Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques propriétés du modèle d'exclusion asymétrique unidimensionnel, un modèle exactement soluble de particules en interaction présentant un état stationnaire hors d'équilibre.<br />Dans une première partie, nous expliquons les liens que le modèle d'exclusion asymétrique entretient avec d'autres modèles de la physique statistique, en particulier des modèles de croissance, de polymère dirigé en milieu aléatoire, ou encore des modèles de vertex. Après avoir récapitulé quelques résultats connus, nous expliquons comment le modèle d'exclusion peut être étudié en utilisant l'Ansatz de Bethe.<br />La deuxième partie est consacrée au calcul par Ansatz de Bethe des fluctuations du courant dans le modèle d'exclusion partiellement asymétrique avec des conditions aux bords périodiques. Utilisant une formulation fonctionnelle des équations de Bethe, nous obtenons des expressions exactes pour les trois premiers cumulants du courant. À partir de ces expressions exactes et de calculs effectués pour de petits systèmes, nous conjecturons ensuite une expression combinatoire explicite pour tous les cumulants du courant.<br />Dans la troisième partie, nous présentons le modèle d'exclusion à plusieurs classes de particules, qui généralise le modèle étudié dans les deux premières parties. Nous montrons que ses probabilités stationnaire peuvent s'écrire sous la forme de traces de produits de matrices. Nous expliquons ensuite la formulation algébrique de l'Ansatz de Bethe pour ce modèle.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:15:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 5872.pdf: 509530 bytes, checksum: 496d8919c2fd01cb49ba79b80563de69 (MD5) Previous issue date: 2014-05-26 / Universidade Federal de Minas Gerais / In this work we study vertex models with non-diagonal boundaries, characterized by reection matrices with an upper triangular form. By means of an extension of the algebraic Bethe ansatz, we construct generalized Bethe states as well as the respective eigenvalues for two classes of models: six and nineteen vertex models. As usual, in both cases the exact solution is given in terms of the Bethe equations. / Neste trabalho estudamos modelos de vértices com fronteiras não-diagonais, caracterizadas por matrizes de reflexão com estrutura triangular. Por meio de uma extensão do ansatz de Bethe algébrico usual, construímos estados de Bethe generalizados e os respectivos autovalores para duas classes de modelos: seis e dezenove vértices. Como usual, em ambos os casos a solução exata é dada em termos das equações de Bethe.

Nesta tese estudamos as propriedades críticas dos modelos anisotrópicos (isotrópicos) de Heisenberg com spin s arbitrário. O espectro das Hamiltonianas, com condições periódicas de contorno, foi calculado para redes finitas, resolvendo-se as equações do Bethe ansatz associadas. Nossos resultados indicam que a anomalia conforme destes modelos tem o valor c=3s/(1+s), independente da anisotropia, e os expoentes críticos variam continuamente com a anisotropia assim como no modelo de 8-vértices. O conteúdo de operadores destes modelos indica que a teoria de campos que governa a criticalidade destes modelos de spin é descrita por operadores formados pelo produto de um operador Gaussiano por outro com simetria Z(2s). Estudando estes modelos, com certas condições especiais de contorno, mostramos que eles são relacionados com uma nova classe de teorias unitárias recentemente propostas / This thesis is concerned with the critical properties of anisotropic (isotropic) Heisenberg chain,with arbitrary spin-s. The eigenspectrum of these Hamiltoniana, with periodic boundaries, are calculated for finite chains by solving numerically their associated Bethe ansatz equations. The results indicate that the conformal anomaly hás the value c=3s/1+s, independently of the anisotropy, and the exponentes vary continuously with the anisotropy like in the 8-vertex model. The operator content of these models indicate that the underlying field theory governing these critical spin-s models are described by composite fields formed by the product of Gaussian and Z(2s) fields. Studying these models, with some special boundary conditions, we show that they are related with a large class of unitary conformal field theories recntly introduced

