[pt] A geometria diferencial provê um conjunto de medidas invariantes sob a ação de um grupo de transformações, em particular rígidas, afins e projetivas. Os invariantes por transformações rígidas são usados em quase todas as aplicações de computação gráfica e modelagem geométrica. O caso afim, por ser mais geral, permite estender essas ferramentas. Neste trabalho, propriedades geométricas são apresentadas no caso de superfícies paramétricas ou implícitas, em particular, a métrica afim, os vetores co-normal e normal afins e as curvaturas Gaussiana e média afins. Alguns resultados usuais de geometria Euclidiana, como a fórmula de Minkowski, são estendidos para o caso afim. Esse estudo permite definir estimadores das estruturas afins no caso de isossuperfícies. Porém, um cálculo direto dessas estruturas resulta em um grande número de operações e instabilidade numérica. Uma redução geométrica é proposta, obtendo fórmulas mais simples e mais estáveis numericamente. As propriedades geométricas incorporadas no Marching Cubes são analisadas e discutidas. / [en] Differential Geometry provides a set of measures invariant under a set of transformations, in particular rigid, affine, and projective. The invariants by rigid motions are using almost all applications of computer graphics and geometric modeling. The affine case, since it is more general, allows to extend these tools. In this work, geometric properties are presented in the case of parametric or implicit surfaces, in particular the affine metric, the conormal and normal vectors, and the affine Gaussian and mean curvatures. Some usual results of Euclidean geometry, as the Minkowski formula, are extended for the affine case. This study allows to define estimators of affines structure in the case of isosurfaces. Although, the direct calculation of these structures greatly increases the number of operations and numerical instabilities. A geometrical reduction is proposed obtaining a much simpler and numerical stabler formulae. The geometrical properties are incorporated in the Marching Cubes algorithms, then they are analyzed and discussed.

[pt] Em 1897, J. Hadamard provou um resultado sobre superfícies compactas, localmente estritamente convexas no espaço euclidiano R3, mostrando que tais superfícies são mergulhadas e homeomorfas à esfera. A partir daí mui- tas generalizações foram feitas adaptando as hipóteses sobre a curvatura e considerando novos espaços em que estas superfícies pudessem ser imersas de forma que resultados análogos fossem obtidos. Seguindo este contexto, este trabalho generaliza um resultado tipo Hadamard-Stoker para hiper- superfícies localmente convexas imersas em Hn x R. Provamos que toda hipersuperfície completa, conexa, imersa em Hn x R com segunda forma fundamental positiva deve ser mergulhada, homeomorfa à esfera Sn ou a Rn, e no segundo caso estudamos o comportamento do fim. / [en] In 1897, J. Hadamard proved a result about compact, locally strictly convex surfaces in the Euclidean space R3 showing that such surfaces are embedded and homeomorphic to the sphere. Since then many generalizations were made adapting the assumptions about the curvature and considering new spaces in which these surfaces could be immersed so that analogous results were obtained. Following this context, this work generalizes a result of Hadamard-Stoker type to locally convex hypersurfaces immersed in Hn×R. We prove that every complete connected hypersurface immersed in Hn ×R with positive second fundamental is embedded, homeomorphic to the sphere Sn or to Rn, and in the second case we study the behavior of the end.

[pt] O objetivo deste trabalho é o de estudar propriedades geométricas de curvas poligonais genéricas. Inicialmente abordamos resultados clássicos para curvas quanto à sua curvatura total no caso discreto e discutimos aqueles pertinentes a nós poligonais. Também é feito o estudo do Grafo de Maxwel para poligonais. No caso, temos uma interessante relação entre a natureza do grafo quanto ao seu número de componentes e à condição de a poligonal ser ou não convexa. / [en] The aim of this work is to study geometrical properties of generic polygonal lines. We begin with some classical results for curves with respect to total curvature, in the discrete case, and discuss results related to polygonal knots. Maxwell graphs are also considered for polygonal lines: We study the relation between the number of components of the graph and the convexity of the polygonal line.

