Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de synchronisation d'oscillateurs lents-rapides inspirés de la neuroendocrinologie et des neurosciences, en se concentrant sur les effets des phénomènes de type canard et bifurcations dynamiques sur le comportement collectif.Nous partons d'un système de dimension 4 qui représente les caractéristiques dynamiques qualitatives et quantitatives du profil de sécrétion de la neurohormone GnRH (gonadotropin releasing hormone) au cours d'un cycle ovarien. Ce modèle est constitué de deux oscillateurs de FitzHugh-Nagumo avec pour chacun des échelles de temps différentes. Le couplage unidirectionnel de l'oscillateur lent (représentant l'activité moyenne d'une population de neurones régulateurs) vers l'oscillateur rapide (représentant l'activité moyenne d'une population de neurones sécréteurs) donne une structure à trois échelles de temps. Le comportement de l'oscillateur rapide est caractérisé par une alternance entre un régime de type cycle de relaxation et un régime de quasi-stationnaire qui induit des transitions de type canard dans le modèle ; ces transitions ont un fort impact sur le modèle de sécrétion du système de dimension 4. Nous proposons un premier pas supplémentaire dans la modélisation multi-échelles (en espace) du système GnRH, c'est-à-dire que nous étendons le système original à 6 dimensions en considérant deux sous-populations distinctes de neurones sécréteurs recevant le même signal des neurones de régulation. Cette étape nous permet de enrichir les motifs possibles de sécrétion de GnRH tout en gardant un cadre dynamique compact et en préservant la séquence des événements neuro-sécréteurs capturés par le modèle de dimension 4, à la fois qualitativement et quantitativement.Une première analyse du modèle GnRH étendu à 6 dimensions est présentée dans le Chapitre 2, où nous montrons à l'aide d'un système minimal de dimension 5 l'existence de trajectoires de type canard dans des systèmes lents-rapides couplés présentant des points pseudo-stationnaires. Le couplage provoque la séparation des trajectoires correspondant à chaque sécréteur qui se retrouvent de chaque côté du canard maximal (associé soit à un point pseudo-stationnaire de type noeud soit à un pseudo-col). Nous explorons les rapports entre les canards en présence et le couplage, ainsi que leur impact sur les motifs de sécrétion collective du modèle de dimension 6. Nous identifions deux sources différentes de (dé)synchronisation due aux canards dans les événements sécrétoires, qui dépendent du type de point pseudo-stationnaire sous-jacent.Dans le Chapitre 3, nous proposons une modélisation possible des comportements complexes de sécrétion de GnRH qui ne sont pas capturés par le modèle de dimension 4, à savoir, une décharge avec 2 ``bosses'' et une désynchronisation partielle avant la décharge, en utilisant le modèle de dimension 6 précédemment construit. Pour obtenir une décharge avec deux bosses, il est essentiel d'utiliser des fonctions de couplage asymétriques dépendant du régulateur ainsi que d'introduire de l'hétérogénéité dans les sous-populations de sécréteurs. Pendant le régime pulsatile, il apparaît que le signal régulateur varie lentement et, ce faisant, provoque une bifurcation dynamique qui est responsable de la perte de synchronie dans le cas de sécréteurs non identiques et asymétriquement couplés. Nous introduisons des outils analytiques et numériques pour façonner et quantifier ces caractéristiques supplémentaires et les intégrer dans le profil complet de sécrétion. / This dissertation investigates synchronization properties of slow-fast oscillators inspired from neuroendocrinology and neuronal dynamics, focusing on the effects of canard phenomena and dynamic bifurcations on the collective behavior. We start from a 4-dimensional system which accounts for the qualitative and quantitative dynamical features of the secretion pattern of the neurohormone GnRH (gonadotropin releasing hormone) along a whole ovarian cycle. This model involves 2 FitzHugh-Nagumo oscillators with different timescales. Unidirectional coupling from the slow oscillator (representing the mean-field activity of a population of regulating neurons) to the fast oscillator (representing the mean-field activity of a population of the secreting neurons) gives a three timescale structure. The behavior of the fast oscillator is characterized by an alternation between a relaxation cycle and a quasi-stationary state which introduces canard-mediated transitions in the model; these transitions have a strong impact on the secretion pattern of the 4-dimensional system. We make a first step forward in multiscale modeling (in space) of the GnRH system, namely, we extend the original system to 6 dimensions by considering two distinct subpopulations of secreting neurons receiving the same signal from the regulating neurons. This step allows us to enrich further the GnRH secretion pattern while keeping a compact dynamic framework and preserving the sequence of neurosecretory events captured by the 4-dimensional model, both qualitatively and quantitatively. An initial analysis of the extended 6-dimensional GnRH model is presented in Chapter 2, where we prove using a 5D minimal model the existence of canard trajectories in coupled systems with folded singularities. Coupling causes separation of trajectories