Ce travail est consacré à l'analyse numérique des milieux poreux saturés, en tenant comptele phénomène d'endommagement sur le squelette solide. Le milieu poreux est pris dans lecadre poro-élastique, dans un état complètement saturé, d'après la théorie de Biot. Unmodèle scalaire d'endommagement est supposé pour cette analyse. Une formulationimplicite de la Méthode des éléments de frontière, basée sur des solutions fondamentalesindépendantes du temps, est développé et implantée numeriquement pour coupler lesproblèmes de l'écoulement de fluide et de l'elasticité endommageable. L'intégration sur deséléments de frontière est realisée en utilisant la méthode numérique de Gauss. Un schémasemi-analytique pour le cas des cellules triangulaires de domaine est suivie pour évaluer lesintégrales de domaine pertinentes. Le systéme non-linéaire est résolu par une procédure deNewton-Raphson. Des exemples numériques sont présentés, afin de valider la formulationimplantée et pour illustrer son efficacité. / This work is devoted to the numerical analysis of saturated porous media, taking into accountthe damage phenomenon on the solid skeleton. The porous media is taken into poroelasticframework, in full-saturated condition, based on the Biot’s Theory. A scalar damage model isassumed for this analysis. An implicit Boundary element Method (BEM) formulation, basedon time-independent fundamental solutions, is developed and implemented to couple thefluid flow and the elasto-damage problems. The integration over boundary elements isevaluated by using a numerical Gauss procedure. A semi-analytical scheme for the case oftriangular domain cells is followed to carry out the relevant domain integrals. The non-linearsystem is solved by a Newton-Raphson procedure. Numerical examples are presented, inorder to validate the implemented formulation and to illustrate its efficiency. / Este trabalho trata da análise numérica de meios porosos saturados, considerandodanificação na matriz sólida. O meio poroso é admitido em regime poroelástico, emcondição saturada, com base na teoria de Biot. Um modelo de dano escalar é empregadonesta análise. Uma formulação implícita do Método dos Elementos de Contorno (MEC),baseada em soluções fundamentais independentes do tempo, é desenvolvida eimplementada de forma a acoplar os problemas de difusão de fluido e de elasto-dano. Aintegração sobre os elementos de contorno é feita através da quadratura de Gauss. Umesquema semi-analítico é aplicado sobre células triangulares para avaliar as integrais dedomínio do problema. A solução do sistema não linear é obtida através de um procedimentodo tipo Newton-Raphson. Apresentam-se exemplos numéricos a fim de validar a formulaçãoimplementada e demonstrar sua eficiência.

La simulation de la propagation d'ondes pour des configurations 3D est un domaine de recherche très actif. Le principal avantage de la BEM est de ne discrétiser que les frontières du domaine. Elle est ainsi bien adaptée aux domaines infinis. Cependant, la BEM classique conduit à des matrices pleines et donc à des coûts de calcul et mémoire importants.<br />La FMM a permis d'augmenter de manière significative les capacités de la BEM dans beaucoup de domaines d'application. <br />Dans ce travail, la FMM est étendue aux équations de l'élastodynamique 3D dans le domaine fréquentiel, pour des domaines homogènes puis, grâce à une stratégie de couplage BE-BE, aux problèmes multi-domaines. D'autres améliorations de la méthode sont aussi présentées: préconditionnement, réduction du nombre de moments, développement multipôle pour les fonctions de Green du demi-espace. Des applications en sismologie sont présentées pour des modèles canoniques ainsi qu'au modèle de la vallée de Grenoble.

