L'objectif de la thèse est le développement de techniques d'estimations des systèmes dynamiques soumis à des perturbations (entrées inconnues), des fautes composants ou comportant des non linéarités pouvant être modélisées par des entrées inconnues. Le formalisme bond graph est utilisé principalement dans un souci d'exploitation de ses propriétés structurelles dans les phases d'analyse et de synthèse. Les modèles analysés sont linéaires et multivariables; une extension aux modèles non linéaires est aussi introduite dans le cas d'une transformation possible des non linéarités sous forme d'entrée inconnue. / The goal of the thesis is the development of a new approach for the estimation of dynamic systems subject to disturbances (unknown inputs) and component faults or estimation of models containing non-linearities that can be modeled by unknown inputs. The bond graph formalism is mainly used in analysis and synthesis phases because of its structural properties. The analyzed models are linear and multivariable; an extension to nonlinear models is also introduced if nonlinearities can be represented as unknown inputs.

Les minorations de combinaison linéaire, à coefficients entiers, de logarithmes de nombres algébriques constituent un outil important dans la résolution effective de certaines classes d'équations diophantiennes. Le cas de deux logarithmes est à cet égard particulièrement utile. Nous utilisons ici, pour l'obtention de ces minorations, la méthode dite de Schneider avec multiplicité. La démonstration repose sur l'utilisation des déterminants d'interpolation et d'un lemme de zéros approprié à ce cadre. Le lemme de zéros exploité ici, dont la preuve reprend la construction originelle de D.W. Masser, s'avère dans notre cas plus efficace que les résultats généraux précédemment employés. Nous utilisons ensuite une méthode standard pour encadrer un déterminant non nul, afin d'obtenir une inégalité fondamentale faisant intervenir de nombreux paramètres arbitraires. Nous déduisons de cette dernière une liste de minorations totalement explicites de formes linéaires de logarithmes.

La commande de systèmes physiques s'avère être une tâche difficile en général. En fonction du modèle choisi, les outils mathématiques pour l'analyse et la conception de lois de commande peuvent changés. Pour les systèmes décrits par une représentation entrée-sortie, type transfert, ou par une équation de type état, les principales informations exploitées lors de la phase d'analyse concerne la structure interne du modèle (structure finie) et la structure externe (structure à l'infini) qui permettent avant la phase de synthèse de connaître, sur le modèle en boucle ouverte, les propriétés des lois de commande envisagées ainsi que les propriétés du système piloté (stabilité...).Le travail porte principalement sur l'étude des zéros invariants des systèmes physiques représentés par bond graph, en particulier dans un contexte de modèle type LTV. L'approche algébrique est essentielle dans ce contexte car même si les aspects graphiques restent très proches du cas linéaire classique, l'extension aux modèles LTV reste très complexe d'un point de vue mathématique, en particulier pour le calcul de racines de polynômes. De nouvelles techniques d'analyse des zéros invariants utilisant conjointement l'approche bond graph (exploitation de la causalité) et l'approche algébriques ont permis de mettre en perspective certains modules associés à ces zéros invariants et de clarifier le problème d'annulation des grandeurs de sortie. L'application aux problèmes d'observateurs à entrées inconnues a permis d'illustrer nos propos sur des exemples physiques, avec certaines extensions, problèmes pour lesquels les zéros invariants apparaissent aussi comme éléments essentiels.

Cette thèse porte sur le développement de lois de commande pour la marche desrobots bipèdes. Le sous actionnement engendré par le basculement, volontaire ouinvolontaire, du pied en appui sur le sol représente une difficulté majeure. Nousabordons ce problème par l’étude de robots plans avec pieds ponctuels.La première partie de la thèse est une compilation des informations issuesde la littérature que nous avons jugées intéressantes. Nous traitons dans unpremier temps de la modélisation adoptée, puis effectuons une revue des différentesméthodes existantes, et présentons la mise en oeuvre expérimentale de l’une d’entre elle : la méthode HZD.Dans une deuxième partie, nous procédons à une étude de la dissipation relativede l’énergie cinétique du robot lorsque le pied impacte le sol. Nous utilisons les résultats issus de cette étude pour planifier des trajectoires de marche dissipant peu d’énergie. De telles trajectoires ont a priori le mérite de préserver la structure du robot et de générer moins de bruit. A contrario, des trajectoires dissipant la majorité de l’énergie du robot sont utilisées pour un arrêt rapide. Une étude numérique a montré que ces résultats sont robustes à des incertitudes de modèle.Enfin, dans une dernière partie, afin de compenser les difficultés liées au sousactionnement, nous proposons d’utiliser le degré de liberté supplémentaire offert par un changement de l’échelle de temps dans les équations de la dynamique (Time Scaling) pour la classe de robots considérée. En utilisant par ailleurs un changement de coordonnées et de feedback, nous dérivons de nouvelles formes normales exactes et approximatives. / This thesis addresses the general problem of the walking control of biped robots. The foot of the robot in contact with the ground may tip over and cause the robot to be undercatuated. This is a major difficulty in term of control. This problem is addressed by considering planar biped robots with point feet.In a first part, we present a standard way of modeling such systems, a litterature review of the existing methods, and then report experimental results of the walking control of a biped robot using the HZD method.In a second part, we perform an analytic and numeric study of the relativekinetic energy dissipation when the foot of the robot impacts the ground. Usingthis study, we design trajectories with low energy dissipation at impact, which a priori result in gaits preserving the hardware of the robot and causing less noise. On the contrary, trajectories dissipating almost all the kinetic energy are used to quickly stop the robot.Finally, in an attempt to alleviate the burden due to underactuation, we proposeto investigate the additional degree of freedom provided, in the control design, by a change of time scale in the dynamic equations (Time-Scaling) for the considered class of biped robots. Using feedback transformations, we derive new exact and approximative normal forms.

