Cette thèse aborde le traitement d'images et de vidéos sous l'angle variationnel, c'est-à-dire sous forme d'une énergie dont le minimum est atteint pour la solution. La modélisation adoptée pour formaliser le problème et obtenir ces énergies peut être déterministe ou stochastique. Il est connu que la première approche est équivalente à la classe paramétrique de la seconde. Ce constat nous a amené à faire le choix de la seconde approche a priori plus générale si l'on se débarrasse de l'hypothèse paramétrique. En contrepartie, il s'agit d'être capable d'exprimer et d'estimer une énergie en fonction des données alors interprétées comme des échantillons d'une variable aléatoire. Ce premier obstacle est classiquement surmonté par l'emploi de méthodes à noyau fixe sur des lois marginales, autrement dit, en supposant les canaux de données indépendants entre eux. Or cet obstacle en cache deux autres : l'inhomogénéité de la répartition des échantillons dans leur espace d'appartenance et leur faible densité dans cet espace. Ces difficultés, ainsi que l'hypothèse d'indépendance mentionnée plus haut, sont d'autant plus pénalisantes que le modèle proposé pour les données est de grande dimension (canaux couleur, mais aussi ajouts d'autres canaux pour prendre en compte les structures locales des images). Au fondement d'estimateurs de mesures statistiques telle que l'entropie, l'idée du kième plus proche voisin permet de résoudre les difficultés évoquées en s'adaptant à la densité locale des données, en considérant les canaux conjointement, et ce quelle que soit leur nombre. Dans ce contexte, nous proposons une approche statistique générale inspirée de la théorie de l'information, dédiée aux approches variationnelles car estimant efficacement des énergies en haute dimension, permettant le calcul de leur dérivée et pouvant estimer localement des probabilités. Ce cadre est appliqué aux trois problèmes de traitement d'images ou de vidéos que sont l'estimation de flot optique, le suivi d'objets vidéos et la segmentation. Ce point de vue, en permettant de limiter sinon de s'affranchir du problème de la dimension des données, autorise la définition de nouvelles mesures et lois de probabilités plus adaptées aux images naturelles. Certains travaux en suivi d'objets et en segmentation ont conduit à des implémentations industrielles.

Ce mémoire porte sur l'utilisation de dictionnaires en analyse et restauration d'images numériques. Nous nous sommes intéressés aux différents aspects mathématiques et pratiques de ce genre de méthodes: modélisation, analyse de propriétés de la solution d'un modèle, analyse numérique, apprentissage du dictionnaire et expérimentation. Après le Chapitre 1, qui retrace les étapes les plus significatives de ce domaine, nous présentons dans le Chapitre 2 notre implémentation et les résultats que nous avons obtenus avec le modèle consistant à résoudre \begin{equation}\label{tv-inf} \left\{\begin{array}{l} \min_{w} TV(w), \\ \mbox{sous les contraintes } |\PS{w-v}{\psi}|\leq \tau, \forall \psi \in \DD \end{array}\right. \end{equation} pour $v\in\RRN$, une donnée initiale, $\tau>0$, $TV(\cdot)$ la variation totale et un dictionnaire {\em invariant par translation} $\DD$. Le dictionnaire est, en effet, construit comme toutes les translations d'un ensemble $\FF$ d'éléments de $\RRN$ (des caractéristiques ou des patchs). L'implémentation de ce modèle avec ce genre de dictionnaire est nouvelle. (Les auteurs avaient jusque là considéré des dictionnaires de paquets d'ondelettes ou de curvelets.) La souplesse de la construction du dictionnaire a permis de conduire plusieurs expériences dont les enseignements sont rapportés dans les Chapitre 2 et 3. Les expériences du Chapitre 2 confirment que, pour obtenir de bons résultats en débruitage avec le modèle ci-dessus, le dictionnaire doit bien représenter la courbure des textures. Ainsi, lorsque l'on utilise un dictionnaire de Gabor, il vaut mieux utiliser des filtres de Gabor dont le support est isotrope (ou presque isotrope). En effet, pour représenter la courbure d'une texture ayant une fréquence donnée et vivant sur un support $\Omega$, il faut que le support, en espace, des filtres de Gabor permette un ``pavage'' avec peu d'éléments du support $\Omega$. Dans la mesure o\`{u}, pour une classe générale d'images, le support $\Omega$ est indépendant de la fréquence de la texture, le plus raisonnable est bien de choisir des