Nous présentons une contribution autour de la modélisation des écoulements viscoplastiques. En vue d'applications réalistes telle que la simulation numérique des coulées de lave volcanique, le travail se concentre particulièrement sur les fluides complexes dont la rhéologie dépend fortement de grandeurs physiques telle que la température ou la concentration en particule. Nous développons un nouvel algorithme de résolution numérique des équations de Herschel-Bulkley combinant une méthode de Lagrangien augmenté à paramètre d'augmentation variable, une méthode des caractéristiques d'ordre 2 et une adaptation de maillage automatique. Sur des problèmes stationnaires ou en évolution tel que le problème test de la cavité entraînée, il apporte une solution efficace pour garantir à la fois une précision numérique élevée et un temps de calcul raisonnable. Cet algorithme est ensuite étendue et adapté au cas des rhéologies non-isothermes et aux suspensions. Concernant la simulation numérique des coulées de lave volcanique, nous détaillons une méthode de réduction par analyse asymptotique des équations de Herschel-Bulkley pour des écoulements de faible épaisseur sur une topographie arbitraire. Elle permet alors de décrire ces écoulements tridimensionnels de fluides viscoplastiques à surface libre par des équations bidimensionnelles surfaciques. Cette approche est ensuite étendue au cas non-isotherme en y ajoutant l'équation de la chaleur et des dépendances thermiques sur la rhéologie. Par intégration verticale de l'équation de la chaleur, on retrouve un modèle bidimensionnel. Le modèle non-isotherme est validé sur une expérience de dôme réalisée en laboratoire et une simulation numérique est réalisée autour d'une coulée qui a eu lieu sur le volcan du Piton de la Fournaise à la Réunion, en décembre 2010. La comparaison donne des résultats qui sont de notre point de vue satisfaisants et encourageants. / We present a contribution about modeling of viscoplastic flows. For realistic applications such as numerical simulation of volcanic lava flows, the work focuses particularly on complex fluids whose rheology strongly depends on physical quantities such as temperature or the particle concentration. We develop a new numerical resolution algorithm of Herschel-Bulkley's equations combining an augmented Lagrangian method with variable augmentation parameter, a second order characteristic method and an auto-adaptive mesh procedure. On stationary or evolving problems as the lid-driven cavity flow benchmark, it provides an effective solution to ensure both a high numerical accuracy within a reasonable computing time. This algorithm is then extended and adapted to the case of non-isothermal rheological and suspensions. On the numerical simulation of volcanic lava flows, we describe a method of reducing by asymptotic analysis of the Herschel-Bulkley's equations for thin flows on arbitrary topography. It allows to describe the three-dimensional flows of viscoplastic fluid with free surface by bidimensional surface equations. This approach is then extended to the non-isothermal case by adding the heat equation and thermal dependencies on rheology. By vertical integration of the heat equation, a two-dimensional model is maintained . The non-isothermal model is validated on a laboratory experiment of dome and a numerical simulation is performed on a December 2010 Piton de la Fournaise lava flow from La Réunion island. In our view, the comparison gives satisfactory and encouraging results.

