Η παρούσα διατριβή ασχολείται με την μελέτη της γραμμικής, ανιξωδικής ευστάθειας, συμπιεστού, υπερηχητικού οριακού στρώματος γύρω από κύλινδρο ή κώνο. Το υλικό που παρουσιάζεται μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη. i) Το αριθμητικό αέρος, όπου γίνεται επέκταση, βελτίωση και σύγκριση αριθμητικών τεχνικών που χρησιμοποιούνται για την μελέτη της γραμμικής, ανιξωδικής ευστάθειας, συμπιεστών, υπερηχητικών οριακών στρωμάτων. Σε αυτό το μέρος αναπτύσσονται δύο τεχνικές για την επίλυση των εξισώσεων ανιξωδικής ευστάθειας οι οποίες βασίζονται στους πίνακες παραγώγισης Chebyshev για την διακριτοποίηση: α) Επαναληπτική μέθοδος: Σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο, οι εξισώσεις ευστάθειας διάκριτοποιούνται σε όλο το διάστημα ολοκλήρωσης με πίνακες παραγώγισης Chebyshev. Το διακριτοποιημένο, γραμμικό, αλγεβρικό σύστημα έχει τη μορφή AΧ - β, όπου ο πίνακας A περιέχει τους συντελεστές από τη διακριτοποίηση, το διάνυσμα Χ περιέχει τις (ζητούμενες) τιμές των ιδιοσυναρτήσεων στα σημεία του πλέγματος και το διάνυσμα b περιέχει τις συνοριακές συνθήκες. Δίνοντας μια αρχική εκτίμηση της ιδοτιμής το σύστημα επιλύεται επαναληπτικά μέχρι να ικανοποιηθεί η συνθήκη μη διαπερατότητας του στερεού ορίου. β) Ολική μέθοδος (QΖ αλγόριθμος): Σε αυτή τη μέθοδο, οι εξισώσεις ευστάθειας διάκριτοποιούνται σε όλο το διάστημα ολοκλήρωσης με ανάπτυγμα σε πολυώνυμα Chebyshe, ενώ οι ασυμπτωτικές τιμές των διαταραχών εκτός του οριακού στρώματος αντικαθίστανται από μηδενικές συνθήκες δίνοντας έτσι ένα γενικευμένο, αλγεβρικό πρόβλημα ιδιστιμώντης μορφής ΑΧ = cΒΧ. Το πρόβλημα επιλύεται από τον αλγόριθμο QΖ και δίνει μια προσέγγιση όλου του χάσματος ίδιο τιμών χωρίς την ανάγκη αρχικές εκτίμησης. Βασικό χαρακτηριστικό των εξισώσεων ανιξωδικής ευστάθειας και πηγή δυσκολιών στην αριθμητική τους επίλυση, είναι η ύπαρξη ιδιαζόντων (Singular) σημείων τα οποία κάνουν δύσκολο και σε κάποιες περιπτώσεις αδύνατο τον εντοπισμό και ακριβή υπολογισμό των ιδιοτιμών. Για την υπέρβαση αυτής της δυσκολίας, οι εξισώσεις ευστάθειας ολοκληρώνονται σε μια διαδρομή εντός του μιγαδικού επιπέδου, η οποία διέρχεται αρκετά μακριά από το ανώμαλο σημείο αυξάνοντας έτσι την ακρίβεια και την αποτελεσματικότητα των αριθμητικών σχημάτων. Το πρόβλημα που προκύπτει σε μια τέτοια περίπτωση είναι ο υπολογισμός των κατανομών της ταχύτητας και της θερμοκρασίας της βασικές ροής στο πλέγμα μιγαδικών σημείων όπου θα επιλυθούν οι εξισώσεις ευστάθειας. H συνήθης πρακτική για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος είναι η επίλυση των εξισώσεων της βασικές ροής σε πλέγμα πραγματικών σημείων και στη συνέχεια το ανάπτυγμα κατά Taylor των λύσεων αυτών ώστε να υπολογιστούν οι τιμές σε ένα πλέγμα μιγαδικών σημείων. Στην εργασία αυτή 1) εξετάζεται η επίδραση του σφάλματος αποκοπής του αναπτύγματος Taylor στην ακρίβεια των υπολογισμών και 2) προτείνεται μια τεχνική όπου οι εξισώσεις του οριακού στρώματος επιλύονται απ’ ευθείας στο μιγαδικό επίπεδο. Για τις εξισώσεις ευστάθειας που χρησιμοποιούμε, υπάρχει αναλυτική έκφραση που δίνει την ασυμπτωτική μορφή των διαταραχών μακριά από το στερεό όριο. Στην έκφραση αυτή των διαταραχών εμπλέκονται μη-γραμμικά οι ιδιοτιμές. Υιοθετώντας λοιπόν αυτού του είδους τις συνθήκες θα πρέπει αναγκαστικά να χρησιμοποιήσουμε μια επαναληπτική μέθοδο όπως η (α) που προτείνουμε εδώ και να αποκλείσουμε τις ολικές τεχνικές όπως η (β). Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας χρησιμοποιούμε άλλα δύο είδη συνοριακών συνθηκών, ομογενείς και γραμμικές μη-ομογενείς. Συγκρίνοντας τα αριθμητικά αποτελέσματα και από τα τρία είδη συνθηκών διερευνάται η επίδραση που έχει η επιλογή τους στην ακρίβεια και την αποτελεσματικότητα των υπολογισμών. Τέλος, τα αποτελέσματα όλων των παραπάνω τεχνικών συγκρίνονται με γνωστά από τη διεθνή βιβλιογραφία αποτελέσματα, τόσο για τη βασική ροή όσο και για τη χρονική Ευστάθεια, ώστε να διαπιστωθεί η ακρίβεια των υπολογισμών. ii) Στο δεύτερο αέρος επεκτείνουμε την μελέτη της φυσικής του προβλήματος με τη χρήση των αριθμητικών τεχνικών που αναπτύχθηκαν. H μελέτη επεκτάθηκε στην χωρική ευστάθεια, η οποία περιγράφει καλύτερα την φυσική του προβλήματος, και πιο συγκεκριμένα μελετήθηκε: α) Η επίδραση της επιλογής του νομού του ιξώδους και της τιμής του αριθμού Prandtl στην ακρίβεια των υπολογισμών. β) Η αποτελεσματικότητα διαφόρων τεχνικών για τον έλεγχο της ευστάθειας. Οι τεχνικές που μελετήσαμε είναι β1) η ομοιόμορφη θέρμανση/ψύξη των τοιχωμάτων, β2) η ομοιόμορφη έγχυση/αναρρόφηση και β3) κατανεμημένη έγχυση/αναρρόφηση ρευστού μέσω των τοιχωμάτων. / -

Cette thèse étudie quelques problèmes qualitatifs pour les systèmes d’équations différentielles modélisant des maladies infectieuses avec des effets de réaction ou de diffusion. Il se compose en trois parties.Premièrement, nous étudions un système de réaction-diffusion complex décrivant la propagation spatio-temporelle de la grippe avec de multiples souches. Nous établissons des conditions d’existence d’ondes semi-progressives, progressives fortes et faibles (persistantes) à partir de l’équilibre sans maladie. Nous discutons en outre plusieurs situations dans lesquelles les ondes se-mi-progressives n’existent pas, et donnent une estimation de la vitesse minimale d’onde. Deuxième-ment, nous analysons une classe de systèmes éco-épidémiologiques dans lesquels les proies sont sujettes à l’effet Allee et à l’infection. Pour certains sous-systèmes, nous déterminons l’existence du point de bifurcation (bifurcation Hopf et bifurcation d’orbites hétéroclines). Nous montrons que l’effet Allee fort peut créer une courbe séparatrice (ou une surface), conduisant à une stabilité mul-tiple. Nous trouvons que les cycles hétéroclines forment un réseau hétérocline et identifient une or-bite périodique intérieure. Enfin, nous donnons une analyse qualitative de deux systèmes différentiels basés sur le réseau couplant la propagation de l’épidémie et la diffusion de l’information: le système d’interaction et le système de contrôle des épidémies. Plus spécifiquement, nous obtenons l’existence de l’équilibre sans maladie, l’équilibre endémique et la variété de synchronisation, ainsi que leur stabilité asymptotique globale. / This thesis studies some qualitative problems for systems of differential equations modeling in-fectious diseases with reaction or diffusion effects. It consists of three parts.Firstly, we study a complex reaction-diffusion system describing the spatiotemporal spread of in-fluenza with multiple strains. We establish conditions for the existence of semi-, strong and weak (persistent) traveling waves starting from the disease-free equilibrium. We further discuss several situations in which semi-traveling waves do not exist, and give an estimation of minimal wave speed. Secondly, we analyze a class of