The process of enhancing an upwind finite volume, two-dimensional, thin layer Navier Stokes solver to achieve complete Navier Stokes solutions is described. The shear stress and heat flux contributions are identified and transformed to a generalized coordinate system. The metrics which result from the transformation have a geometrical interpretation in the finite volume formulation and are presented as supporting material. The additional terms which are neglected in the thin-layer approximations, are evaluated and discretized consistently with the finite volume method. Implicit linearizations are applied to the second derivatives tangent to the body surface; however, the cross derivatives are not linearized and are treated conservatively. Validation of the Navier Stokes solver is acquired by comparison to existing computational solutions for a double throat nozzle. Additional viscous solutions for the thin layer and the complete forms of the NS equations are provided for a flat plate shock boundary layer interaction. / Master of Science

The development of the patched grid solution methodology for both the Euler and the Navier-Stokes equations in two dimensions is presented. The governing equations are written in the integral form and the basic numerical algorithm is finite volume. The method is capable of first through third order accuracy in space. The flux vectors associated with the Euler equations are split into two sub-vectors (based on the signs of the characteristic speeds) and discretized separately. The viscous and heat flux contributions are treated with central differences. Patched grid results are demonstrated on shock reflection, subsonic boundary layer, and shock-boundary layer interaction flow problems. The results are compared with non-patched or single zone grids. The patched grid approach shows an improvement in resolution while minimizing storage and computer time. / Master of Science

The problem of establishing local existence and uniqueness of solutions to systems of differential equations is well understood and has a long history. However, the problem of proving global existence and uniqueness is more difficult and fails even for some very simple ordinary differential equations. It is still not known if the 3D Navier-Stokes equation have global unique solutions and this open problem is one of the Millennium Prize Problems. However, many of these mathematical models are extremely useful in the understanding of complex physical systems. For years people have considered methods for modifying these equations in order to obtain models that still capture the observed fundamental physics, but for which one can rigorously establish global results. In this thesis we focus on a taming method to achieve this goal and apply taming to modeling and numerical problems. The method is also applied to a class of nonlinear differential equations with conservative nonlinearities and to Burgers’ Equation with Neumann boundary conditions. Numerical results are presented to illustrate the ideas. / Master of Science

Cette thèse porte sur la simulation numérique des écoulements bi-fluides par l'approche à interface diffuse. La description mathématique d'un écoulement bi-fluide par l'approche à interface diffuse consiste en une équation de Navier-Stokes modifiée couplée à un modèle de capture de l'interface mobile entre les deux fluides. Dans cette thèse, pour la capture de l'interface mobile nous avons porté notre attention sur le modèle de Allen-Cahn. En premier lieu nous nous sommes intéressés de prime abord à la résolution numérique du système semi-discrétisé en temps et totalement implicite Navier-Stokes/Allen-Cahn (NSAC). Pour ce faire nous avons développé un algorithme itératif basé sur la méthode du point fixe. Nous avons montré qu'à chaque itération, le système d'équations (contenu dans l'algorithme) est bien défini ; de plus, la solution de l'équation de Allen-Cahn satisfait le principe du maximum. Par la suite nous avons montré que l'algorithme de point fixe converge et que sa limite est la solution du système NSAC semi-discret. Si cette première méthode itérative nous a donné une méthode de résolution, elle n'est pas satisfaisante quant à la performance. En second lieu nous proposons un nouveau schéma de discrétisation en temps à pas fractionnaire inconditionnellement stable. Utilisant une approche de type point fixe (une projection couplée) nous avons montré la convergence à chaque pas de temps et que la limite correspond à la solution du système semi-discret (donnant ainsi l'existence et l'unicité de la solution). Nous concluons enfin avec des applications numériques aux fins d'illustrer la pertinence et les potentielles limitations du modèle d'une part, puis les performances de notre méthode de résolution du système Navier-Stokes/Allen-Cahn d'autre part.