Cette thèse aborde des sujets d'approximation diophantienne et de transcendance liés aux fonctions exponentielles. Il est tout d'abord établit des liens entre les coefficients d'approximants de Hermite-Padé, ceux de polynômes d'interpolation de Hermite et certains cofacteurs d'un déterminant de Vandermonde généralisé. Nous utilisons ensuite la notion de hauteur d'une matrice (que nous majorons grâce aux liens précédemment fournis) afin de donner une nouvelle démonstration de la transcendance de $e$. Ces résultats nous permettent finalement d'obtenir de nouveaux énoncés d'approximation diophantienne tels que la minoration de la distance de l'exponentielle d'un nombre algébrique (de hauteur absolue logarithmique de Weil bornée) à un autre nombre algébrique (lui aussi de hauteur absolue logarithmique de Weil bornée) en fonction de ces mêmes bornes. Il est ensuite donné, pour différentes valeurs de nombres rationnels $a$, quelques estimations remarquables telles que le minimum, sur l'ensemble des entiers non nuls $b$ et $c$, de la distance $|e^(b)-a^(c)|$.

On propose quatre contributions à l'étude des fonctions L de formes modulaires. La première montre que le Jacobien d'une courbe modulaire possède un facteur simple sur le corps des rationnels de grande dimension et de rang nul, et un facteur simple de grande dimension et de grand rang. La seconde établit la conjecture de densité de niveau 1 des petits zéros pour de nouvelles familles de fonctions L de formes modulaires. La troisième étudie la distribution de la valeur en 1 de la fonction L de carré symétrique d'une forme modulaire. La dernière établit, en collaboration avec F. Martin, un critère de détermination des formes modulaires par les valeurs spéciales de leurs fonctions L.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilité robuste de lois de commande de systèmes non linéaires. La première partie s'intéresse aux systèmes non linéaires entrée-sortie linéarisés et découplés par bouclage statique. Nous rappelons la définition de l'immersion d'un système entrée-sortie et nous distinguons deux cas: l'immersion est localement bijective, les résultats de stabilité et de robustesse se ramènent au cas linéaire là où la loi de bouclage ne présente pas de singularité ; l'immersion n'est pas bijective. Dans ce cas, la loi de bouclage a rendu une partie de la dynamique inobservable, la dynamique des zéros. Nous donnons une définition de la stabilité moins restrictive que la stabilité asymptotique, la K-stabilité, et nous donnons deux conditions nécessaires de K-stabilité, l'une étant de nature topologique et utilisant la caractéristique d'Euler-Poincaré de la sous-variété asymptotique inobservable. La seconde partie est consacrée à l'étude de la linéarisation totale des systèmes non linéaires entrée-état par bouclage dynamique. Nous montrons d'abord que pour les systèmes mono-entrée, la linéarisation par bouclage dynamique est équivalente à la linéarisation par bouclage statique. Nous donnons ensuite une condition nécessaire triviale de linéarisation par bouclage dynamique. Nous montrons que cette condition est suffisante pour les systèmes ayant une dimension de plus que de com- mande. Puis nous donnons des conditions suffisantes de linéarisation totale par bouclage dynamique pour les systèmes non linéaires multi-entrée. Des exemples, dont un tiré de l'aéronautique, nous montrent comment mettre en œuvre ces conditions.