eco-epidemiological systems where prey is subject to Allee effect and infection. For certain subsystems, we determine the existence of the bifurcation point (Hopf bifurca-tion and bifurcation of heteroclinic orbits). We show that the strong Allee effect can create a separa-trix curve (or surface), leading to multi-stability. We find that the heteroclinic cycles form a hetero-clinic network and identify an interior periodic orbit. Finally, we give a qualitative analysis of two network-based differential systems coupling epidemic spread and information diffusion: the interplay system and the epidemic control system. More specifically, we obtain the existence of the disease-free equilibrium, endemic equilibrium and synchronization manifold, and their global asymptotic stability.

Στην εργασία αυτή αναπτύσσεται η θεωρία κανονικών μορφών με παραδείγματα στις δύο και τρεις διαστάσεις και υπάρχει μια ανάλυση διακλαδώσεων των καθολικών εκδιπλώσεων ορισμένων διπλά εκφυλισμένων διανυσματικών πεδίων. / In this project we study the normal form theory giving some examples in two and three dimensions and we have also made a bifurcation analysis of the universal unfoldings of some double degenerate vector fields.

In this dissertation we obtain an e cient hybrid numerical method for the solution of stochastic di erential equations (SDEs). Speci cally, our method chooses between two numerical methods (Euler and Milstein) over a particular discretization interval depending on the value of the simulated Brownian increment driving the stochastic process. This is thus a new1 adaptive method in the numerical analysis of stochastic di erential equation. Mauthner (1998) and Hofmann et al (2000) have developed a general framework for adaptive schemes for the numerical solution to SDEs, [30, 21]. The former presents a Runge-Kutta-type method based on stepsize control while the latter considered a one-step adaptive scheme where the method is also adapted based on step size control. Lamba, Mattingly and Stuart, [28] considered an adaptive Euler scheme based on controlling the drift component of the time-step method. Here we seek to develop a hybrid algorithm that switches between euler and milstein schemes at each time step over the entire discretization interval, depending on the outcome of the simulated Brownian motion increment. The bias of the hybrid scheme as well as its order of convergence is studied. We also do a comparative analysis of the performance of the hybrid scheme relative to the basic numerical schemes of Euler and Milstein. / Mathematical Sciences / M.Sc. (Applied Mathematics)

In this dissertation we obtain an e cient hybrid numerical method for the solution of stochastic di erential equations (SDEs). Speci cally, our method chooses between two numerical methods (Euler and Milstein) over a particular discretization interval depending on the value of the simulated Brownian increment driving the stochastic process. This is thus a new1 adaptive method in the numerical analysis of stochastic di erential equation. Mauthner (1998) and Hofmann et al (2000) have developed a general framework for adaptive schemes for the numerical solution to SDEs, [30, 21]. The former presents a Runge-Kutta-type method based on stepsize control while the latter considered a one-step adaptive scheme where the method is also adapted based on step size control. Lamba, Mattingly