Many diffusion processes in nature and society were found to be anomalous, in the sense of being fundamentally different from conventional Brownian motion. An important example is the migration of biological cells, which exhibits non-trivial temporal decay of velocity autocorrelation functions. This means that the corresponding dynamics is characterized by memory effects that slowly decay in time. Motivated by this we construct non-Markovian lattice-gas cellular automata models for moving agents with memory. For this purpose the reorientation probabilities are derived from velocity autocorrelation functions that are given a priori; in that respect our approach is “data-driven”. Particular examples we consider are velocity correlations that decay exponentially or as power laws, where the latter functions generate anomalous diffusion. The computational efficiency of cellular automata combined with our analytical results paves the way to explore the relevance of memory and anomalous diffusion for the dynamics of interacting cell populations, like confluent cell monolayers and cell clustering.

Cell migration, the active translocation of cells is involved in various biological processes, e.g. development of tissues and organs, tumor invasion and wound healing. Cell migration behavior can be divided into two distinct classes: single cell migration and collective cell migration. Single cell migration describes the migration of cells without interaction with other cells in their environment. Collective cell migration is the joint, active movement of multiple cells, e.g. in the form of strands, cohorts or sheets which emerge as the result of individual cell-cell interactions. Collective cell migration can be observed during branching morphogenesis, vascular sprouting and embryogenesis. Experimental studies of single cell migration have been extensive. Collective cell migration is less well investigated due to more difficult experimental conditions than for single cell migration. Especially, experimentally identifying the impact of individual differences in cell phenotypes on individual cell migration behavior inside cell populations is challenging because the tracking of individual cell trajectories is required. In this thesis, a novel mathematical modeling approach, individual-based lattice-gas cellular automata (IB-LGCA), that allows to investigate the migratory behavior of individual cells inside migrating cell populations by enabling the tracking of individual cells is introduced. Additionally, stochastic differential equation (SDE) approximations of individual cell trajectories for IB-LGCA models are constructed. Such SDE approximations allow the analytical description of the trajectories of individual cells during single cell migration. For a complete analytical description of the trajectories of individual cell during collective cell migration the aforementioned SDE approximations alone are not sufficient. Analytical approximations of the time development of selected observables for the cell population have to be added. What observables have to be considered depends on the specific cell migration mechanisms that is to be modeled. Here, partial integro-differential equations (PIDE) that approximate the time evolution of the expected cell density distribution in IB-LGCA are constructed and coupled to SDE approximations of individual cell trajectories. Such coupled PIDE and SDE approximations provide an analytical description of the trajectories of individual cells in IB-LGCA with density-dependent cell-cell interactions. Finally, an IB-LGCA model and corresponding analytical approximations were applied to investigate the impact of changes in cell-cell and cell-ECM forces on the migration behavior of an individual, labeled cell inside a population of epithelial cells. Specifically, individual cell migration during the epithelial-mesenchymal transition (EMT) was considered. EMT is a change from epithelial to mesenchymal cell phenotype which is characterized by cells breaking adhesive bonds with surrounding epithelial cells and initiating individual migration along the extracellular matrix (ECM). During the EMT, a transition from collective to single cell migration occurs. EMT plays an important role during cancer progression, where it is believed to be linked to metastasis development. In the IB-LGCA model epithelial cells are characterized by balanced cell-cell and cell-ECM forces. The IB-LGCA model predicts that the balance between cell-cell and cell-ECM forces can be disturbed to some degree without being accompanied by a change in individual cell migration behavior. Only after the cell force balance has been strongly interrupted mesenchymal migration behavior is possible. The force threshold which separates epithelial and mesenchymal migration behavior in the IB-LGCA has been identified from the corresponding analytical approximation. The IB-LGCA model allows to obtain quantitative predictions about the role of cell forces during EMT which in the context of mathematical modeling of EMT is a novel approach.

