This thesis mainly deals with questions concerning the convergence of some sequences of elliptic and parabolic linear and non-linear operators by means of G-convergence and homogenization. In particular, we study operators with oscillations in several spatial and temporal scales. Our main tools are multiscale techniques, developed from the method of two-scale convergence and adapted to the problems studied. For certain classes of parabolic equations we distinguish different cases of homogenization for different relations between the frequencies of oscillations in space and time by means of different sets of local problems. The features and fundamental character of two-scale convergence are discussed and some of its key properties are investigated. Moreover, results are presented concerning cases when the G-limit can be identified for some linear elliptic and parabolic problems where no periodicity assumptions are made.

Ce travail de thèse porte sur l'élaboration d'un matériau composite à matrice thermodurcissable incorporant des renforts nanométriques et/ou une phase élastomère, permettant d'améliorersa rigidité, son amortissement et sa résilience. Pour cela, nous avons réalisé des formulations baséessur des matrices époxyvinylester, renforcées ou non par une phase élastomère et chargées de montmorillonite ou de sépiolite. Nous avons étudié leurs propriétés visco-élastiques par analyse modaleexpérimentale et leurs propriétés à l'impact par des essais d'impact par chute de masse. Nous avonsdéterminé la microstructure des composites fabriqués en nous appuyant sur la diffraction des rayonsX et des observations en microscopie électronique. Des modèles d'homogénéisation, fondés sur lemodèle de H ALPIN -T SAI et adaptés aux matériaux composites étudiés, ont été développés afin dedisposer d'un outil permettant de relier explicitement la rigidité des composites à leur morphologie.Une analyse paramétrique approfondie a permis de déterminer les caractères morphologiques lesplus influents et d'évaluer la performance des procédés de mise en œuvre au regard des renforcements mécaniques obtenus. Expérimentalement, l'incorporation de montmorillonite ou de sépiolite a conduit à une augmentation significative du module élastique et la présence d'une phase élastomère dans la résine a permis de doubler l'amortissement et d'augmenter la résilience. Finalement, les formulations les plus performantes ont été retenues pour la fabrication de composites renforcés de fibres de verre. L'amélioration des propriétés mécaniques se retrouve, dans une moindre mesure, dans lesprototypes réalisés. La pertinence de l'utilisation de ces matériaux à l'échelle industrielle a été évaluée. / This thesis focuses on the development of a thermosetting matrix composite incorporating nanoscale reinforcements and/or an elatomeric phase to improve its stiffness, damping and resilience.To do so, we made formulations based on epoxy vinyl ester matrices, filled or not by an elastomeric phase, and reinforced with montmorillonite or sepiolite. Their viscoelastic properties were studied usingexperimental modal analysis and their impact properties were investigated using drop weight impacttesting. The microstructure of these composites was examined using X-ray diffraction and electronmicroscopy observations.Homogenization models based on H ALPIN -T SAI model and adapted to the studied composites were developed to provide a tool able to explicitly link the stiffness of the material to its morphology.A detailed parametric analysis allowed to determine the most influential morphological characteristics and to assess the efficiency of the process regarding the mechanical stiffening obtained.Experimentally, the incorporation of montmorillonite or sepiolite led to a significant increase in the elastic modulus and, with the presence of an elastomeric phase in the resin, the damping was doubled and the resilience was increased.Finally, the most efficient formulations were used to manufacture glass fibers reinforced composites.The improvement in mechanical properties was found, to a lesser extent, for the manufactured prototypes.The relevance of the use of these materials on an industrial scale was evaluated.

