Submitted by Marlene Santos (marlene.bc.ufg@gmail.com) on 2014-08-29T19:24:13Z No. of bitstreams: 2 Dissertação Corrigida e Finalisada.pdf: 2280692 bytes, checksum: fa3c7d92b5ed8a39139ceeb3abb80551 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-08-29T19:24:13Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação Corrigida e Finalisada.pdf: 2280692 bytes, checksum: fa3c7d92b5ed8a39139ceeb3abb80551 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2013-12-13 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this dissertation we analyze questions of existence of a weak solution for a class of superlineares elliptic Dirichlet problems. Here we do not consider the Ambrosseti Rabinovitz condition , which restricts some nonlinearities. We obtain main results of this dissertation via Variational Methods, such as Mountain Pass Theorem and Linking Theorem. Furthermore, weusePalais-Smalecondition(P.S.) or Cerami condition(Ce) / Nesta dissertação analisamos questões de existência de uma solução fraca para uma classe de problemas de Dirichlet elípticos superlineares. Aqui não consideramos a condição deAmbrosetti-Rabinowitz,a qual restringealgumasfunçõesnão lineares. Obtemos os principais resultados desta dissertação via Métodos variacionais, tais como o Teorema do Passo da Montanha e um Teorema de Linking. Além disso, utilizamos a TeoriaEspectral e ascondições dePalais-Smale(P.S.) eCerami(Ce).

In this thesis we are interested in some problems regarding harmonic functions. The topics are divided into three chapters. Chapter 2 concerns singularities developed by solutions of the Cauchy problem for a holomorphic elliptic equation, especially Laplace's equation. The principal motivation is to locate the singularities of the Schwarz potential. The results have direct applications to Laplacian growth (or the Hele-Shaw problem). Chapter 3 concerns the Dirichlet problem when the boundary is an algebraic set and the data is a polynomial or a real-analytic function. We pursue some questions related to the Khavinson-Shapiro conjecture. A main topic of interest is analytic continuability of the solution outside its natural domain. Chapter 4 concerns certain complex-valued harmonic functions and their zeros. The special cases we consider apply directly in astrophysics to the study of multiple-image gravitational lenses.

In this work we use two approach to prove the existence of solutions for the Classical Dirichlet Problem on bounded domains. The first method is applied to domains with smooth boundary and is based on the Single and Double Layer Potentials Theory. The second method uses the Variational Dirichlet Principle to solve the Dirichlet Problem in plane domains with boundary less regular than the previous case; more precisely, boundary satisfying the property of the outer triangle. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / Nesta dissertação usamos duas abordagens diferentes para provar a existência de soluções para o Problema de Contorno de Dirichlet Clássico em domínios limitados. Aplicamos o primeiro método quando estamos trabalhando com domínios cuja fronteira é duas vezes continuamente diferenciável. Essa abordagem baseia-se na Teoria dos Potenciais de Camadas Simples e Dupla, onde a teoria de operadores compactos tem um papel fundamental. O segundo método usa o Princípio Variacional de Dirichlet para resolver o problema em domínios do plano com fronteiras menos regulares que no caso anterior; a saber, fronteiras que satisfazem a condição do triângulo exterior.

Neste trabalho estudamos o problema de Dirichlet assintótico para a equação das superfícies mínimas em uma superfície de Cartan-Hadamard rotacionalmente simétrica e mostramos que o problema e unicamente solúvel para qualquer dado contínuo em seu bordo assintótico. / In this work we study the asymptotic Dirichlet problem for the minimal surface equation on rotationally symmetric Cartan-Hadamard surfaces. We prove that the problem is uniquely solvave for any continuous asymptotic boundary data.

O objetivo central deste trabalho consiste em demonstrar a existência de gráficos mínimos C2,x com fronteira assintótica prescrita na variedade produto M R, onde M e completa, simplesmente conexa, com curvatura seccional KM satisfazendo KM ≤ -k2 < 0 e tal que, para algum p Є M, o subgrupo de isotropia de Iso(M) em p age de modo 2-pontos homogêneo nas esferas geodésicas centradas em p. / The main purpose of this work consists on proving the existence of minimal C2,x graphics with prescribed asymptotic boundary in the product manifold M R, where M is a complete, simply connected manifold with sectional curvature KM satisfying KM ≤ -k2 < 0 and such that, for some p 2 M, the isotropy subgroup of Iso(M) in p acts in a 2-points homogeneous way in the geodesic spheres centered in p.

