En este trabajo se presentará un estudio de las variedades de contacto obtenidas mediante el método de reducción de contacto, demostrado inicialmente por Geiges e impulsado por él mismo, E. Lerman entre otros. Dicho resultado tiene su esencia en el teorema de reducción simpléctica demostrado por K. R. Meyer en 1973 e independientemente por J. Marsden y A. Weinstein en 1974. Ambas contribuciones a la mecánica clásica impulsaron que en los últimos años se busque generalizar estos resultados al caso de contacto. Por ello, se pone mucha atención en el tipo de grupo de automorfismos que actuará en la variedad de estudio, con el objetivo de encontrar mayor información de la estructura de las variedades obtenidas luego de la reducción. La particularidad en los ejemplos que desarrollaremos será en que el grupo actuando en muchos casos será un toro de una cierta dimensión, lo cual nos generará las llamadas variedades teóricas de contacto. / In this work, we will study contact manifolds obtained through the contact reduction method, initially demonstrated by Geiges and promoted by himself, E. Lerman among others. This result has its essence in the symplectic reduction theorem demonstrated by K. R. Meyer in 1973 and independently by J. Marsden and A. Weinstein in 1974. Both contributions to classical mechanics led to the search of generalization of these results to the contact case over the last few years. Therefore, a lot of attention is paid to the type of group of automorphisms that will act in the study manifold, with the aim of nding more information on the structure of the manifolds obtained after the reduction. The particularity in the examples that we will develop will be that the group acting in many cases will be a torus of a certain dimension, which will generate the so-called contact toric manifolds. / Tesis

Resumen Este trabajo se describe una parte importante de los descubrimientos obtenidos durante el siglo XX, es una introducción a la teoría de variedades complejas y sus deformaciones. Intuitivamente la deformación de una variedad compleja compacta M, compuesta de un número finito de cartas coordenadas, viene dada por el desplazamiento de estas cartas. Definimos M= {Mt : t ∈ B} y ̟ :M→ B de manera que el desplazamiento del cual hablo se llevará a cabo a través de la aplicación KSt que va del espacio tangente de una variedad compleja B, denominado espacio base de una familia diferenciable de variedades complejas compactas (M,B,̟), al primer grupo de cohomología de Mt, es decir KSt : Tt(B) → H1(Mt,_t), donde _ es el haz de gérmenes de campos vectoriales holomorfos sobre Mt, a ésta aplicación se le llama La Aplicación Infinitesimal Kodaira-Spencer, que nos permitirá medir las variaciones de primer orden de la estructura compleja. En consecuencia, dada (M,B,̟) una familia analítica compleja de variedades complejas compactas, se tiene que las deformaciones infinitesimales _ = dMt/dt de Mt = ̟−1(t) son ciertos elementos de H1(Mt,_t). Por otro lado, dada una variedad compleja compacta M, si (M,B,̟) con 0 ⊂ B ⊂ C es una familia analítica compleja tal que M = ̟−1(_ 0). ¿Podemos decir que dMt/dt _ t ∈ H1(M,_) es una deformación infinitesimal de M? Pues no está claro que cada θ deba surgir de ésta manera. Resulta que si θ surgiese así, entonces tiene que cumplir con ciertas condiciones adicionales. Si existen clases de cohomología θ que no cumplan las condiciones dicionales, entonces θ no son deformaciones infinitesimales de M, si no, son llamados Obstrucciones a la deformación de M. Esta teoría de la obstrucción, garantiza la existencia de una familia analítica compleja para cualquier H1(M,_). Finalmente, hablaremos sobre el Número de Moduli, m(M), que viene a ser el número de parámetros efectivos de la familia analítica compleja (M,B,̟) con M = ̟−1(0), que contiene todas las deformaciones suficientemente pequeñas para M y nos da a conocer cuántas de éstas estructuras o deformaciones son iguales y diferentes. / Tesis

En el presente trabajo de tesis, una variedad tórica afín es una variedad algebraica X que contiene un toro algebraico T ≈ (C ∗) n como un abierto de Zariski denso y verifica que la acción del toro T sobre sí mismo se extiende a una acción del toro T sobre X. En este trabajo las variedades tóricas al cual hacemos referencia, son variedades algebraicas que se construyen de una manera especial, utilizando conos σ; es entonces que podemos demostrar que siempre podremos encontrar una resolución de singularidades que es inducida por el refinamiento del cono σ. Por lo tanto, el problema de resolver las singularidades de las variedades tóricas se ha reducido al problema combinatorio de encontrar un refinamiento de un cono, por ello mostramos la construcción y resolución mediante ejemplos, no sin antes verificar todos los aspectos matemáticos que garanticen los objetivos de la tesis el cual es resolver singularidades de una variedad tórica. / In the present thesis work, an affine toric variety is an algebraic variety X containing an algebraic torus T ≈ (C ∗) n as a Zariski open dense and verify that the action of the torus T on itself extends to an action of the torus T on X. In this work the toric varieties to which we refer, are algebraic varieties that are constructed in a special way, using cones σ; it is then that we can demonstrate that we can always find a resolution of singularities that is induced by the refinement of the cone σ. Therefore, the problem of solving the singularities of the toric varieties has been reduced to the combinatorial problem of finding a refinement of a cone, for that reason we show the construction and resolution by means of examples, but not before verifying all the mathematical aspects that guarantee the objectives of the thesis which is to solve singularities of a toric variety. / Tesis

