This study concerns a teaching design with the purpose to facilitate the students’ objectification of the Pythagorean Theorem. Twelve 14-year old students (N=12) participated in the study before the theorem was introduced to them at school. The design incorporated ideas from the ‘embodied mind’ framework, history and realistic mathematics, linking ‘embodied verticality’ with ‘perpendicularity’. The qualitative analyses suggested that the participants were led to the conquest of the ‘first level of objectification’ (through numbers) of the Pythagorean Theorem, showing also evidence of appropriate ‘fore-conceptions’ of the ‘second level of objectification’ (through proof) of the theorem. The triangle the sides of which are associated with the Basic Triple (3,4,5) served as a primary instrument for the students’ objectification, mainly, by facilitating their ‘generic abstraction’ of the Pythagorean Triples.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Mariana Dias Goncalves.pdf: 2451301 bytes, checksum: 5cf507f4102f5eb10d5837316c7d19e1 (MD5) Previous issue date: 2014-10-18 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This study aims to analyze a sequence of activities for students of the 8th grade of Elementary School II mediated by the use of SuperLogo software. This teaching sequence has been proposed to develop students‟ learning of the Pythagorean theorem by geometric constructions in the search of a knowledge grounded in reflection, not in the repetition. Preliminary studies, from the literature review, allowed the elaboration of the following research question: How does the development of an educational strategy based on the creation of didactic situations, using the SuperLogo software, can contribute to building meaningful learning related to geometric constructions? The proposed research, a qualitative study, has considered the Theory of Didactical Situations and the conception of didactic contract, both authored by Brousseau (1997), and Theory of Meaningful Learning of Ausubel (2002). With regard to the technological support, have been studied works of Oliveira (2013), Levy (1993), Borba and Villarreal (2005) and Tikhomirov (1981). The analysis of the protocols and discussions of the subjects during the field survey revealed that the proposed activities provoked thoughts about some topics in plane geometry, and permitted the discovery and consolidation of the Pythagorean Theorem. This experiment revealed the advantage of the approach taken towards the construction of a meaningful learning from a new configuration of the didactic contract, rather than the reproduction of routes in teaching geometric constructions / Este trabalho tem como objetivo analisar uma sequência de atividades desenvolvidas para alunos do 8º ano do Ensino Fundamental II, mediada pelo uso do software SuperLogo. Esta sequência didática visava que os sujeitos construíssem uma aprendizagem do Teorema de Pitágoras, a partir de construções geométricas, na busca por um saber menos reprodutor e mais autônomo. Os estudos preliminares realizados a partir da revisão bibliográfica permitiram a elaboração de uma problematização em torno da seguinte questão de pesquisa: De que forma uma estratégia pedagógica baseada na criação de situações didáticas, com uso do software SuperLogo, pode concorrer para a construção de aprendizagens significativas relacionadas às construções geométricas? A investigação proposta, de caráter qualitativo, apoiou-se na Teoria das Situações Didáticas e na concepção de contrato didático, ambas de Brousseau (1997), e na Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel (2002). No que diz respeito ao aporte tecnológico, foram considerados os trabalhos de Oliveira (2013), Lévy (1993), Borba e Villarreal (2005) e Tikhomirov (1981). A análise dos protocolos e das discussões dos sujeitos durante a pesquisa de campo revelou que as atividades propostas provocaram reflexões a respeito de alguns tópicos da Geometria plana, além de permitirem a descoberta e consolidação do Teorema de Pitágoras. Essa experimentação permitiu constatar a vantagem do enfoque adotado, no sentido da construção de uma aprendizagem significativa a partir de uma nova configuração do contrato didático, ao contrário da reprodução de roteiros no ensino de construções geométricas

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Jose Leoncio Ferreira Filho.pdf: 2032198 bytes, checksum: 0ada51c2121b08cde3b22d4e8cf267c8 (MD5) Previous issue date: 2007-10-22 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / The National Curriculum Parameters (Brazil, 1998), acknowledge and recommend that the Mathematics syllabus should necessarily cover activities and experiences which enable learners to develop and effectively communicate with valid mathematical argumentation. However, there is consensus among Mathematics Education researchers, in several countries, as to the inherent difficulties of teaching and learning proof. This research is inserted in the AprovaME project, in the Mathematics Education area at PUC-SP, which has as one of its goals to foster debate over the teaching and learning of proof in Mathematics. The objective of the present study was to investigate the involvement of first-year students at high school in processes of conjecture and proof construction, aiming to answer the following research question: what difficulties do students present when faced with argumentation and proof situations involving the Pythagorean Theorem? In order to answer the research question, we adopted some elements from the didactic engineering as the research methodology. A teaching sequence was then elaborated with questions on argumentation and proof involving the Pythagorean Theorem and applied to students