filtres de Gabor dont le support est isotrope. Ceci est un argument fort en faveur des paquets d'ondelettes, qui permettent en plus d'avoir plusieurs tailles de supports en espace (pour une fréquence donnée) et pour lesquelles \eqref{tv-inf} peut être résolu rapidement. Dans le Chapitre 3 nous présentons des expériences dans lesquels le dictionnaire contient les courbures de formes connues (des lettres). Le terme d'attache aux données du modèle \eqref{tv-inf} autorise l'apparition dans le résidu $w^*-v$ de toutes les structures, sauf des formes ayant servi à construire le dictionnaire. Ainsi, on s'attend à ce que les forment restent dans le résultat $w^*$ et que les autres structures en soient absente. Nos expériences portent sur un problème de séparation de sources et confirment cette impression. L'image de départ contient des lettres (connues) sur un fond très structuré (une image). Nous montrons qu'il est possible, avec \eqref{tv-inf}, d'obtenir une séparation raisonnable de ces structures. Enfin ce travail met bien en évidence que le dictionnaire $\DD$ doit contenir la {\em courbure} des éléments que l'on cherche à préserver et non pas les éléments eux-mêmes, comme on pourrait le penser na\"{\i}vement. Le Chapitre 4 présente un travail dans lequel nous avons cherché à faire collaborer la méthode K-SVD avec le modèle \eqref{tv-inf}. Notre idée de départ est d'utiliser le fait que quelques itérations de l'algorithme qu'il utilise pour résoudre \eqref{tv-inf} permettent de faire réapparaître des structures absentes de l'image servant à l'initialisation de l'algorithme (et dont la courbure est présente dans le dictionnaire). Nous appliquons donc quelques une de ces itérations au résultat de K-SVD et retrouvons bien les textures perdues. Ceci permet un gain visuel et en PSNR. Dans le Chapitre 5, nous exposons un schéma numérique pour résoudre une variante du Basis Pursuit. Celle-ci consiste à appliquer un algorithme du point proximal à ce modèle. L'intérêt est de transformer un problème convexe non-différentiable en une suite (convergeant rapidement) de problèmes convexes très réguliers. Nous montrons la convergence théorique de l'algorithme. Celle-ci est confirmée par l'expérience. Cet algorithme permet d'améliorer considérablement la qualité (en terme de parcimonie) de la solution par rapport à l'état de l'art concernant la résolution pratique du Basis Pursuit. Nous nous espérons que cet algorithme devrait avoir un impact conséquent dans ce domaine en rapide développement. Dans le Chapitre 6, nous adapte aux cas d'un modèle variationnel, dont le terme régularisant est celui du Basis Pursuit et dont le terme d'attache aux données est celui du modèle \eqref{tv-inf}, un résultat de D. Donoho (voir [55]). Ce résultat montre que, sous une condition liant le dictionnaire définissant le terme régularisant au dictionnaire définissant le terme d'attache aux données, il est possible d'étendre les résultats de D. Donoho aux modèles qui nous intéressent dans ce chapitre. Le résultat obtenu dit que, si la donnée initiale est très parcimonieuse, la solution du modèle est proche de sa décomposition la plus parcimonieuse. Ceci garantie la stabilité du modèle dans ce cadre et fait un lien entre régularisation $l^1$ et $l^0$, pour ce type d'attache aux données. Le Chapitre 7 contient l'étude d'une variante du Matching Pursuit. Dans cette variante, nous proposons de réduire le produit scalaire avec l'élément le mieux corrélé au résidu, avant de modifier le résidu. Ceci pour une fonction de seuillage général. En utilisant des propriétés simples de ces fonctions de seuillage, nons montrons que l'algorithme ainsi obtenu converge vers la projection orthogonale de la donnée sur l'espace linéaire engendré par le dictionnaire (le tout modulo une approximation quantifiée par les caractéristiques de la fonction de seuillage). Enfin, sous une hypothèse faible sur la fonction de seuillage (par exemple le seuillage dur la satisfait), cet algorithme converge en un temps fini que l'on peut déduire des propriétés de la fonction de seuillage. Typiquement, cet algorithme peut-être utilisé pour faire les projections orthogonales dans l'algorithme ``Orthogonal Matching Pursuit''. Ceci nous n'avons pas encore été fait. Le Chapitre 8 explore enfin la problématique de l'apprentissage de dictionnaires. Le point de vue développé est de considerer cette problématique comme un problème d'estimation de