corresponding to each secretor by driving them to different sides of the maximal canard (associated with either a folded-node or a folded-saddle singularity). We explore the impact of the relationship between canard structures and coupling on the collective secretion pattern of the 6-dimensional model. We identify two different sources of canard-mediated (de)synchronization in the secretory events, which depend on the type of underlying folded singularity. In Chapter 3, we attempt to model complex behaviors of the GnRH secretion not captured by the 4-dimensional model, namely, a surge with 2 bumps and partial desynchronization before the surge, by using the 6-dimensional model previously constructed. Regulatory-dependent asymmetric coupling functions and heterogeneity in the secretor subpopulations are essential for obtaining such a 2-bump surge. During the pulsatile regime, we find that the slowly varying regulatory signal causes a dynamic bifurcation, which is responsible for loss of synchrony in asymmetrically coupled nonidentical secretors. We introduce analytic and numerical tools to shape and quantify the additional features embedded within the whole secretion pattern.

Cette thèse présente une étude de la dynamique des plages sableuses ouvertes dominées par la houle, au travers d’une base de données originale, couvrant une période de 29 mois, et composée de 150 levés DGPS couvrant 750m de linéaire côtier, donnant accès à la morphodynamique du site de Biscarrosse à différentes échelles de temps. Dans un premier temps, l’analyse du jeu de données à l’échelle des événements (tempêtes et successions de tempêtes appelées clusters) nous a permis de montrer que la réponse des plages sableuses aux clusters ne résulte pas de la somme des impacts induits par chaque tempête d’un cluster. Ainsi, l’effet cumulé des clusters, rapporté sur d'autres sites dans la littérature, n’est ici pas vérifié. L'impact de l’enchainement des tempêtes a également été étudié et il en résulte que lors d’un cluster, un changement des conditions hydrodynamique, à savoir, une augmentation des hauteurs de vagues et/ou du niveau d’eau, est nécessaire pour que la tempête suivante ait un impact érosif significatif sur le système. Dans un second temps, nous avons étudié la dynamique saisonnière du système plage/dune, que ce soit la saison hivernale ou estivale, dans le but de mettre en relief les principaux processus impliqués à cette échelle. Nos travaux montrent que la réponse hivernale de la plage ne dépend pas uniquement des conditions énergétiques et du profil pré-hivernal de la plage, mais également du séquençage des événements, comme lors d'un cluster. Mes travaux confirment également la nécessité de prendre en compte de nombreux paramètres dans l’étude de la dynamique hivernale des littoraux sableux : les conditions hydrodynamiques, le séquençage des évènements érosifs mais également reconstructifs, en particulier le ré-engraissement post-évènement, les transports sédimentaires cross-shore et longshore, ainsi que la position de la barre interne et des courants d’arrachements. La saison estivale est, quant-à-elle, marquée par la reconstruction de berme. Elle semble être liée à la fois aux conditions hydrodynamiques et aux caractéristiques des barres sableuses. L’étude de deux étés et deux hivers successifs a ainsi permis d’identifier les interactions entre les saisons et l’impact de la saison hivernale sur l’estivale, et l’influence de la dynamique événementielle sur la dynamique saisonnière. Elle a aussi permis de mettre en relief l’impact de l’urbanisme et des stratégies d’aménagement dans la réponse du système, à différentes échelles de temps. / This thesis presents a study of an open sandy beach wave-dominated, based on an original dataset, covering 29 months and composed by 150 DGPS surveys recorded along 750m of sandy shore, giving an access to the morphodynamic of Biscarrosse beach at different timescales. In a first time, event scale analysis showed that sandy beach response to clusters is not the result of the sum of the impact generated by each storm of a cluster on the system. Thus, the cumulated effect of clusters, described in the literature is not verified here. The storm sequencing has also been studied: during a cluster, changes in hydrodynamics conditions (rising of the water level and/or wave height) are necessary to provoke a significant erosion of the system by the second storm. In a second time, we studied the seasonal scale dynamic of the beach/dune system (winter and summer seasons) with the purpose to highlight dominant processes involved at this timescale. Beach response to winter seasons not only depends on hydrodynamic conditions and previous beach profile, but also on erosion/recovery event sequencing, post-storm recovery, cross-shore and longshore sediment transport, the barline characteristics and RIP current positions. Summer seasons are here defined by the berm reconstruction. Recovery periods are both linked to hydrodynamic conditions and barline characteristics (e.g. position and shape).The study of successive winters and summers allowed us to identify interactions between seasons, and the influence of short-scale dynamics on the seasonal one. It also emphasizes the impact of urbanism and coastal management strategies on the system’s response, at different timescales.

