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Estimação por maxima quase-verossimilhança no dominio do tempo de modelos de volatilidade estocastica com memoria longa

Ferraz, Rosemeire de Olanda, 1973- 03 August 2018 (has links)
Orientador: Luiz Koodi Hotta / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-03T16:14:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ferraz_RosemeiredeOlanda_M.pdf: 1128535 bytes, checksum: fe58d09019272fb05fe1d31393f2cfc3 (MD5) Previous issue date: 2003 / Mestrado / Mestre em Estatística
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Aplicação de redes neurais artificiais na análise de séries temporais econômico-financeiras / Artificial neural networks application in financial-economic time series analysis

Oliveira, Mauri Aparecido de 07 December 2007 (has links)
Diversas metodologias são empregadas para realizar a análise de séries temporais, dentre as quais destaca-se o uso das redes neurais artificiais (RNA). Neste trabalho são utilizados quatro métodos para realizar previsão de séries temporais univariadas: os modelos ARIMAGARCH, RNA feedforward, RNA treinada com filtro de Kalman estendido (EKF) e RNA treinada com o filtro de Kalman unscented (UKF). Sendo que o uso de RNA-UKF é um avanço recente na área de sistemas de inteligência computacional. O uso de redes neurais treinadas com filtro de Kalman é uma metodologia que tem trazido bons resultados em uma ampla variedade de aplicações nas áreas comercial, militar e científica. Em 2002 aproximadamente 250 bilhões de dólares eram gerenciados em fundos de investimentos por modelos quantitativos (tais como lógica fuzzy, redes neurais, algoritmos genéticos, fractais e modelos de Markov). Desde 2006 estima-se que três em cada dez destes fundos utilizem estes modelos quantitativos. A capacidade das RNA em lidar com não linearidades é uma vantagem normalmente destacada quando são realizadas previsões de séries temporais. São apresentadas simulações de Monte Carlo que mostram a influência dos parâmetros dos modelos ARIMA-GARCH na predição de redes neurais artificiais do tipo feedforward, treinadas com o algoritmo de Levenberg-Marquardt. Pelos resultados obtidos verificou-se que a RNA feedforward realizou melhores previsões a medida que o parâmetro ligado a estacionariedade aumenta. Também é aplicada a teoria para construção de intervalos de predição (IP) e de confiança (IC) para RNA feedforward. As séries temporais analisadas são univariadas e compostas de dados reais do setor financeiro (Bradesco PN, Bradespar PN, Itausa PN e Itaú PN), setor de alimentos (Perdigão PN, Sadia PN, Saca da Soja de 60Kg e Saca de Açúcar de 50Kg), setor industrial (Marcopolo PN, Petrobrás PN, Embraer ON, Ripasa PN, Souza Cruz ON e Gerdau PN) e setor de serviços (Pão de Açúcar PN, Eletropaulo PNA, Eletrobras PNB, Brasil Telecom PN, Cesp PNA e Lojas Americanas PNA). Os resultados obtidos mostram que a RNA-UKF apresentou-se superior quando comparada com as técnicas concorrentes. / Many techologies has been applied to time series analysis, among these artifitial neural networks (RNA). In this work, four methods are used to univariate time series forecasting: ARIMA-GARCH, RNA feedforward, RNA trained using extended Kalman filter (EKF) and RNA trained using unscented Kalman filter (UKF). RNA-UKF is a recent method in computational intelligence field. The use of neural networks trained using Kalman filter is a methodology that has brought good results in a wide variety of applications such as commercial, military and scientific field. In 2002 approximately 250 billions of dollars were managed in investiment funds by quantitative models (such as fuzzy logic, neural networks, genetic algorithms, fractals and Markov models). Since 2006 it is estimated that three in ten investiment funds use these quantitative models. The RNA power to deal with non linearities is a highlited advantage when time series forecasting are performed. This work presents Monte Carlo simulations showing the ARIMA-GARCH parameters influence in the feedforward artifitial neural networks predictions, trained with Levenberg- Marquardt algorithm. According to the results, RNA feedforward performed best forecasts to the extent stacionarity parameter increase. Moreover, the theory for confidence (IC) e prediction (IP) intervals are applied to RNA feedforward. This work presents analysis to real data univariate time series from financial sector (Bradesco PN, Bradespar PN, Itausa PN and Itaú PN), food sector (Perdigão PN, Sadia PN, Soybean 60Kg and Sugar 50Kg), factory sector (Marcopolo PN, Petrobrás PN, Embraer ON, Ripasa PN, Souza Cruz ON and Gerdau PN) and service sector (Pão de Açúcar PN, Eletropaulo PNA, Eletrobras PNB, Brasil Telecom PN, Cesp PNA and Lojas Americanas PNA). The results showed RNA-UKF upper hand when compared with the competitors techniques.
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Aplicação de redes neurais artificiais na análise de séries temporais econômico-financeiras / Artificial neural networks application in financial-economic time series analysis

