Um potencial de dois corpos do tipo delta-Dirac foi utilizado para descrever sistemas fracamente ligados de três corpos. A trajetória completa dos estados Efimov em função da energia ligação de dois corpos foi calculada para o caso de três bosons idênticos: se o subsistema de dois corpos é ligado, conforme a razão entre a energia de ligação de dois e três corpos aumenta, o estado excitado desaparece e um estado virtual correspondente aparece quando a energia do estado fundamental atinge o limiar dado por 6.9hbar^2/(ma^2) (a - comprimento de espalhamento, m - massa do bóson). Quando o subsistema de dois corpos é virtual, o aumento da razão entre as energias faz com que o estado excitado se transforme em uma ressonância quando a energia do estado fundamental é 1.1hbar^2/(ma^2). Neste último caso as condições para a formação de moléculas triatômicas no interior de condensados é favorecida, pois a competição com dímeros fracamente ligados está ausente. A energia de ligação de trímeros com momento angular total nulo em condensados atômicos foi estimada através da correlação desta com o coeficiente de recombinação e com a energia do dímero, ambos conhecidos experimentalmente em alguns casos. Os tamanhos de moléculas fracamente ligadas (^4He_2$-X; Xequiv^4He, ^6Li, ^7Li e ^{23}Na) e de núcleos exóticos leves (^6He, ^{11}Li, ^{14}Be e ^{20}C) também foram calculados juntamente com um estudo sistemático do comportamento dos raios quadráticos médios conforme a interação dos subsistemas de dois corpos é variada. Neste último caso a classificação de um sistema de três corpos (tipo AAB) foi completada denominando de Samba a configuração formada por dois subsistemas de dois corpos ligados e um virtual. As equações subtraídas para os estados ligados de quatro bosons também foram deduzidas.

Dans une série de travaux Zied Ammari et Francis Nier ont développé des méthodes pour étudier la dynamique de champ moyen bosonique pour des états quantiques généraux pouvant présenter des corrélations. Ils ont obtenu des formules pour décrire la dynamique des corrélations, ou plus généralement des matrices densité réduites d'ordre arbitraire. Cette thématique a été largement développée ces dernières années. Norbert Mauser en a été un des contributeurs, ainsi que sur la notion de mesure de Wigner qui est la clé de l'analyse développée par Z. Ammari et F. Nier. En général, il est admis que l'asymptotique de champ moyen est une bonne approximation du problème à N particules quand N dépasse la dizaine. Cela concerne l'asymptotique de la matrice densité réduite à une particule qui ne décrit pas la dynamique des corrélations. Un objectif est de tester la validité de la dynamique de champ moyen pour les matrices densité réduites à 2-particules. Pour des tests numériques, les modèles discrets qui n'ont pas été vraiment traités en détail dans les travaux précédents de Z. Ammari et F. Nier semblent bien adaptés. La thèse comprendra donc plusieurs étapes: adapter les résultats précédents de Z. Ammari et F. Nier à des modèles discrets , développer des méthodes numériques pour des systèmes simples mais pertinents, permettant de valider l'approximation de champ moyen et les formules pour la dynamique des corrélations. Au niveau numérique, on utilise des schémas numériques symplectiques, développés spécifiquement ces dernières années pour la discrétisation des équations hamiltoniennes. Une dernière étape concerne la combinaison des deux asymptotiques, champ moyen et approximation des modèles continus par les modèles discrets. / In a serie of works Z. Ammari and F. Nier developed methods to study the dynamics of bosonic mean field for general quantum states which can present correlations. They obtained formulas to describe the dynamics of the correlations, or more generally reduced density matrices with an arbitrary order. This topic was widely developed these last years. N.J. Mauser was one of contributors, as well as on the notion of Wigner measure which is the key of the analysis developed by Z. Ammari and F. Nier. Generally, the mean field asymptotic is admitted is a good approximation of the N-body problem when N exceed about ten. It concerns the asymptotics of the reduced density matrices for one particle which does not describe the dynamics of the correlations. An objective is to test the validity of the mean field dynamics for reduced density matrices for 2 particles. For numerical tests, the discrete models which were not really handled in detail in the previous works of Z. Ammari and F. Nier seem adapted well. The thesis will thus include several steps: adapt the previous results from Z. Ammari and F. Nier to discrete models , develop numerical methods, for simple but relevant systems, allowing to validate the approximation of mean field and the formulas for the dynamics of the correlations. About numerics, symplectic numerical scheme are used, developed specifically these last years for the discretization of the hamiltonian equations. A last possible step concerns the combination of both asymptotics, that is mean field and approximation of the continuous models by the discrete models.