from a private school in a countryside city in the State of Sao Paulo. The work by Robert (1998) and Duval (2002) contributed to the conception of activities, and the ones by Balacheff (1988), to the analysis of the types of proof from the students. The production from the students, at the end of the activities, show that the teaching sequence conceived to produce argumentation and proof advantaged the passing of a step where validations are predominantly empirical into another step, in which validation takes on a deductive character. Other studies approaching different mathematics topics and which treat teaching and learning of proof have become more and more needed for understanding the complexity surrounding this process / Os Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1998) reconhecem e orientam, que o currículo de Matemática deve necessariamente contemplar atividades e experiências que possibilitem aos aprendizes o desenvolvimento e a comunicação efetiva de argumentos matematicamente válidos. Mas há consenso entre os pesquisadores da Educação Matemática, em diversos países, quanto às dificuldades inerentes ao ensino e à aprendizagem de prova. Esta pesquisa está inserida no projeto AprovaME na área da Educação Matemática da PUC-SP, que tem entre seus objetivos, o de contribuir para o debate sobre o ensino e aprendizagem de prova em Matemática. O objetivo do presente trabalho foi investigar o envolvimento de alunos da 1ª.série do Ensino Médio em processos de construção de conjeturas e provas, a fim de responder à seguinte questão de pesquisa: que dificuldades apresentam os alunos diante de situações de argumentação e prova envolvendo o teorema de Pitágoras? Para responder à questão de pesquisa, adotamos como metodologia de pesquisa alguns elementos da engenharia didática. Uma seqüência de ensino foi elaborada com questões sobre argumentação e prova, envolvendo o teorema de Pitágoras e aplicada a alunos de uma escola particular do interior do Estado de São Paulo. Os trabalhos de Robert (1998) e Duval (2002) contribuíram para a concepção das atividades e os de Balacheff (1988) para a análise dos tipos de provas dos alunos. As produções dos alunos ao final das atividades mostram que uma seqüência de ensino concebida para produzir argumentações e provas favoreceu a passagem de uma etapa onde as validações são predominantemente empíricas para uma outra etapa onde as validações são dedutivas. Outros trabalhos abordando diferentes tópicos de matemática e que tratem do ensino e aprendizagem da prova tornam-se cada vez mais necessários para compreender a complexidade desse processo

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:29:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 6029.pdf: 25766994 bytes, checksum: cfaba0f2589004cda853d07a65fa78fe (MD5) Previous issue date: 2014-05-23 / Financiadora de Estudos e Projetos / In this paper we reflect on a group of eight lessons applied in the eighth year of elementary school. In these classes, we treat the Pythagorean Theorem, seeking to justify this outcome appropriate to the student s eighth grade elementary school mode. We were interested in seeking justifications with historical content, to rescue, to the extent possible, a part of the history of the Pythagorean Theorem. We take care to seek a mathematical justification for each procedure adopted to develop pedagogical activities. Throughout the text brushing been several suggestions for improving the finished product, though it kept almost entirely in Appendix 1. Also critical to our work interweave throughout the text, seeking both personal growth as offering the opportunity for a better match of the final product to whom this is of interest. At the end we suggest some current applications of the Pythagorean Theorem. Finished the job in the classroom involving the class with the game of dominoes, adapted to the content studied, trying to leave a better final impression on the students. We describe the construction of pedagogical object, the math worked during such construction and finally its application in the classroom. We make four appendices. In the first present the final product. In the second we seek to exemplify the student s work. In the third and fourth work building Pythagorean triangles. / Neste trabalho procuramos refletir sobre um grupo de oito aulas aplicadas no oitavo ano do Ensino Fundamental. Nestas aulas, tratamos do Teorema de Pitágoras, buscando justificar este resultado de modo adequado ao aluno do oitavo ano do Ensino Fundamental. Foi de nosso interesse buscar justificativas com um teor histórico, de modo a resgatar, na medida do possível, uma parte da história do Teorema de Pitágoras. Tomamos o cuidado de buscar uma justificativa matemática para o cada procedimento pedagógico adotado ao desenvolver as atividades. Durante todo o texto fomos pincelando várias sugestões para melhorar o produto final, se bem que o mantivemos quase que totalmente no Apêndice 1. Também entremeamos críticas ao nosso trabalho durante todo o texto, buscando tanto um crescimento pessoal quanto ofertando a oportunidade de uma melhor adequação do produto final a quem este for de interesse. Ao final sugerimos algumas aplicações atuais do Teorema de Pitágoras. Terminamos o trabalho em sala de aula envolvendo a classe com o jogo de dominó, adaptado ao conteúdo estudado, buscando deixar uma melhor impressão final nos alunos. Descrevemos a construção deste objeto pedagógico, a matemática trabalhada durante tal construção e por último sua aplicação com em aula. Confeccionamos quatro apêndices. No primeiro apresentamos o produto final. No segundo buscamos exemplificar os trabalhos dos alunos. No terceiro e quarto trabalhamos a construção de triângulos pitagóricos.