Mauri Aparecido de Oliveira 07 December 2007 (has links)
Diversas metodologias são empregadas para realizar a análise de séries temporais, dentre as quais destaca-se o uso das redes neurais artificiais (RNA). Neste trabalho são utilizados quatro métodos para realizar previsão de séries temporais univariadas: os modelos ARIMAGARCH, RNA feedforward, RNA treinada com filtro de Kalman estendido (EKF) e RNA treinada com o filtro de Kalman unscented (UKF). Sendo que o uso de RNA-UKF é um avanço recente na área de sistemas de inteligência computacional. O uso de redes neurais treinadas com filtro de Kalman é uma metodologia que tem trazido bons resultados em uma ampla variedade de aplicações nas áreas comercial, militar e científica. Em 2002 aproximadamente 250 bilhões de dólares eram gerenciados em fundos de investimentos por modelos quantitativos (tais como lógica fuzzy, redes neurais, algoritmos genéticos, fractais e modelos de Markov). Desde 2006 estima-se que três em cada dez destes fundos utilizem estes modelos quantitativos. A capacidade das RNA em lidar com não linearidades é uma vantagem normalmente destacada quando são realizadas previsões de séries temporais. São apresentadas simulações de Monte Carlo que mostram a influência dos parâmetros dos modelos ARIMA-GARCH na predição de redes neurais artificiais do tipo feedforward, treinadas com o algoritmo de Levenberg-Marquardt. Pelos resultados obtidos verificou-se que a RNA feedforward realizou melhores previsões a medida que o parâmetro ligado a estacionariedade aumenta. Também é aplicada a teoria para construção de intervalos de predição (IP) e de confiança (IC) para RNA feedforward. As séries temporais analisadas são univariadas e compostas de dados reais do setor financeiro (Bradesco PN, Bradespar PN, Itausa PN e Itaú PN), setor de alimentos (Perdigão PN, Sadia PN, Saca da Soja de 60Kg e Saca de Açúcar de 50Kg), setor industrial (Marcopolo PN, Petrobrás PN, Embraer ON, Ripasa PN, Souza Cruz ON e Gerdau PN) e setor de serviços (Pão de Açúcar PN, Eletropaulo PNA, Eletrobras PNB, Brasil Telecom PN, Cesp PNA e Lojas Americanas PNA). Os resultados obtidos mostram que a RNA-UKF apresentou-se superior quando comparada com as técnicas concorrentes. / Many techologies has been applied to time series analysis, among these artifitial neural networks (RNA). In this work, four methods are used to univariate time series forecasting: ARIMA-GARCH, RNA feedforward, RNA trained using extended Kalman filter (EKF) and RNA trained using unscented Kalman filter (UKF). RNA-UKF is a recent method in computational intelligence field. The use of neural networks trained using Kalman filter is a methodology that has brought good results in a wide variety of applications such as commercial, military and scientific field. In 2002 approximately 250 billions of dollars were managed in investiment funds by quantitative models (such as fuzzy logic, neural networks, genetic algorithms, fractals and Markov models). Since 2006 it is estimated that three in ten investiment funds use these quantitative models. The RNA power to deal with non linearities is a highlited advantage when time series forecasting are performed. This work presents Monte Carlo simulations showing the ARIMA-GARCH parameters influence in the feedforward artifitial neural networks predictions, trained with Levenberg- Marquardt algorithm. According to the results, RNA feedforward performed best forecasts to the extent stacionarity parameter increase. Moreover, the theory for confidence (IC) e prediction (IP) intervals are applied to RNA feedforward. This work presents analysis to real data univariate time series from financial sector (Bradesco PN, Bradespar PN, Itausa PN and Itaú PN), food sector (Perdigão PN, Sadia PN, Soybean 60Kg and Sugar 50Kg), factory sector (Marcopolo PN, Petrobrás PN, Embraer ON, Ripasa PN, Souza Cruz ON and Gerdau PN) and service sector (Pão de Açúcar PN, Eletropaulo PNA, Eletrobras PNB, Brasil Telecom PN, Cesp PNA and Lojas Americanas PNA). The results showed RNA-UKF upper hand when compared with the competitors techniques.
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Previsão de volatilidade no Brasil: RiskMetrics, GARCH, volatilidade implícita ou uma combinação desses modelos? Um estudo empírico