L'intégration des sources d'énergies renouvelables sur le réseau électrique est complexe en raison de leur nature intermittente et décentralisée. Le micro-réseau est une approche prometteuse pour interconnecter des générateurs distribués (DGs) locaux, alimenter des charges locales et également échanger de l'énergie avec le réseau électrique de manière contrôlée. Ce mode de production/consommation locales permet d'éviter la transmission d'électricité sur de longues distances, et implique donc une plus grande efficacité. Ces travaux se concentrent sur l'analyse et le contrôle du micro-réseau continu afin que les DGs se répartissent l'alimentation des charges et qu'ils maintiennent également la tension du bus continu. À l'équilibre, les contraintesde la commande du statisme classique (droop control) pour un système comportant de multiples DGs sont analysés, et une méthode de compensation mixte est proposée pour améliorer simultanément le maintien en tension et le partage du courant de charge. En dynamique, le modèle global du système est construit en introduisant une inductance virtuelle dans le circuit équivalent du DG, puis plusieurs modèles d'ordre réduit sont examinés pour vérifier leur efficacité dans l'analyse de la stabilité du système. Un modèle multi-échelle d'ordre réduit (RMM) est proposé afin de conserver les contraintes temporelles ainsi que de réduire la complexité du système. Enfin, une méthode basée sur le contrôle de rejet de perturbation active (ADRC) est présentée afin de mettre en oeuvre le contrôle local de la tension des DG en prenant en compte l'échelle de temps. Cette méthode permet d'améliorer la dynamique du système de contrôle en ajustant la largeur de bande passante de la commande et de l'observateur. Les analyses et les méthodes de contrôle proposées sont vérifiées par des essais expérimentaux dans notre plateforme au laboratoire. / The direct integration of renewable energy resources to the utility grid is pretty tough due to their intermittent feature and dispersed nature. Microgrid is one promising approach to gather the local distributed generators (DGs), supply local loads as well as exchange power with the utility grid as a controllable unit. This local-generation-localconsumption mode is able to avoid the long distance power transmission, thus can benefit a higher efficiency. The control aim of DC microgrids is to make the multiple DGs share the load properly as well as maintain the DCbus voltage stable. In steady state, the constrains of the classic droop control in multiple DGs environment are analyzed, and a mixed compensation method using common current is proposed to improve the voltage and load sharing performance simultaneously. In dynamic state, the system comprehensive model is constructed by the introduction of virtual inductor in the equivalent circuit of the DG, then several reduced-order models are examined to check their effectiveness for the system stability analysis. A reduced-order multi-scale model (RMM) is proposedto keep major time scale information as well as reduce the system complexity. Finally, an active disturbance rejection control (ADRC) based control method is proposed to realize the time scale droop control. It can effectively adjust the dynamic of the local control by adjusting the bandwidth of the Linear Extend State Observer or/and the controller. The proposed analysis and control methods are verified by experimental tests in our laboratory platform.