Le travail de cette thèse a porté sur le développement de techniques numériques pour l'homogénéisation de matériaux présentant à une petite échelle des hétérogénéités aléatoires. Sous certaines hypothèses, la théorie mathématique de l'homogénéisation stochastique permet d'expliciter les propriétés effectives de tels matériaux. Néanmoins, en pratique, la détermination de ces propriétés demeure difficile. En effet, celle-ci requiert la résolution d'équations aux dérivées partielles stochastiques posées sur l'espace tout entier. Dans cette thèse, cette difficulté est abordée de deux manières différentes. Les méthodes classiques d'approximation conduisent à approcher les propriétés effectives par des quantités aléatoires. Réduire la variance de ces quantités est l'objectif des travaux de la Partie I. On montre ainsi comment adapter au cadre de l'homogénéisation stochastique une technique de réduction de variance déjà éprouvée dans d'autres domaines. Les travaux de la Partie II s'intéressent à des cas pour lesquels le matériau d'intérêt est considéré comme une petite perturbation aléatoire d'un matériau de référence. On montre alors numériquement et théoriquement que cette simplification de la modélisation permet effectivement une réduction très importante du coût calcul / In this thesis we investigate numerical methods for the homogenization of materials the structures of which, at fine scales, are characterized by random heterogenities. Under appropriate hypotheses, the effective properties of such materials are given by closed formulas. However, in practice the computation of these properties is a difficult task because it involves solving partial differential equations with stochastic coefficients that are additionally posed on the whole space. In this work, we address this difficulty in two different ways. The standard discretization techniques lead to random approximate effective properties. In Part I, we aim at reducing their variance, using a well-known variance reduction technique that has already been used successfully in other domains. The works of Part II focus on the case when the material can be seen as a small random perturbation of a periodic material. We then show both numerically and theoretically that, in this case, computing the effective properties is much less costly than in the general case

Le travail de cette thèse a porté sur l'étude mathématique et numérique de quelques modèles multi-échelles issus de la physique des matériaux. La première partie de ce travail est consacrée à l'homogénéisation mathématique d'un problème elliptique avec une petite échelle. Nous étudions le cas particulier d'un matériau présentant une structure périodique avec un défaut. En adaptant la théorie classique d'Avellaneda et Lin pour les milieux périodiques, on démontre qu'on peut approximer finement la solution d'un tel problème, notamment à l'échelle microscopique. Nous obtenons des taux de convergence dépendant de l'étalement du défaut. On démontre aussi quelques propriétés des fonctions de Green d'un problème elliptique périodique avec conditions de bord périodiques. Les dislocations sont des lignes de défaut de la matière responsables du phénomène de plasticité. Les deuxième et troisième parties de ce mémoire portent sur la simulation de dislocations, d'abord en régime stationnaire puis en régime dynamique. Nous utilisons le modèle de Peierls, qui couple échelle atomique et échelle mésoscopique. Dans le cadre stationnaire, on obtient une équation intégrodifférentielle non-linéaire avec un laplacien fractionnaire: l'équation de Weertman. Nous en étudions les propriétés mathématiques et proposons un schéma numérique pour en approximer la solution. Dans le cadre dynamique, on obtient une équation intégrodifférentielle à la fois en temps et en espace. Nous en faisons une brève étude mathématique, et comparons différents algorithmes pour la simuler. Enfin, dans la quatrième partie, nous étudions la limite macroscopique d'une chaîne d'atomes soumis à la loi de Newton. Des arguments formels suggèrent que celle-ci devrait être décrite par une équation des ondes non-linéaires. Or, nous démontrons --sous certaines hypothèses-- qu'il n'en est rien lorsque des chocs apparaissent / In this thesis we study mathematically and numerically some multi-scale models from materials science. First, we investigate an homogenization problem for an oscillating elliptic equation. The material under consideration is described by a periodic structure with a defect at the microscopic scale. By adapting Avellaneda and Lin's theory for periodic structures, we prove that the solution of the oscillating equation can be approximated at a fine scale. The rates of convergence depend upon the integrability of the defect. We also study some properties of the Green function of periodic materials with periodic boundary conditions. Dislocations are lines of defects inside materials, which induce plasticity. The second part and the third part of this manuscript are concerned with simulation of dislocations, first in the stationnary regime then in the dynamical regime. We use the Peierls model, which couples atomistic and mesoscopic scales and involves integrodifferential equations. In the stationary regime, dislocations are described by the so-called Weertman equation, which is nonlinear and involves a fractional Laplacian. We study some mathematical properties of this equation and propose a numerical scheme for approximating its solution. In the dynamical regime, dislocations are described by an equation which is integrodifferential in time and space. We compare some numerical methods for recovering its solution. In the last chapter, we investigate the macroscopic limit of a simple chain of atoms governed by the Newton equation. Surprisingly enough, under technical assumptions, we show that it is not described by a nonlinear wave equation when shocks occur