Nesta tese conseguimos obter uma extensão para a fórmula do volume de tubos de H. Weyl para o caso hiperbólico e obter estimativas para o raio de injetividade em termos de invariantes geométricos/topológicos. Provamos, também, que se M é mínima, compacta e mergulhada em S³; e se Λ é uma das componentes conexas de Λ então, obtivemos uma estimativa por baixo para o vol (Λ) em termos da topologia e da geometria intrínsica de M. / In this work we obtain an extension of Weysl's tube formula to the hiperbolic space and estimatives of the radius of injectivity in terms of geometric and topologi- cal invariants. We also prove that if M is a minimal surface, compact and embedded in S³; and if Λ is the connected component of Λ; then obtain a below estimatives for vol (Λ) in terms of the topology and intrinsic geometry of M:

Nesta tese conseguimos obter uma extensão para a fórmula do volume de tubos de H. Weyl para o caso hiperbólico e obter estimativas para o raio de injetividade em termos de invariantes geométricos/topológicos. Provamos, também, que se M é mínima, compacta e mergulhada em S³; e se Λ é uma das componentes conexas de Λ então, obtivemos uma estimativa por baixo para o vol (Λ) em termos da topologia e da geometria intrínsica de M. / In this work we obtain an extension of Weysl's tube formula to the hiperbolic space and estimatives of the radius of injectivity in terms of geometric and topologi- cal invariants. We also prove that if M is a minimal surface, compact and embedded in S³; and if Λ is the connected component of Λ; then obtain a below estimatives for vol (Λ) in terms of the topology and intrinsic geometry of M:

Nesta tese conseguimos obter uma extensão para a fórmula do volume de tubos de H. Weyl para o caso hiperbólico e obter estimativas para o raio de injetividade em termos de invariantes geométricos/topológicos. Provamos, também, que se M é mínima, compacta e mergulhada em S³; e se Λ é uma das componentes conexas de Λ então, obtivemos uma estimativa por baixo para o vol (Λ) em termos da topologia e da geometria intrínsica de M. / In this work we obtain an extension of Weysl's tube formula to the hiperbolic space and estimatives of the radius of injectivity in terms of geometric and topologi- cal invariants. We also prove that if M is a minimal surface, compact and embedded in S³; and if Λ is the connected component of Λ; then obtain a below estimatives for vol (Λ) in terms of the topology and intrinsic geometry of M:

Orientador : Antonio Conde / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-07-14T03:28:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Baldin_Nelio_M.pdf: 1565946 bytes, checksum: aff12a3ffb3987b19a42658092665b30 (MD5) Previous issue date: 1985 / Resumo: Não informado. / Abstract: Not informed. / Mestrado / Mestre em Matemática

Orientador : Eduardo Sebastiani Ferreira / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-07-17T02:34:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Martins_AntonioCarlosGilli_M.pdf: 882064 bytes, checksum: ae4a10b76f81c3c4ec81afa2dc6e0c77 (MD5) Previous issue date: 1977 / Resumo: Não informado / Abstract: Not informed / Mestrado / Mestre em Matemática

Orientador : Francesco Mercuri / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-07-17T17:00:11Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Noronha_MariaHelena_M.pdf: 1464088 bytes, checksum: b48572d0e682e2b6ea3a05a3f6be47e2 (MD5) Previous issue date: 1983 / Resumo: Não informado / Abstract: Not informed / Mestrado / Mestre em Matemática

SILVA, Jonatan Floriano da; COLARES, Antonio Gervásio. Curvaturas médias anisotrópicas : estabilidade e resultados para hipersuperfícies não-convexas. 2011. 75f. Tese (doutorado)- Universidade Federal do Ceará, Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza-CE, 2011. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2011-10-07T13:02:47Z No. of bitstreams: 1 2011_tese_jfsilva.pdf: 539270 bytes, checksum: c9bc1ea3c3f5b30150d245bda18c715d (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2011-10-07T13:07:28Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2011_tese_jfsilva.pdf: 539270 bytes, checksum: c9bc1ea3c3f5b30150d245bda18c715d (MD5) / Made available in DSpace on 2011-10-07T13:07:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2011_tese_jfsilva.pdf: 539270 bytes, checksum: c9bc1ea3c3f5b30150d245bda18c715d (MD5) Previous issue date: 2011 / This work consists of two parts. In the first part we deal with a compact hypersurface without boundary immersed in to the Euclidean space with the quotient of anisotropic mean curvatures constant. Such a hypersurface is a critical point for the variational problem preserving a linear combination of the (k,F)-area and (n + 1)-volume enclosed by M. We show that it is (r, k,a,b)-stable if, and only if, up to translations and homotheties, it is the Wulff shape, under some assumptions on a,b € R. In the second part we obtain further characterizations for the Wulff shape involving the anisotropic mean curvatures of higher order of a hypersurface M in Rn+1 and the set W = Rn+1-Up€M Tp. Results are obtained for non-convex compact hypersurfaces satisfying W ╪ Ø. / Este trabalho consiste em duas partes. Na primeira parte, estudaremos hipersuperfícies compactas sem bordo imersas no espaço Euclidiano com o quociente das curvaturas médias anisotrópicas constante. Provaremos que tais hipersuperfícies são pontos críticos para um problema variacional de preservar uma combinação linear da (k, F)-área e do (n+1)-volume determinado por M. Demostraremos que a hipersuperfície é (r, k, a, b)-estável se, e somente se, a menos de translação e homotetia, ela é a Wulff shape de F (veja Seção 2.1), sob algumas condições acerca de a,b € R. Na segunda parte desse trabalho, obtemos outras caracterizações para a Wulff shape envolvendo as curvaturas médias anisotrópicas de ordem superior de uma hipersuperfície M em Rn+1 e o conjunto W = Rn+1 -Up€M Tp. Os resultados são obtidos para hipersuperfícies compactas não convexas satisfazendo W ╪ Ø.