paramètres dans une famille de modèles génératifs additifs. L'introduction de switchs aléatoires de Bernoulli activant ou désactivant chaque élément d'un dictionnaire invariant par translation à estimer en permet l'identification dans des conditions assez générales en particulier dans le cas o\`{u} les coefficients sont gaussiens. En utilisant une technique d'EM variationel et d'approximation de la loi a posteriori par champ moyen, nous dérivons d'un principe d'estimation par maximum de vraisemblance un nouvel algorithme effectif d'apprentissage de dictionaire que l'on peut apparenter pour certains aspects à l'algorithme K-SVD. Les résultats expérimentaux sur données synthétiques illustrent la possibilité d'une identification correcte d'un dictionaire source et de plusieurs applications en décomposition d'images et en débruitage.

Thèse doctorat : Mathématiques et applications : Rennes 1 : 2007. / Bibliogr. p. 227-236.

Résumé : Le présent travail de thèse est une contribution à l'analyse et à la modélisation du comportement micromécanique d'un multicristal en AMF. Il est fondé sur l'exploitation de la richesse des mesures de champs cinématiques locaux dans le multicristal en vue de l'investigation des mécanismes gouvernant le comportement mécanique à l'échelle microscopique : transformation de phases, .... L'analyse et la modélisation de ces micromécanismes ont contribué, d'une part, à la mise en place du modèle à fort contenu physique reliant les causes et les effets des phénomènes mécaniques étudiés et d'autre part, à l'identification des paramètres régissant le modèle rhéologique. Le travail de thèse présente trois objectifs : le premier est le développement d'une approche expérimentale dédiée à la mesure de champs cinématiques à l'échelle microscopique sur un multicristal en alliage à mémoire de forme de type Cu-Al-Be. La mesure cinématique est réalisée par la technique de corrélation d'images numériques. Les champs de déplacement puis de déformation sont ensuite extraits par un traitement numérique à l'aide du logiciel de corrélation d'images CORRELI-Q4. Le deuxième objectif est la mise en place d'une méthodologie de couplage entre simulations numériques du comportement du multicristal et la mesure des champs cinématiques à l'échelle de la microstructure. Le troisième but visé dans ce travail est la mise en œuvre d'une méthode d'identification basée sur la minimisation d'une norme énergétique formulée par l'erreur en relation de comportement. La méthode d'identification est appliquée à l'échelle de la microstructure afin d'estimer les paramètres du comportement mécanique du multicristal à partir du champ cinématique mesuré.

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'existence, la multiplicité et le comportement des solutions positives de systèmes d'équations aux dérivées <br />partielle faisant intervenir le (p,q)-Laplacien ou des opérateurs anisotropiques dans les cas sous-critique et critique.<br /> Dans le 1er chapitre on s' intéresse au système suivant (S):<br />\begin{eqnarray}<br />\left\{\begin{array}{lll}-\Delta_p u&=&\lambda f(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,\\<br />-\Delta_q v&=&\mu g(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,<br />\end{array}<br />\right.<br />\end{eqnarray}<br />avec $f$ et $g$ présentent des termes sous-critiques en u et v . On a pu construire deux suites de Palais-Smale sur la variété de Nehari convergeant <br />fortement dans $W{1,p}(\Omega)\times W{1,q}(\Omega)$ vers deux solutions distinctes.<br /> Dans le 2ème chapitre, on considère la même classe du système (S) dans le cas critique et dans $\mathbb{R}^N$. A la différence du chapitre 1, dans <br />ce cas on retrouve qu'une seule solution positive et pour $p=q$ on retrouve une seconde solution.<br /> Dans le chapitre 3, on généralise l'étude de Brézis-Nirenberg à une équation et puis à un système critique du type (S). On donne une définition plus générale de la notion de niveau critique.<br /> Le Dernier chapitre traîte d'une nouvelle classe de systèmes d'équations elliptiques anisotropiques (puissance dépend de la direction) avec des termes de réaction de type puissance de façon que l'espace fonctionnel naturel devient un espace de Sobolev anisotrope. On démontre l'existence ainsi que la régularité des solutions faibles du système puis l'existence d'une solution dans le cas où on a une sous et une sur-solution du système.