Le travail présenté dans ce manuscrit s'articule en trois axes distincts. 1) Dérivation de modèles mathématiques de phénomènes électrophysiologiques en cardiologie. Nous utilisons des méthodes d'analyse asymptotique pour dériver un modèle simplifié à partir d'un modèle de tissu auriculaire tridimensionnel, tout en contrôlant l'erreur d'approximation. Ces méthodes ont permis de dériver un modèle bisurfacique qui permet de simuler des comportements tridimensionnels dans les oreillettes pour un coût numérique bidimensionnel afin d'étudier des phénomènes entrant en jeu lors d'arythmies auriculaires, tels que la dissociation électrique ou des hétérogénéités transmurales. La preuve de la convergence du modèle bisurfacique est apportée, et une stratégie d'optimisation du modèle en dehors du régime symptotique est formalisée. Une méthode d'homogénéisation est également utilisée pour construire un modèle continu homogénéisé de l'activité des myocytes incluant le comportement non linéaire des gap junctions. 2)Processus déclencheurs d'arythmie. Des preuves de concepts de mécanismes arythmogènes sont apportées à l'aide de modèles numériques des veines pulmonaires. Le premier mécanisme repose sur un bloc de conduction unidirectionnel engendré par une discontinuité dans la structure fibreuse. Le second est basé sur une dynamique différente lors de la dépolarisation et de la repolarisation lorsque deux couches de fibres de directions différentes sont superposées. 3)Perpétuation des arythmies auriculaires. A partir d'un modèle bicouche des oreillettes, nous étudions l'influence d'hétérogénéités transmurales de fibrose sur la perpétuation des arythmies. Plusieurs protocoles d'ablation sont ensuite testés. Enfin, une méthode de personnalisation du modèle auriculaire est formalisée.

Nos travaux concernent l'homogénéisation du transfert de chaleur dans un milieu poreux périodique qui modélise la géométrie d'un cœur de réacteur nucléaire à caloporteur gaz. Cette géométrie est constituée d'un milieu solide traversé par plusieurs longs et minces cylindres parallèles dont le diamètre est du même ordre que la période. La chaleur est transportée par conduction dans la partie solide du domaine et par conduction, convection et rayonnement dans la partie fluide (les cylindres). Le rayonnement est modélisé par une condition non-locale sur les parois des cylindres. C'est une analyse stationnaire qui correspond à un fonctionnement nominal du cœur, et aussi non-stationnaire qui correspond à un arrêt nor- mal du cœur. Pour obtenir le problème homogénéisé nous utilisons d'abord une analyse formelle par développement asymptotique à deux échelles. La justification mathématique de nos résultats est basée sur la méthode de convergence à deux échelles. Une caractéristique de ce travail en dimension 3 est qu'il combine l'analyse asymptotique par homogénéisation avec une analyse asymptotique par réduction de la dimension de l'espace 3D en 2D pour remédier à la non-périodicité de la condition de rayonnement suivant la direction axiale des cylindres. Une deuxième caractéristique de ce travail est l'étude de ce transfert de chaleur lorsqu'il contient une source thermique oscillante au niveau microscopique et un échange thermique entre les parties fluide et solide du cœur, dans un tel contexte, notre analyse numérique montre une contribution non-négligeable du correcteur dit d'ordre 2 qui nous aide à reproduire les gradients qui apparaissent entre la zone de la source thermique et la partie fluide (les cylindres).

Notre but est de proposer un modèle mathématique d'un matériau composite aléatoirement renforcé de type TexSol (un mélange sable-fil). Pour cela nous effectuons une étude asymptotique variationnelle afin d'obtenir une structure homogène et déterministe rendant compte du comportement mécanique de ce matériau. La stratégie de modélisation consiste à découper (suivant une direction x3) un cube de TexSol en fines plaques d'épaisseur h(ε) dépendant d'un très petit paramètre ε << 1. Pour h(ε) assez petit, nous supposerons que dans chaque plaque les fibres sont verticales. Notre problème initial est alors décomposé en n modèles de type plaque donnant une formulation 2-dimensionnelle après passage à la limite. Le modèle obtenu est déterministe. Puis, en utilisant ce résultat pour chacune des plaques, on obtient ainsi une énergie discrète (suivant x3), somme des n énergies 2-dimensionnelles homogènes et déterministes. Nous reconstruisons alors une structure 3D par une intégration variationnelle en x3, i.e. en passant à la limite en n de manière variationnelle. L'énergie limite, homogène et déterministe ainsi obtenue est proposée comme un modèle du TexSol. Nos différents résultats sont validés par une étude numérique.