Submitted by Alison Vanceto (alison-vanceto@hotmail.com) on 2017-02-16T11:55:02Z No. of bitstreams: 1 DissLTF.pdf: 7687528 bytes, checksum: 21db8089b37d9b1d1cbb6276365f0436 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-03-14T19:38:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissLTF.pdf: 7687528 bytes, checksum: 21db8089b37d9b1d1cbb6276365f0436 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-03-14T19:38:19Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissLTF.pdf: 7687528 bytes, checksum: 21db8089b37d9b1d1cbb6276365f0436 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-14T19:48:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissLTF.pdf: 7687528 bytes, checksum: 21db8089b37d9b1d1cbb6276365f0436 (MD5) Previous issue date: 2016-10-26 / Não recebi financiamento / [ENG]The official curriculum of the state of São Paulo in their spiral character, discusses the Pythagorean Theorem as one of their learning situations for the 9th year of elementary school, and on top of that content, contextualizes the topic in several other opportunities in high school, one of the most common theories in the Euclidean geometry. The work contributes in the creation of skills and competencies necessary for the understanding of geometry, which is apparent or not the figure of the right triangle, with the aim of providing tools for students to build knowledge necessary in order to find solutions to the problems posed by notebook student, which is the basic curriculum for all students of the state of São Paulo school. The activities, as workshops and activity sheets, proposed by the developer of this dissertation were applied to 35 students of the 9th grade of elementary school of the State School Pedro Bento Alves, located in central city of Arandu, state of São Paulo, which has in its framework students 800 students, divided shapeless way in 22 classrooms. Through the activity sheets, the author made the draft statements for the Pythagorean Theorem through manual labor, which believes it has a more significant effect to the students. The results were analyzed and compared with the assumptions previously raised during the preparation and creation of the dissertation, and the Didactic Engineering as the main research methodology and data analysis. Proposals classes had a good development because students behaved as protagonists of actions, being motivated and participative during the execution of activities. Students reached the proposed objectives, understanding that the material developed provided a different routine, as it has been applied, and thus conclude that the leaves of activities will be useful to all teachers who want to develop them in their classes, adapting -the as reality, performance and utilization of their students. The work contributed greatly to the professional development of the author, since rethink strategies and pursue new activities through research, raised the level of knowledge on the subject, which provided new practices in the classroom. / O currículo oficial do estado de São Paulo em seu caráter espiral, aborda o Teorema de Pitágoras como uma de suas situações de aprendizagem para o 9° ano do ensino fundamental, e em cima desse conteúdo, contextualiza o tema em diversas outras oportunidades no ensino médio, sendo uma das teorias mais frequentes na parte da geometria euclidiana. O trabalho contribui na criação de habilidades e competências necessárias para a interpretação da geometria, que tem aparente ou não a figura do triângulo retângulo, com o objetivo de dar ferramentas para que o aluno construa conhecimentos necessários, a fim de encontrar soluções aos problemas propostos pelo caderno do aluno, que é a base curricular para todos os estudantes da rede estadual de ensino paulista. As atividades, em forma de oficinas e folhas de atividades, propostas pelo desenvolvedor dessa dissertação, foram aplicadas para 35 alunos do 9° ano do ensino fundamental da Escola Estadual Pedro Bento Alves, situada na região central da cidade de Arandu, estado de São Paulo, a qual tem em seu quadro discente 800 alunos, divididos de maneira disforme em 22 salas de aula. Nas folhas de atividades o autor fez a proposta de demonstrações para o Teorema de Pitágoras através do trabalho manual, que acredita ter efeito mais significativo para os alunos. Os resultados foram analisados e comparados com as hipóteses levantadas previamente durante a fase de preparação e criação da dissertação, tendo a Engenharia Didática como metodologia principal de