Lorsqu'un gaz de bosons est suffisament refroidi, une transition de phase apparaît : toutes les particules se concentrent dans le m^eme état d'énergie. On appelle l'objet résultant de ce phénomène un condensat de Bose-Einstein. On peut le décrire par une fonction d'onde macroscopique, minimisant à l'équilibre la fonctionnelle d'énergie de Gross-Pitaevskii. Une des propriétés remarquables des condensats est leur superfluidité. Elle peut se manifester par l'apparition de vortex (tourbillons) dans un condensat mis en rotation. Dans cette thèse nous étudions le comportement asymptotique des minimiseurs de la fonctionnelle de Gross-Pitaevskii bi-dimensionelle et des énergies associées dans différents régimes de paramètres rendant compte de situations physiquement intéressantes. Nous cherchons à identifier certaines transitions de phase caractérisées par l'organisation des vortex du condensat. Dans une première partie nous étudions une situation où il est justié physiquement de considérer un problème simplifié. La minimisation de la fonctionnelle d'énergie est alors restreinte au premier espace propre de l'opérateur de Ginzburg-Landau (le plus bas niveau de Landau, lié à l'espace de Fock-Bargmann). Nous étudions théoriquement et numériquement le modèle simplifié dans un régime où le condensat est annulaire et contient un réseau de vortex déformé. Une seconde partie est consacrée à un régime de rotation extrême où le problème limite devient linéaire. Nous montrons que ce problème limite décrit correctement les asymptotiques d'énergie et de densité de matière. Sous une hypothèse supplémentaire nous démontrons qu'un vortex géant se forme, c'est-à-dire un condensat annulaire dont tous les vortex se rassemblent dans la zone centrale de faible densité de matière. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'évaluation de la vitesse critique pour l'apparition du vortex géant. Nous montrons d'abord que le vortex géant apparaît au dessus d'un certain seuil que nous calculons en fonction des autres paramètres du problème, ce qui fournit une borne supérieure de la vitesse critique. Dans une quatrième partie nous montrons que cette borne supérieure est en fait optimale en considérant des vitesses proches du seuil par valeur inférieure. Nous montrons alors que des vortex sont présents dans le condensat et qu'ils se répartissent uniformément le long d'un cercle.

L'objet de cette thèse est l'étude d'algorithmes itératifs permettant de résoudre des problèmes d'optimisation convexe avec ou sans contraintes fonctionnelles, des problèmes de résolutions d'inégalités variationnelles à opérateur monotone et des problèmes de recherche de point selle. Ces problèmes sont envisagés lorsque la dimension de l'espace de recherche est grande et lorsque les valeurs des différentes fonctions étudiées et leur sous/sur-gradients ne sont pas connues exactement et ne sont accessibles qu'au travers d'un oracle stochastique. Les algorithmes que nous étudions sont des adaptations au cas stochastique de deux algorithmes : le premier inspiré de la méthode de descente en miroir de Nemirovski et Yudin et le second, de l'algorithme d'extrapolation duale de Nesterov. Pour chacun de ces deux algorithmes, nous donnons des bornes pour l'espérance et pour les déviations modérées de l'erreur d'approximation sous différentes hypothèses de régularité pour tous les problèmes sans contraintes fonctionnelles envisagées et nous donnons des versions adaptatives de ces algorithmes qui permettent de s'affranchir de connaître certains paramètres de ces problèmes non accessibles en pratique. Enfin nous montrons comment, à l'aide d'un algorithme auxiliaire inspiré de la méthode de Newton et des résultats obtenus lors de la résolution des problèmes de recherche de point selle, il est possible de résoudre des problèmes d'optimisation sous contraintes fonctionnelles.