Cette thèse a consisté à élaborer une méthode qui permet de résoudre l’équation intégrale comportant comme inconnues les courants et les charges introduite récemment par Taskinen et Ylä-Oijala par une méthode d’éléments frontière sans aucune contrainte de continuité au niveau des interfaces des éléments aussi bien pour les courants que pour les charges. Nous avons d’abord montré comment on pouvait construire cette équation de façon simple et similaire à celle des formulations intégrales usuelles en imposant au problème intérieur relatif au système de Picard, qui est en fait une extension du système de Maxwell, des conditions aux limites adéquates. Pour des géométries régulières de l’objet diffractant, nous avons établi de façon théorique la stabilité et la convergence des schémas numériques ci-dessus en montrant que cette équation peut être décomposée sous la forme d’un système elliptique coercif et d’un opérateur compact dans le cadre des fonctions de carré intégrable.Toute cette étude a été confirmée par des tests numériques tridimensionnels. Comme pour les équations intégrales usuelles de seconde espèce, le cadre théorique valable pour des surfaces régulières ne l’est plus pour des surfaces avec des singularités. L’utilisation formelle de cette équation,pour des surfaces singulières, a donné des résultats entachés d’erreur. Nous avons mis en évidence l’origine des instabilités numériques à l’origine de ces erreurs lorsque les géométries sont singulières en développant une version bidimensionnelle de cette équation. Cette version nous a permis en particulier de montrer que les instabilités étaient dues à des oscillations parasites concentrées autour des singularités de la géométrie. Dans ce cadre nous avons pu mettre en oeuvre plus aisément des approches pour supprimer ou atténuer ces oscillations parasites ou leur effet sur les calculs en champ lointain. Nous avons montré qu’un procédé d’augmentation des degrés de liberté pour la charge par rapport au courant pouvait sensiblement réduire ces instabilités. A la suite de l’amélioration observée sur les résultats dans le cas 2D, nous avons transposé cette procédure au cas tridimensionnel. A travers divers tests, nous avons constaté l’amélioration de la qualité de l’approximation amenée par la procédure de stabilisation / The objective of this thesis was to develop a method that solves the integral equation whose unknowns are the currents and the charges, recently introduced by Taskinen and Ylä-Oijala, by a boundary element method without any continuity constraint at the interfaces of the elements,for both the unknowns. We first show how to construct this equation in a simple way, similar tothe usual integral formulations, through imposing to the internal problem related to the Picard system,which is an extension of the Maxwell system, appropriate boundary conditions. For regular geometries, we have established a theoretical background ensuring the stability and the convergence of numerical scheme, by proving that this equation can be decomposed in a coercive elliptic and a compact parts in the context of square integrable functions. Our study was validated by three-dimensional numerical tests. In the case of usual integral equations of the second kind, the theoretical background for smooth surfaces is no longer valid when the surfaces is singular. The formal use of this equation for singular surfaces gave erroneous results. We pointed out the origin of numerical instabilities bydeveloping a two-dimensional version of this equation. This version has allowed us to show that the instabilities were due to parasitic oscillations accumulating on the geometrical singularities. In this context, we have implemented some approaches to reduce this parasitic oscillations on the calculations in the far field.We have shown that the method of increasing the freedom degrees for the charges relatively to the current could significantly reduces these instabilities. As a result, we have implemented this procedure in three-dimensional case. Throughout various tests, we noted the improvement on the approximation brough bay to the stabilization procedure

Décrit comme l'un des algorithmes les plus prometteurs du 20ème siècle, le formalisme multipolaire appliqué à la méthode des éléments de frontière, permet de nos jours de traiter de larges problèmes encore inconcevables il y a quelques années. La motivation de ce travail de thèse est d'évaluer la capacité, ainsi que les avantages concernant les ressources numériques, de ce formalisme pour apporter une solution de référence aux problèmes de propagation sonore tri-dimensionnels en environnement urbain, dans l'objectif d'améliorer les algorithmes plus rapides déjà existants. Nous présentons la théorie nécessaire à l'obtention de l'équation intégrale de frontière pour la résolution de problèmes non bornés. Nous discutons également de l'équation intégrale de frontière conventionnelle et hyper-singulière pour traiter les artefacts numériques liés aux fréquences fictives, lorsque l'on résout des problèmes extérieurs. Nous présentons par la suite un bref aperçu historique et technique du formalisme multipolaire rapide et des outils mathématiques requis pour représenter la solution élémentaire de l'équation de Helmholtz. Nous décrivons les principales étapes, d'un point de vue numérique, du calcul multipolaire. Un problème de propagation sonore dans un quartier, composé de 5 bâtiments, nous a permis de mettre en évidence des problèmes d'instabilités dans le calcul par récursion des matrices de translations, se traduisant par des discontinuités sur le champs de pression de surface et une non convergence du solveur. Ceci nous a conduits à considérer le travail très récent de Gumerov et Duraiswamy en lien avec un processus récursif stable pour le calcul des coefficients des matrices de rotation. Cette version améliorée a ensuite été testée avec succès sur un cas de multi diffraction jusqu'à une taille dimensionnelle de problème de 207 longueur d'ondes. Nous effectuons finalement une comparaison entre un algorithme d'élément de frontière, Micado3D, un algorithme multipolaire et un algorithme basé sur le tir de rayons, Icare, pour le calcul de niveaux