Nous présentons une contribution autour de la modélisation des écoulements viscoplastiques. En vue d'applications réalistes telle que la simulation numérique des coulées de lave volcanique, le travail se concentre particulièrement sur les fluides complexes dont la rhéologie dépend fortement de grandeurs physiques telle que la température ou la concentration en particule. Nous développons un nouvel algorithme de résolution numérique des équations de Herschel-Bulkley combinant une méthode de Lagrangien augmenté à paramètre d'augmentation variable, une méthode des caractéristiques d'ordre 2 et une adaptation de maillage automatique. Sur des problèmes stationnaires ou en évolution tel que le problème test de la cavité entraînée, il apporte une solution efficace pour garantir à la fois une précision numérique élevée et un temps de calcul raisonnable. Cet algorithme est ensuite étendue et adapté au cas des rhéologies non-isothermes et aux suspensions. Concernant la simulation numérique des coulées de lave volcanique, nous détaillons une méthode de réduction par analyse asymptotique des équations de Herschel-Bulkley pour des écoulements de faible épaisseur sur une topographie arbitraire. Elle permet alors de décrire ces écoulements tridimensionnels de fluides viscoplastiques à surface libre par des équations bidimensionnelles surfaciques. Cette approche est ensuite étendue au cas non-isotherme en y ajoutant l'équation de la chaleur et des dépendances thermiques sur la rhéologie. Par intégration verticale de l'équation de la chaleur, on retrouve un modèle bidimensionnel. Le modèle non-isotherme est validé sur une expérience de dôme réalisée en laboratoire et une simulation numérique est réalisée autour d'une coulée qui a eu lieu sur le volcan du Piton de la Fournaise à la Réunion, en décembre 2010. La comparaison donne des résultats qui sont de notre point de vue satisfaisants et encourageants. / We present a contribution about modeling of viscoplastic flows. For realistic applications such as numerical simulation of volcanic lava flows, the work focuses particularly on complex fluids whose rheology strongly depends on physical quantities such as temperature or the particle concentration. We develop a new numerical resolution algorithm of Herschel-Bulkley's equations combining an augmented Lagrangian method with variable augmentation parameter, a second order characteristic method and an auto-adaptive mesh procedure. On stationary or evolving problems as the lid-driven cavity flow benchmark, it provides an effective solution to ensure both a high numerical accuracy within a reasonable computing time. This algorithm is then extended and adapted to the case of non-isothermal rheological and suspensions. On the numerical simulation of volcanic lava flows, we describe a method of reducing by asymptotic analysis of the Herschel-Bulkley's equations for thin flows on arbitrary topography. It allows to describe the three-dimensional flows of viscoplastic fluid with free surface by bidimensional surface equations. This approach is then extended to the non-isothermal case by adding the heat equation and thermal dependencies on rheology. By vertical integration of the heat equation, a two-dimensional model is maintained . The non-isothermal model is validated on a laboratory experiment of dome and a numerical simulation is performed on a December 2010 Piton de la Fournaise lava flow from La Réunion island. In our view, the comparison gives satisfactory and encouraging results.

