Mathematical theory of partial differential equations (PDEs) is a pretty old classical area with wide range of applications to almost every branch of science and engineering. With the advanced development of functional analysis and operator theory in the last century, it became a topic of analysis. The theory of homogenization of partial differential equations is a relatively new area of research which helps to understand the multi-scale phenomena which has tremendous applications in a variety of physical and engineering models, like in composite materials, porous media, thin structures, rapidly oscillating boundaries and so on. Hence, it has emerged as one of the most interesting and useful subject to study for the last few decades both as a theoretical and applied topic. In this thesis, we study asymptotic analysis (homogenization) of second-order partial differential equations posed on an oscillating domain. We consider a two dimensional oscillating domain (comb shape type) consisting of a fixed bottom region and an oscillatory (rugose) upper region. We introduce optimal control problems for the Laplace equation. There are mainly two types of optimal control problems; namely distributed control and boundary control. For distributed control problems in the oscillating domain, one can apply control on the oscillating part or on the fixed part and similarly for boundary control problem (control on the oscillating boundary or on the fixed part the boundary). We consider all the four cases, namely distributed and boundary controls both on the oscillating part and away from the oscillating part. The present thesis consists of 8 chapters. In Chapter 1, a brief introduction to homogenization and optimal control is given with relevant references. In Chapter 2, we introduce the oscillatory domain and define the basic unfolding operators which will be used throughout the thesis. Summary of the thesis is given in Chapter 3 and future plan in Chapter 8. Our main contribution is contained in Chapters 4-7. In chapters 4 and 5, we study the asymptotic analysis of optimal control problems namely distributed and boundary controls, respectively, where the controls act away from the oscillating part of the domain. We consider both L2 cost functional as well as Dirichlet (gradient type) cost functional. We derive homogenized problem and introduce the limit optimal control problems with appropriate cost functional. Finally, we show convergence of the optimal solution, optimal state and associate adjoint solution. Also convergence of cost-functional. In Chapter 6, we consider the periodic controls on the oscillatory part together with Neumann condition on the oscillating boundary. One of the main contributions is the characterization of the optimal control using unfolding operator. This characterization is new and also will be used to study the limiting analysis of the optimality system. Chapter 7 deals with the boundary optimal control problem, where the control is applied through Neumann boundary condition on the oscillating boundary with a suitable scaling parameter. To characterize the optimal control, we introduce boundary unfolding operators which we consider as a novel approach. This characterization is used in the limiting analysis. In the limit, we obtain two limit problems according to the scaling parameters. In one of the limit optimal control problem, we observe that it contains three controls namely; a distributed control, a boundary control and an interface control.

Les matériaux architecturés font émerger de nouvelles possibilités en termes de propriétés structurales et fonctionnelles, repoussant ainsi les limites des cartes d'Ashby. Le terme "matériaux architecturés" inclus toute microstructure conçue de façon astucieuse, de sorte que certaines de ses propriétés soient optimisées. Les exemples sont nombreux : composites fibreux et particulaires, matériaux cellulaires, structures sandwiches, matériaux tissés, structures treillis, etc. Un enjeu de taille pour l'emploi de tels matériaux est la prédiction de leurs propriétés effectives. Dans ce travail, deux types de microstructures sont considérées : des structures auxétiques périodiques et des milieux fibreux aléatoires. Les auxétiques sont des matériaux apparus au milieu des années 1980, présentant un coefficient de Poisson négatif. On attend des auxétiques qu'ils présentent des propriétés mécaniques améliorées, comme le module de cisaillement ou la résistance à l'indentation. Les milieux fibreux aléatoires considérés dans ce travail sont constitués de fibres 3D infinies interpénétrantes aléatoirement distribuées et orientées. Ce type de structure aléatoire est très défavorable à la détermination d'une taille de volume élémentaire statistiquement représentatif. Pour les deux types de matériaux, l'homogénéisation numérique à l'aide de la méthode des éléments finis est implémentée dans le but d'estimer les propriétés thermiques et mécaniques effectives. / Architectured materials bring new possibilities in terms of structural and functional properties, filling gaps and pushing the boundaries of Ashby's materials maps. The term "architectured materials" encompasses any microstructure designed in a thoughtful fashion, so that some of its materials properties have been improved. There are many examples: particulate and fibrous composites, foams, sandwich structures, woven materials, lattice structures, etc. One engineering challenge is to predict the effective properties of such materials. In this work, two types of microstructures are considered: periodic auxetic lattices and stochastic fibrous networks. Auxetics are materials with negative Poisson's ratio that have been engineered since the mid-1980s. Such materials have been expected to present enhanced mechanical properties such as shear modulus or indentation resistance. The stochastic fibrous networks considered in this work is made of 3D infinite interpenetrating fibres that are randomly distributed and oriented. This case of random structure is challenging regarding the determination of a volume element size that is statistically representative. For both materials, computational homogenization using finite element analysis is implemented in order to estimate the effective thermal and mechanical properties.