Dans cette thèse, nous développons et mettons en oeuvre une méthode numérique de discrétisation spatiale entièrement tridimensionnelle afin d'étudier la transition des écoulements visqueux et incompressibles dans un canal infiniment long, d'un état stable et bidimensionnel à un état tridimensionnel. Le principe de stabilité linéaire permet de déterminer l'apparition d'une telle bifurcation et la théorie des systèmes dynamiques montre que l'écoulement au voisinage de la solution stable bidimensionnelle considérée tend alors à suivre une direction privilégiée. Dans certains cas il en résulte un écoulement tridimensionnel et périodique qu'il n'est possible de décrire qu'en adoptant une approche entièrement tridimensionnelle. Nous avons adopté une approche combinant la robustesse de la méthode des éléments finis à la précision des méthodes de Fourier. La théorie de la méthode de discrétisation est expliquée, un code est validé en utilisant plusieurs bancs d'essai et la description qualitative du comportement local de l'écoulement après bifurcation est présentée.

Les suspensions qui sont des milieux continus hétérogènes composés d'une phasesolide granulaire et d'une phase liquide, présentent de nombreuses applicationsaux sciences naturelles ou industrielles. La modélisation des phénomènes mis enjeu dans ces applications suggère d'étudier des cas très complexesalors que les cas les plus simples présentent des comportements non-triviauxqui ne sont pas parfaitement compris. C'est pourquoi nous proposons ici des avancées surla modélisation de matériaux modèles, les suspensions de sphères dures mono-disperses.Nous revisitons d'abord la formalisation mathématique du lien entre les modèlescontinus diphasiques et les lois de conservation à l'échelle d'un grain enmoyennant celles-ci sur des volumes élémentaires de référence. Ainsi, nousconstruisons un système de lois de conservation continues. Cependant, ce systèmene peut être résolu numériquement sans l'adjonction de plusieurs hypothèses,nous choisissons alors de nous restreindre aux suspensions non-colloïdalesdans un fluide newtonien. Ainsi, nous proposons un nouveau modèle rhéologiqueintégrant un tenseur de texture, une variable auxiliaire permettant de représenterla déformation du réseau de voisins de chaque particule. Cela nous permetde reproduire quantitativement deux effets mis en évidence par des expériencesde laboratoire. Le premier concerne l'anisotropie que présente la micro-structured'une suspension cisaillée, mesurée par une fonction de distribution de pairesmoyenne. Le second est observé lors d'une inversion brutale de cisaillement,la viscosité apparente de la suspension baisse très rapidement avant de relaxervers un état stationnaire. Ce premier modèle donne un lien au niveau continu entrel'évolution du profil de la fonction de distribution de paires moyenne et l'évolutiond'une quantité macroscopique, la viscosité apparente. Cependant, il ne reproduitpas correctement l'évolution d'autres quantités macroscopiques comme les différencesde contraintes normales. Afin de corriger cela, nous en proposons une extension.Ce nouveau modèle permet d'envisager la modélisation de phénomènes mettant enjeu les différences de contraintes normales et se déroulant sur des échellesde temps plus longues. Ainsi, nous ouvrons la perspective d'améliorer la prédictiondes phénomènes de migration qui se traduisent par le fait que les particules nesuivent pas exactement les lignes de courant, par exemple celles-ci fuientles zones les plus cisaillées. En effet, les différences de contraintes normalesjouent un rôle important dans la dynamique de la phase granulaire. Cela suggèred'intégrer notre nouvelle rhéologie dans le système de lois de conservation quenous avions proposé. Nous transformons ensuite ce système en un problème intégrant deux vitesses,celle du mélange et celle de la phase granulaire. L'originalité de notre contributionréside dans l'introduction d'une contrainte unilatérale dans un modèle de suspension.Cela permet de modéliser au niveau continu le contact entre deux sphèresdures qui ne peuvent pas s'inter-pénétrer. Nous obtenons un problème pouvant s'interprétercomme un couplage entre deux sous-systèmes. Le premier sous-système ressemble à un modèle defluide visco-élastique, le second est un système compressible visqueux congestionné,comme ceux utilisés pour modéliser des mouvements de foule. / Suspensions which are heterogeneous continuous media composed by a solid granular phaseand a liquid phase present many applications from natural and industrial sciences.Modelling the phenomenon involved in those applications suggests studyingvery complex cases whereas the simplest one present non trivial behaviour that are notperfectly understood. This is why we put forward some progresses in the understanding ofa reference material, mono-disperse suspension of hard spheres. Firstly we compute averagedversions of conservation laws at the scale of the grain. Hence we get continuous quantities atthe scale of an elementary reference volume and it allows us to revisit mathematical buildingof continuous biphasic models. Hence, we provide a system of continuous conservation laws.Nevertheless, we have to add several hypothesis to get a well posedmathematical problem from our system. With that mind, we choose to focus on non-colloidalsuspensions with a Newtonian suspending fluid. Thus, we propose a new rheological modelincluding a texture tensor which is an ancillary variable modelling the average deformationof the local cages formed by neighbouring particles. Hence, we can quantitatively reproducetwo effects that have been experimentally measured. The first one is about the anisotropy ofthe microstructure in a sheared suspension, measured by the averaged pair distribution function.The second one is the evolution of apparent viscosity that drops brutally before relaxing to asteady state during a shear-reversal experiment. This first model provides a link between twocontinuous quantities, the averaged pair distribution function and the apparent viscosity.However, it reproduces badly the evolution of some macroscopic quantities, the normal stressdifferences. This is why we extend our first model, improving those bad predictions. On largertime scales, it has been observed that the particles do not follow strictly the flow lines,for instance, they leave sheared zones. This phenomenon is called migration. Our extendedrheological model allows to enhance migration phenomenon predictions because normal stressdifferences play a crucial role in granular phase motion. In that mind, we integrate ournew rheology in the system of conservation laws that we stated in the beginning, then, weprocess it into a new mathematical problem.We put forward a system including both a bulk velocity and a granular phase one.We introduce an unilateral constraint in order to model the inelastic contact interactionbetween two rigid spheres at the macroscopic level. It constitutes the originality of ourproposal. Finally, we get a problem that interprets as two coupled sub-problems.The first one is like a visco-elastic fluid model and the second one is a compressiblecongested viscous system, like those used to modelcrowd motions.