de pression moyennés dans une cour ouverte et fermée. L'algorithme multipolaire permet de valider les résultats obtenus par tir de rayons dans la cour ouverte jusqu'à 300 Hz (i.e. 100 longueur d'ondes), tandis que concernant la cour fermée, zone très sensible par l'absence de contribution directes ou réfléchies, des études complémentaires sur le préconditionnement de la matrice semblent requises afin de s'assurer de la pertinence des résultats obtenus à l'aide de solveurs itératifs / Described as one of the best ten algorithms of the 20th century, the fast multipole formalism applied to the boundary element method allows to handle large problems which were inconceivable only a few years ago. Thus, the motivation of the present work is to assess the ability, as well as the benefits in term of computational resources provided by the application of this formalism to the boundary element method, for solving sound propagation problems and providing reference solutions, in three dimensional dense urban environments, in the aim of assessing or improving fast engineering tools. We first introduce the mathematical background required for the derivation of the boundary integral equation, for solving sound propagation problems in unbounded domains. We discuss the conventional and hyper-singular boundary integral equation to overcome the numerical artifact of fictitious eigen-frequencies, when solving exterior problems. We then make a brief historical and technical overview of the fast multipole principle and introduce the mathematical tools required to expand the elementary solution of the Helmholtz equation and describe the main steps, from a numerical viewpoint, of fast multipole calculations. A sound propagation problem in a city block made of 5 buildings allows us to highlight instabilities in the recursive computation of translation matrices, resulting in discontinuities of the surface pressure and a no convergence of the iterative solver. This observation leads us to consider the very recent work of Gumerov & Duraiswamy, related to a ``stable'' recursive computation of rotation matrices coefficients in the RCR decomposition. This new improved algorithm has been subsequently assessed successfully on a multi scattering problem up to a dimensionless domain size equal to 207 wavelengths. We finally performed comparisons between a BEM algorithm, extit{Micado3D}, the FMBEM algorithm and a ray tracing algorithm, Icare, for the calculation of averaged pressure levels in an opened and closed court yards. The fast multipole algorithm allowed to validate the results computed with Icare in the opened court yard up to 300 Hz corresponding, (i.e. 100 wavelengths), while in the closed court yard, a very sensitive area without direct or reflective fields, further investigations related to the preconditioning seem required to ensure reliable solutions provided by iterative solver based algorithms

Contexte : Le tissu biologique mou présente une organisation structurelle extrêmement complexe et est le siège de nombreux phénomènes d'échanges. De nombreuses applications s'étendant du diagnostic clinique à l'ingénierie tissulaire nécessitent la connaissance du comportement mécanique du tissu. A cette fin, de nombreuses approches plus ou moins satisfaisantes sont développées. Elles s'efforcent toutes de tenir compte de manière plus ou moins systématique de la microstructure du milieu. La considération du tissu biologique comme un milieu micromorphe donne des résultats probants dans sa particularisation au milieu micropolaire appliquée au tissu osseux. Il est donc fort probable que des résultats du genre soient obtenus pour d'autres tissus. Notre travail était orienté vers le tissu cardiaque et la problématique de l'infarctus ischémique. Dans ce contexte, il nous a semblé que la particularisation de comportement la mieux adaptée est celle d'un milieu à microdilatation. Travail réalisé : Le travail réalisé dans le cadre de cette thèse est essentiellement numérique. Il a pour objectif de mettre en lumière les particularités de la réponse à une sollicitation extérieure d'un échantillon de milieu à microdilatation. Cette étape est essentielle pour l'analyse future des résultats d'expériences qui seront menées. Il a également pour objectif d'étudier les potentialités du modèle vis-à-vis du tissu cardiaque en considérant l'infarctus ischémique et la perte associée de la capacité d'éjection de volume sanguin. Les outils numériques d'analyse de tels milieux sont en plein développement. Il nous a fallu développer notre propre outil basé sur la LPI-BEM (Local Point Interpolation - Boundary Element Method). Du fait de la similitude des équations de champs associées, la validité de la stratégie numérique mise en oeuvre est testée sur le cas d'un matériau piézoélectrique. Ce choix n'est pas innocent car, dans l'avenir la considération du milieu piézoélectrique à microdilatation permettra d'analyser le cas d'une sollicitation électrique du tissu. Les détails de cette stratégie numérique originale sont consignés dans le chapitre 2 du mémoire. Le chapitre 3 est consacré à l'analyse de la robustesse de la méthode et aux particularités de la réponse d'un milieu à microdilatation. Le quatrième chapitre est consacré à l'application au tissu cardiaque. En se limitant au cas de petites déformations, on montre que le modèle est bien adapté à la représentation du comportement du tissu cardiaque. En effet, assimilant le ventricule gauche à une structure tubulaire, la fraction d'éjection du ventricule gauche (critère clinique d'insuffisance cardiaque) est fortement diminuée en présence d'une zone infarcie. Cette dernière est modélisée comme une région à frontière diffuse où les points matériels ont perdu leur capacité de « respirer ». Ces résultats sont prometteurs. Ils encouragent à poursuivre dans cette voie en prenant en compte le caractère anisotrope du tissu et en se plaçant dans le cadre des grandes déformations / Background: A soft biological tissue is subjected to numerous exchange phenomena and has an extremely complex structural organization. The knowledge of its mechanical behavior is required in many applications ranging from clinical diagnostic to tissue