La texture marquée des tôles et des gaines en alliages de zirconium se traduit par une forte anisotropie du comportement mécanique. L'objectif de l'étude est de caractériser et de modéliser le comportement anisotrope de tôles en alliage de Zircaloy-4 recristallisé. La caractérisation de l'anisotropie du comportement est réalisée au travers d'essais mécaniques conventionnels (chargements en traction et en cisaillement) sur tôles en utilisant la méthode de corrélation d'images numériques. Dans un premier temps, un modèle a été identifié à partir de cette base expérimentale sur tôle. La loi est validée par des calculs éléments finis d'essais de traction sur éprouvettes plates entaillées. Dans un second temps, la transférabilité du modèle de la tôle vers le tube a été étudiée. Pour les chargements uniaxiés, la transférabilité est avérée. En revanche, pour les chargements biaxiés la transférabilité est moins bonne. Une réidentification des paramètres gérant l'anisotropie du comportement en intégrant à la base d'identification un essai équibiaxié sur tube a été nécessaire. / Zirconium alloy sheet and clad are strongly textured materials, resulting in sharp anisotropic mecanical behavior. The purpose of this work is to characterize and model the anisotropic behavior of recrystallized Zircaloy-alloy sheets. Anisotropy is investigated by usual mechanical tests (tensile and shear loadings) performed on sheet material using digital image correlation measurments. A model is identified from this experimental database obtained on sheet material. Finite element simulations of tensile notched tests are used to validate the law. Then, the model transferability from the sheet to the rod is studied. The transferability is suitable for uniaxial loading. On the contrary, the transferability is not fully adequate for biaxial loadings. Therefore, a new identification of parameters dealing with anisotropy from enriched database with an equibiaxial rod test is necessary.

Cette thèse a pour objectif de modéliser le couplage fluide-structure pouvant survenir dans les faisceaux tubulaires des réacteurs nucléaires. Leurs simulations numériques directes étant hors de portée, on met en œuvre une approche multi-échelle: il s'agit de tirer profit du coût modeste d'une description macroscopique, et à la fois, de la précision des informations microscopiques. Vis-à-vis des modèles existants, le travail de développement se focalise sur la prise en compte de la convection dans le calcul des champs hydrodynamiques, mais surtout, sur la possibilité de restituer des réponses vibratoires variées au sein d'un même faisceau. L'homogénéisation aboutit à un système d'équations gouvernant les Interactions Fluide-Solide à une échelle macroscopique. Ces équations sont couplées par une source en quantité de mouvement, traduisant les charges hydrodynamiques exercées sur une structure donnée. Cette force à modéliser représente une loi de fermeture du problème homogénéisé, mettant en jeu des coefficients a priori inconnus. Une méthode d'estimation est proposée à partir des champs microscopiques obtenus par simulation directe sur un domaine réduit et représentatif du large système de référence. Les capacités prédictives du modèle homogénéisé sont évaluées en comparaison avec des données de référence, issues de calculs numériques directs microscopiques. Chaque système considéré présente une variété de réponses en déplacement que le modèle homogénéisé restitue avec un accord satisfaisant. Cette approche multi-échelle semble être un bon compromis entre le