O presente trabalho de pesquisa tem por objetivo estudar a paralelização de algoritmos voltados à solução de equações diferenciais parciais. Esses algoritmos são utilizados para gerar a solução numérica das equações de Navier-Stokes em um escoamento bidimensional incompressível de um fluido newtoniano. As derivadas espaciais são calculadas através de um método de diferenças finitas compactas com a utilização de aproximações de altas ordens de precisão. Uma vez que o cálculo de derivadas espaciais com alta ordem de precisão da forma compacta adotado no presente estudo requer a solução de sistemas lineares tridiagonais, é importante realizar estudos voltados a resolução desses sistemas, para se obter uma boa performance. Ressalta-se ainda que a solução de sistemas lineares também faz-se presente na solução numérica da equação de Poisson. Os resultados obtidos decorrentes da solução das equações diferenciais parciais são comparados com os resultados onde se conhece a solução analítica, de forma a verificar a precisão dos métodos implementados. Os resultados do código voltado à resolução das equações de Navier-Stokes paralelizado para simulação de escoamentos incompressíveis são comparados com resultados da teoria de estabilidade linear, para validação do código final. Verifica-se a performance e o speedup do código em questão, comparando-se o tempo total gasto em função do número de elementos de processamento utilizados / The objective of the present work is to study the parallelization of partial differential equations. The aim is to achieve an effective parallelization to generate numerical solution of Navier-Stokes equations in a two-dimensional incompressible and isothermal flow of a Newtonian fluid. The spatial derivatives are calculated using compact finite differences approximations of higher order accuracy. Since the calculation of spatial derivatives with high order adopted in the present work requires the solution of tridiagonal systems, it is important to conduct studies to solve these systems and achieve good performance. In addiction, linear systems solution is also present in the numerical solution of a Poisson equation. The results generated by the solution of partial differential equations are compared to analytical solution, in order to verify the accuracy of the implemented methods. The numerical parallel solution of a Navier-Stokes equations is compared with linear stability theory to validate the final code. The performance and the speedup of the code in question is also checked, comparing the execution time in function of the number of processing elements