In this thesis, we will explore the structure of Terwilliger algebras over several different types of finite groups. We will begin by discussing what a Schur ring is, as well as providing many different results and examples of them. Following our discussion on Schur rings, we will move onto discussing association schemes as well as their properties. In particular, we will show every Schur ring gives rise to an association scheme. We will then define a Terwilliger algebra for any finite set, as well as discuss basic properties that hold for all Terwilliger algebras. After specializing to the case of Terwilliger algebras resulting from the orbits of a group, we will explore bounds of the dimension of such a Terwilliger algebra. We will also discuss the Wedderburn decomposition of a Terwilliger algebra resulting from the conjugacy classes of a group for any finite abelian group and any dihedral group.

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Configurations of Life historicizes four distinct clusters of biological research in colonial and early post-colonial India: the Zoological Survey of India, the so called ‘wolf-children’ natural experiment by anthropologists, the program in plant physiology and insect behavior at the Bose Institute, and the interdisciplinary group led by JBS Haldane at the Indian Statistical Institute. Each of these clusters, the dissertation shows, was invested in characterizing their sciences as specifically Indian in character: in the case of the “wolf-children,” by seizing on a supposedly endemic Indian social and natural phenomenon, and in the others, by claiming an allegedly Indian epistemological stance. Each, the dissertation argues, sought authority by claiming to provide heterodox and distinctly Indian solutions to the most fundamental question of biological science – what is life? – though they differed wildly on what ‘life,’ or ‘Indian,’ or indeed, ‘science’ itself meant. While the extant historiography has often read the effusion of similar claims to ‘Indianness’ in modern knowledge systems around the nineteenth and twentieth centuries as a discursive byproduct of nationalism, this dissertation shows that the pursuit of an ‘Indian’ biology cut across racial, national and ideological lines among scientists working in British and early independent India. Instead, by tracking the complex relations between the institutional politics, material culture, and theoretical concerns across these clusters, the dissertation charts out the proselytization, practice and eventual demise of four very distinct understandings of an Indian science of life, based on ecological fieldwork, so-called natural experiments, laboratory instrumentation, and a holistic synthesis between population genetics, statistics and history, respectively. The question of the meaning of life, the dissertation shows, was mostly a rhetorical device invoked to underline the theoretical and methodological ambitions of these sciences, while enabling their individual conceptualizations of the relations between environments and organisms, between heredity and habitat, or between human and animal, to be read as the configurations of life itself. These attempts to create new, distinctly Indian knowledge systems and practices existed side by side and were informed with the larger popular and political project claiming ancient scientific glory on behalf of India, but their aspirations and methods cannot be historically conflated.

This thesis covers most of my work in the field of ultracold atoms loaded in optical lattices. This thesis can be divided into five different parts. In Chapter 1, after a brief introduction to the field of optical lattices I review the fundamental aspects pertaining to the physics of systems in periodic potentials and a short overview of the experiments on ultracold atoms in an optical lattice. In Chapter 2 we develop an inhomogeneous mean-field theory for the extended Bose-Hubbard model with a quadratic, confining potential. In the absence of this poten¬tial, our mean-field theory yields the phase diagram of the homogeneous extended Bose-Hubbard model. This phase diagram shows a superfluid (SF) phase and lobes of Mott-insulator(MI), density-wave(DW), and supersolid (SS) phases in the plane of the chemical potential and on-site repulsion ; we present phase diagrams for representative values of , the repulsive energy for bosons on nearest-neighbor sites. We demonstrate that, when the confining potential is present, superfluid and density-wave order parameters are nonuniform; in particular, we obtain, for a few representative values of parameters, spherical shells of SF, MI ,DW ,and SSphases. We explore the implications of our study for experiments on cold-atom dipolar con¬densates in optical lattices in a confining potential. In Chapter3 we present an extensive study of Mottinsulator( MI) and superfluid (SF) shells in Bose-Hubbard (BH) models for bosons in optical lattices with har¬monic traps. For this we develop an inhomogeneous mean-field theory. Our results for the BH model with one type of spinless bosons agrees quantitatively with quan¬tum Monte Carlo(QMC) simulations. Our approach is numerically less intensive than such simulations, so we are able to perform calculations on experimentally realistic, large three-dimensional(3D) systems, explore a wide range of parameter values, and make direct contact with a variety of experimental measurements. We also generalize our inhomogeneous mean-field theory to study BH models with har¬monic traps and(a) two species of bosons or(b) spin-1bosons. With two species of bosons we obtain rich phase diagrams with a variety of SF and MI phases and as¬sociated shells, when we include a quadratic confining potential. For the spin-1BH model we show, in a representative case, that the system can display alternating shells of polar SF and MI phases; and we make interesting predictions for experi¬ments in such systems. . In Chapter 4 we carry out an extensive study of the phase diagrams of the ex-tended Bose Hubbard model, with a mean filling of one boson per site, in one dimension by using the density matrix renormalization group and show that it contains Superfluid (SF), Mott-insulator (MI), density-wave (DW) and Haldane ¬insulator(HI) phases. We show that the critical exponents and central charge for the HI-DW,MI-HI and SF-MI transitions are consistent with those for models in the two-dimensional Ising, Gaussian, and Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) uni¬versality classes, respectively; and we suggest that the SF-HI transition may be more exotic than a simple BKT transition. We show explicitly that different bound¬ary conditions lead to different phase diagrams.. In Chapter 5 we obtain the excitation spectra of the following three generalized of Bose-Hubbard(BH) models:(1) a two-species generalization of the spinless BH model, (2) a single-species, spin-1 BH model, and (3) the extended Bose-Hubbard model (EBH) for spinless interacting bosons of one species. In all the phases of these models we show how to obtain excitation spectra by using the random phase approximation (RPA). We compare the results of our work with earlier studies of related models and discuss implications for experiments.