coût des réalisations numériques et la précision attendue des données vibratoires et hydrodynamiques. / Vibration of tubes arrays is a matter of safety assessments of nuclear reactor cores or steam generators. Such systems count up thousands of slender-bodies immersed in viscous flow, involving multi-physics mechanisms caused by nonlinear dynamic interactions between the fluid and the solid materials. Direct numerical simulations for predicting these phenomena could derive from continuum mechanics, but require expensive computing resources. Therefore, one alternative to the costly micro-scale simulations consists in describing the interstitial fluid dynamics at the same scale as the structures one. Such approach rely on homogenization techniques intended to model mechanics of multi-phase systems. Homogenization results in coupled governing equations for the fluid and solid dynamics, whose solution provides individual tubes displacements and average fluid fields for each periodic unit cell. An hydrodynamic force term arises from the formulation within this set of homogenized equations: it depends on the micro-scale flow in the vicinity of a given tube-wall, but needs to be estimated as a function of the macro-scale fields in order to close the homogenized problem. The fluid force estimation relies on numerical micro-scale solutions of fluid-solid interactions over a tube array of small size. The multi-scale model is assessed for arrays made up of hundreds tubes, and is compared with solutions coming from the numerical micro-scale simulations. The macro-scale solution reproduces with good agreement the averaged solution of the micro-scale simulation, indicating that the homogenization method and the hydrodynamic force closure are suitable for such tube array configurations.

In recent times, composite materials have gained mainstay acceptance as a structural material of choice due to their tailorability and improved thermal, specific strength/stiffness and durability performance. Carbon-Carbon (C/C) composites are used for high temperature applications such as exit nozzles for rockets, leading edges for missiles, nose cones, brake pads etc. Mechanical property estimation of C/C composites is challenging due to their highly heterogeneous microstructure. Computed Tomography (CT) images (volumetric imaging) coupled with Scanning Electron Microscopy (SEM) reveal a highly heterogeneous microstructure comprised of woven C-fibers, amorphous C-matrix, irregularly shaped voids, cracks and other inclusions. The images also disclose structural hierarchy of the C/C composite at different length scales. Predicting the mechanical behavior of such complex hierarchical materials like C/C composites forms the motivation for the present work. A systematic study to predict the effective mechanical properties of C/C Composite using numerical homogenization has been undertaken in this work. The Micro-Meso-Macro (MMM) principle of ensemble averages for estimating the effective properties of the composite has been adopted. The hierarchical length scales in C/C composites has been identified as micro (single fiber with matrix), meso (fabric) and macro (laminate). Numerical homogenization along with periodic boundary conditions (PBCs) have been used to estimate the effective engineering properties of the material at different length scales. Concurrently, mechanical testing has also been carried out at macro (compression tests) and micro scale (using nano-indentation studies) to characterize the mechanical behavior of C/C composites.