Le mouvement Brownien réfléchi de manière oblique dans le quadrant, introduit par Harrison, Reiman, Varadhan et Williams dans les années 80, est un objet largement analysé dans la littérature probabiliste. Cette thèse, qui présente l’étude complète de la mesure invariante de ce processus dans tous les cônes du plan, a pour objectif plus global d’étendre au cadre continu une méthode analytique développée initialement pour les marches aléatoires dans le quart de plan par Fayolle, Iasnogorodski et Malyshev dans les années 70. Cette approche est basée sur des équations fonctionnelles, reliant des fonctions génératrices dans le cas discret et des transformées de Laplace dans le cas continu. Ces équations permettent de déterminer et de résoudre des problèmes frontière satisfaits par ces fonctions génératrices. Dans le cas récurrent, cela permet de calculer explicitement la mesure invariante du processus avec rebonds orthogonaux, dans le chapitre 2, et avec rebonds quelconques, dans le chapitre 3. Les transformées de Laplace des mesures invariantes sont prolongées analytiquement sur une surface de Riemann induite par le noyau de l’équation fonctionnelle. L’étude des singularités et l’application de méthodes du point col sur cette surface permettent de déterminer l’asymptotique complète de la mesure invariante selon toutes les directions dans le chapitre 4. / Obliquely reflected Brownian motion in the quadrant, introduced by Harrison, Reiman, Varadhan and Williams in the eighties, has been studied a lot in the probabilistic literature. This thesis, which presents the complete study of the invariant measure of this process in all the cones of the plan, has for overall aim to extend to the continuous framework an analytic method initially developped for random walks in the quarter plane by Fayolle, Iasnogorodski and Malyshev in the seventies. This approach is based on functional equations which link generating functions in the discrete case and Laplace transform in the continuous case. These equations allow to determine and to solve boundary value problems satisfied by these generating functions. In the recurrent case, it permits to compute explicitly the invariant measure of the process with orthogonal reflexions, in the chapter 2, and with any reflexions, in the chapter 3. The Laplace transform of the invariant measure is analytically extended to a Riemann surface induced by the kernel of the functional equation. The study of singularities and the use of saddle point methods on this surface allows to determine the full asymptotics of the invariant measure along every directions in the chapter 4.

Cette thèse est consacrée à la modélisation mathématique et simulations numériques des écoulements sanguins dans des artères en présence d’une endoprothèse vasculaire de type stent. La présence de stent peut être considérée comme une perturbation locale d’un bord lisse d’écoulement, plus précisément les parois de l’artère sont assimilées à une surface fortement rugueuse. Nous nous sommes principalement intéressés au contrôle de la régularité H² sur un modèle simplifié permettant de prendre en compte l’effet de ces stents lorsque le flux sanguin est gouverné par une équation de Laplace (en lien avec la composante axiale de la vitesse d’écoulement) avec une condition aux limites de type Dirichlet, dans un domaine à bord rugueux (en fonction d’un petit paramètre ε). Dans une première partie, nous soulevons la question d’existence et d’unicité de la solution de ce modèle d’écoulement sanguin et nous traitons la régularité H² par des techniques d’analyse variationnelle. Une étude minutieuse permet de contrôler la régularité H² en O(ε−1). Le deuxième axe est dédié à l’étude de la régularité H² par des analyse asymptotiques multiéchelles. Nous montrons que la norme H² de la solution de ce modèle d’écoulement sanguin est singulière en O(ε−½ ). D’autre part, nous améliorons les ordres de convergence des résultats existants concernant la construction des approximations multiéchelles. Dans un troisième temps, nous présentons des estimations d’erreur et des résultats numériques. Ces résultats illustrent le bien fondé des estimations d’erreur sur le plan pratique. Nous montrons bien l’importance des méthodes asymptotiques qui se révèlent plus efficaces qu’un calcul direct. / This thesis is devoted to mathematical modeling and numerical simulations of the blood-flows in arteries in the presence of a vascular prosthesis of type stent. The presence of stent can be considered as a local perturbation of a smooth edge of flow, more precisely the walls artery can be seen as a strongly rough surface.Weare mainly interested in controlling the H² regularity of a simplified model which takes into account the impact of these stents when the blood flow is controlled by a Laplace equation (in link with the axial component rateof flow) with a Dirichlet boundary condition, in a domain with a rough board (according to a small parameter ε). First, we raise the question of existence and unicity of the solution of this model of blood-flow and we study the H² regularity using variational analysis methods. By a detailed study, we control the H² regularity of order O(ε−1). The second part is devoted to the study of the regularity H² regularity using multi-scale analysis.We prove that the H² norm of the solution of this model is singular of order O(ε−½). Moreover, we improve the convergence rate of the existing results on the construction of the multi-scale approximation. Finally, we present an error estimation and numerical results. These numerical results illustrate the well-founded of the error estimates on a practical level. We show the importance of the asymptotic methods that seem to be more effective than a direct computation.