O objetivo deste trabalho foi o estudo do Ansatz de Bethe Algébrico (ABA), que é uma técnica utilizada na obtenção dos auto-estados do hamiltoniano de inúmeros modelos da Mecânica Estatística e da Teoria Quântica de Campos. Aplicamos este procedimento na diagonalização de três modelos de spins: o modelo de Heisenberg, o modelo de Heisenberg-Sklyanin e o modelo de Heisenberg-Cherednik. Na diagonalização do primeiro modelo, não foi possível encontrar todos os auto-estados do hamiltoniano através do ABA e, durante o procedimento de obtenção das expressões analíticas, nos deparamos com um conjunto de identidades inédito na literatura. A matriz de borda do modelo de Heisenberg-Sklyanin acopla o último e o primeiro sítios, generalizando o modelo anterior, e permite estabelecer uma relação limite com outros modelos integráveis. Neste caso também não conseguimos obter todos os auto-estados utilizando a técnica do ABA. Diferentemente do que ocorreu para os primeiros modelos, o de Heisenberg-Cherednik, com acoplamentos que alternam a intensidade ao longo da cadeia de spin, apresentou um conjunto completo de auto-estados quando diagonalizado pelo ABA. / The goal of this work was to study the Algebraic Bethe ansatz (ABA), which is a technique used to obtain the eigenstates of Hamiltonian of many models of Statistical Mechanics and Quantum Field Theory. We apply this procedure to diagonalize three types of spin models: the Heisenberg model, the Heisenberg-Sklyanin model and the Heisenberg-Cherednik model. On diagonalization of the …rst model, we could not …nd all the eigenstates of Hamiltonian through ABA, and during the procedure for obtaining the analytical expressions, we face an unprecedented set of identities in literature. The Sklyanin´s boundary matrix couples the fi…rst and last sites, generalizing the previous model, and provides a limit for other integrable models. In this case also did not get all eigenstates using the technique of ABA. Unlike what happened with the …rst models, the Heisenberg-Cherednik model, with alternating couplings the intensity along the spin chain, presented a complete set of eigenstates when diagonalized by ABA.

Dans cette thèse sont principalement étudiés des systèmes quantiques intégrables critiques avec l’ansatz de Bethe qui ont la propriété particulière d’être non-unitaires ou non-compacts. Ceci concerne des modèles de physique statistique non-locaux tels que la percolation, mais aussi par exemple les systèmes désordonnés. Ce manuscrit présente à la fois des études détaillées de la limite continue de modèles intégrables sur réseau, et développe de nouvelles techniques pour étudier cette correspondance. Dans une première partie nous étudions en détail la limite continue de chaînes de superspins non-unitaires (et parfois non-compactes) qui ont une symétrie orthosymplectique. Nous montrons qu’il s’agit de modèles sigma sur supersphère en calculant leur spectre avec la théorie des champs, avec l’ansatz de Bethe, et numériquement. Leur non-unitarité autorise une brisure spontanée de symétrie habituellement interdite par le théorème de Mermin-Wagner. Leur caractère de perturbation marginale d’une théorie conforme des champs logarithmique est particulièrement étudié. Nous établissons également une correspondance précise entre le spectre et des configurations de boucles avec intersections, et obtenons de nouveaux exposants critiques pour les chemins non-recouvrants compacts ainsi que leurs corrections logarithmiques multiplicatives. Cette étude fut par ailleurs l’occasion de développer une nouvelle méthode pour calculer le spectre d’excitation d’une chaîne de spin quantique critique à partir de l’ansatz de Bethe, incluant les corrections logarithmiques, également en présence de racines de Bethe dites ’en chaînes’, et qui évite les méthodes de Wiener-Hopf et les équations intégrales non-linéaires. Dans une deuxième partie nous abordons l’influence d’un champ magnétique sur une chaîne de spin quantique et montrons que des séries convergentes peuvent être obtenues pour plusieurs quantités