L’usage croissant des matériaux composites dans l’industrie induit de nouvelles problématiques dans des domaines variés,notamment pour la caractérisation non destructive. Les méthodes courantes comme l’analyse modale ou les éléments finis sont rarement adaptées pour représenter la dynamique vibratoire complexe des structures composites ou quantifier leurs caractéristiques viscoélastiques, de nouvelles approches sont nécessaires.Les travaux concernent le développement et l’application d’un formalisme vibratoire inverse local, la méthode RIFF(Résolution Inverse Filtrée Fenêtrée), pour l’étude des matériaux composites multicouches. Ces derniers sont considérés comme homogènes à l’aide de la théorie de Timoshenko, prenanten compte le cisaillement non négligeable de ces matériaux.Une caractérisation fréquentielle et/ou spatiale des paramètres équivalents (modules d’Young E et de cisaillement G, et facteurs de pertes associés) est alors possible, permettant de traduire fidèlement le comportement dynamique des composites et de simplifier leur modélisation en éléments finis.Une seconde approche utilisant un schéma aux différences finies corrigé (méthode RIC) autorise une analyse similaire à partir d’un maillage grossier diminuant fortement les temps de mesure et de post-traitement des données.Enfin, une perspective de détection et d’identification de défauts est envisagée. Grâce à des cartographies des paramètres élastiques et d’amortissements, il semble possible de pouvoir déduire la signature d’un défaut typique. Une discontinuité du module de cisaillement témoignerait de la présence d’un délaminage, la diminution du module d’Young traduirait une rupture de fibres, etc. / The increasing use of composite materials in the industry leadsto new challenges in various areas, including non-destructiveevaluation. Common methods such as modal analysis or finiteelements are rarely appropriated to represent the complexvibratory dynamic of composite structures or quantify theirviscoelastic properties, new approaches are then needed.This thesis deals with the development and application of a localinverse vibratory method, called the Force Analysis Technique(FAT), in order to the study multilayer composites. The latterare considered to be homogeneous using the Timoshenko beamtheory, which takes shear effects into account, usually significantfor such structures. A frequency and/or spatial characterizationof the equivalent elastic parameters (Young’s modulus E, shearmodulus G and their associated loss factors) isthen possible to accurately interpret the dynamical behaviourof composite materials and also simplify their implementationin finite element software.A second approach using a corrected finite difference scheme(CFAT method) allows a similar analysis using a coarse mesh,reducing the durations of measurement and post-processing.Finally, a perspective of detection and identification of defects isconsidered. By mean of cartographies of the elastic parameters,it seems possible to infer a signature related to a kind of flaw. Adiscontinuity of the shear modulus would attest the presence ofdelamination while a reduced Young’s modulus could indicate afibre breakage, etc.

Aujourd’hui, les matériaux composites sont très largement utilisés, notamment dans la réalisation de structures aéronautiques, grâce à leurs nombreux avantages fonctionnels. Leurs caractéristiques mécaniques spécifiques (propriétés/masse volumique) nettement supérieures à d’autres matériaux plus classiques, tels que l’acier ou l’aluminium et la réalisation de formes complexes, font de ces matériaux des candidats très compétitifs dans de nombreux secteurs au-delà de l’aéronautique. Toutefois, ces matériaux présentent à différentes échelles d’observation des sources de variabilité caractéristiques à chacune d’entre elles. Le procédé de fabrication des pièces ainsi que les propriétés des constituants élémentaires en sont les principaux responsables. Trois niveaux (ou échelles) d’observation sont usuellement considérés dans les matériaux composites : l’échelle microscopique (fibres et matrice), l’échelle mésoscopique (pli) et enfin l’échelle macroscopique (stratification de plis). Les sources de variabilité se propagent à travers les échelles et génèrent finalement des comportements mécaniques dispersés à l’échelle de la structure. La prise en considération de cette variabilité s’avère alors pertinente pour le concepteur, désireux d’obtenir un indicateur de la fiabilité du matériau ou de la structure composite qu’il conçoit. Pour cela, il est nécessaire de transférer à moindre coût de calcul cette variabilité dès l’échelle microscopique et jusqu’à l’échelle de la structure. La construction de lois de distribution des propriétés mécaniques équivalentes en fonction de la variabilité présente à chaque échelle est alors indispensable. L’objectif de ce travail de recherche a été d’élaborer des distributions du comportement homogénéisé du matériau à l’échelle des fibres et de la matrice en fonction de la variabilité existante à cette échelle. La réduction du temps de calcul nécessaire à leur obtention a été également visée. À partir d’une observation microscopique réalisée sur une coupe d’un