[pt] Nesta teses, nós estudamos H-superfícies, isto é, superfícies tendo curvatura media constante, imersas em variedades homogêneas simplesmente conexas de dimensão 3. Nós focamos nossa atenção no estudo de existência de H multigráficos. Também estudamos a H-superfícies invariantes por um grupo a um parâmetro de isometrias que estão imersas no espaço PSL(2) (R, T). / [en] In this thesis we study H-surfaces, that is, surfaces having constant mean curvature, immersed in homogeneous simply connected 3-manifold. We focus our attention in the study of existence of H multigraphs. We also study the H-surfaces invariant by one-parameter group of isometries which are immersed in the space]PSL2(R, T).

[pt] Volume of Fluid (VOF) é um método amplamente empregado na predição de escoamentos multifásicos devido à sua simplicidade, boas características de conservação de massa e natural tratamento de interfaces topologicamente complexas. No entanto, para escoamentos dominados por tensão interfacial, a literatura tem mostrado que a precisão nas estimativas da tensão interfacial ainda é um problema em questão, que pode levar a correntes parasíticas e previsão imprecisa da condição de salto de pressão através das interfaces. Isto ocorre principalmente devido às variações abruptas do campo de fração volumétrica através das interfaces, que leva a imprecisão no cálculo das curvaturas interfaciais. Portanto, diferentes abordagens têm sido apresentadas para mitigar este problema, incluindo funções-altura, suavização da fração volumétrica, ajuste parabólico, entre outros. Este trabalho propõe uma nova abordagem para estimativa de curvatura em VOF, mas não limitado a este, que lança uma nova luz a este problema persistente. A ideia é amostrar a interface por nuvens de pontos e normais na isosuperfície de nível 0.5 do campo de fração volumétrica e calcular a curvatura para cada ponto da nuvem por uma técnica de Computação Gráfica (ajuste de normais). As curvaturas são, então, projetadas na malha Euleriana de maneira tal como no método Front-Tracking. O novo método foi implementado no código padrão de VOF do OpenFOAM (interFoam) resultando em melhorias nas estimativas de salto de pressão e em significativa redução das correntes espúrias. Simulações numéricas foram realizadas e resultados comparados a dados de referência demonstrando a viabilidade da ideia. / [en] Volume of Fluid (VOF) is a widely employed method for multiphase flows prediction for its simplicity, good mass conservation characteristics and natural handling of topologically complex interfaces. For surface tension dominated flows, however, literature has shown that accuracy in surface tension estimations is still an issue, what may cause parasitic currents and inaccurate prediction of pressure jump condition across interfaces. It occurs mainly due to abrupt changes in the volume fraction field across the interfaces, which takes to inaccurate estimates of interfacial curvatures. Therefore, different approaches have been proposed to mitigate this problem including height-functions, volume fraction smoothing, parabolic fittings, among others. This work proposes a novel approach for curvature estimation in VOF, but not limited to it, that sheds a new light on this persistent problem. The idea is to sample the interfaces with clouds of points and normals at the 0.5 level isosurface of the volume fraction field and to compute the curvature for each point of the cloud by a Computer Graphics technique (normal fitting). The curvatures are then projected onto the Eulerian grid in a Front-Tracking fashion. The new method was implemented in the standard OpenFOAM VOF solver (interFoam) resulting in improvements on the pressure jump estimations and in significant reduction of spurious currents. Numerical simulations were performed and results compared to benchmark data showing the feasibility of the idea.