Santos, José Evaristo dos January 1997 (has links)
Made available in DSpace on 2013-04-18T20:58:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 1199900146.pdf: 2751587 bytes, checksum: 8fc9e06e357157f752e0e7f98940ee0f (MD5) Previous issue date: 1997 / O trabalho testa o poder de previsão da volatilidade futura, de cinco modelos: um modelo ingênuo, do tipo martingale, o modelo sugerido pelo JPMorgan em seu RiskMetrics™, o modelo GARCH-Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity, o modelo da volatilidade implícita e combinações de Risk:MetricsTM com volatilidade implícita e de GARCH com volatilidade implícita. A série estudada é a volatilidade para vinte e cinco dias, dos retornos diários do contrato futuro de Ibovespa, negociado na BM&F - Bolsa de Mercadorias e Futuros. Particularidades brasileiras são introduzidas na estimação dos parâmetros do modelo GARCH. O poder de previsão é testado com medidas estatísticas, envolvendo equações de perdas (loss functions) simétricas e assimétricas, e com uma medida econômica, dada pelo lucro obtido a partir da simulação da realização de operações hedgeadas, sugeridas pelas previsões de volatilidade. Tanto com base nas medidas estatísticas como na medida econômica, o modelo GARCH emerge como o de melhor desempenho. Com base nas medidas estatísticas, esse modelo é particularmente melhor em período de mais alta volatilidade. Com base na medida econômica, contudo, o lucro obtido não é estatisticamente diferente de zero, indicando eficiência do mercado de opções de compra do contrato futuro de Ibovespa, negociado na mesmaBM&F.
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Modelos de séries temporais aplicados à análise prospectiva de concessão de crédito bancário / Time series models applied to forecast analysis of banking credit concessions

Kleber Giovelli Abitante 19 March 2007 (has links)
O presente trabalho teve por objetivo modelar as séries de concessão de crédito bancário às pessoas físicas, às pessoas jurídicas e para financiamento de atividades rurais, bem como realizar previsões a cerca dos comportamentos destas séries. A metodologia utilizada foi de Auto- Regressão Vetorial. A propriedade de co-integração entre as variáveis foi considerada no trabalho, sendo que foram estimados modelos de Auto-Regressão Vetorial com Correção de Erro – VEC. Os resultados mostram que o produto, a taxa de juros cobrada nos empréstimos, as exportações e as vendas no varejo podem auxiliar na geração de previsões satisfatórias das concessões de crédito às pessoas jurídicas e às pessoas físicas. Para o modelo de previsão das concessões de crédito para financiamento de atividades rurais, utilizaram-se variáveis referentes à produção de fertilizantes, vendas de tratores e colheitadeiras, produção de leite e produção de carnes bovina, suínas e de aves, sendo que as previsões geradas pelo modelo apresentaram performance adequada, dada a dificuldade da modelagem. / The aim of this study was to model the series of banking credit concessions to individuals, to firms and for rural activities financing, and to generate forecasts about the behavior of that series. The methodology used was the Vector Auto-Regression. The property of co-integration among the variables was considered, and were estimated Vector Auto-Regression models with Error Correction – VEC. The results shows that the product, the lending interest rate, the exportation and the retail sales can to help on the generation of satisfactory forecast of the banking credit concessions to firms and to individuals. Regarding the forecast model of the banking credit concessions for rural activities financing, was used variables about the fertilizers production, sales of tractors and harvesters machines, milk production and the production of meat of cattle, pork and chicken, and the forecasts generated by the model showed suitable perform, considering the modeling difficult.
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Modelos de séries temporais aplicados à análise prospectiva de concessão de crédito bancário / Time series models applied to forecast analysis of banking credit concessions