CMO, la variabilité morphologique du milieu hétérogène a été caractérisée et six types différents de motifs d’arrangements de fibres regroupés en cellules ont ainsi été identifiés. Des cellules virtuelles, physiquement raisonnables, ont été générées et proposées pour établir des lois de distribution du comportement équivalent par type de cellule, en fonction des paramètres variables pertinents retenus à cette échelle. En ce qui concerne la réduction du temps de calcul nécessaire à l’élaboration de ces lois de distribution, une démarche reposant sur l’utilisation des réseaux de neurones a été proposée. Cette démarche a été illustrée sur une cellule de type 6 et pour un nombre de 1000 calculs EF de référence, afin d’apprécier la qualité de l’approximation ainsi que la diminution du temps de calcul. La réduction du temps de calcul s’est avérée significative. Le gain du temps a été d’environ 95 %. / Nowadays, composite materials are very widely used, notably in the domain of aeronautical structures, thanks to their numerous functional benefits. Their specific mechanical properties (properties/density) far superior to those of conventional materials, such as steel or aluminum and the realization of complex shapes, make these materials perfect candidates in many areas beyond aviation. However, these materials present at different observation scales sources of variability peculiar to each one. The manufacturing process and the properties of the elementary constituents are in fact the principal cause of these sources of variability. Three levels (or scales) of observation are usually considered regarding composite materials: the microscopic scale (fibers and matrix), the mesoscopic scale (ply) and finally the macroscopic scale (laminate material). The sources of variability propagate trough the scales and finally generate dispersed mechanical behaviors at the structure scale. Taking into consideration these sources is proved to be a relevant work by the designer, which in turn will allow him to calculate an indicator of the composite structure reliability that he is conceiving. To be able to do the latter work, it is necessary to transfer this variability at a lower computational cost from the microscopic level up to the structure scale. The construction of equivalent mechanical properties distributions according to the variability present at each scale is then essential. The objective of this research work was to build statistical distributions of the homogenized behavior of the material at the scale of fibers and matrix, according to the existing variability at this scale. Minimizing the computation time required for obtaining these distributions was another important objective. From a microscopic observation made on a section of a CMO, the morphological variability of the heterogeneous medium has been characterized and six different types of arrangements patterns of fibers grouped into cells have then been identified. Physically reasonable virtual cells have been developed and suggested, in order to build the equivalent behavior distribution by cell type, according to the relevant variables selected at this scale. Now, in order to minimize the computing time required for the creation of these distributions, an approach based on neural networks was proposed. This approach was used for a type 6 cell and for a number of 1000 FE calculations, in order to evaluate the quality of the approximation as well as the reduction of computation time. Hence, the reduction of the computation time was significant, at an approximate rate of 95 %.

Les métamatériaux sont des milieux prometteurs pour l'imagerie acoustique. Grâce à ces milieux, il est possible de concevoir des lentilles à faces parallèles pouvant dépasser la limite conventionnelle de résolution d'une lentille et par conséquent améliorer les systèmes d'imagerie. Malgré l'intérêt grandissant des chercheurs pour les métamatériaux, le comportement des ondes acoustiques dans ces milieux n'est pas totalement connu. Nous proposons de développer la problématique de la propagation des ondes acoustiques dans un milieu de type métamatériau en détail dans ce manuscrit. Cette étude a permis d'extraire un critère discriminant un métamatériau d'un matériau classique et d'apporter un regard nouveau sur l'amplification des ondes évanescentes dans les métamatériaux.Nous explorons une piste peu empruntée en vue du dimensionnement de métamatériaux : les milieux aléatoires. Nous nous focalisons sur les milieux à deux dimensions dont les phases sont fluides. Dans cette optique, une phase de validation de techniques d'homogénéisation dynamique existantes est réalisée \textit{via} la comparaison des réponses acoustiques d'un écran de diffuseurs répartis aléatoirement obtenues par des simulations numériques FDTD avec celles prédites par des modèles analytiques. L'étude de ces modèles, utiles au dimensionnement de structures aléatoires présentant des réponses acoustiques ciblées, nous a amené à examiner avec attention leur comportement quasi-statique. Une technique d'homogénéisation permettant de prendre en compte explicitement les interactions entre diffuseurs est proposée dans ce contexte. Développée dans le cadre de