[pt] Entalhes e trincas são normalmente tratados como problemas bi-dimensionais na maioria das análises e projetos, com o emprego de soluções limites 2D obtidas de teorias de elasticidade plana para avaliar a severidade dos efeitos de concentração de tensão e deformação próximo à sua ponta. Contudo, devido à restrição por deformações de Poisson induzidas pelos gradientes de tensão em torno da ponta, estas regiões podem sofrer efeitos tridimensionais importantes em seus campos de tensão e deformação, os quais, se negligenciados, podem levar a predições não conservadoras de dano e vida. A iniciação de trincas por fadiga, estimativas de tamanho e formato de zona plástica e dominância de estado plano de tensão ou deformação em campos controlados por K são exemplos típicos de problemas sensíveis a tais efeitos. Técnicas de Elementos Finitos Linear Elásticos são utilizadas na simulação de efeitos 3D ao longo da frente de entalhes, tais como a influência da razão espessura-raio-de arredondamento sobre os campos de tensão e deformação que a cercam. A influência de tais efeitos 3D é examinada do ponto de vista de projeto estrutural. Então, a versátil técnica da submodelagem é empregada no estudo de efeitos 3D similares ao longo da frente de trincas curtas e longas. Finalmente, uma rotina de remalhamento passo-a-passo é utilizada para demonstrar como uma trinca inicialmente reta deve se curvar conforme propaga por fadiga. / [en] Notches and cracks are usually treated as two-dimensional problems in most structural design and analysis tasks, employing 2D limit solutions obtained from plane elasticity theories to evaluate the severity of stress/strain concentration effects around their tips. However, due to restrictions to the Poisson strains induced by the stress gradients around such tips, these regions may be affected by important three-dimensional effects that can affect their stress/strain fields and possibly lead to non-conservative damage and life predictions if neglected. Fatigue crack initiation, plastic zone size and shape estimation, and plane stress/plane strain dominance issues on K-controlled fields are typical examples of problems sensible to such effects. Linear Elastic Finite Element techniques are used to simulate 3D effects along notch fronts, such as how the thicknessto-notch root radius Beta/Rho affects the stress and strain fields that surround them. The inuence of such 3D effects is evaluated from the structural design point of view. Then versatile submodeling techniques are used to study similar 3D effects along the fronts of short and long cracks. Finally, a stepwise remeshing routine is used to show how an initially straight crack must slightly curve its front during its propagation by fatigue.

[pt] Um resultado clássico no âmbito de equações diferenciais parciais e de geometria diferencial é o seguinte: Dada uma constante a existe uma condição da fronteira do domínio (Omega) de maneira que o problema de Dirichlet para a equação da curvatura média a no espaço Euclidiano é sempre solúvel. Este é um teorema devido a Serrin (1969). Além disso, se a condição de Serrin não for satisfeita, há um resultado de não-existência. A partir disso foi perguntado se um resultado similar valeria no espaço Hiperbólico. A finalidade desta tese é dar uma resposta afirmativa a esta pergunta, exibindo uma condição tipo Serrin. De maneira que obtém-se existência de superfícies cujo gráfico tenha curvatura média hiperbólica pré-determinada H(x) no espaço hiperbólico. O resultado é sharp no sentido que se tal condição for negada então não-existência pode ser estabelecida. O ponto central é uma estimativa a priori do gradiente de uma tal solução. / [en] A classical result in Partial Differential Equations and Differential Geometrydue to Serrin (1969) is the following: Given a constant (alfa) there exists a condition on the boundary of the domain (omega)such that the Dirichlet problem for the mean equation (alfa)is solvable. Besides, if Serrin's condition fails there is a non-existence result. Taking into account this classical result one may ask if a similar theorem holds in hyperbolic space. The goal of this thesis is to give a positive answer to this question establishing a certain Serrin type condition. Thus we obtain existence of surfaces whose graphs has prescribed mean curvature H(x) in hyperbolic space. This result is sharp because if the condition is not satisfied then a non- existence result can be inferred. The main point of the argument is some a priori gradient estimate and degree theory.