investigação e análise dos dados. As aulas propostas tiveram um bom desenvolvimento, pois os alunos se portaram como protagonistas das ações, mostrando-se motivados e participativos durante a execução das atividades. Os alunos atingiram os objetivos propostos, entendendo que o material desenvolvido proporcionava uma rotina diferenciada, na forma com que foi aplicado, e com isso concluo que as folhas de atividades poderão ser úteis a todos os professores que queiram desenvolvê-las em suas aulas, adaptando-as conforme realidade, rendimento e aproveitamento de seus alunos. O trabalho contribuiu muito para o desenvolvimento profissional do autor, uma vez que repensar estratégias e buscar novas atividades através de pesquisas, elevou o nível de conhecimento sobre o tema, que propiciou novas práticas em sala de aula.

The purpose of this thesis is the analysis of the 2nd round of the mathematical olympiad, including the statistics of the success rate of the students in particular problems, analysis of their procedures and error analysis. This thesis should serve as a survey of the problems of 56th year of MO and as a study text for the mathematical olympiad participants.

The aim of the thesis was through a new analysis of interviews with teachers of mathematics, to describe didactic practices used by teachers while teaching selected topics (namely, proportions, linear equations, divisibility, percent, symmetry, Pythagorean theorem ) and compare them with the practices reported in textbooks and other literature. First, teaching methods, teaching forms and the mechanism of concept development by M. Hejný are given. Based on the analysis of more than thirty interview, it was found that teachers use the usual didactic practices but also create their own methods and procedures. These methods and techniques are provided for each critical issue separately in the fourth chapter of the thesis. Furthermore, the content analysis of selected textbooks is given for each topic. Identified practices of teachers which they use in their teaching practice, form the result of my work.

[pt] O objetivo deste trabalho é propor atividades experimentais, fundamentadas na História da Matemática, que problematizem o conteúdo ensinado no 9º ano do ensino fundamental da escola básica, com base nos seus processos históricos de produção provocando o diálogo entre duas abordagens que fundamentam o presente estudo: a história da matemática e o ensino por atividades experimentais. Acreditamos que esse diálogo possibilita o alcance de objetivos específicos importantes: humanização da matemática possibilitando que alunos deste ano de escolaridade compreendam a matemática como produto da necessidade humana e significação da matemática promovendo o aprendizado através do desenvolvimento de atividades práticas que tragam sentido e motivação à aprendizagem de novos saberes. Três conteúdos tradicionais que constam no currículo deste segmento são apesentados com base na conjugação simultânea destas abordagens: o teorema de Tales, o teorema de Pitágoras e a equação do segundo grau. Para cada um deles, apresentamos uma abordagem histórica, levantamos reflexões importantes sobre construções e autorias e sugerimos atividades fundamentadas no diálogo entre história e prática como propostas a serem desenvolvidas juntos aos alunos. / [en] The objective of this work is to propose experimental activities, based on the History of Mathematics, that problematize the content taught in the 9th grade of elementary school, based on their historical production processes, provoking a dialogue between two approaches that underlie the present study: the history of mathematics and teaching by experimental activities. We believe that this dialogue enables the achievement of important specific objectives: humanization of mathematics enabling students of this school year to understand mathematics as a product of human need and meaning of mathematics promoting learning through the development of practical activities that bring meaning and motivation to learn new knowledge. Three traditional contents that appear in the curriculum of this segment are presented based on the simultaneous combination of these approaches: the Tales theorem, the Pythagorean theorem and the 2nd degree equation. For each of them, we present a historical approach, raise important reflections on constructions and authorship and suggest activities based on the dialogue between history and practice as proposals to be developed together with the students.