la diffusion simple et multiple, elle relie les propriétés mécaniques effectives aux moyennes des champs acoustiques dans un volume représentatif.Finalement, l'analyse du comportement d'un milieu aléatoire \og réaliste \fg~possédant théoriquement des bandes fréquentielles à réfraction négative, grâce à des diffuseurs résonants à basses fréquences, a été menée. Différents régimes de fonctionnement atypiques sont identifiés à l'aide de simulations numériques. La confrontation des réponses de ce milieu avec celles d'un cristal phononique est ensuite présentée et révèle une étonnante similitude entre les deux arrangements. / Metamaterials are promising media for acoustic imaging. For example, such media give the possibility to build flat lenses exhibiting sub-diffraction-limit resolution, thereby improving imaging setup. Despite the growing interest of the researcher for metamaterials, acoustic wave propagation is still not widely known. This work addresses the topic of wave propagation in metamaterials. In this work, we have defined a criterion which differentiate metamaterial from classical material and provide a new insight in the amplification of evanescent waves.We explore how to design metamaterials with random media. We focus on two dimensional media with fluid components. A validation process of existing dynamic homogenization techniques is done via the comparison between the responses of a screen of scatterers obtained by numerical simulations from FDTD with those predict by the analytical models. The study of those models, useful for designing random media with atypical responses, lead us to consider their quasi-static limit. In this context, we propose a homogenization technique which includes explicitly the interactions between scatterers. It is developed for multiple and simple scattering and link the effective properties to the averages of the acoustic fields in a representative volume.Finally, the analysis of the acoustic responses of a realistic random medium having theoretical negative refraction frequency bandwidth, thanks to low frequency resonant scatterers is done. Different atypical responses are identified from the numerical simulations. The comparison between the responses of this medium and those of phononic crystals is presented and shows a surprising similarity of the two arrangements.

Afin de comprendre les mécanismes d’usure et de frottement des composites carbone/carbone (C/C) utilisés en freinage aéronautique, un modèle numérique est utilisé pour dissocier les effets mécaniques des effets physico-chimiques et thermiques. Le modèle repose sur l’utilisation d’une approche par éléments finis et de techniques d’homogénéisation appliquées à un volume élémentaire représentatif (VER) du matériau à l’échelle mésoscopique frottant sur une surface rigide ou déformable. A cette échelle, le matériau est décrit par une matrice en carbone et des paquets de fibres de carbone appelés torons, perpendiculaires à la surface frottante. Pour assurer la représentativité de la structure du matériau, plusieurs modèles hétérogènes sont étudiés. Les résultats sont comparés à ceux obtenus avec le modèle homogène équivalent qui découle de l’homogénéisation. L’influence des conditions de contact (la rigidité), ainsi que l’influence de la distribution des torons proches de la surface frottante sur les régimes de vibrations des différents modèles sont mises en évidence. L’extension du modèle numérique à un contact entre deux composites a mis en évidence une forte augmentation des contraintes maximales localisées principales dans les torons présents à la surface frottante. Ces fortes localisations de contraintes peuvent avoir pour conséquence l’endommagement des torons ce qui induit la dégradation de la surface frottante jusqu’aux détachements de particules. / To understand the mechanisms of wear and friction of carbon 1 carbon composites (C/C} used in aeronautical braking, a numerical model is used to separate the mechanical effects of the physico-chemical and thermal effects. The model is based on the use of an approach by finite elements (FE} and techniques of homogenization applied to a representative elementary volume (RVE} of the material in the mesoscopic scale rubbing on a rigid or deformable surface. In this scale, the material is described by a matrix in carbon and packages of carbon fiber called strands, perpendicular on the contact surface. To insure the representativeness of the structure of the material, several heterogeneous models are studied. The results are compared with those obtained with the equivalent homogeneous model which ensues from the homogenization. The influence of the conditions of contact (the rigidity), as well as the influence of the distribution of strands at the contact surface on the regimes of vibrations of the various models are revealing. The extension of the numerical model in a contact between two composites underline a strong increase of maximal constraints mainly localized in the strands present on the contact surface. These strong localizations of constraints can have for consequence the damage of strands what leads the degradation of the contact surface until the detachments of particles.