Cette thèse est consacrée à l'étude de problèmes de stabilisation exponentielle par retour d'état ou "feedback" des équations de Navier-Stokes dans un domaine borné Ω ⊂ Rd, d = 2 ou 3. Le cas d'un contrôle localisé sur la frontière du domaine est considéré. Le contrôle s'exprime en fonction du champ de vitesse à l'aide d'une loi de feedback non-linéaire. Celle-ci est fournie grâce aux techniques d'estimation a priori via la procédure de Faedo-Galerkin laquelle consiste à construire une suite de solutions approchées en utilisant une base de Galerkin adéquate. Cette loi de feedback assure la décroissance exponentielle de l'énergie du problème discret correspondant et grâce au résultat de compacité, nous passons à la limite dans le système satisfait par les solutions approchées. Le chapitre 1 étudie le problème de stabilisation des équations de Navier- Stokes autour d'un état stationnaire donné, tandis que le chapitre 2 examine le problème de stabilisation autour d'un état non-stationnaire prescrit. Le chapitre 3 est consacré à l'étude de la stabilisation du problème de Navier-Stokes avec des conditions aux bords mixtes (Dirichlet- Neumann) autour d'un état d'équilibre donné. Enfin, nous présentons dans le chapitre 4, des résultats numériques dans le cas d'un écoulement autour d'un obstacle circulaire / In this thesis we study the exponential stabilization of the two and three-dimensional Navier- Stokes equations in a bounded domain Ω, by means of a boundary control. The Control is expressed in terms of the velocity field by using a non-linear feedback law. In order to determine a feedback law, we consider an extended system coupling the Navier-Stokes equations with an equation satisfied by the control on the domain boundary. While most traditional approaches apply a feedback controller via an algebraic Riccati equation, the Stokes-Oseen operator or extension operators, a Galerkin method is proposed instead in this study. The Galerkin method permits to construct a stabilizing boundary control and by using energy a priori estimation technics, the exponential decay is obtained. A compactness result then allows us to pass to the limit in the nonlinear system satisfied by the approximated solutions. Chapter 1 deals with the stabilization problem of the Navier-Stokes equations around a given steady state, while Chapter 2 examines the stabilization problem around a prescribed non-stationary state. Chapter 3 is devoted to the stabilization of the Navier-Stokes problem with mixed-boundary conditions (Dirichlet-Neumann), around to a given steady-state. Finally, we present in Chapter 4, numerical results in the case of a flow around a circular obstacle