Abitante, Kleber Giovelli 19 March 2007 (has links)
O presente trabalho teve por objetivo modelar as séries de concessão de crédito bancário às pessoas físicas, às pessoas jurídicas e para financiamento de atividades rurais, bem como realizar previsões a cerca dos comportamentos destas séries. A metodologia utilizada foi de Auto- Regressão Vetorial. A propriedade de co-integração entre as variáveis foi considerada no trabalho, sendo que foram estimados modelos de Auto-Regressão Vetorial com Correção de Erro – VEC. Os resultados mostram que o produto, a taxa de juros cobrada nos empréstimos, as exportações e as vendas no varejo podem auxiliar na geração de previsões satisfatórias das concessões de crédito às pessoas jurídicas e às pessoas físicas. Para o modelo de previsão das concessões de crédito para financiamento de atividades rurais, utilizaram-se variáveis referentes à produção de fertilizantes, vendas de tratores e colheitadeiras, produção de leite e produção de carnes bovina, suínas e de aves, sendo que as previsões geradas pelo modelo apresentaram performance adequada, dada a dificuldade da modelagem. / The aim of this study was to model the series of banking credit concessions to individuals, to firms and for rural activities financing, and to generate forecasts about the behavior of that series. The methodology used was the Vector Auto-Regression. The property of co-integration among the variables was considered, and were estimated Vector Auto-Regression models with Error Correction – VEC. The results shows that the product, the lending interest rate, the exportation and the retail sales can to help on the generation of satisfactory forecast of the banking credit concessions to firms and to individuals. Regarding the forecast model of the banking credit concessions for rural activities financing, was used variables about the fertilizers production, sales of tractors and harvesters machines, milk production and the production of meat of cattle, pork and chicken, and the forecasts generated by the model showed suitable perform, considering the modeling difficult.
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Análise de séries de tempo financeiras: uma aplicação da teoria do caos em finanças empíricas

Erbano, Gabriel Hidequi 15 February 2005 (has links)
Made available in DSpace on 2010-04-20T20:51:19Z (GMT). No. of bitstreams: 3 62683.pdf.jpg: 17681 bytes, checksum: f564240c011f73dddcf42bea315c0da7 (MD5) 62683.pdf: 1894862 bytes, checksum: c422f7726a9b5506aba70f338adc614d (MD5) 62683.pdf.txt: 93822 bytes, checksum: f4235a61461b415e2529bf47c8f256c1 (MD5) Previous issue date: 2005-02-15T00:00:00Z / A dissertação tem como principal objetivo a busca de evidências da existência de um componente determinístico no comportamento dos preços de certas ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA) e em índices amplos do mercado, tais como o Ibovespa e IBX e, como conseqüência, determinar se a Hipótese de Mercado Eficiente é válida para o mercado financeiro brasileiro. Um objetivo secundário é mostrar a aplicabilidade de técnicas interdisciplinares ao estudo de Finanças empíricas, técnicas essas que, desde sua incepção, já levam em consideração o fato de que os dados estudados não atendem ao requisito de normalidade e que as observações não são independentes entre si. Essa aplicabilidade já é largamente demonstrada em inúmeros estudos internacionais e diversas publicações no Brasil. Porém, o presente trabalho tentará aplicar uma estrutura analítica mais flexível e computacionalmente mais eficiente, utilizando ferramentas trazidas do campo da Teoria da Informação e avanços relativamente recentes da área. / The present work has as the main objective to search evidence towards the existence of a deterministic chaotic component in the behavior of the prices of certain stocks negotiated in the São Paulo Stock Exchange (BOVESPA) and important market indexes, as the Ibovespa and the IBX and, as a consequence, to verify the validity of the Efficient Market Hypothesis for the Brazilian financial market. A secondary objective is to show the viability of interdisciplinary techniques to the study of empirical financial data. Since their inception, those techniques were developed considering the fact that the studied series would not be compliant to the normality and independence assumptions. Even as the secondary objective is already met by a large number of academic literature, including some important Brazilian papers, the present work will try to apply a more up-to-date and efficient analytical structure, using tools brought from the field of Information Theory and relatively recent published results.
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Modelagem dos níveis freáticos do sistema aquífero Bauru (SAB) em diferentes usos da terra no município de Assis - SP /