Dans ce travail, la méthode homogénéisation de multi-échelle, ainsi que diverses méthodes non homogénéisation, seront présentés pour étudier le comportement dynamique des structures périodiques. La méthode de multi-échelle commence par la séparation d'échelles. Dans ce cas, une échelle microscopique pour décrire le comportement local et une échelle macroscopique pour décrire le comportement global sont introduites. D'après la théorie de l'homogénéisation, la longueur d'onde est supposée grande, et la longueur de la cellule doit être beaucoup plus petite que la longueur caractéristique de la structure. Ainsi, le domaine d'homogénéisation est limité à la première zone de propagation. Le modèle d'homogénéisation traditionnel utilise des valeurs moyennes des éléments, mais le domaine de validité pratique est beaucoup plus petit que la première bande interdite. Alors, le développement de nouveaux modèles homogénéisés est beaucoup motivé par cet inconvénient. Par rapport au modèle d'homogénéisation traditionnel, équations d'ordre supérieur sont proposées pour fournir des modèles homogénéisation plus précises. Deux méthodes multi-échelles sont introduites: la méthode de développement asymptotique, et la méthode de l'homogénéisation des milieux périodiques discrètes (HMPD). Ces méthodes seront appliquées de façon séquentielle dans le cas d'onde longitudinale et le cas d'onde transversale. Les mêmes modèles d'ordre supérieur sont obtenus par les deux méthodes dans les deux cas. Ensuite, les modèles proposés sont validés en examinant la relation de dispersion et de la fonction de réponse fréquentielle. Des solutions analytiques et la méthode des ondes éléments finis(WFEM) sont utilisés pour donner les références. Des études paramétriques sont effectuées dans le cas infini, et deux différentes conditions aux limites sont prises en compte dans le cas fini. Ensuite, le HMPD et CWFEM sont utilisés pour étudier les vibrations longitudinales et transversales des structures réticulées dans le cas 1D et 2D. Le domaine de validité du HPDM est réévalué à l'aide de la fonction de propagation identifiée par le CWFEM. L'erreur relative au nombre d'onde obtenue par HPDM est illustré sur la fonction de la fréquence et le rapport d'échelle. Des études paramétriques sur l'épaisseur de la structure sont réalisées par la relation de dispersion. La dynamique des structures finies sont également étudiés en utilisant la HPDM et CWFEM. / In this work, the multi-scale homogenization method, as well as various non homogenization methods, will be presented to study the dynamic behaviour of periodic structures. The multi-scale method starts with the scale-separation, which indicates a micro-scale to describe the local behaviour and a macro-scale to describe the global behaviour. According to the homogenization theory, the long-wave assumption is used, and the unit cell length should be much smaller than the characteristic length of the structure. Thus, the valid frequency range of homogenization is limited to the first propagating zone. The traditional homogenization model makes use of material properties mean values, but the practical validity range is far less than the first Bragg band gap. This deficiency motivated the development of new enriched homogenized models. Compared to traditional homogenization model, higher order homogenized wave equations are proposed to provide more accuracy homogenized models. Two multi-scale methods are introduced: the asymptotic expansion method, and the homogenization of periodic discrete media method (HPDM). These methods will be applied sequentially in longitudinal wave cases in bi-periodic rods and flexural wave cases in bi-periodic beams. Same higher order models are obtained by the two methods in both cases. Then, the proposed models are validated by investigating the dispersion relation and the frequency response function. Analytical solutions and wave finite element method (WFEM) are used as references. Parametric studies are carried out in the infinite case while two different boundary conditions are considered in the finite case. Afterwards, the HPDM and the CWFEM are employed to study the longitudinal and transverse vibrations of framed structures in 1D case and 2D case. The valid frequency range of the HPDM is re-evaluated using the wave propagation feature identified by the CWFEM. The relative error of the wavenumber by HPDM compared to CWFEM is illustrated in the function of frequency and scale ratio. Parametric studies on the thickness of the structure is carried out through the dispersion relation. The dynamics of finite structures are also investigated using the HPDM and CWFEM.