physiques telles que l’aimantation acquise ou les exposants critiques, dont les coefficients peuvent être calculés efficacement par récurrence. La structure de ces relations de récurrence permet d’étudier génériquement le spectre d’excitation, et elles sont applicables y compris dans certains cas où les racines de Bethe sont sur une courbe dans le plan complexe. Nous espérons que l’étude de la continuation analytique de ces séries puisse être utile pour les chaînes non-compactes. Par ailleurs, nous montrons que les fluctuations à l’intérieur de la courbe arctique du modèle à six vertex avec conditions aux bords de type mur sont décrites par un champ Gaussien libre avec une constante de couplage dépendant de la position, qui peut être calculée à partir de l’énergie libre de la chaîne XXZ avec une torsion imaginaire dans un champ magnétique. / This thesis mainly deals with integrable quantum critical systems that exhibit peculiar features such as non-unitarity or non-compactness, through the technology of Bethe ansatz. These features arise in non-local statistical physics models such as percolation, but also in disordered systems for example. The manuscript both presents detailed studies of the continuum limit of finite-size lattice integrable models, and develops new techniques to study this correspondence. In a first part we study in great detail the continuum limit of non-unitary (and sometimes non-compact) super spin chains with orthosymplectic symmetry which is shown to be supersphere sigma models, by computing their spectrum from field theory, from the Bethe ansatz, and numerically. The non-unitarity allows for a spontaneous symmetry breaking usually forbidden by the Mermin-Wagner theorem. The fact that they are marginal perturbations of a Logarithmic Conformal Field Theory is particularly investigated. We also establish a precise correspondence between the spectrum and intersecting loops configurations, and derive new critical exponents for fully-packed trails, as well as their multiplicative logarithmic corrections. During this study we developed a new method to compute the excitation spectrum of a critical quantum spin chain from the Bethe ansatz, together with their logarithmic corrections, that is also applicable in presence of so-called ’strings’, and that avoids Wiener-Hopf and Non-Linear Integral Equations. In a second part we address the problem of the behavior of a spin chain in a magnetic field, and show that one can derive convergent series for several physical quantities such as the acquired magnetization or the critical exponents, whose coefficients can be efficiently and explicitely computed recursively using only algebraic manipulations. The structure of the recurrence relations permits to study generically the excitation spectrum content – moreover they are applicable even to some cases where the Bethe roots lie on a curve in the complex plane. It is our hope that the analytic continuation of such series might be helpful the study non-compact spin chains, for which we give some flavour. Besides, we show that the fluctuations within the arctic curve of the six-vertex model with domain-wall boundary conditions are captured by a Gaussian free field with space-dependent coupling constant that can be computed from the free energy of the periodic XXZ spin chain with an imaginary twist and in a magnetic field.

Neste trabalho mostramos que uma grande variedade de modelos exatamente solúveis através do ansatz de Bethe coordenadas podem também ser resolvidos através de um ansatz do produto matricial. Estes modelos são descritos no caso unidimensional por cadeias quânticas, e por matrizes de transferência no caso de sistemas clássicos bi-dimensionais. Diferentemente do ansatz de Bethe, em que as auto-funções do modelo são escritas como uma combinação de ondas planas, no nosso ansatz do produto matricial elas são dadas por produtos de matrizes, onde as matrizes obedecem a uma álgebra associativa apropriada. Estas relações algébricas são obtidas impondo-se que as auto-funções escritas em termos do ansatz satisfaçam à equação de auto-valor do operador Hamiltoniano ou da matriz de transferência. A consistência das relações de