We study cellular automata as discrete dynamical systems and in particular investigate under which conditions two cellular automata are topologically conjugate. Based on work of McKinsey, Tarski, Pierce and Head we introduce derivative algebras to study the topological structure of sofic shifts in dimension one. This allows us to classify periodic cellular automata on sofic shifts up to topological conjugacy based on the structure of their periodic points. We also get new conjugacy invariants in the general case. Based on a construction by Hanf and Halmos, we construct a pair of non-homeomorphic subshifts whose disjoint sums with themselves are homeomorphic. From this we can construct two cellular automata on homeomorphic state spaces for which all points have minimal period two, which are, however, not topologically conjugate. We apply our methods to classify the 256 elementary cellular automata with radius one over the binary alphabet up to topological conjugacy. By means of linear algebra over the field with two elements and identities between Fibonacci-polynomials we show that every conjugacy between rule 90 and rule 150 cannot have only a finite number of local rules. Finally, we look at the sequences of finite dynamical systems obtained by restricting cellular automata to spatially periodic points. If these sequences are termwise conjugate, we call the cellular automata conjugate on all tori. We then study the invariants under this notion of isomorphism. By means of an appropriately defined entropy, we can show that surjectivity is such an invariant.

Cancer cells display characteristic traits acquired in a step-wise manner during carcinogenesis. Some of these traits are autonomous growth, induction of angiogenesis, invasion and metastasis. In this thesis, the focus is on one of the latest stages of tumor progression, tumor invasion. Tumor invasion emerges from the combined effect of tumor cell-cell and cell-microenvironment interactions, which can be studied with the help of mathematical analysis. Cellular automata (CA) can be viewed as simple models of self-organizing complex systems in which collective behavior can emerge out of an ensemble of many interacting "simple" components. In particular, we focus on an important class of CA, the so-called lattice-gas cellular automata (LGCA). In contrast to traditional CA, LGCA provide a straightforward and intuitive implementation of particle transport and interactions. Additionally, the structure of LGCA facilitates the mathematical analysis of their behavior. Here, the principal tools of mathematical analysis of LGCA are the mean-field approximation and the corresponding Lattice Boltzmann equation. The main objective of this thesis is to investigate important aspects of tumor invasion, under the microscope of mathematical modeling and analysis: Impact of the tumor environment: We introduce a LGCA as a microscopic model of tumor cell migration together with a mathematical description of different tumor environments. We study the impact of the various tumor environments (such as extracellular matrix) on tumor cell migration by estimating the tumor cell dispersion speed for a given environment. Effect of tumor cell proliferation and migration: We study the effect of tumor cell proliferation and migration on the tumor’s invasive behavior by developing a simplified LGCA model of tumor growth. In particular, we derive the corresponding macroscopic dynamics and we calculate the tumor’s invasion speed in terms of tumor cell proliferation and migration rates. Moreover, we calculate the width of the invasive zone, where the majority of mitotic activity is concentrated, and it is found to be proportional to the invasion speed. Mechanisms of tumor invasion emergence: We investigate the mechanisms for the emergence of tumor invasion in the course of cancer progression. We conclude that the response of a microscopic intracellular mechanism (migration/proliferation dichotomy) to oxygen shortage, i.e. hypoxia, maybe responsible for the transition from a benign (proliferative) to a malignant (invasive) tumor. Computing in vivo tumor invasion: Finally, we propose an evolutionary algorithm that estimates the parameters of a tumor growth LGCA model based on time-series of patient medical data (in particular Magnetic Resonance and Diffusion Tensor Imaging data). These parameters may allow to reproduce clinically relevant tumor growth scenarios for a specific patient, providing a prediction of the tumor growth at a later time stage. / Krebszellen zeigen charakteristische Merkmale, die sie in einem schrittweisen Vorgang während der Karzinogenese erworben haben. Einige dieser Merkmale sind autonomes Wachstum, die Induktion von Angiogenese, Invasion und Metastasis. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Tumorinvasion, einer der letzten Phasen der Tumorprogression. Die Tumorinvasion ensteht aus der kombinierten Wirkung von den Wechselwirkungen Tumorzelle-Zelle und Zelle-Mikroumgebung, die mit die Hilfe von mathematischer Analyse untersucht werden können. Zelluläre Automaten (CA) können als einfache Modelle von selbst-organisierenden komplexen Systemen betrachtet werden, in denen kollektives Verhalten aus einer Kombination von vielen interagierenden "einfachen" Komponenten entstehen kann. Insbesondere konzentrieren wir uns auf eine wichtige CA-Klasse, die sogenannten Zelluläre Gitter-Gas Automaten (LGCA). Im Gegensatz zu traditionellen CA bieten LGCA eine einfache und intuitive Umsetzung der Teilchen und Wechselwirkungen. Zusätzlich erleichtert die Struktur der LGCA die mathematische Analyse ihres Verhaltens. Die wichtigsten Werkzeuge der mathematischen Analyse der LGCA sind hier die Mean-field Approximation und die entsprechende Lattice - Boltzmann - Gleichung. Das wichtigste Ziel dieser Arbeit ist es, wichtige Aspekte der Tumorinvasion unter dem Mikroskop der mathematischen Modellierung und Analyse zu erforschen: Auswirkungen der Tumorumgebung: Wir stellen einen LGCA als mikroskopisches Modell der Tumorzellen-Migration in Verbindung mit einer mathematischen Beschreibung der verschiedenen Tumorumgebungen vor. Wir untersuchen die Auswirkungen der verschiedenen Tumorumgebungen (z. B. extrazellulären Matrix) auf die Migration von Tumorzellen dürch Schätzung der Tumorzellen-Dispersionsgeschwindigkeit in einem gegebenen Umfeld. Wirkung von Tumor-Zellenproliferation und Migration: Wir untersuchen die Wirkung von Tumorzellenproliferation und Migration auf das invasive Verhalten der Tumorzellen durch die Entwicklung eines vereinfachten LGCA Tumorwachstumsmodells. Wir leiten die entsprechende makroskopische Dynamik und berechnen die Tumorinvasionsgeschwindigkeit im Hinblick auf die Tumorzellenproliferation- und Migrationswerte. Darüber hinaus berechnen wir die Breite der invasiven Zone, wo die Mehrheit der mitotischer Aktivität konzentriert ist, und es wird festgestellt, dass diese proportional zu den Invasionsgeschwindigkeit ist. Mechanismen der Tumorinvasion Entstehung: Wir untersuchen Mechanismen, die für die Entstehung von Tumorinvasion im Verlauf des Krebs zuständig sind. Wir kommen zu dem Schluss, dass die Reaktion eines mikroskopischen intrazellulären Mechanismus (Migration/Proliferation Dichotomie) zu Sauerstoffmangel, d.h. Hypoxie, möglicheweise für den Übergang von einem gutartigen (proliferative) zu einer bösartigen (invasive) Tumor verantwortlich ist. Berechnung der in-vivo Tumorinvasion: Schließlich schlagen wir einen evolutionären Algorithmus vor, der die Parameter eines LGCA Modells von Tumorwachstum auf der Grundlage von medizinischen Daten des Patienten für mehrere Zeitpunkte (insbesondere die Magnet-Resonanz-und Diffusion Tensor Imaging Daten) ermöglicht. Diese Parameter erlauben Szenarien für einen klinisch relevanten Tumorwachstum für einen bestimmten Patienten zu reproduzieren, die eine Vorhersage des Tumorwachstums zu einem späteren Zeitpunkt möglich machen.

In der vorliegenden Arbeit wurde der zelluläre Immunstatus von 17 Patienten mit Erstdiagnose eines soliden gastrointestinalen Tumors vor und nach intravenöser Applikation von drei Zyklen einer konventionellen Polychemotherapie untersucht. Verglichen wurde zu Beginn der Therapie mit einer Kontrollgruppe, bestehend aus 21 nicht onkologisch vorerkrankten Probanden. Zur Messung der individuellen T-Zellvermittelten Immunantwort auf Einzelzellebene wird auf die Methode des IFN-γ-ELISPOT-Assays zurückgegriffen. Die zentrale Frage war, ob die Applikation einer Polychemotherapie einen messbaren Effekt auf die Immunantwort des einzelnen Individuums hat. Zudem sollte untersucht werden, ob generelle Unterschiede zwischen Patienten mit einer unbehandelten Tumorerkrankung und gesunden Probanden bzw. allgemein internistisch erkrankten Patienten zu erkennen sind. In Zusammenschau der Ergebnisse sind trotz überwiegend unveränderter T-Zell-Antwort auf die meisten der eingesetzten Antigene einige statistisch signifikante Unterschiede festzuhalten. So zeigte die Gruppe der Tumorpatienten vor Applikation der Chemotherapie im Vergleich zur Kontrollgruppe eine signifikant erhöhte Spotintensität und einen höheren Stimulationsindex [A] in Bezug auf das Tuberkulose-Antigen CFP-10. Diese Veränderungen waren nach Applikation der Chemotherapie nicht mehr nachzuweisen. Des Weiteren ergaben sich bei den Tumorpatienten vor und nach Chemotherapie signifikante Veränderungen der T-Zell-Antwort bezüglich des Antigens Tetanus-Toxoid. Nach Applikation von 3 Zyklen Chemotherapie kam es zu einer Verminderung des Stimulationsindex [A]. Es wird daher die Vermutung nahe gelegt, dass sich gerade in Bezug auf bakterielle Infektionen die T-Zell-Antwort der Tumorpatienten signifikant ändert. Die klinische Relevanz müsste jedoch anhand gezielter Messung auf spezifische bakterielle Antigene in größer angelegten Studien überprüft werden.