Les Surfaces à Haute Impédance (SHI) ont été largement étudiées pour améliorer toutes sortes de performances des antennes, comme le gain, le facteur de qualité, les formes et dimensions. L'objectif de cette thèse est de modéliser les structures de SHI et de caractériser leurs performances en vue de futures applications aux antennes.Après une brève introduction aux structures SHI et une étude de quelques modèles analytiques fréquemment traités dans la littérature, deux nouvelles méthodes numériques sont proposées pour calculer l'impédance de surface de structures SHI. Ces deux méthodes (dites « méthode du flux de Poynting » et « méthode <E>/<H> ») sont validées sur des structures symétriques, puis mises en service sur des structures de SHI asymétriques. Elles sont également validées par comparaison de résultats analytiques, numériques et expérimentaux.Nous présentons ensuite un modèle équivalent basé sur l'idée de remplacer les structures hétérogènes de SHI par une surface homogène, caractérisée par son impédance surfacique. Ce modèle nous permet d'avoir une prédiction avec un temps de calcul et une occupation de mémoire PC largement réduits. / High impedance surfaces (HIS) have proved good candidates for antenna miniaturization or antennas performance improvement. Within a certain frequency band, they can enhance the gain of an antenna while simultaneously suppressing the unwanted surface waves.In this thesis, the focus of our work is on numerical modeling of these structures by using the finite element method (FEM) based on edge elements.One of our contributions is that we propose two new numerical methods (the Poynting flux method and <E>/<H> method) to calculate the surface impedance not only for HIS structures with symmetric geometries, but also for those with asymmetric geometries. These two numerical methods have been validated by comparing analytical, numerical and experimental results.Another significant contribution of the thesis is that we introduce an equivalent model, based on the idea of replacing the heterogeneous HIS structures by a homogeneous surface, characterized by its surface impedance. Compared with the normal model, this equivalent model can save computing time and memory space.

Le secteur des transports aéronautiques, navals et terrestres fait de plus en plus appel pour les pièces d'habitacles ou de structure à des composites techniques de type thermoplastique thermostable renforcé par des fibres courtes. Ces matériaux alliant légèreté et résistance présentent l’intérêt majeur d’une meilleure recyclabilité d’une facilité de mise en œuvre et de maintenance que les matrices thermodurcissables dans les composites classiques. Toutefois, le développement de modèles de comportement dans le but de dimensionner des structures reste un véritable challenge. L’objectif de cette thèse concerne la modélisation du comportement de ce type de composite soumis à des chargements monotone et cyclique. Une étude expérimental a permis la détermination du comportement de chacun des constituants du composite. Leur comportement a ensuite été utilisé dans un calcul d'homogénéisation en champs complet basé sur une méthode FFT. Le comportement du composite est ensuite modélisé à l'aide d'un modèle visco-élastique spectral. Finalement, l'évolution des paramètres de ce modèle est étudiée en faisant varier la microstructure du composite (taux de fibre, dispersion d'orientation) afin d'établir un méta-modèle permettant de prédire le comportement du composite rapidement, et efficacement. / Transportation industries uses more and more composite materials each year. These composite materials provide a good alternative to classic materials thanks to their good specific resistances and stiffness. Short fiber composite materials and well suited for automotive applications, thanks to their ability to be used in injection process inducing very short fabrication cycles. But, the modeling of the behavior of these materials remains a challenge to this day. In this PhD work, an experimental characterization of a PEEK / short glass fiber composite has been conducted. A precise study of the PEEK behaior have also been conducted. The PEEK behavior was then used in an full field homogenization method based on FFT to obtain an effective behavior of the composite. A visco-elastic model was then used to model its behavior. Finally, a meta-model is build to accelerate the modeling process by studying the variation of the composite behavior with its microstructure parameters.