Nava, Aira. January 2015 (has links)
Orientador: Rodrigo Lilla Manzione / Banca: Célia Regina Lopes Zimback / Banca: Paulo Milton Barbosa Landim / Resumo: A água subterrânea destaca-se pela boa qualidade, baixo custo de captação e relativa abundancia no Estado de São Paulo. Na região hidrográfica do Médio Paranapanema, o Sistema Aquífero Bauru (SAB) é uma reserva estratégica e seu monitoramento é importante para que a exploração seja feita de maneira sustentável e o aquífero continue desenvolvendo seu papel no fornecimento de água para a região. A pressão exercida por sistemas agrícolas e florestais em áreas de recarga de aquíferos é uma variável ligada à tomada de decisão e ao planejamento dos recursos hídricos em uma bacia. A identificação de respostas do aquífero, em relação ao uso da terra, pode ser realizada utilizando dados de monitoramento freático e modelos de séries temporais. Neste sentido, ressalta-se a importância do estudo do comportamento e aproveitamento da água na bacia hidrográfica, a fim de determinar a evolução dos recursos hídricos no tempo e no espaço e mensurar o impacto da modificação da bacia sobre processos hidrológicos. Com base em tais pressupostos, este trabalho teve como objetivo verificar o comportamento do SAB a partir de dados de altura do nível freático coletados em poços de monitoramento localizados em diferentes parcelas experimentais no município de Assis/SP. Para isso, as series históricas das alturas do nível freático foram ajustadas aos dados de precipitação e evapotranspiração, através do modelo de transferência de ruído PIRFICT.Os resultados mostraram um comportamento distinto entre os poços localizados sob a mesma formação geológica, mas com diferentes usos da terra. Notou-se que em área agrícola os níveis foram mais sensíveis às variações sazonais e às práticas de manejo ali empregadas, denotando células de fluxo local. Enquanto que em área de conservação florestal, onde não há perturbações antrópicas, os dados de monitoramento ... / Abstract: Groundwater outstands for good quality, low withdrawing cost and relative abundance in the State of São Paulo. In the Médio Paranapanema river basin, the Bauru Aquifer System (BMS) is a strategic reserve, its water monitoring is essential for a sustainable way of exploration, and the aquifer keeps developing its role in supplying water for the region. All of the state territory aquifers are exposed to progressive deterioration, given the impacts to geological structures by growing urban settlement, industrial and agricultural blast climbing.Pressure inputted by agricultural and forestry systems in groundwater recharge areas is an important decision variable to water resources planning in the basin. The identification of aquifer responses to the use of land can be done using groundwater monitoring data and time series models. In this context, it have been highlighted the importance of studying the behavior and use of water in the basin, to determine the evaluation of water resources in time and space and measure the impact of modification on the basin hydrological processes. Based on these premises, this study aimed to verify the effects of different crops in the oscillation processes of groundwater levels in the study area. And the application of models based on observations and time series of groundwater levels to understand the processes occurring during the hydrologic cycle and affect the availability of groundwater resources of the Bauru Aquifer System in Assis / SP. Results have shown a distinct behavior between the wells located in the same geological formation, but with different land uses. It have noted that agriculture levels were more sensitive to seasonal variations and the management practices employed there, denoting local flow cells, while in wooded conservation area, where there is no human disturbance, monitoring data reflect the flow base toward the nearest drain, mainly influenced ... / Mestre
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O impacto da conjuntura econômica sobre o consumo: um estudo sobre as vendas no varejo / The impact of the economic environment on consumption: a study on retail Sales

Lazier, Iuri 06 December 2013 (has links)
Este trabalho realiza uma análise exploratória do comportamento das venda de varejo na economia brasileira. O estudo parte da identificação de variáveis econômicas relevantes na determinação das vendas de varejo. A identificação apoia-se em proposições de outros estudos e testes de causalidade. O resultado da identificação é validado por meio da construção de um modelo de previsão de vendas no varejo. A relevância da causalidade das variáveis é verificada pela comparação do desempenho do modelo multivariado em relação ao desempenho de modelos univariados. Em seguida, o trabalho aprofunda a análise da relevância das variáveis por meio da mensuração da causalidade das taxas de juros básica da economia e ao consumidor e da mensuração do tempo médio de causalidade sobre as vendas de varejo. Por fim, as vendas de varejo são decompostas em vendas setoriais e avaliadas as mensurações de causalidade e tempo de causalidade das taxas de juros sobre os segmentos de varejo. / This work conducts an exploratory analysis on the behavior of retail sales in the brazilian economy. The analysis starts by identifying relevant economic variables in determining retail sales. The identification leans on other researches and causality tests. The identification results are validated by the contruction of a forecasting model for retail sales. The relevance of causal variables is assessed by comparing the forecasting performance of univariate models against the multivariate model. The work deepens the analysis of the causal variables by measuring the causality of the basic interest rate and the consumer interest rate over retail sales and by measuring the average time of the causality. The same analysis is extended to industry sectors in the retail sales.
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Previsão de arrecadação tributária baseada em um método de otimização de portfólio para a combinação de previsões / Revenue forecast based on a portfolio optimization method for combination of forecasts