Les contributions de cette thèse portent sur deux sujets. La première partie est dédiée à l'étude de modèles de champ moyen pour la structure électronique de matériaux avec des défauts. Dans le chapitre 2, nous introduisons et étudions le modèle de Hartree-Fock réduit (rHF) pour des cristaux désordonnés. Nous prouvons l'existence d'un état fondamental et établissons, pour les interactions de Yukawa (à courte portée), certaines propriétés de cet état. Dans le chapitre 3, nous considérons des matériaux avec des défauts étendus. Dans le cas des interactions de Yukawa, nous prouvons l'existence d'un état fondamental, solution de l'équation auto-cohérente. Nous étudions également le cas de cristaux avec une faible concentration de défauts aléatoires. Dans le chapitre 4, nous présentons des résultats de simulations numériques de systèmes aléatoires en dimension un. Dans la deuxième partie, nous étudions des modèles Monte-Carlo cinétique multi-échelles en temps. Nous prouvons, pour les trois modèles présentés au chapitre 6, que les variables lentes convergent, dans la limite de la grande séparation des échelles de temps, vers une dynamique effective. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques.

Cette thèse s’intéresse à l’étude de la stabilité des systèmes à commutation qui évoluent sur un domaine de temps non uniforme en introduisant la théorie des échelles de temps. On s’intéresse essentiellement aux systèmes dynamiques linéaires à commutation définis sur une échelle de temps particulière T = P{tσk ,tk+1} = ∪∞k=0[tσk , tk+1]. Le système étudié commute entre un sous-système dynamique continu sur les intervalles ∪∞k=0[tσk , tk+1[ et un sous-système dynamique discret aux instants ∪∞k=0{tk+1} (à temps discret) avec un pas discret qui varie dans le temps. Dans une première partie, des conditions suffisantes sont données pour garantir la stabilité exponentielle de cette classe de systèmes à commutation. Ensuite, des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité sont données en déterminant une région de stabilité exponentielle. Dans une deuxième partie, la stabilité de cette classe des systèmes à commutation avec des perturbations nonlinéaires a été traitée en utilisant des majorations de la solution, puis en introduisant l’approche de la fonction de Lyapunov commune. La troisième partie est consacrée au problème du consensus en présence d’interruptions de transmission d’informations où le système multi-agent en boucle fermée peut être représenté comme un système à commutation par une combinaison de modèles de systèmes linéaires à temps continu et de systèmes linéaires à temps discret. / This thesis deals with the stability analysis of switched systems that evolve on non uniform time domain by introducing the time scale theory. We are interested mainly in dynamical linear switched systems defined on particular time scale T = P{tσk ,tk+1} = ∪∞k=0[tσk, tk+1]. The studied system switches between a continuous-time dynamical subsystem on the intervals ∪∞k=0[tσk, tk+1[ and a discrete-time dynamical subsystem on instants ∪∞k=0{tk+1} (a discrete time) with a time-varying discrete step. In a first part, sufficient conditions are given to guarantee the exponential stability of this class of switched systems. Then necessary and sufficient conditions for stability are given by determining a region of exponential stability. In the second part, the stability of this class of switched systems with nonlinear uncertainties, is treated using majoration of the solution, and after that by introducing the approach of a common Lyapunov function. The third part is devoted to the consensus problem under intermittent information transmissions where the closed-loop multi-agent system can be represented as a switched system using a combination of linear continuous-time and linear discrete-time systems.