Der TGFβ-Signalweg ist ein multifunktionales System, das zelluläre Prozesse reguliert, die von Proliferation und Migration bis zu Differenzierung und Zelltod reichen. Nach Ligandenbindung und Rezeptoraktivierung translozieren SMAD-Proteine zum Zellkern und induzieren die Expression zahlreicher Zielgene. Während viele Komponenten des TGFβ-Signalweges identifiziert wurden, verstehen wir noch nicht genau, wie die Aktivierung des Signalwegs in verschiedene zelluläre Antworten übersetzt wird. Da die zelluläre Antwort auf einen gegebenen Stimulus oft sogar in genetisch identischen Zellen variiert, konzentrierte ich mich auf die Messung der Signalwegaktivität auf der Einzelzellebene. Durch die Kombination fluoreszierender Reporterzelllinien mit Zeitraffer-Lebendzellmikroskopie und automatisierter Bildanalyse beobachtete ich die zytoplasmatische und nukleäre Translokation von SMADs mit hoher zeitlicher und räumlicher Auflösung in Hunderten einzelner Zellen. Unsere Experimente zeigten, dass die Signalwegaktivität in eine erste synchrone Phase der SMAD-Translokation, gefolgt von einer Adaption und einer zweiten Signalphase mit hoher Variabilität in Stärke und Dauer der nuklearen Akkumulation unterteilt werden kann. Darüber hinaus beobachtete ich, dass Zellen, die aufgrund ihrer dynamischen Eigenschaften in Subpopulationen gruppiert sind, unterschiedliche phänotypische Reaktionen zeigen. Ich war nun daran interessiert, die Netzwerkinteraktionen zu identifizieren, die diese Dynamiken formen und fokussierte mich auf den Crosstalk mit nicht-kanonischen Komponenten des TGFβ-Signalweges. Ich konnte zeigen, dass die Hemmung der MAP Kinasen p38 und ERK die zweite Signalphase spezifisch aufhebt. Diese dynamische Remodellierung führt zu Veränderungen in der Zielgenexpression und den Zellschicksalen. Dies wird zu einem tieferen Verständnis der molekularen Netzwerke führen, die die TGFβ-Signaltransduktion regulieren und Möglichkeiten eröffnen, es in erkrankten Zellen zu modulieren. / The TGFβ pathway is a multi-functional signaling system regulating cellular processes ranging from proliferation and migration to differentiation and cell death. Upon ligand binding and receptor activation, SMAD proteins translocate to the nucleus and induce expression of numerous target genes. While many components of the TGFβ pathway have been identified, we are still challenged to understand how pathway activation is translated into distinct cellular responses. As the cellular response to a given stimulus often varies even in genetically identical cells, I focused on measuring pathway activity on the single cell level. By combining fluorescent reporter cell lines with time-lapse live-cell microscopy and automated image analysis, I monitored the cytoplasmic to nuclear translocation of SMADs with high temporal and spatial resolution in hundreds of individual cells. Our experiments demonstrated that pathway activity can be divided into a first synchronous phase of SMAD translocation, followed by adaptation and a second signaling phase with high variability in the extent and duration of nuclear accumulation. Furthermore, I observed that cells clustered into subpopulations according to their dynamic features show different phenotypic responses. I was interested in identifying the network interactions that shape these dynamics and focus on crosstalk with non-canonical components of the TGFβ pathway. I could show that inhibition of the MAP kinases p38 and ERK specifically abrogates the second signaling phase. This dynamic remodeling led to changes in target gene expression and cell fate decisions. I explored the molecular mechanisms underlying this interaction of the canonical and non-canonical pathways. This will provide a deeper understanding of the molecular networks regulating TGFβ signaling and open opportunities to modulate it in diseased cells.