O objetivo central deste trabalho consiste em demonstrar a existência de gráficos mínimos C2,x com fronteira assintótica prescrita na variedade produto M R, onde M e completa, simplesmente conexa, com curvatura seccional KM satisfazendo KM ≤ -k2 < 0 e tal que, para algum p Є M, o subgrupo de isotropia de Iso(M) em p age de modo 2-pontos homogêneo nas esferas geodésicas centradas em p. / The main purpose of this work consists on proving the existence of minimal C2,x graphics with prescribed asymptotic boundary in the product manifold M R, where M is a complete, simply connected manifold with sectional curvature KM satisfying KM ≤ -k2 < 0 and such that, for some p 2 M, the isotropy subgroup of Iso(M) in p acts in a 2-points homogeneous way in the geodesic spheres centered in p.

Neste trabalho estudamos o problema de Dirichlet assintótico para a equação das superfícies mínimas em uma superfície de Cartan-Hadamard rotacionalmente simétrica e mostramos que o problema e unicamente solúvel para qualquer dado contínuo em seu bordo assintótico. / In this work we study the asymptotic Dirichlet problem for the minimal surface equation on rotationally symmetric Cartan-Hadamard surfaces. We prove that the problem is uniquely solvave for any continuous asymptotic boundary data.

Neste trabalho estudamos o problema de Dirichlet assintótico para a equação das superfícies mínimas em uma superfície de Cartan-Hadamard rotacionalmente simétrica e mostramos que o problema e unicamente solúvel para qualquer dado contínuo em seu bordo assintótico. / In this work we study the asymptotic Dirichlet problem for the minimal surface equation on rotationally symmetric Cartan-Hadamard surfaces. We prove that the problem is uniquely solvave for any continuous asymptotic boundary data.

O objetivo central deste trabalho consiste em demonstrar a existência de gráficos mínimos C2,x com fronteira assintótica prescrita na variedade produto M R, onde M e completa, simplesmente conexa, com curvatura seccional KM satisfazendo KM ≤ -k2 < 0 e tal que, para algum p Є M, o subgrupo de isotropia de Iso(M) em p age de modo 2-pontos homogêneo nas esferas geodésicas centradas em p. / The main purpose of this work consists on proving the existence of minimal C2,x graphics with prescribed asymptotic boundary in the product manifold M R, where M is a complete, simply connected manifold with sectional curvature KM satisfying KM ≤ -k2 < 0 and such that, for some p 2 M, the isotropy subgroup of Iso(M) in p acts in a 2-points homogeneous way in the geodesic spheres centered in p.

[pt] Um resultado clássico no âmbito de equações diferenciais parciais e de geometria diferencial é o seguinte: Dada uma constante a existe uma condição da fronteira do domínio (Omega) de maneira que o problema de Dirichlet para a equação da curvatura média a no espaço Euclidiano é sempre solúvel. Este é um teorema devido a Serrin (1969). Além disso, se a condição de Serrin não for satisfeita, há um resultado de não-existência. A partir disso foi perguntado se um resultado similar valeria no espaço Hiperbólico. A finalidade desta tese é dar uma resposta afirmativa a esta pergunta, exibindo uma condição tipo Serrin. De maneira que obtém-se existência de superfícies cujo gráfico tenha curvatura média hiperbólica pré-determinada H(x) no espaço hiperbólico. O resultado é sharp no sentido que se tal condição for negada então não-existência pode ser estabelecida. O ponto central é uma estimativa a priori do gradiente de uma tal solução. / [en] A classical result in Partial Differential Equations and Differential Geometrydue to Serrin (1969) is the following: Given a constant (alfa) there exists a condition on the boundary of the domain (omega)such that the Dirichlet problem for the mean equation (alfa)is solvable. Besides, if Serrin's condition fails there is a non-existence result. Taking into account this classical result one may ask if a similar theorem holds in hyperbolic space. The goal of this thesis is to give a positive answer to this question establishing a certain Serrin type condition. Thus we obtain existence of surfaces whose graphs has prescribed mean curvature H(x) in hyperbolic space. This result is sharp because if the condition is not satisfied then a non- existence result can be inferred. The main point of the argument is some a priori gradient estimate and degree theory.