Die Notwendigkeit einer Untersuchung über Beziehungshaltigkeit und Vernetzungen im Mathematikunterricht ergibt sich einerseits aus den aktuellen bildungspolitischen Forderungen, andererseits aus den reichhaltigen bildungsphilosophischen Traditionen im deutschsprachigem Raum(KMK 2012, 11). Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht vor allem in der Reflexion von Beziehungshaltigkeit und Vernetzungen im Mathematikunterricht. Diese Reflexion ist durch drei Fragen bestimmt: Was kann man als Lehrer über Beziehungshaltigkeit wissen? Wie kann man als Lehrer handeln, so dass die Schüler Beziehungen zwischen mathematischen Inhalten erkennen bzw. selbständig herstellen? Um handeln zu können, muss man die Wirklichkeit oder die Praxis (bzw. Empirie) kennen, in der man handelt. In diesem Sinne ist die vorliegende Arbeit aufgebaut. Dabei wird ein Versuch unternommen, die klassische Aufteilung zwischen Theorie und Empirie bzw. Praxis des Mathematikunterrichts aufzubrechen, um eine Verzahnung zwischen diesen zu verstärken. Das Herzstück der Arbeit bilden zwei ausgearbeitete und in der schulischen Arbeit erprobte Aufgabennetze (Pythagorasbaum und Rund ums Sechseck), die den Rahmen zur Reflexion bieten. / The need for a study on relations sustainability and networks in mathematics stems, on the one hand, from current education policy requirements, and, on the other, from the rich philosophical traditions of education in the German-speaking countries (KMK 2012, 11). The goal of the present work consists, above all, in reflecting on relations sustainability and networks in mathematics lessons. This reflection is guided by three questions: What can one know, as a teacher, about relations sustainability? How can one act a teacher to ensure that students recognise relationships between mathematical content, or independently produce such relations? In order to act, one must know the reality or practice (e.g. empiricism) in which one acts. The project is focused on the development and testing of worked examples of concrete task networks ("Pythagoras’ tree" and "Around the hexagon").

Os caleidociclos têm sido utilizados como forma artística de apresentação de imagens, pinturas ou como parte de trabalhos artísticos, principalmente de imagens com simetrias; talvez os mais conhecidos sejam os trabalhos de M. C. Escher. As poucas publicações encontradas da teoria matemática envolvida nos caleidociclos dão base para imaginar e criar aplicações no desenvolvimento de habilidades e competências trabalhadas na escola. Para aumentar as possibilidades de aplicações de conceitos, teoremas e relações matemáticas estudadas no ensino básico, o presente trabalho apresenta algumas propostas de atividades utilizando os caleidociclos. As propostas foram elaboradas de acordo com o nível de ensino, ou seja, simetrias para o 7o ano, teorema de Pitágoras para os 8o e 9o anos do Ensino Fundamental, lei dos cossenos e relação fundamental da trigonometria para a 1a série e volume e área de superfície de sólidos geométricos para 2a série do Ensino Médio; algumas das propostas apresentam variações para se adequar ao nível de desenvolvimento em que a turma se encontra. Todos os moldes utilizados e outras possibilidades de caleidociclos, incluindo sólidos encaixantes aos caleidociclos, foram organizados ao final deste trabalho em um dos apêndices. Há também um apêndice com outros tipos de sólidos geométricos com movimentos, que podem ser usados no mesmo intuito de aplicação diferenciada da geometria espacial. / Kaleidocycles have been used asan artistic formof presentation of pictures, paintings or a part of artworks, especially images with symmetries; perhaps the best known works are M. C. Eschers. The few finded publications of the mathematical theory related to these three-dimensional rings give rise to imagine and create applications for developing skills to be worked in classroom. In order to increase the possibility of applications of concepts, theorems and mathematical relations, the present work proposes some activities dealing with kaleidocycles. The proposals were prepared in accordance with the students level of education, i.e., symmetries for the7th grade, the Pythagorean theorem for the 8th and 9th grades, law of cosines and the fundamental relation of trigonometry, volume and surface area of geometric solids for high school students; some of the proposals have variations to suit the level of development in which the class is at. All the molds used and other possibilities of kaleidocycles, including solids which fit into kaleidocycles, were organized at the end of this dissertation in one of the appendices. There is also an appendix with other types of mobile geometric solids that can be used in the same purpose in different applications of spatial geometry.