L’utilisation des nanoparticules Janus pour la délivrance de médicaments suscite un grand intérêt depuis quelques années. Cependant, beaucoup d’aspects sont encore à comprendre dans la préparation de tels systèmes, notamment en présence de principes actifs.Le but de cette thèse était d’étudier des nanoparticules compartimentées Janus (JNP) constituées d’excipients lipidiques, et principalement de glycérides polyoxyéthylénés. Les objectifs étaient, d’une part, une meilleure compréhension de la structure et de la physico-chimie de ces objets puis, d’autre part, leur utilisation contre Helicobacter pylori (H. pylori).Ces JNP sont produites facilement par un procédé d’homogénéisation haute pression qui a permis de fabriquer des lots allant de 10 mL à 1 L. Elles ont été caractérisées par cryo-microscopie, calorimétrie, diffraction des rayons X, diffusion quasi-élastique de la lumière notamment et ont montrées une très grande stabilité physique sur plus d’un an. Les résultats les plus intéressants ont été obtenus avec une formulation contenant 20% de phase lipidique (Labrafil® M1944CS ou Labrafil® M2125CS) et 3% d’un mélange de tensioactifs (Gelucire® 50/13 – Phospholipon® 90G 2:1 en masse). Diverses expériences autour de la formulation et du procédé ont permis d’identifier certains paramètres critiques, notamment la nature de la phase lipidique, l’ordre d’incorporation des excipients ou le taux de diesters de PEG 1500.Des essais d’encapsulation dans ces JNP et de protection d’un principe actif instable en milieu acide, l’érythromycine, ont également été menés. Les nanodispersions formées, physiquement stable pendant au moins 6 mois, avaient une taille de l’ordre de 150 nm et une distribution de taille unimodale. Des tests in vitro ont montré que l’érythromycine encapsulé gardait son efficacité anti-microbienne et était plus stable en milieu acide. Par contre, les nanoparticules ont perdu leur compartimentation en présence d’érythromycineEnfin, des études ont été menées pour comprendre l’influence de l’incorporation de principes actifs (API) sur le procédé. Ainsi, il a été montré que l’ajout de caféine, chloroxylénol, quercétine et tricloasan dans la formulation n’altérait pas la morphologie des JNP contrairement à l’érythromycine et à la dioxybenzone dans une moindre mesure.L’ensemble de ces résultats a montré que les nanoparticules compartimentées Janus sont des systèmes prometteurs de transport et de protection de principes actifs. / The use of Janus nanoparticles (JNPs) as constituent of drug delivery formulations has been a topic of considerable interest for the past several years. However, the formation of vesicles and nanoparticle-associated drug/active are still unclear.The aim of the present study was a physicochemical characterization of lipid nanodispersions based on polyoxylglycerides, especially focused on lipid-based JNPs. The experiments should lead to a better understanding of structure and behavior of the very interesting carrier system on Helicobacter pylori (the abbreviation is H. pylori).The multicompartment lipid-based JNPs were produced easily at small (10 to 50 ml/batch) and large scale (1 liter/batch) by hot high pressure homogenization method. Samples were very well long-time stable for at least over 12 months with respect to particle size, DSC, XRD, and special particle morphology characteristics. Especially for particles containing 20% of lipid phase (Labrafil® M1944CS or Labrafil® M2125CS) and surfactant mixture of Gelucire® 50/13 – Phospholipon® 90G (2:1), strong adhesion could be observed in the studies by cryo-TEM technique. By changing the formulation components and process parameters, data showed that the formation of the multicompartment lipid-based JNPs depended on the using of suitable oil phase with the surfactant mixture and the method to produce the vesicles under the identified conditions.We also successfully prepared the stable nanodispersions to protect a labile antibiotic, erythromycin. The mean diameter of the ERY-loaded nanodispersions was found approximately 150 nm, and the size distribution was unimodal. The system was physically stable at room temperature for over six months. The test of antimicrobial activity in vitro on H. pylori showed that not only the preparation process did not reduce the antimicrobial activity of erythromycin, but also the stability of erythromycin was also improved in acidic environment.Furthermore, the properties of APIs loaded into the blank vesicles also affected their particle morphologies. We achieved the nanoparticles like JNPs when loading caffeine, chloroxylenol, quercetin, and triclosan into the vesicles. These results demonstrated that the multicompartment lipid-based JNPs are a promising carrier to protect unstable APIs and enhance their stability and solubility, despite the changes in the structure of the JNPs when incorporating with erythromycin or dioxybenzone.