comutatividade entre os elementos da álgebra implicam na exata integrabilidade do modelo. Além disso, o ansatz que propomos permite uma formulação simples e unificada para vários Hamiltonianos quânticos exatamente solúveis. Apresentamos nesta tese a formulação do nosso ansatz do produto matricial para uma grande família de redes quânticas, como os modelos anisotrópico de Heisenberg, Fateev-Zamolodchikov, Izergin-Korepin, Sutherland, t-J, Hubbard etc. Mais ainda, formulamos nosso ansatz para processos estocásticos de partículas com tamanhos e classes diferentes difundindo assimetricamente na rede. Por fim, com o objetivo de dar suporte a nossa conjectura de que todos os modelos exatamente solúveis através do ansatz de Bethe coordenadas, associados a Hamiltonianos quânticos unidimensionais ou matrizes de transferência bidimensionais, também podem ser resolvidos através de um ansatz do produto matricial, apresentamos a formulação do nosso ansatz para a matriz de transferência do modelo de seis-vértices com condição de contorno toroidal / In this work we show that a large family of exactly solved models through the coordinate Bethe ansatz can also be solved through a matrix product ansatz. The models are described in the one dimensional case by quantum Hamiltonians, and by transfer matrices in the case of two dimensional classical models. Differently from the Bethe ansatz, where the model\'s eigenfunctions are described by a plane wave combination, in our matrix product ansatz they are given by a matrix product, where the matrices obey a suitable associative algebra. Theses algebraic relations are obtained by imposing that the eigenfunctions described in terms of the ansatz satisfy the eigenvalue equation for the associated Hamiltonian or transfer matrix. The consistency of the commutativity relations among the elements of the algebra implies the exact integrability of the model. Furthermore, the matrix product ansatz we propose allows an unified and simple formulation for the solution of several exact integrable quantum Hamiltonians. We present on this thesis the formulation of our matrix product ansatz for a huge family of quantum chains such as the anisotropic Heisenberg model, Fateev-Zarnolodchikov model, Izergin-Korepin model, Sutherland model, t- J model, Hubbard model, etc. Moreover, we formulated our ansatz for stochastic process of particles with different sizes and classes diffusing asymmetrically on the lattice. Finally, in order to support our conjecture that all exactly solved models through the coordinate Bethe ansatz, associated to unidimensional quantum Hamiltonians or two-dimensional transfer matrices, can also be solved through a matrix product ansatz, we present the formulation of our ansatz, for the transfer matrix of the six-vertex model with toroidal boundary condition

En utilisant les méthodes analytiques et numériques de la Physique Statistique bidimensionnelle (matrice de transfert, invariance conforme, gaz de Coulomb, équations de Yang-Baxter, Ansatz de Bethe, Monte-Carlo), nous abordons des problèmes qui n'entrent pas dans le cadre du modèle gaussien compact : modèle de Potts antiferromagnétique critique, modèle de boucles de Brauer. Ces modèles présentent des propriétés critiques originales, comme l'apparition de degrés de liberté non-compacts. Ces propriétés apparaissent quand on introduit, dans le modèle de boucles sur réseau, des intersections entre les boucles ou une alternance des poids de Boltzmann entre les sous-réseaux. Dans le cas du modèle de Potts antiferromagnétique, nous développons l'étude de la structure issue des équations de Yang-Baxter, et nous identifions une famille d'états de Bethe associés aux degrés de liberté non-compacts. Les calculs numériques sur de grandes tailles de système permettent de conjecturer la loi d'échelle du rayon de compactification effectif. Dans le cas du modèle de Brauer avec une fugacité de boucles n = 0, nous proposons un modèle de chemin d'échappement invariant d'échelle, et nous déterminons ses propriétés critiques par des méthodes numériques. En tant qu'observable (non-locale), le chemin d'échappement caractérise les points communs et différences avec les marches aléatoires.