and Stuart, [28] considered an adaptive Euler scheme based on controlling the drift component of the time-step method. Here we seek to develop a hybrid algorithm that switches between euler and milstein schemes at each time step over the entire discretization interval, depending on the outcome of the simulated Brownian motion increment. The bias of the hybrid scheme as well as its order of convergence is studied. We also do a comparative analysis of the performance of the hybrid scheme relative to the basic numerical schemes of Euler and Milstein. / Mathematical Sciences / M.Sc. (Applied Mathematics)

Στην παρούσα μελέτη, αφού ολοκληρώσαμε τις ήδη ευρεθείσες από άλλους ερευνητές, οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών, (δηλαδή τροχιών που είναι συμμετρικές ως προς το ισημερινό επίπεδο και το τέμνουν σε δυο σημεία), προχωρήσαμε ακόμη παραπέρα και για πρώτη φορά, υπολογίσαμε οικογένειες πολλαπλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών, οι οποίες "διακλαδίζονται" από τις προηγούμενες, καθώς και οικογένειες ασύμμετρων περιοδικών τροχιών. Θα πρέπει ακόμη να σημειωθεί ότι υπολογίσαμε και τα ευσταθή τμήματα των οικογενειών αυτών, πράγμα που έχει ιδιαίτερη σημασία για τη μελέτη των ζωνών Van Allen. / -

- / -

Η μεταπτυχιακή αυτή διπλωματική εργασία στοχεύει στην παρουσίαση κάποιων από τις δημοφιλέστερες μεθόδους βελτιστοποίησης μη γραμμικών συναρτήσεων. Εξετάζεται σε κάθε περίπτωση τόσο το θεωρητικό υπόβαθρο, όσο και η πρακτική λειτουργικότητα της εκάστοτε μεθόδου, τα είδη των προβλημάτων όπου επιτυγχάνεται η μέγιστη αποτελεσματικότητα, λεπτομέρειες σχετικά με το ρυθμό σύγκλισης, καθώς και κάποια συγκριτικά ως προς τις προαναφερθείσες μεθόδους σχόλια. Αρχικά υπενθυμίζονται βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στην πορεία της επισκόπησης των μεθόδων. Ακολούθως, γίνεται εκτενής αναφορά στις πλέον διαδεδομένες τετραγωνικές μεθόδους μονοδιάστατης βελτιστοποίησης, πιο συγκεκριμένα στις μεθόδους Μέγιστης Μείωσης, Newton, Διχοτόμησης, Fibonacci και Αναζήτησης Χρυσής Τομής. Τις μεθόδους κλίσης ακολουθούν οι μέθοδοι συζυγών κατευθύνσεων, που επιχειρούν ταχύτερη σύγκλιση και μείωση της πολυπλοκότητας. Στη συνέχεια περιγράφονται μέθοδοι μεταβλητής μετρικής, όπως η τροποποιημένη μέθοδος Newton, η Secant και ένας συνδυασμός των μεθόδων Μέγιστης Μείωσης και Newton. Η εργασία ολοκληρώνεται με την παρουσίαση μη τετραγωνικών προτύπων, όπως οι Καμπυλόγραμμες Τροχιές, η μέθοδος Jacobson-Oksman καθώς και Κωνικές Μέθοδοι. / This master course essay presents some of the most popular non-linear optimization methods. It refers both to the theory and the practice of each method, describes when each method is most efficient to be used, offers some convergence information and provides some comments about the comparison of the methods. Firstly, there is a reference of basic optimization theory which is followed by a detailed description of the most widely known quadratic optimization methods, such as Steepest Descent, Newton, Interval Halving, Fibonacci and Golden Section Search. Next section refers to Conjugate Direction methods which tend to be more efficient and converge faster. These are followed by Quasi-Newton methods, such as variations of the Newton method, Secant and a combination of Steepest Descent and Newton. Finally, some non-quadratic methods are presented, such as Jacobson-Oksman method and conic methods.