Cette thèse concerne la conception de commandes échantillonnées pour les systèmes non-linéaires en temps continu. Les systèmes échantillonnés sont des éléments inhérents aux systèmes contrôlés par ordinateur, les systèmes hybrides ou les systèmes embarqués. La conception et le calcul des contrôleurs numériques appropriés sont des taches difficiles car ils contiennent des composants à la fois continu et en temps discret. Ce travail s'inscrit dans une activité de recherche menée par S. Monaco et D. Normand-Cyrot dans le domaine des systèmes échantillonnés non-linéaires. L'idée de base est de concevoir des contrôleurs digitaux qui permettent de récupérer certaines propriétés en temps continu qui sont généralement dégradées par l'échantillonnage. Tel est le cas de l'émulation lorsque les contrôleurs en temps continu sont mis en ouvre en utilisant des bloqueurs d'ordre zéro. Cette thèse apporte des contributions dans trois directions complémentaires. La première concerne les développements théoriques: une nouvelle conception de type ``backstepping digital" est proposée pour les systèmes en forme ``strict-feedback". Cette méthode est comparée à d'autres stratégies proposées dans la littérature. La deuxième contribution est le développement d'un logiciel pour la synthèse des contrôleurs et d'une ``boîte à outils" pour simuler (en Matlab) les systèmes échantillonnés non-linéaires et leurs contrôleurs. Cette boîte à outils inclut plusieurs algorithmes pour la synthèse de contrôleurs échantillonnés tels que: commande de type multi-échelle, reproduction entrée-sortie/Lyapunov, backstepping digital, etc. La troisième contribution concerne plusieurs études de cas menées pour mettre en évidence les performances des contrôleurs échantillonnés, calculés avec l'aide du logiciel. Des résultats expérimentaux et des simulations sont décrits pour divers exemples réels dans les domaines électriques et mécaniques. / This thesis is concerned with the sampled-data control of non-linear continuous-time systems. Sampled-data systems are present in all computer controlled, hybrid or embedded systems. The design and computation of suitable digital controllers represent unavoidable tasks since both continuous and discrete-time components interact. The basic framework of this work takes part of a wide research activity performed by S. Monaco and D. Normand-Cyrot regarding non-linear sampled-data systems. The underlying idea is to design digital controllers that recover certain continuous-time properties that are usually degraded through sampling as it is the case when continuous-time controllers are implemented by means of zero-order holder devices (emulated control). This thesis brings contributions into three different directions. The first one regards theoretical developments: a new digital backstepping-like strategy design for strict-feedback systems is proposed. This method is compared with other strategies proposed in the literature. The second contribution is the development of a control designer and of a simulation toolbox (in Matlab) for non-linear sampled-data systems. This toolbox includes different digital design strategies such as: multi-rate control, input-output/Lyapunov matching, digital backstepping design, etc. The third contribution concerns several case studies conducted to highlight the performances of the sampled-data controller designs, computed by the means of the software toolbox. Experimental and simulation results are described for various real examples especially in the area of electrical and mechanical processes. / Teza de față se concentrează asupra studiului controlului eșantionat pentru sisteme neliniare în timp continuu. Sistemele eșantionate sunt componente indispensabile oricăror sisteme de control bazate pe dispozitive de calcul, sisteme hibride sau sisteme embedded. Sinteza și calculul comenzilor digitale, potrivite pentru astfel de sisteme, devine o sarcină dificilă o dată ce presupune existența de dinamici în timp discret respectiv în timp continuu.Cadrul de bază al acestei lucrări se regăsește în activitatea de cercetare realizată de Salvatore Monaco și Dorothée Normand-Cyrot în domeniul sistemelor eșantionate neliniare. Ideea care stă la bază este de a sintetiza comenzile digitale urmărind menținerea unor proprietăți impuse în timp continuu sub eșantionare. Aceste proprietăți sunt în general degradate sub eșantionare cum este cazul comenzilor emulate, când comenzile continue sunt implementate practic cu ajutorul extrapolatoarelor de ordin 0.Această teză își aduce aportul în 3 direcții complementare. Prima adresează dezvoltările teoretice unde o nouă sinteză de tip backstepping digital este propusă pentru sisteme în formă <strict-feedback>. Această metodă, dezvoltată în două versiuni, este comparată cu alte strategii similare propuse în literatură. A doua contribuție a tezei este legată de dezvoltarea unui toolbox software pentru sinteza de controllere digitale pentru sisteme nelinare sub eșantionare. Acest toolbox include strategii diferite pentru sinteza eșantionată precum: comandă de tip multi-rate, reproducere intrare-ieșire/Lyapunov, backstepping digital și alte soluții care sunt obiectul unor noi extensii. A treia contribuție este dată de studiile de caz dezvoltate pentru a scoate în evidență performanțele comenzilor eșantionate testate și calculate cu ajutorul aplicației software. Rezultatele experimentale și de simulare sunt obținute pentru diverse exemple reale din domeniul electric și mecanic.