On étudie des propriétés des fonctions méromorphes dans un corps ultramétrique complet, algébriquement clos de caractéristique 0 qu'on note K (ex : K=Cp), ainsi que des propriétés de fonctions méromorphes dans un disque ouvert de K, prenant en compte pour cela le problème de Lazard, qu'on contourne en considérant une extension de K sphériquement complète. Les problèmes étudiés concernent d'une part la distribution des zéros pour différents types de fonctions méromorphes ultramétriques dans K ou dans un disque ouvert de K, avec notamment la Conjecture de Hayman. Et d'autre part, des problèmes d'unicité pour des fonctions méromorphes ultramétriques dans K ou dans un disque de K, qui satisfont certaines hypothèses : des fonctions du type (Po f)' et (P o g)' où P est un polynôme qui satisfait certaines conditions, ces fonctions partagent une autre fonction méromorphe qui est petite par rapport à f et g, en comptant les multiplicités. Ce dernier type de problèmes comporte naturellement des liens avec les problèmes portant sur les polynômes d'unicité pour des fonctions méromorphes dans K, et sur les ensembles d'unicité (URS). Finalement, on s'intéresse à l'existence ou non de solutions des équations fonctionnelles du type Diophantien : des équations fonctionnelles du type P(x)=Q(y) où P et Q sont des polynômes dont les coefficients sont des fonctions méromorphes. On introduit la notion de solutions admissibles pour ces type d'équations. La méthode la plus utilisée est la Théorie de Nevanlinna p-adique qui s'applique non seuleument à des fonctions méromorphes ultramétriques dans le corps K mais aussi aux fonctions méromorphes ultramétriques non bornées dans un disque ouvert de K.

Les modèles de régressions à inflation de zéros constituent un outil très puissant pour l’analyse de données de comptage avec excès de zéros, émanant de divers domaines tels que l’épidémiologie, l’économie de la santé ou encore l’écologie. Cependant, l’étude théorique dans ces modèles attire encore peu d’attention. Ce manuscrit s’intéresse au problème de l’inférence dans des modèles de comptage à inflation de zéro.Dans un premier temps, nous revenons sur la question de l’estimateur du maximum de vraisemblance dans le modèle binomial à inflation de zéro. D’abord nous montrons l’existence de l’estimateur du maximum de vraisemblance des paramètres dans ce modèle. Ensuite, nous démontrons la consistance de cet estimateur, et nous établissons sa normalité asymptotique. Puis, une étude de simulation exhaustive sur des tailles finies d’échantillons est menée pour évaluer la cohérence de nos résultats. Et pour finir, une application sur des données réelles d’économie de la santé a été conduite.Dans un deuxième temps, nous proposons un nouveau modèle statistique d’analyse de la consommation de soins médicaux. Ce modèle permet, entre autres, d’identifier les causes du non-recours aux soins médicaux. Nous avons étudié rigoureusement les propriétés mathématiques du modèle. Ensuite nous avons mené une étude numérique approfondie à l’aide de simulations informatiques et enfin, nous l’avons appliqué à l’analyse d’une base de données recensant la consommation de soins de plusieurs milliers de patients aux USA.Un dernier aspect de ces travaux de thèse a été de s’intéresser au problème de l’inférence dans le modèle binomial à inflation de zéro dans un contexte de données manquantes sur les covariables. Dans ce cas nous proposons la méthode de pondération par l’inverse des probabilités de sélection pour estimer les paramètres du modèle. Ensuite, nous établissons la consistance et la normalité asymptotique de l’estimateur proposé. Enfin, une étude de simulation sur plusieurs échantillons de tailles finies est conduite pour évaluer le comportement de l’estimateur. / The zero-inflated regression models are a very powerful tool for the analysis of counting data with excess zeros from various areas such as epidemiology, health economics or ecology. However, the theoretical study in these models attracts little attention. This manuscript is interested in the problem of inference in zero-inflated count models.At first, we return to the question of the maximum likelihood estimator in the zero-inflated binomial model. First we show the existence of the maximum likelihood estimator of the parameters in this model. Then, we demonstrate the consistency of this estimator, and let us establish its asymptotic normality. Then, a comprehensive simulation study finite sample sizes are conducted to evaluate the consistency of our results. Finally, an application on real health economics data has been conduct.In a second time, we propose a new statistical analysis model of the consumption of medical care. This model allows, among other things, to identify the causes of the non-use of medical care. We have studied rigorously the mathematical properties of the model. Then, we carried out an exhaustive numerical study using computer simulations and finally applied to the analysis of a database on health care several thousand patients in the USA.A final aspect of this work was to focus on the problem of inference in the zero inflation binomial model in the context of missing covariate data. In this case we propose the weighting method by the inverse of the selection probabilities to estimate the parameters of the model. Then, we establish the consistency and asymptotic normality of the estimator offers. Finally, a simulation study on several samples of finite sizes is conducted to evaluate the behavior of the estimator.

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