Cette thèse est consacrée à l'étude de systèmes quantiques intégrables tels des chaînes de spins, des théories de champs à 1+1 dimensions, et la dualité AdS/CFT. Cette dualité AdS/CFT est une conjecture, émise à la fin du siècle dernier, qui relie notamment le régime non-perturbatif d'une théorie de jauge superconforme (nommée N =4 super Yang- Mills) au régime perturbatif d'une théorie de cordes dans un espace à 10 dimensions (de géométrie AdS5×S5). Ce manuscrit explore les similarités entre des chaînes de spins intégrables et des théories de champs intégrables, tels Super Yang Mills. Il commence par une étude ap- profondie des chaînes de spins intégrables pour y construire explicitement un "flot de Bäcklund" et des "opérateurs Q" polynômiaux, qui permettent de diagonaliser le Hamil- tonien. Des théories de champs intégrables sont ensuite étudiées et des "fonctions Q" sont obtenues, qui sont l'analogue des opérateurs Q construits pour les chaînes de spins. Il apparaît que de nombreuses informations sont contenue dans les propriétés analytiques des fonctions Q. Cela permet d'aboutir, dans le cadre de l'ansatz de Bethe thermody- namique, à un nombre fini d'équations non-linéaires intégrales qui encode le spectre des niveaux d'énergie de la théorie considérée (en taille finie). Ce système d'équations est équivalent au système infini d'équations, connu sous le nom de système Y, qui dans le cas de la dualité AdS/CFT avait été conjecturé assez récemment.

La thermodynamique étudie les fluctuations des configurations adoptées par un système, mais ce point de vue n'est pas adapté aux situations où les fluctuations des histoires sont importantes.<br /><br />Dans une première partie, nous adaptons le formalisme de Ruelle au cas des systèmes markoviens en temps continu. Il apparaît que tous les concepts de la théorie (fonction de partition dynamique, pression topologique) s'obtiennent comme des fonctions de grandes déviations de certaines observables extensives en temps. Nous développons une approche en champ moyen, basée sur la construction d'une énergie libre dynamique à la Landau-Ginzburg, dont découlent toutes les observables de la théorie. Nous exposons également un algorithme qui permet de les évaluer en dimension finie. L'application de ces méthodes à des modèles de verres montre que l'état stationnaire de ces systèmes est situé exactement au point d'une transition de phase dynamique du premier ordre (entre deux phases active et inactive) ce qui justifie l'image heuristique de coexistence de phase dynamique proposée pour décrire ces modèles.<br /><br />La seconde partie traite spécifiquement des fluctuations de courant dans des systèmes pour lesquels peu de résultats généraux sont disponibles : (i) un modèle de spins très loin de l'équilibre au contact de deux bains thermiques, (ii) un modèle d'exclusion symétrique en dimension 1, (iii) des exemples de systèmes superdiffusifs. Dans tous ces systèmes, nous déterminons le comportement en loi de puissance de la fonction de grandes déviations et, lorsque c'est possible, la fonction de grandes déviations elle-même ou les fonctions d'échelles qui correspondent à différents régimes de courant.

Un défi toujours actuel dans le domaine des systèmes intégrables quantiques est le calcul exact et explicite des fonctions de corrélation. Dans le cas de modèles simples tels que la chaîne de Heisenberg XXZ de spins 1/2, des progrès significatifs ont été réalisés ces dernières années. Les méthodes développées utilisent les symétries des modèles en volume infini (algèbre quantique affine) ou fini (algèbre de Yang-Baxter). L'objet de cette thèse est d'étendre le champ d'application de ce dernier type d'approche dans le cas où l'algèbre de Yang-Baxter sous-jacente est de type dynamique. C'est typiquement le cas du modèle de physique statistique solid-on-solid (SOS) qui décrit les interactions d'un paramètre de hauteur autour des faces d'un réseau bidimensionnel, avec des poids statistiques donnés par une matrice R elliptique solution de l'équation de Yang-Baxter dynamique.L'étude des fonctions de corrélation du modèle SOS est abordée dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique et de la méthode de séparation des variables. Des représentations en termes de déterminants de fonctions usuelles sont obtenues par les deux méthodes pour les produits scalaires entre états et pour les facteurs de forme des opérateurs locaux en volume fini. Les formules obtenues dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique sont ensuite utilisées pour représenter la fonction de corrélation à deux points sous la forme d'intégrales multiples, ainsi que pour le calcul de diverses quantités physiques à la limite thermodynamique, telles que les polarisations spontanées ou les probabilités de hauteurs locales. Ces dernières s'expriment sous forme d'intégrales multiples similaires à celles du modèle XXZ.