Nous présentons dans cette thèse des théorèmes d’existence pour des systèmes d’équations différentielles non-linéaires d’ordre trois, pour des systèmes d’équa- tions et d’inclusions aux échelles de temps non-linéaires d’ordre un et pour des systèmes d’équations aux échelles de temps non-linéaires d’ordre deux sous cer- taines conditions aux limites. Dans le chapitre trois, nous introduirons une notion de tube-solution pour obtenir des théorèmes d’existence pour des systèmes d’équations différentielles du troisième ordre. Cette nouvelle notion généralise aux systèmes les notions de sous- et sur-solutions pour le problème aux limites de l’équation différentielle du troisième ordre étudiée dans [34]. Dans la dernière section de ce chapitre, nous traitons les systèmes d’ordre trois lorsque f est soumise à une condition de crois- sance de type Wintner-Nagumo. Pour admettre l’existence de solutions d’un tel système, nous aurons recours à la théorie des inclusions différentielles. Ce résultat d’existence généralise de diverses façons un théorème de Grossinho et Minhós [34]. Le chapitre suivant porte sur l’existence de solutions pour deux types de sys- tèmes d’équations aux échelles de temps du premier ordre. Les résultats d’exis- tence pour ces deux problèmes ont été obtenus grâce à des notions de tube-solution adaptées à ces systèmes. Le premier théorème généralise entre autre aux systèmes et à une échelle de temps quelconque, un résultat obtenu pour des équations aux différences finies par Mawhin et Bereanu [9]. Ce résultat permet également d’obte- nir l’existence de solutions pour de nouveaux systèmes dont on ne pouvait obtenir l’existence en utilisant le résultat de Dai et Tisdell [17]. Le deuxième théorème de ce chapitre généralise quant à lui, sous certaines conditions, des résultats de [60]. Le chapitre cinq aborde un nouveau théorème d’existence pour un système d’in- clusions aux échelles de temps du premier ordre. Selon nos recherches, aucun résultat avant celui-ci ne traitait de l’existence de solutions pour des systèmes d’inclusions de ce type. Ainsi, ce chapitre ouvre de nouvelles possibilités dans le domaine des inclusions aux échelles de temps. Notre résultat a été obtenu encore une fois à l’aide d’une hypothèse de tube-solution adaptée au problème. Au chapitre six, nous traitons l’existence de solutions pour des systèmes d’équations aux échelles de temps d’ordre deux. Le premier théorème d’existence que nous obtenons généralise les résultats de [36] étant donné que l’hypothèse que ces auteurs utilisent pour faire la majoration a priori est un cas particulier de notre hypothèse de tube-solution pour ce type de systèmes. Notons également que notre définition de tube-solution généralise aux systèmes les notions de sous- et sur-solutions introduites pour les équations d’ordre deux par [4] et [55]. Ainsi, nous généralisons également des résultats obtenus pour des équations aux échelles de temps d’ordre deux. Finalement, nous proposons un nouveau résultat d’exis- tence pour un système dont le membre droit des équations dépend de la ∆-dérivée de la fonction. / In this thesis, we present existence theorems for systems of third order nonli- near differential equations, for systems of first order nonlinear time scales equa- tions and inclusions and for systems of second order nonlinear time scales equa- tions under some boundary conditions. In chapter three, we introduce a concept of solution-tube to get existence theorems for systems of third order differential equations. This new definition generalizes to systems the notions of lower- and upper-solution to third order differential equations introduced in [34]. In the last part of this chapter, we study third order systems when the right member f sa- tisfies a Wintner-Nagumo growth condition. To obtain an existence result in this case, we use the theory of differential inclusions. This result generalizes in many ways a theorem due to Grossinho and Minhós [34]. The next chapter concerns the existence of solutions for two kind of systems of first order time scales equations. Existence results for these problems are obtained with new notions of solution-tube adapted to these systems. Our first theorem ge- neralizes to systems and to an arbitrary time scale a result for difference equations due to Mawhin and Bereanu [9]. Our result permits to deduce the existence of so- lutions for systems which could not be treated in a result of Dai and Tisdell [17]. The second theorem of this chapter generalizes under few conditions some results of [60]. The fifth chapter presents a new existence theorem for a system of first order time scales inclusions. As far as we know, there is no result in the littera- ture for this kind of system of inclusions. Therefore, this chapter opens new doors in the branch of time scales inclusions. Again, our new result is obtained with the introduction of an hypothesis of solution-tube adapted to the problem studied. In the last chapter, existence of solutions for systems of second order time scales equations are obtained. The first result of this chapter generalizes theo- rems of [36] since the hypothesis used by these authors to get a priori bounds for solutions is a particular case of our definition of solution-tube for this type of problems. Let us mention also that our notion of solution-tube generalizes to systems the definitions of lower- and upper-solution used for second order time scales equations by [4] and [55]. We also generalize to systems, results obtained for second order time scales equations. Finally, we conclude this chapter with a new existence result for systems of second order time scales equations with a right member depending on the ∆-derivative.