La problématique récente de la conception de métamatériaux a renouvelé l'intérêt dans les théories de l'homogénéisation en régime dynamique. En particulier, la théorie de l'homogénéisation élastodynamique initiée par J.R. Willis a reçu une attention particulière suite à des travaux sur l'invisibilité élastique. La présente thèse reformule la théorie de Willis dans le cas des milieux périodiques, examine ses implications et évalue sa pertinence physique au sens de quelques ``conditions d'homogénéisabilité'' qui sont suggérées. En se basant sur les résultats de cette première partie, des développements asymptotiques approximatifs de la théorie de Willis sont explorés en relation avec les théories à gradient. Une condition nécessaire de convergence montre alors que toutes les branches optiques de la courbe de dispersion sont omises quand des développements asymptotiques de Taylor de basse fréquence et de longue longueur d'onde sont déployés. Enfin, une nouvelle théorie de l'homogénéisation est proposée. On montre qu'elle généralise la théorie de Willis et qu'elle l'améliore en moyenne fréquence de sorte qu'on retrouve certaines branches optiques omises auparavant. On montre également que le milieu homogène effectif défini par la nouvelle théorie est un milieu généralisé dont les champs satisfont une version élastodynamique généralisée du lemme de Hill-Mandel / The recent issue of metamaterials design has renewed the interest in homogenization theories under dynamic loadings. In particular, the elastodynamic homogenization theory initiated by J.R. Willis has gained special attention while studying elastic cloaking. The present thesis reformulates Willis theory for periodic media, investigates its outcome and assesses its physical suitability in the sense of a few suggested ``homogenizability conditions''. Based on the results of this first part, approximate asymptotic expansions of Willis theory are explored in connection with strain-gradient media. A necessary convergence condition then shows that all optical dispersion branches are lost when long-wavelength low-frequency Taylor asymptotic expansions are carried out. Finally, a new homogenization theory is proposed to generalize Willis theory and improve it at finite frequencies in such a way that selected optical branches, formerly lost, are recovered. It is also proven that the outcome of the new theory is an effective homogeneous generalized continuum satisfying a generalized elastodynamic version of Hill-Mandel lemma

Nous proposons dans cette thèse diverses approches, pour l'amélioration de la modélisation et la simulation multi-échelle du comportement des matériaux composites. La modélisation précise et fiable de la réponse mécanique des matériaux composite demeure un défi majeur. L'objectif de ce travail est de développer des méthodologies simplifiées et basées sur des techniques d'homogénéisation existantes (numériques et analytiques) pour une prédiction efficiente du comportement non-linéaire de ces matériaux. Dans un premier temps un choix à été porté sur les techniques d'homogénéisation par champs moyens pour étudier le comportement élastoplastique et les phénomènes d'endommagement ductile dans les composites. Bien que restrictives, ces techniques demeurent les meilleures en termes de coût de calcul et d'efficacité. Deux méthodes ont été investiguées à cet effet: le Schéma Incrémental Micromécanique (SIM) en modélisation mono-site et le modèle Mori-Tanaka en modélisation multi-site (MTMS). Dans le cas d'étude du comportement élastoplastique, nous avons d'une part montré et validé par la méthode des éléments finis que la technique d'homogénéisation SIM donne un résultat plus précis de la modélisation des composites à fraction volumique élevée que celle de Mori-Tanaka, fréquemment utilisée dans la littérature. D'autre part nous avons étendu le modèle de Mori-Tanaka (M-T) généralement formulé en mono-site à la formulation en multi-site pour l'étude du comportement élastoplastique des composites à microstructure ordonnée. Cette approche montre que la formulation en multi-site produit des résultats concordants avec les solutions éléments finis et expérimentales. Dans la suite de nos travaux, le modèle d'endommagement ductile de Lemaître-Chaboche a été intégré à la modélisation du comportement élastoplastique dans les composites dans une modélisation multi-échelle basée sur le SIM. Cette dernière étude révèle la capacité du modèle SIM à capter les effets d'endommagement dans le matériau. Cependant, la question relative à la perte d'ellipticité n'a pas été abordée. Pour finir nous développons un outil d'homogénéisation numérique basé sur la méthode d'éléments finis multi-échelles (EF2) en 2D et 3D que nous introduisons dans le logiciel conventionnel ABAQUS via sa subroutine UMAT. Cette méthode (EF2) offre de nombreux avantages tels que la prise en compte de la non-linéarité du comportement et de l'évolution de la