Transkriptionsfaktoren (TFs) empfangen Signale in Signaltransduktionskaskaden und übersetzen diese in eine zelluläre Antwort. Dadurch ermöglichen sie es Zellen, Organen und Organismen sich an verändernde Umgebungsbedingungen anzupassen. In früheren Studien wurde gezeigt, dass viele TFs nach Aktivierung Oszillationen im Zellkern aufweisen. Ein Beispiel dafür ist p53. Als zentrales Protein im Rahmen der zellulären Stressantwort reguliert es nach DNA Schaden die Expression hunderter Zielgene die das Zellschicksal steuern. Anomalien in der Aktivität von p53 stehen im Zusammenhang mit schwerwiegenden Erkrankungen wie der Krebsentstehung. Die Dynamik der Akkumulation von p53 im Zellkern ist abhängig von der Art des DNA Schadens und korreliert mit der resultierenden zellulären Antwort. Obwohl dieser Zusammenhang mehrfach gezeigt wurde, sind die zugrundeliegenden molekularen Mechanismen jedoch weitgehend unerforscht. Mit der vorliegenden Arbeit soll ein Beitrag zum Verständnis dazu geleistet werden, wie p53 Oszillationen im Zellkern die Transkription von Zielgenen auf Einzelzellebene modulieren. Dazu wurden sieben Zielgene ausgewählt und mittels Einzelmolekül-Fluoreszenz in situ Hybridisierung und mathematischer Analyse charakterisiert. Es werden Ergebnisse der quantitativen, zeitaufgelösten mRNA Expression und der bursting Aktivität von Zielgenpromotoren mit Einzelzell- und Einzelmolekülauflösung dargestellt. Diese Analyse weist darauf hin, dass die Aktivierung von p53 nach DNA Doppelstrangbrüchen primär die Frequenz des stochastischen bursting der untersuchten Zielgene reguliert. Diese können anhand ihrer Promotoraktivität in drei Archetypen eingeteilt werden: anhaltend, transient und pulsierend, die jedoch nicht ausschließlich durch veränderte p53 Menge im Zellkern erklärt werden können. Stattdessen weisen die Ergebnisse darauf hin, dass Veränderungen im Acetylierungszustand der C-terminalen Lysinreste von p53 entscheidend für diese Gen-spezifische Regulation sind. / Transcription factors (TFs) are receiver and compiler of cell signaling, transmitting incoming inputs into cellular responses that enable cells, organs and organisms to respond and adapt to a changing environment. In the past, it has been shown that many TFs exhibit oscillations of nuclear abundance over time when activated. One of these TFs is the tumor suppressor p53, a central hub in the signaling network regulating the cellular stress response, controlling cell fate decisions by changing the expression of hundreds of target genes. Aberrations in p53’s activity are related to severe human malignancies such as cancer. The dynamics of its nuclear accumulation are stimulus dependent and enable the p53 pathway to mediate distinct responses to cellular stress. However, the molecular mechanisms translating such dynamics to altered gene expression remain elusive. In this thesis, I analyzed how oscillations of p53 affect the transcriptional regulation of target genes in single-cells and at individual promoters. I chose a panel of seven targets and employed a combinatorial approach of single-molecule fluorescence in-situ hybridization and mathematical analysis. I present quantitative, time-resolved measurements of target gene mRNA expression and transcriptional bursting activity with single-cell and single-molecule resolution. The resulting data show characteristic principles how p53 nuclear accumulation increases transcriptional bursting upon stimulation and reveal gene-specific modulations. P53 target promoters are regulated by changing the fraction of active promoters, indicating burst frequency regulation. Based on this, genes can be grouped along three archetypes of promoter activity: sustained, transient and pulsatile. These archetypes cannot solely be explained by nuclear p53 levels or promoter binding of total p53. Instead, I provide evidence that the time-varying acetylation state of p53’s C-terminal lysine residues is critical for this gene-specific regulation.

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