Dans cette thèse, nous avons abordé deux problèmes de modélisation mathématique pour la propagation des signaux électriques cardiaques : la propagation à l’échelle tissulaire en présence d’hétérogénéités et la propagation à l’échelle cellulaire avec des jonctions communicantes non linéaires. Inclusions diffusives. Le modèle standard utilisé en électrocardiologie est le modèle bidomaine. Il est déduit par homogénéisation des propriétés microscopiques du tissu. Pour cela, on suppose que les myocytes électriquement actifs sont uniformément répartis dans le coeur. Bien que ce soit une hypothèse raisonnable pour des coeurs sains, ce n’est plus vrai dans certains cas pathologiques où des changements importants dans la structure tissulaire se produisent. C’est le cas, par exemple des maladies cardiaques ischémiques, rhumatismales et inflammatoires, de l’hypertrophie ou de l’infarctus. Ces hétérogénéités tissulaires sont souvent prises en compte à l’aide d’un ajustement ad hoc des paramètres du modèle. Le premier objectif de cette thèse consistait à généraliser les équations du modèle bidomaine au cas des pathologies cardiaques structurelles.Nous avons supposé une alternance périodique d’éléments de tissus sains (modèle bidomaine) et modifiées (inclusions diffusives). La simulation numérique directe d’un tel modèle nécessite une discrétisation très fine, et entraîne un coût de calcul élevé. Pour éviter cela, nous avons construit un modèle homogénéisé à l’échelle macroscopique en utilisant une analyse à deux échelles. Nous avons retrouvé un modèle de type bidomaine avec des coefficients de conductivité modifiés, dits effectifs. En complément, nous avons effectué une vérification numérique de la convergence du modèle microscopique vers celui homogénéisé, dans une situation bidimensionnelle.Dans la deuxième partie, nous avons quantifié les effets de différentes formes d’inclusions diffusives sur les coefficients de conductivité effectifs et leur anisotropie en 2D et 3D. De plus, nous avons effectué des simulations sur des domaines représentant des morceaux de tissu 2D avec ces coefficients de conductivité modifiés. Nous avons observé des changements de la vitesse de propagation et de la forme du front de l’onde de dépolarisation. Dans la troisième partie, nous avons simulé le modèle homogénéisé en 3D, à partir d’images par résonance magnétique (IRM) à haute résolution d’un coeur de rat. Nous avons évalué les propriétés structurelles du tissu en utilisant des outils d’analyse d’image.Nous avons ensuite utilisés ces évaluations pour construire les paramètres dans le modèle homogénéisé. Jonctions communicantes non linéaires. Dans la dernière partie de cette thèse, nous avons étudié les effets du comportement non linéaires des jonctions communicantes sur la propagation du signal à l’échelle cellulaire. Dans les modèles existants, les jonctions communicantes sont supposées avoir un comportement linéaire, lorsqu’elles sont modélisées.Cependant les données provenant des expériences montrent que ceux-ci ont un comportement non linéaire dépendant du temps et de la différence de potentiel entre cellules voisines. D’abord, nous avons présenté un modèle non linéaire 0D du courant dans les jonctions communicantes. Ensuite, nous avons recalé le modèle sur les données expérimentales.Enfin, nous avons proposé un modèle mathématique 2D qui décrit l’interaction électrique des myocytes cardiaques à l’échelle cellulaire. Ce modèle utilise le courant dans les jonctions communicantes comme une liaison directe entre des cellules adjacentes. / In this thesis we addressed two problems in mathematical modelling of propagation of electrical signals in the heart: tissue scale propagation with presence of tissue heterogeneities and cell scale propagation with non-linear gap junctions. Diffusive inclusions. The standard model used in cardiac electrophysiology is the bidomain model. It is an averaged model derived from the microscopic properties of the tissue.The bidomain model assumes that the electrically active myocytes are present uniformly everywhere in the heart. While this is a reasonable assumption for healthy hearts, it fails insome pathological cases where significant changes in the tissue structure occur, for