microstructure soumise à des conditions de chargement complexes. Les cas linéaires et non-linéaires ont été étudiés. L'avantage de cette démarche originale est la possibilité d'utilisation de toutes les ressources fournies par ce logiciel (un panel d'outils d'analyse ainsi qu'une librairie composée de divers comportements mécaniques, thermomécaniques ou électriques etc.) pour l'étude de problèmes multi-physiques. Ce travail a été validé dans le cas linéaire sur un exemple simple de poutre en flexion et comparé à la méthode multi-échelle ANM (Nezamabadi et al. (2009)). Un travail approfondi sera nécessaire ultérieurement avec des applications sur des problèmes non-linaires mettant en évidence la valeur de l'outil ainsi développé / We propose in this thesis several approaches for improving the multiscale modeling and simulation of composites’ behavior. Accurate and reliable modeling of the mechanical response of composite materials remains a major challenge. The objective of this work is to develop simplified methodologies based on existing homogenization techniques (numerical and analytical) for efficient prediction of nonlinear behavior of these materials. First choice has been focused on the Mean-field homogenization methods to study the elasto-plastic behavior and ductile damage phenomena in composites. Although restrictive, these techniques remain the best in terms of computational cost and efficiency. Two methods were investigated for this purpose: the Incremental Scheme Micromechanics (IMS) in One-site modeling and the Mori-Tanaka model in multi-site modeling (MTMS). In the framework of elastoplasticity, we have shown and validated by finite element method that the IMS homogenization results are more accurate, when dealing with high volume fraction composites, than the Mori-Tanaka model, frequently used in the literature. Furthermore, we have extended the Mori-Tanaka's model (MT) generally formulated in One-site to the multi-site formulation for the study of elasto-plastic behavior of composites with ordered microstructure. This approach shows that the multi-site formulation produces consistent results with respect to finite element and experimental solutions. In the continuation of our research, the Lemaître-Chaboche ductile damage model has been included to the study of elasto-plastic behavior in composite through the IMS homogenization. This latest investigation demonstrates the capability of the IMS model to capture damage effects in the material. However, the issue on the loss of ellipticity was not addressed. Finally we develop a numerical homogenization tool based on computational homogenization. This novel numerical tool works with 2D and 3D structure and is fully integrated in the conventional finite element code ABAQUS through its subroutine UMAT. The (FE2) method offers the advantage of being extremely accurate and allows the handling of more complex physics and geometrical nonlinearities. Linear and non-linear cases were studied. In addition, its combination with ABAQUS allows the use of major resources provided by this software (a panel of toolbox for various mechanical, thermomechanical and electrical analysis) for the study of multi-physics problems. This work was validated in the linear case on a two-scale analysis in bending and compared to the multi-scale method ANM (Nezamabadi et al. (2009)). Extensive work will be needed later with applications on non-linear problems to highlight the value of the developed tool

Nesse trabalho, usamos métodos da teoria de homogeneização para analisar o compor- tamento assintótico das soluções da equação do p-Laplaciano com condição de contorno de Neumann posto numa família de domínios finos do tipo. De maneira geral, trabalhamos com funções G:(0,1)\\ x R - R uniformemente limitadas, suaves e L-periódicas na segunda variável. Note que o efeito de domínio fino é estabelecido passando ao limite no parâmetro \\varepsilon>0 com \\varepsilon\\to 0. Além disso, introduzimos um parâmetro \\alpha>0 com o objetivo de representar rugosidades via comportamento oscilat\\\'orio na fronteira superior de R^\\varepsilon. Em nossos resultados mostramos que no limite, uma equação unidimensional é obtida, preservando a quasilinearidade do problema original e capturando tanto o efeito da compressão como das oscilações. / In this work we apply homogenization theory methods in order to analyze the asymptotic behavior of the solutions of a p-Laplacian equation with Neumann boundary condition set in bounded thin domains of the type. Generally, we with functions G:(0,1) x R - R uniformly bounded, smooth and L-periodic in the second variable. The thin domain situation is established passing to the limit in the positive parameter \\varepsilon with \\varepsilon \\to 0. In our results we obtain a one dimensional equation that preserves the quasilinearity from the original problem and capturing the effects of compression and oscillations.