Orientador: João Batista Campos Silva / Banca: Cassio Roberto Macedo Maia / Banca: Elcio Nogueira / Resumo: Neste trabalho, desenvolveu-se, implementou e testou-se um modelo numérico para simular escoamentos incompressíveis de fluidos viscosos em regime transiente, usando o Método de Elementos Finitos baseado em Volumes de Controle (CVFEM) para a discretização espacial e o Método de Passo Fracionado (time-splitting) para a discretização temporal, levando em consideração as características parabólicas, elípticas e hiperbólicas das equações de Navier-Stokes. Para a implementação computacional do método numérico, foi desenvolvido um código em linguagem fortran para simulação dos escoamentos. Depois da obtenção do código computacional e verificada a estabilidade e convergência da técnica de passo fracionado, foram feitas aplicações para simulação de casos de escoamentos internos em cavidades. Também insvestigou-se o modelo de viscosidade turbulenta de Smagorinsky com o CVFEM em passo fracionado, através da metodologia de Simulação de Grandes Escalas (LES - Large Eddy Simulation). / Abstract: In this work, the main purpose has been the development, implementation and test of a numeric model to simulate unsteady, incompressible, viscous fluid flows. The Finite Element Method based on Volumes of Control (CVFEM) has been used for the space discretization and the Fractional Step Method (time-splitting) for the time discretization, taking in consideration the parabolic, elliptic and hyperbolic characteristics of Navier-Stokes equation. For the computational implementation of the numeric method, it was developed a computational code in fortran language. After obtaining the computational code and verified the stability and convergence of the technique of fractional step, simulations for the lid-driven cavity flow have been done for low Reynolds number. The turbulence effect has been considered by the model of turbulent viscosity of Smagorinsky with CVFEM in fractional step, through the methodology of Large Eddy Simulation. / Mestre

Dans cette thèse nous étudions trois modèles décrivant la dynamique de l’écoulement d’un fluide à densité variable, dans des échelles spatio-temporelles grandes. Dans ce cadre, le mouvement relatif induit par des forces extérieures,comme la force de Coriolis ou la poussée hydrostatique, s’avère être beaucoup plus important que le mouvement intrinsèque du fluide induit par le transport des particules. Une tel déséquilibre contraint ainsi le mouvement, induisant des structures persistantes dans l’écoulement du fluide.D’un point de vue mathématique, l’une des difficultés consiste en l’étude des perturbations induites par les forces extérieures, qui se propagent à grande vitesse.Ce type d’analyse peut être effectué au moyen de plusieurs outils mathématiques ;on choisit ici d’employer des techniques caractéristiques de l’analyse de Fourier,comme l’analyse des propriétés dispersives des intégrales oscillantes.Tout au long de cette thèse, on se restreint à considérer des domaines spatiaux sans frontière : c’est le cas de l’espace entier, ou encore de l’espace périodique. Les modèles considérés sont donc les suivants: équations primitives dont les nombres de Froude et de Rossby sont comparables,et pour lesquelles la diffusion verticale est nulle, fluides stratifiés dans un régime à faible nombre de Froude, fluides faiblement compressibles et tournants dans un régime où les nombres de Mach et de Rossby sont comparables.On prouve que ces systèmes propagent globalement dans le temps des donnés peu régulières. Nous n’imposons jamais de condition de petitesse sur les données initiales. Toutefois, on prendra en compte certaines hypothèses spécifiques de régularité, lorsque des raisons techniques l’imposent. / In this thesis we discuss three models describing the dynamics of density-dependent fluids in long lifes pans and on a planetary scale. In such setting the relative displacement induced by various external physical forces, such as the Coriolis force and the stratification buoyancy, is far more relevant than the intrinsic motion generated by the collision of particles of the fluid itself. Such disproportion of balance limits hence the motion, inducing persistent structures in the velocity flow.On a mathematical level one of the main difficulties relies in giving a full description of the perturbations induced by the external forces, which propagate at high speed. This analysis can be performed by the aid of several tools, we chose here to adopt techniques characteristic of harmonic analysis, such as the analysis of the dispersive properties of highly oscillating integrals.All along the thesis we consider boundary-free, three-dimensional domains, and inspecific we study only the case in which the domain in either the whole space or the periodic space . The models we consider are the following ones : primitive equations with comparable Froude and Rossby number and zero vertical diffusivity, density-dependent stratified fluids in low Froude number regime, weakly compressible and fast rotating fluid in a regime in which Mach and Rossbynumber are comparable. We prove that these systems propagate globally-in-time data with low-regularity. Nosmallness assumption is ever made, specific constructive hypothesis are assumed on the initial data when required.