[pt] Atributos de curvatura são uma importante ferramenta para visualização e interpretação de feições estruturais em dados sísmicos. Tais medidas podem realçar falhas e fraturas sutis que não estavam evidentes no dado de amplitude, fornecendo ao intérprete informações importantes para a construção do modelo geológico da área de interesse. Neste trabalho é apresentado um método para estimar atributos de curvatura volumérica em dados sísmicos empilhados. A partir do dado de amplitude, é computado um atributo identificador de horizonte, o qual permite que horizontes sísmicos sejam representados como superfícies de nível. Dessa maneira, o gradiente desse atributo fornece uma representação coerente do campo de normais do volume. Fórmulas para o cálculo de curvatura em superfícies implícitas são usadas para obter vários atributos de curvatura úteis na delineação e predição de importantes feições estratigráficas. Testes realizados com dados sintéticos e reais mostram que o método proposto é capaz de fornecer estimativas coerentes de atributos de curvatura a um baixo custo de processamento. São avaliados três atributos identificadores de horizontes: fase instantânea, derivada vertical e atributo de ridges. / [en] Curvature attributes are powerful tools for visualization and interpretation of structural features in seismic data. Such measures may highlight faults and subtle fractures that were not evident in amplitude data, providing important information to the interpreter to build the geological model of the area of interest. This paper presents a method for estimating volumetric curvature attributes in post-stack seismic data. Using amplitude volume, an horizon identifier attribute is computed, in order to represent seismic horizons as level surfaces. Thus, the gradient of this attribute provides a coherent estimate of volumetric normal field. Formulas for the calculation of curvature in implicit surfaces are used to compute several curvature attributes useful in the delineation and prediction of important stratigraphic features. Tests with synthetic and real data show that the proposed method is able to provide consistent estimates of attributes of curvature at low cost processing. Three horizon identifer attributes are evaluated: instantaneous phase, vertical derivative and ridge attribute.

[pt] Apresentaremos uma versão de Teorema Ergódico Multiplicativo para cociclos subaditivos devido a Karlsson e Margulis. Como aplicação, analisaremos três exemplos de cociclos nos seguintes espaços: Grafo gerado por grupo livre em dois geradores, disco hiperbólico, espaco das matrizes positivas simétricas definidas. Também usaremos o Teorema de Karlsson e Margulis para mostrar o Teorema de Oseledets. / [en] We will show a version of Multiplicative Ergodic Theorem for subbaditive cocycles due to Karlsson and Margulis. As an application, we will analyze three examples of cocycles in following spaces: graph generated by free group of two generators, hyperbolic disc, space of positive definite symetric matrices. Also, we will use the Theorem of Karlsson and Margulis to prove Theorem of Oseledets.

[pt] Neste trabalho estudamos a teoria clássica das superfícies mínimas em R3, focando na representação de Enneper-Weierstrass e suas consequências. São exibidos vários exemplos, incluindo as superfícies de Jorge-Meeks e de Jorge-Xavier. Também mostramos princípios do máximo para superfícies mínimas e várias aplicações como, por exemplo, o teorema do semi-espaço. Em seguida, nos concentramos na teoria das superfícies mínimas completas de curvatura total finita e, com esta, podemos analisar o desenvolvimento assintótico de fins mínimos completos mergulhados de curvatura total finita. Por fim, a dissertação culmina com o teorema de Schoen, que afirma que as únicas superfícies mínimas completas, conexas, de curvatura total finita e apenas dois fins - ambos mergulhados - são um par de planos e o catenoide. / [en] In this work we study the classical theory of minimal surfaces in R3, with special focus on the Enneper-Weierstrass representation and its consequences. We exhibit many examples, including the Jorge-Meeks and Jorge-Xavier surfaces. We also show maximum principles for minimal surfaces and many applications as, for instance, the half-space theorem. Afterwards, we focus on the theory of complete minimal surfaces with finite total curvature, with which we can analyse the asymptotic development of complete minimal embedded ends with finite total curvature. This dissertation culminates with the Schoen s theorem, which states that the only complete, connected minimal surfaces with finite total curvature and exactly two ends - both embedded - are a pair of planes or a catenoid.