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Le présent travail porte sur le problème géologique de formation de roches à configuration complexe, appelée skarns. Un des intérêts de ces roches provient de ce qu'elles contiennent des composants ayant une valeur économique certaine. Après avoir mis en place le langage à utiliser et donné une idée des échelles des phénomènes, nous fournirons un modèle qui espère représenter l'évolution des skarns en prenant en considération plusieurs composants chimiques, plusieurs dimensions d'espace et des conditions limites variables en "lieu" et "temps". On aboutit à un système d'équations aux dérivées partielles relativement complet dont on diminue la taille en évoquant des hypothèses géologiques simplificatrices. Dans la mesure où l'on attendra des solutions faibles (avec "chocs") de ces systèmes, on essaiera de préciser la forme exacte des équations à traiter (liée aux quantités "effectivement conservées"), ce qui n'a pas toujours été évident par le passé. Afin de nous donner les moyens d'un traitement numérique de notre problème, nous fournirons une méthode de transport-écroulement en dimension d'''espace" quelconque finie, un prolongement heuristique de cette méthode à des cas plus complexes, y compris aux multiples problèmes de conditions limites rencontrés. Seront aussi présents divers paragraphes techniques utilisés systématiquement dans les autres parties. On fera enfin une programmation des diverses méthodes avancées avec, entre autres, des sorties graphiques couleur. Nous voudrions préciser avant de nous engager dans cette étude, que le travail que nous avons pu effectuer ici n'était pas évident à mener à terme : Il s'agit en effet là d'un travail de pionnier, avec au départ, du point de vue mathématique, très peu de formulations faites.

Dans le contexte du réchauffement et du changement climatique, il est important d’étudier les distributions, les cycles saisonniers et les tendances des gaz à l’état de trace dans l’atmosphère tels que la vapeur d’eau. L'Observatoire de Physique du Globe de Clermont-Ferrand a en charge plusieurs dispositifs d’observation dont le site instrumenté Cézeaux, Opme et Puy de Dôme (CO-PDD) situés dans le centre de la France (45◦ N, 3◦ E). Le site des Cézeaux dispose d’un LIDAR Rayleigh – Mie - Raman fournissant en routine des profils verticaux de vapeur d’eau et de paramètres optiques caractérisant les cirrus. Le site du puy de Dôme est équipé d’un spectroscope à cavité optique (CRDS-Picarro). Des mesures de colonnes totales de vapeur d’eau sont disponibles sur tous ces sites par GPS. Le site d’Opme est équipé d’un pluviomètre. Enfin Météo-France effectue le travail de contrôle qualité des données météorologiques sur les stations de mesure en France et ces données ont été utilisées dans cette thèse. La validation des données sur le site du puy de Dôme a été la première la première exploitation dans cette thèse. Des comparaisons des données sur le puy de Dôme ont montré un très bon accord entre les données de vapeur d’eau extraites de la station météorologique du puy de Dôme, de Météo France et les donnes CRDS du puy de Dôme, avec une corrélation de 0.94 et 0.98 respectivement. Les profils verticaux obtenus par LIDAR ont permis de sélectionner une anomalie de vapeur d’eau et d’identifier une intrusion stratosphère-troposphère en analysant les processus dynamique associés à cette anomalie. Les données OLR ont montré que cette intrusion est accompagnée de convection profonde et enfin LACYTRAJ confirme l'origine stratosphérique d’une partie de la masse d'air présente au-dessus de Clermont-Ferrand au cours de l’anomalie. Les longues séries d’observations (ex : Puy de Dôme 1995-2015) et des ré-analyse ECMWF ERA-Interim (1979-2017) et la diversité des sources de données (ex : satellites AIRS et COSMIC), nous permettent de documenter, analyser et comparer la variabilité, les cycles et la tendance de la vapeur d'eau à la surface et dans la troposphère, à différentes