engineering. To achieve this goal, more or less satisfactory approaches are developed. They all seek to take into account in a more or less systematic manner the microstructure of the medium. Assuming that the biological tissue is a particular micromorphic medium (micropolar medium) leads to good results in the case bone tissue. It is therefore likely that the results of this kind will be obtained for other tissues. Our interest is on the heart tissue and the problem of ischemic heart attack. In this context, it seemed that the most appropriate behavior particularization is that of a microdilatation medium. Work done: The work presented in this thesis is essentially numerical. It aims to highlight the features of the response of microdilatation medium to an external mechanical load. This step is essential for the analysis of the experimental results to be conducted in the future. The work also aims to investigate the potentialities of the model with respect to the heart tissue regarding heart attack and the associated loss of the ability to eject sufficient blood volume. The numerical tools for the analysis of such media are in increasing development. We had to develop our own tool based on the LPI-BEM (Local Point Interpolation - Boundary Element Method). Because of the similarity of the associated field equations, the validity of the numerical strategy is assessed in the case of a piezoelectric material. This choice is not innocent because the piezoelectric medium with microdilatation will allow analyzing the case of an electrical solicitation of the tissue. The details of this original numerical approach are given in Chapter 2 of the thesis. Chapter 3 is devoted to the analysis of the robustness of the method and to the peculiarities of the response of a microdilatation medium. The fourth chapter is devoted to the application to the cardiac tissue. By limiting the study to the case of small strains, it is shown that the model is well suited to the representation of the behavior of cardiac tissue. Indeed, considering the left ventricle as a tubular structure, the left ventricle ejection fraction (clinical criterion of the heart failure) is greatly reduced in the presence of an infarcted area. The latter is modeled as a zone with diffuse boundary where the material points have lost their ability to "breath". These results are promising and encourage further investigations in this direction by taking into account the anisotropic nature of the tissue in a geometrically nonlinear context

Cette thèse s'articule autour de deux thématiques : les méthodes numériques pour la propagation d'ondes acoustiques sous écoulement et les méthodes de réduction de modèles. Dans la première thématique, nous développons une méthode de couplage d'éléments finis et d'éléments de frontière pour résoudre l'équation d'Helmholtz convectée, lorsque l'écoulement est uniforme à l'extérieur d'un domaine borné. En particulier, nous proposons une formulation bien posée à toutes les fréquences de la source. Dans la deuxième thématique, nous proposons une solution au problème classique d'accumulation d'arrondis machine qui survient en calculant l'estimateur d'erreur a posteriori dans la méthode des bases réduites. Par ailleurs, nous proposons une méthode non intrusive pour calculer une approximation sous forme séparée des systèmes linéaires résultant de l'approximation en dimension finie de problèmes aux limites dépendant d'un ou plusieurs paramètres / This thesis has two topics : numerical methods for acoustic wave propagation in a flow and reduced order models. In the first topic, we develop a coupled finite element and boundary element method to solve the convected Helmholtz equation, when the flow is uniform outside a bounded domain. In particular, we propose a formulation that is well-posed at all the frequencies of the source. In the second topic, we propose a solution to the classical problem of round-off error accumulation that occurs when computing the a posteriori error bound in the reduced basis method. Furthermore, we propose a non intrusive method for the approximation, in a separated representation form, of linear systems resulting from the finite-dimensional approximation of boundary-value problems depending on one or several parameters

Les composants électroniques présentent des facteurs d'échelle géométrique importants, et font intervenir des matériaux aux conductivités thermiques très différentes. L'expérience montre que dans ce cadre, la méthode des éléments de frontière est un choix judicieux pour la simulation thermique en régime permanent. En régime transitoire, la dimension temporelle ajoute un certain nombre de difficultés. Parmi celles-ci figurent classiquement l'augmentation des temps de calcul et les critères de stabilité, ou d'un manière plus générale les liens entre discrétisations spatiale et temporelle. Plus spécifiquement, un des enjeux actuels en électronique est de mesurer l'impact de phénomènes très localisés, comme des commutations ou des courts-circuits, sur la thermique globale d'un composant. Il s'agit alors de coupler différentes échelles espace-temps, en assurant en particulier des changements d'échelle sans perte d'information. Dans la première partie de ce travail, on propose d'utiliser la méthode des éléments de frontière transitoire pour répondre à cette problématique. On combine tout d'abord différentes formulations intégrales et des techniques d'optimisation pour réduire le coût de la méthode. On réutilise ensuite ce travail pour développer une approche multi-échelles, et généraliser la méthode des éléments de frontière aux matériaux non linéaires. Une seconde partie est consacrée au développement d'une méthode alternative, visant à réduire les temps de calcul de manière plus significative tout en conservant une base éléments de frontière. Il s'agit d'une méthode de décomposition propre généralisée, qui permet de construire une représentation à variables séparées de la solution de manière non incrémentale. On étudie la convergence de l'algorithme sur différents cas de test, en proposant des techniques pour traiter des conditions aux limites et initiales non homogènes, ainsi que des termes sources non linéaires.

