plateaux, qui reproduisent les conditions d'onde continue requises par la théorie tout en permettant d'atteindre des puissances suffisantes pour observer la récurrence.</p><p><p align="justify">Nous nous sommes ensuite intéressés à un nouveau type de soliton appelé paroi de domaines de polarisation, qui se présente comme la structure de commutation entre deux domaines semi-continus de polarisations circulaires orthogonales. En principe, les parois de domaines pourraient être exploitées dans les lignes de transmission optique où elles serviraient à séparer des séquences de bits de valeurs différentes, le 1 logique étant représenté par exemple par une polarisation circulaire droite, et le 0 par la polarisation circulaire orthogonale. Ces parois se propagent sans déformation et, contrairement aux solitons habituellement utilisés pour la transmission par fibre optique, elles conservent une position stable au sein du train de données transmis. Grâce à cette stabilité intrinsèque des parois de domaines, il devient possible de rapprocher des impulsions successives et d'accroître le débit des lignes de transmission, qui pourrait atteindre le Tbit/s en monocanal. Toutefois, les parois de domaines de polarisation n'existent en théorie que dans les fibres isotropes, alors que les fibres réelles sont soumises à de nombreuses perturbations qui les rendent biréfringentes. Dans notre travail, nous avons déterminé les paramètres d'une fibre spéciale qui permette l'observation de parois de domaines dans des conditions réalistes, mais nous n'avons pas réalisé l'expérience car la fibre commandée n'a pas pu être fabriquée.</p><p><p align="justify">Si l'amélioration des performances des systèmes de télécommunications futurs passera nécessairement par l'accroissement des débits d'information en monocanal, elle exigera également la mise au point de dispositifs tout optiques, donc ultra-rapides, destinés au routage et au traitement des signaux transmis. Au-delà des applications en télécommunications, le développement de tels dispositifs provoquerait une véritable révolution photonique :les photons, plus rapides, supplanteraient pour les tâches usuelles les électrons utilisés dans les transistors électroniques. Ces dispositifs photoniques sont généralement basés sur les propriétés particulières résultant de la périodicité intrinsèque des matériaux utilisés. Cette périodicité se traduit par l'existence d'une bande interdit :quand les photons s'y trouvent (on dit alors qu'ils vérifient approximativement la condition de Bragg), ils ne peuvent se propager. Par ailleurs, la transmission de ces dispositifs est contrôlée en exploitant leurs propriétés non linéaires. Dans le cas des fibres, la bande interdite peut être réalisée quasiment sur mesure en imposant une modulation périodique contrôlée de l'indice de réfraction de la fibre. On crée ainsi un réseau de Bragg fibré, dans lequel la lumière subit une forte réflexion quand elle vérifie la condition de Bragg. Pourtant, même dans ces conditions, des impulsions suffisamment intenses appelées solhiatons peuvent encore subsister et se déplacer dans le réseau, les effets non linéaires compensant la réflexion du réseau. Pour observer les solhiatons, il faut toutefois parvenir à plonger immédiatement et complètement les impulsions dans le réseau, sans quoi elles sont irrémédiablement réfléchies par le réseau. Pour y parvenir, nous avons généré un réseau de Bragg dynamique :il se déplace le long de la fibre avec les impulsions. Nous avons constaté le confinement de deux impulsions qui, en l'absence du réseau dynamique, se propageraient à des vitesses différentes en raison de la dispersion chromatique. Ces impulsions devraient en plus se propager sans déformation, mais nous n'avons pas pu l'observer dans nos conditions expérimentales. Ce confinement constitue la première démonstration expérimentale du processus de formation de solhiatons stationnaires. Transposé des fibres aux matériaux semi-conducteurs, le solhiaton pourrait être exploité dans certains types de transistors photoniques. Les perspectives sont ambitieuses de voir un jour les résultats de notre recherche fondamentale contribuer à l'émergence de nouvelles applications.</p><p><p> / Doctorat en sciences appliquées / info:eu-repo/semantics/nonPublished