Les travaux présentés dans ce manuscrit sont consacrés à l'étude des molécules d'éthylène C2H4 et de méthane CH4 pour des applications planétologiques et astrophysiques. La première partie de ce travail de thèse concerne la construction de surfaces ab initio (surface d'énergie potentielle et surfaces de moment dipolaire) pour l'éthylène. Une procédure permettant la détermination précise de la géométrie d'équilibre de cette molécule a été mise en place, car elle conditionne en partie la précision sur les niveaux rotationnels. Dans la seconde partie, ces surfaces ont été utilisés pour le calcul des niveaux d'énergie vibrationnels de l'éthylène et des isotopologues 12C2D4, 13C2H4 et 13C12CH4 par calcul variationnel, ainsi que l'étude des positions et intensités de raies pour les molécules 12C2H4 et 13C12CH4. Ces nouvelles surfaces ont permis des avancées significatives pour la prédiction variationnelle ab initio des spectres de l'éthylène. L'extension de ces calculs à l'étude de ces spectres à des températures élevées, pour des applications astrophysiques, a été pour la première fois abordée. La dernière partie concerne la construction non empirique d'un modèle effectif pour le moment dipolaire du méthane à partir de surfaces ab initio. Pour cela, une technique algébrique, basée sur la méthode des Transformations de Contact, et développée au sein de notre équipe pour les molécules triatomiques, a été pour la première fois étendue au cas des molécules penta-atomiques. L'ensemble de ces résultats a été confronté aux informations présentes dans les bases de données spectroscopiques, ce qui a permis de valider nos différentes approches. / The work presented in this manuscript is devoted to the study of ethyleneC2H4 and methane CH4 for planetological and astrophysical applications. The first part of this thesis concerns the construction of ab initio surfaces (potential energy surface and dipole moment surfaces ) for ethylene molecule. A procedure for the accurate determination of the equilibrium geometry in this molecule has been established, because it determines partially the accuracy of the rotational levels. In the second part, these surfaces were used to calculate the vibrational energy levels of ethylene and isotopologues 12C2D4, 13C2H4 and 13C12CH4 by variational calculations, and the study of the line positions and line intensities for 12C2H4 and 13C12CH4 molecules. These new surfaces have led to significant advances in ab initio variational predictions of ethylene spectra. For the first time, the extension of these calculations to the study of spectra at high-temperatures, for astrophysicalapplications were addressed. The last part concerns the non-empirical constructionof effective models for the dipole moment of methane from ab initio surfaces. For thisstudy, an algebraic technique based on the Contact Transformations approach, and developed in our team for triatomic molecules has been extended to the case of penta-atomic molecules for the very first time. All of these results was confronted with informations in spectroscopic databases, which were used to validate our approaches.