Ce travail a pour objectif l'étude du couplage entre la propagation d'une onde optique et l'hydrodynamique d'une interface liquide-liquide, donnant naissance à une discipline nouvelle : l'opto-hydrodynamique. Les applications envisageables dans ce domaine sont nombreuses comme, par exemple, la mesure optique des propriétés physiques des fluides ou encore la manipulation sans contact d'objets à l'échelle micrométrique. Notre étude vise à comprendre les effets en surface et en volume d'une onde lumineuse intense sur un système à deux liquides immiscibles. Les simulations numériques, basées sur une méthode intégrale et d'éléments de frontière (BIEM), consistent à résoudre les équation de Stokes et de conservation de la masse en axisymétrique avec une condition de saut de contraintes à l'interface traduisant l'équilibre entre forces visqueuses, capillaires, gravitationnelle et pression de radiation optique. Le code de calcul est validé à l'aide de comparaisons avec des résultats expérimentaux ou avec des prédictions issues de modèles analytiques en régime de faible déformation pour l'équilibre ainsi que pour la dynamique de l'interface lorsque celle-ci est de grande extension par rapport à la taille du faisceau. Une analyse est menée sur l'effet du sens de propagation du faisceau laser sur la déformation de l'interface. Une comparaison avec des données expérimentales est également menée. Les effets en volume de l'onde optique sont étudiés mettant en évidence l'existence d'écoulements permanents au sein des phases qui interagissent avec la forme de l'interface. On étudie pour finir l'effet de taille et de volume finis avec en particulier les effets de la pression de radiation optique sur la déformation d'une goutte liquide dans les deux cas d'étirement et de compression de la goutte.

Cette thèse aborde deux thématiques différentes. On s’intéresse d’abord au développement et à l’analyse de méthodes pour le sens électrique appliqué à la robotique. On considère en particulier la méthode des réflexions permettant, à l’image de la méthode de Schwarz, de résoudre des problèmes linéaires à partir de sous-problèmes plus simples. Ces deniers sont obtenus par décomposition des frontières du problème de départ. Nous en présentons des preuves de convergence et des applications. Dans le but d’implémenter un simulateur du problème direct d’électrolocation dans un robot autonome, on s’intéresse également à une méthode de bases réduites pour obtenir des algorithmes peu coûteux en temps et en place mémoire. La seconde thématique traite d’un problème inverse dans le domaine de la chimie quantique. Nous cherchons ici à déterminer les caractéristiques d’un système quantique. Celui-ci est éclairé par un champ laser connu et fixé. Dans ce cadre, les données du problème inverse sont les états avant et après éclairage. Un résultat d’existence locale est présenté, ainsi que des méthodes de résolution numériques. / This thesis tackle two different topics.We first design and analyze algorithms related to the electrical sense for applications in robotics. We consider in particular the method of reflections, which allows, like the Schwartz method, to solve linear problems using simpler sub-problems. These ones are obtained by decomposing the boundaries of the original problem. We give proofs of convergence and applications. In order to implement an electrolocation simulator of the direct problem in an autonomous robot, we build a reduced basis method devoted to electrolocation problems. In this way, we obtain algorithms which satisfy the constraints of limited memory and time resources. The second topic is an inverse problem in quantum chemistry. Here, we want to determine some features of a quantum system. To this aim, the system is ligthed by a known and fixed Laser field. In this framework, the data of the inverse problem are the states before and after the Laser lighting. A local existence result is given, together with numerical methods for the solving.