examplein ischaemic and rheumatic heart disease, inflammation, hypertrophy, or infarction. These tissue heterogeneities are often taken into account through an ad-hoc tuning of model parameters. The first aim of this thesis consisted in generalizing the bidomain equations to the case of structural heart diseases.We assumed a periodic alternation of healthy (bidomain model) and altered (diffusive inclusion) tissue patches. Such a model may be simulated directly, at the high computational cost of a very fine discretisation. Instead we derived a homogenized model at the macroscopic scale, using a rigorous two-scale analysis. We recovered a bidomain-type model with modified conductivity coefficients, and performed a 2D numerical verificationof the convergence of the microscopic model towards the homogenized one.In the second part we quantified the effects of different shapes and sizes of diffusive inclusions on the effective conductivity coefficients and their anisotropy ratios in 2D and3D. Additionally, we ran simulations on 2D patches of tissue with modified conductivity coefficients. We observed changes in the propagation velocity as well as in the shape of the depolarization wave-front.In the third part, based on high-resolution MR images of a rat heart we simulated 3D propagations with the homogenized model. Using image analysis software tools we assessed the structural properties of the tissue, that we used afterwards as parameters inthe homogenized model. Non-linear gap junctions. In the last part of this thesis, we studied the effects of nonlineargap junction channels on the signal propagation at the cell scale. In existing models, the gap junction channels, if modelled, are assumed to have a linear behaviour, while from experimental data we know that they have a time- and voltage-dependent non-linear behaviour. Firstly, we stated a non-linear 0D model for the gap junctional current, and secondly fitted the model to available experimental data. Finally, we proposed a 2D mathematical model that describes the electrical interaction of cardiac myocytes on the cell scale. It accounts for the gap junctional current as "the direct link" between the adjacent cells.

Nous étudions le problème de rupture des systèmes de couches minces soumis à contraintes de tension dues aux chargements mécaniques ou à d'autres phénomènes élastiques, associés e.g. à couplages thérmiques où humidité. Dans ces systèmes, chargements homogènes conduisent à la nucléation de fissures interagissantes transverses et de décollement, produisant l'auto-structuration de réseaux de fissures quasi-périodiques et la propagation de patterns complexes qui montrent caractéristiques morphologiques robustes. On s'intéresse à décrire l'évolution de ces fissures, en prenant en compte les phases de nucléation, sélection du trajet de fissure et évolution irreversible en espace et en temps. Les résultats disponibles en littérature se basent sur des modèles phénoménologiques, dépourvus d'une dérivation rigoureuse, et sont limités à des cas géométriquement simples. Dans ces derniers, le problème de nucléation, les mécanismes de sélection du chemin de fissuration et l'évolution non régulière en espace et en temps ne sont pas explorés, à cause des limitations de la théorie classique de la mécanique de la rupture. Nous proposons la dérivation d'une théorie variationnelle asymptotique, bidimensionnelle et globale, à partir d'un problème tridimensionnel d'élasticité fragile dans le cadre de l'approche variationnelle à la mécanique de la rupture, en faisant intervenir une notion de convergence variationnelle. Ensuite, nous introduisons une régularisation du problème faible de rupture par le moyen d'un modèle en gradient d'endommagement, adapté à la solution numérique via la méthode des éléments finis. Le travail proposé permet d'obtenir une compréhension des mécanismes couplés élastiques, de fissuration et décollement; d'établir un modèle asymptotique, réduit et variationnel, valable pour des systèmes de couches minces suffisamment riche pour capturer les mécanismes physiques essentiels; et d'aborder une étude détaillé des expériences numériques qui révèlent les patterns complexes de fissures observés dans les systèmes de couches minces.