The boundary element method (BEM) has become a powerful method for the numerical solution of boundary-value problems (BVPs), due to its ability (at least for problems with constant coefficients) of reducing a BVP for a linear partial differential equation (PDE) defined in a domain to an integral equation defined on the boundary, leading to a simplified discretisation process with boundary elements only. On the other hand, the coefficients in the mathematical model of a physical problem typically correspond to the material parameters of the problem. In many physical problems, the governing equation is likely to involve variable coefficients. The application of the BEM to these equations is hampered by the difficulty of finding a fundamental solution. The first part of this thesis will focus on the derivation of the boundary integral equation (BIE) for the Laplace equation, and numerical results are presented for some examples using constant elements. Then, the formulations of the boundary-domain integral or integro-differential equation (BDIE or BDIDE) for heat conduction problems with variable coefficients are presented using a parametrix (Levi function), which is usually available. The second part of this thesis deals with the extension of the BDIE and BDIDE formulations to the treatment of the two-dimensional Helmholtz equation with variable coefficients. Four possible cases are investigated, first of all when both material parameters and wave number are constant, in which case the zero-order Bessel function of the second kind is used as fundamental solution. Moreover, when the material parameters are variable (with constant or variable wave number), a parametrix is adopted to reduce the Helmholtz equation to a BDIE or a BDIDE. Finally, when material parameters are constant (with variable wave number), the standard fundamental solution for the Laplace equation is used in the formulation. In the third part, the radial integration method (RIM) is introduced and discussed in detail. Modifications are introduced to the RIM, particularly the fact that the radial integral is calculated by using a pure boundary-only integral which relaxes the “star-shaped” requirement of the RIM. Then, the RIM is used to convert the domain integrals appearing in both BDIE and BDIDE for heat conduction and Helmholtz equations to equivalent boundary integrals. For domain integrals consisting of known functions the transformation is straightforward, while for domain integrals that include unknown variables the transformation is accomplished with the use of augmented radial basis functions (RBFs). The most attractive feature of the method is that the transformations are very simple and have similar forms for both 2D and 3D problems. Finally, the application of the RIM is discussed for the diffusion equation, in which the parabolic PDE is initially reformulated as a BDIE or a BDIDE and the RIM is used to convert the resulting domain integrals to equivalent boundary integrals. Three cases have been investigated, for homogenous, non-homogeneous and variable coefficient diffusion problems.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'étude de deux sujets concernant les problèmes d'évolution liés au p-laplacien. Le premier sujet concerne l'étude du comportement asymptotique des solutions bornées lorsque le temps $t\to+\infty$. Quant au deuxième sujet, il porte sur l'étude de la non existence des solutions positives non triviales. Cette thèse se répartit en trois chapitres. Le premier chapitre est consacré à une introduction générale. Le deuxième chapitre porte sur l'étude de la convergence, lorsque $t\to+\infty$, des solutions bornées d'une équation parabolique associée au p-laplacien dans un intervalle borné avec des conditions aux limites du type soit Dirichlet, Neumann ou Robin. Ce travail était l'objet d'un article \cite{hauer-convergence-2012} accepté pour publication dans « Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea ». Le dernier chapitre concerne l'étude de la non existence des solutions positives des équations paraboliques associées au p-laplacien avec un terme de convection et un potentiel singulier. La deuxième et quatrième section du Chapitre 3 reprennent un article \cite{Hauer:2012fk} accepté pour publication dans le journal « Archiv der Mathematik ». La deuxième sous-section de la Section 4 du Chapitre 3 contient un résultat qui améliore le travail \cite{Goldstein-Rhandi-weighted-hardy-11} de G. Goldstein, J. Goldstein et A. Rhandi et le travail \cite{MR1616905} de J. P. García Azorero et I. Peral Alonso concernant la non existence des solutions positives. Ce résultat n'est pas encore publié / This thesis is dedicated to the study of two subjects in the field of evolution problems associated with the $p$-Laplace operator. The first subject is concerned with the study of long time behavior of bounded solutions and the second subject is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial solutions. The first chapter of this thesis is devoted to a general introduction to the p-Laplace operator and a résumé of this thesis. The first chapter is written in French. Chapter 2 is dedicated to the study of convergence as the time $t\to+\infty$ of bounded solutions of evolution problems associated with the p-Laplace operator on a bounded interval with homogeneous Dirichlet, Neumann, or Robin boundary conditions converges. The results of Chapter 2 are contained in article \cite{hauer-convergence-2012}, which was published in the journal « Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea ». Chapter 3 is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial weak solutions of parabolic equations associated to the p-Laplace operator with a convection term and a singular potential. The results of Section 3.2 and Section 3.4.1 of Chapter 3 are contained in article \cite{Hauer:2012fk}, which was accepted for publication in the journal « Archiv der Mathematik ». The results of Section 3.4.2 of Chapter 3 are not yet published