Kubo, Sergio Hideo 01 August 2014 (has links)
Uma previsão de receitas precisa é muito importante para o administrador público na elaboração do orçamento anual, e para isso há a necessidade de se encontrar um modelo, econométrico ou não, que possibilite essa previsão com qualidade. Este trabalho apresenta uma forma inovadora para realizar a combinação de modelos de previsão. Seu objetivo foi criar uma metodologia para a obtenção de pesos para a combinação de modelos baseada no método de otimização de uma carteira de investimentos proposto por Markowitz. Para o estudo, foram utilizadas as estimações de três a cinco previsões individuais de um a cinco passos à frente, com os modelos Box-Jenkins SARIMA (Autorregressivo Integrado de Médias Móveis Sazonal), PLSR (Regressão com Mínimos Quadrados Parciais) e o Método não econométrico de Indicadores, como é denominado internamente na Receita Federal. A utilização da fronteira eficiente de Markowitz, que apresenta os pontos de mínima variância para cada retorno, é semelhante à minimização da variância da combinação, proposta no artigo seminal de Bates e Granger. O risco (desvio padrão), na teoria de portfólio de Markowitz, pode ser definido como a dispersão dos resultados e pode ser decomposto em risco sistemático e risco não sistemático. À medida que a quantidade de pesos das previsões a combinar cresce, a parte não sistemática do risco tende a zero, ficando o risco total representado somente pela parte sistemática. Por outro lado, observou-se que a curva de erros correspondente à fronteira eficiente apresenta quebras estruturais à medida que a quantidade de pesos não-zero varia. Selecionando-se trechos em que a quantidade de pesos é maior, minimiza-se a parte não sistemática, minimizando o erro. Dentro desses trechos selecionados, buscaram-se os pontos de menor erro, sendo a combinação encontrada chamada de Mínimo Erro Prim. O Mínimo Erro Seg foi o resultado da combinação com o menor erro, incluindo-se os trechos com a segunda maior quantidade de componentes diferentes de zero na combinação. Embora, na média, os pontos de Mínimo Erro Seg apresentem menor valor de erro que o Mínimo Erro Prim, como o segundo apresenta menor desvio padrão médio, optou-se pelo Mínimo Erro Prim para o ponto escolhido como a proposta de combinação deste estudo. Esse ponto apresenta resultados sistematicamente melhores que o da simples média, utilizada geralmente como benchmark. / A precise revenue forecast is very important for public administrators to draft an annual report. That is why there is a need to find a model, whether econometric or not, that makes it possible to have a quality forecast. This study proposes an innovative approach to executing a combination of forecasting models. The goal was to create a methodology to obtain weights in order to combine models based on the investment portfolio optimization method proposed by Markowitz. The estimates of three to five individual forecasts from one to five steps ahead were used for the study, with the Box-Jenkins SARIMA (Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average) model, the PLSR (Partial Least Squares Regression) model and the non-econometric Method of Indicators, as it is called internally at the Brazilian Federal Revenue Service. The use of Markowitz\'s efficient frontier, which shows the points of minimum variance for each return, is similar to the minimization of the combination variance proposed in the seminal paper by Bates and Granger. The risk (standard deviation) in the Markowitz portfolio theory could be defined as a dispersion of results and could be broken down into systemic risk and non-systemic risk. Insofar as the amount of weights for the forecasts to be combined grows, the non-systemic part of the risks tends to move towards zero, with total risk only being represented by the systemic part. On the other hand, the error curve was found to correspond to the efficient frontier, showing structural breaks insofar as the amount of non-zero weights varies. By selecting parts where there is a greater amount of weights, the non-systemic part is minimized, thus minimizing error. Within these selected parts, the points of least error were sought, with the combination found being called the Prim Minimum Error. The Sec Minimum Error was the result of the combination with the lowest error, including the parts with the second highest amount of components different from zero in the combination. Although on average the Sec Minimum Error points show a lower error value than the Prim Minimum Error, since the second shows a lower standard deviation, the Prim Minimum Error was chosen as the point selected as the combination proposal of this study. This point shows systematically better results than the simple average generally used as a benchmark.

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