échelles de temps et déterminer les processus géophysiques responsables des distributions de vapeur d'eau sur le site CO-PDD. Le cycle annuel de la vapeur d'eau est clairement établi pour les deux sites de différentes altitudes et pour tous les types de mesure. Les sites de Cézeaux et du puy de Dôme ne présentent presque aucun cycle diurne, suggérant que la variabilité de la vapeur d'eau à la surface sur ces deux sites est plus influencée par les systèmes météorologique sporadiques que par les variations diurnes régulières. Les données LIDAR montrent une plus grande variabilité mensuelle de la distribution verticale que les produits satellites COSMIC et AIRS. La colonne totale de vapeur d'eau GPS sur le site des Cézeaux présente une tendance positive (0,42 ± 0,45 g/kg*décade entre 2006-2017). L'analyse par régressions multi-linéaires montre que les forçages continentaux (East Atlantic, East Atlantic-West Russia) ont une plus grande influence que le forçage océanique (Nord Atlantic Oscillation) sur les variations de vapeur d'eau. / In the context of global warming and climate change, it is important to study the distributions, seasonal cycles and trends of trace gases in the atmosphere such as water vapor. of the Observatoire de Physique du Globe de Clermont-Ferrand is in charge of several observation devices including the instrumented site Cézeaux, Opme and Puy de Dôme (CO-PDD) located near the center of France (45◦ N, 3◦ E). The site of Cézeaux is instrumented by a Rayleigh - Mie–LIDAR Raman providing routine vertical profiles of water vapor mixing ratio and optical parameters characterizing cirrus clouds. The puy de Dôme site is equipped with an optical cavity spectroscope (CRDS-Picarro). Measurements of total water vapor columns are available on all these sites by GPS. The Opme site is equipped with rain gauges. Finally, Météo-France performs the quality control work and of data on meteorological stations in France and these data were used in this thesis. The validation of the puy de Dôme data was the first the first task in this thesis. Comparisons between the puy de Dôme data sets showed a very good agreement between the water vapor datafrom the OPGC meteorological station of Puy de Dôme, Météo France and CRDS data with a correlation of 0.94 and 0.98 respectively. The vertical profiles deduced from the LIDAR allowed to identify a water vapor anomaly and a stratosphere-troposphere intrusion associated with this anomaly. OLR data showed that this intrusion could be linked with deep convection and LACYTRAJ confirms the stratospheric origin of a part of the air mass present above Clermont-Ferrand. Long series of observations (eg Puy de Dôme 1995-2015) and ECMWF ERA-Interim re-analysis (1979-2017) and the diversity of data sources (eg AIRS and COSMIC satellites), allowed us to document, analyze and compare the variability, cycles and trend of surface and tropospheric water vapor at different time scales and determine the geophysical processes responsible for water vapor distributions at the site of CO-PDD. The annual cycle of water vapor is clearly established for the two sites of different altitudes and for all types of measurement. Cézeaux and puy de Dôme present almost no diurnal cycle, suggesting that the variability of surface water vapor at this site is more influenced by a sporadic meteorological system than by regular diurnal variations. The LIDAR dataset shows a greater monthly variability of the vertical distribution than the COSMIC and AIRS satellite products. The Cézeaux site presents a positive trend for the GPS water vapor total column (0.42 ± 0.45 g/kg*decade during 2006–2017) and a significant negative trend for the surface water vapor mixing ratio (−0.16 ± 0.09 mm/decade during 2002–2017). The multi-linear regression analysis shows that continental forcings (East Atlantic Pattern and East Atlantic-West Russia Pattern) have a larger influence than oceanic forcing (North Atlantic Oscillation) on the water vapor variations.