Cette thèse concerne quatre thèmes apparemment différents, mais en fait intimement liés : problèmes variationnels sur les algèbres de Jordan euclidiennes, problèmes de complémentarité sur l’espace des matrices symétriques, analyse angulaire entre deux cônes convexes fermés et analyse du chemin central en programmation conique symétrique.Dans la première partie de ce travail, le concept de “commutation au sens opérationnel” dans les algèbres de Jordan euclidiennes est étudié en fournissant un principe de commutation pour problèmes variationnels avec données spectrales.Dans la deuxième partie, nous abordons l’analyse et la résolution numérique d’une large classe de problèmes de complémentarité sur l’espace des matrices symétriques. Les conditions de complémentarité sont exprimées en termes de l’ordre de Loewner ou, plus généralement, en termes d’un cône du type Loewnerien.La troisième partie de ce travail est une tentative de construction d’une théorie générale des angles critiques pour une paire de cônes convexes fermés. L’analyse angulaire pour une paire de cônes spécialement structurés est également considérée. Par-exemple, nous travaillons avec des sous-espaces linéaires, des cônes polyédriques, des cônes de révolution, des cônes “topheavy” et des cônes de matrices.La dernière partie de ce travail étudie la convergence et le comportement asymptotique du chemin central en programmation conique symétrique. Ceci est fait en utilisant des techniques propres aux algèbres de Jordan. / This thesis deals with four different but interrelated topics: variational problems on Euclidean Jordan algebras, complementarity problems on the space of symmetric matrices, angular analysis between two closed convex cones and the central path for symmetric cone linear programming.In the first part of this work we study the concept of “operator commutation” in Euclidean Jordan algebras by providing a commutation principle for variational problems involving spectral data.Our main concern of the second part is the analysis and numerical resolution of a broad class of complementarity problems on spaces of symmetric matrices. The complementarity conditions are expressed in terms of the Loewner ordering or, more generally, with respect to a dual pair of Loewnerian cones.The third part of this work is an attempt to build a general theory of critical angles for a pair of closed convex cones. The angular analysis for a pair of specially structured cones is also covered. For instance, we work with linear subspaces, polyhedral cones, revolution cones, topheavy cones and cones of matrices.The last part of this work focuses on the convergence and the limiting behavior of the central path in symmetric cone linear programming. This is done by using Jordan-algebra techniques.

Dans ce manuscrit, nous avons l’intention d’une part d’étudier les effets isotopiques dans les spectres infrarougesde la phosphine et de l’éthylène et d’autre part de contribuer au développement d’un modèle théoriquepour les molécules non-rigides. La finalité de ce travail est la construction de listes spectroscopiques complètesen lien avec les applications planétologiques et astrophysiques à partir de calculs variationnels. La premièrepartie de ce travail de thèse concerne l’étude des 2 espèces deutérées de la molécule de phoshine et des 10 espècesisotopiques de l’éthylène enrichies par 13C et/ou D, le tout à partir de surfaces ab initio. Pour cela, nous avonsutilisé une procédure systématique permettant de propager l’information de l’isotope principal vers des espècesmoins abondantes à partir de considérations de symétrie et de transformations entre les coordonnées normales.Finalement, les spectres infrarouges ont été modélisés et confrontés aux données observées. La deuxième partiede ce travail porte sur l’étude des molécules non-rigides présentant un ou plusieurs mouvements de largeamplitude. Dans ce contexte, nous sommes partis du formalisme proposé par Hougen, Bunker et Johns. Afinde pouvoir réutiliser une grande partie des outils déjà existants, nous avons choisi une formulation algébriquedu problème. Ce modèle a d’abord été validé sur des molécules rigides connues pour lesquelles nous avions descalculs de référence. Concernant les systèmes non-rigides, des résultats préliminaires ont été obtenus pour lesmolécules d’ammoniac et d’éthane. De manière plus générale, ce travail offre également des solutions concrètesà des problèmes allant au-delà de l’approche HBJ en proposant différentes méthodes de calcul de la matrice derotation permettant de tourner le repère afin de minimiser le couplage entre la rotation et les mouvements degrande amplitude. / This thesis is devoted to the study of the isotopic effects in infrared spectra of the phosphine and ethylenemolecules as well as to the development of a theoretical model for treating nonrigid polyatomic molecules. Thefinal goal of this work is to build complete theoretical line lists for planetological and astrophysical applicationsby using ab initio surfaces and variational calculations. In a first part, a systematic procedure allowing to propagateinformation from the main isotopolog to the less abundant «daughter» species has been developed fromsymmetry considerations and normal coordinate transformations. Finally, the infrared spectra predictions havebeen carried out and compared to the experimental available data. The second part focuses on the treatment ofnonrigid molecules possessing one or more large amplitude motions. In this context, the Hougen-Bunker-Johnsformalism was used. The particularity of our algebraic model consists in the possibility of using most of thetools previously developed in the group. Our model has been first validated on semirigid systems for whichthere exist reference calculations. Some preliminary results concerning nonrigid molecules have been obtainedfor ammonia and ethane. In addition, we have proposed different methods for computing the rotation matrixallowing to take place in a frame minimizing couplings between rotation and large amplitude motions.