Die vorliegende Arbeit behandelt die Herstellung und optische Untersuchung von Halbleiterheterostrukturen, genauer Mikrokavitäten, in denen ein Bose–Einstein Kondensat (BEK) von sogenannten Exziton-Polaritonen im Festkörper erzeugt und beobachtet werden soll. Diese Strukturen bestehen aus zwei hochreflektierenden Braggspiegeln (BS) und einer ZnO-Kavität als aktivem Material. Zunächst wurde die Abscheidung der BS hinsichtlich genauer Schichtdickenkontrolle und Reproduzierbarkeit verbessert. Um Kavitätsschichten hinreichender Qualität herzustellen, wurden mehrere Ansätze zur Optimierung dieser planaren Schichtabscheidung mittels gepulster Laserdeposition verfolgt. Dabei kamen Techniken, wie das Ausheizen der Proben oder deren Glättung durch Ionenstrahlbeschuß zum Einsatz, um die elektronischen Eigenschaften bzw. die Oberflächen der Kavitätsschichten erheblich zu verbessern. Desweiteren wurde erfolgreich ein Verfahren entwickelt, freistehende, nahezu einkristalline ZnO-Nanodrähte mit Braggspiegeln zu ummanteln. Alle hergestellten Strukturen wurden in ihren strukturellen Eigenschaften, speziell hinsichtlich ihrer Rauhigkeit und Kristallinität, verglichen und mittels orts- und/oder winkelaufgelöster Photolumineszenzspektroskopie sowie Reflexionsmessungen bezüglich ihrer optischen Eigenschaften untersucht. Dabei konnte in fast allen Proben die starke Kopplung, welche die Grundlage für ein BEK darstellt, gezeigt werden. Hinweise für eine höhere Kopplungsstärke in den Nanodraht-basierten Mikrokavitäten wurden gefunden. Der Nachweis von BEK bis nahe Raumtemperatur gelang an der vielversprechendsten planaren Probe, die einen Qualitätsfaktor von ca. 1000 aufweist. Die Eigenschaften des BEK wurden für verschiedene Temperaturen und Detunings untersucht. Es hat sich gezeigt, daß ein negatives Detuning unerläßlich für die Bildung eines BEK in ZnO-basierten Mikrokavitäten ist. Die Impulsraumverteilung der Kondensat-Polaritonen läßt auf ausgeprägte dynamische Eigenschaften dieser Teilchen bei tiefen Temperaturen schließen. / The present work covers the fabrication and optical investigation of semiconductor microcavities for Bose–Einstein condensation (BEC) of exciton-polaritons. These microcavities consist of highly reflective distributed Bragg reflectors (DBR) surrounding a ZnO-cavity as active medium. In the first step, the growth of DBRs was optimised with respect to exact thickness control and high reproducibility. For the active material, several growth strategies have been pursued, in order to optimise the conditions for the growth of planar thin films by pulsed laser deposition. Techniques like annealing or ion beam smoothing were successfuly applied in order to either improve the electronic properties or decrease the roughness of the ZnO-cavity layer. Furthermmore, a successful technology was developed in order to coat highly-crstalline free-standing ZnO nanowires with concentrical DBR shells. All samples have been investigated regarding their roughness and crystallinity as well as their optical properties. For the latter spatially and/or angular-resolved photoluminescence spectroscopy and reflection measurements have been carried out. Thereby, the strong coupling regime – being prerequisite for BEC – could be demonstrated in almost all of the synthesized structures. For the nanowire-based microcavities hints for an enhanced coupling strength have been found. In one of the planar samples, showing the high quality factor of 1000, the formation of BEC almost up to room temperature was observed and was studied as a function of temperature and detuning. Negative detuning was found to be mandatory for the formation of a BEC in ZnO-based microcavities. The distinct momentum- respective in-plane wavevector distribution of the condensate polaritons revealed a strong dynamic character of these particles at low temperatures.

Die vorliegende Arbeit behandelt die Dispersion von Exziton-Polaritonen in ZnO-basierten Mikroresonatoren, welche zum einen theoretisch bezüglich der Eigenschaften der reinen Kavitätsmoden und zum anderen experimentell mittels Photolumineszenz-Spektroskopie und Reflektionsmessungen untersucht wurden. Dabei wird besonders auf die Rolle der linearen Polarisation sowie auf die Besetzung der Exziton-Polaritonen-Zustände eingegangen. Dies ist von Interesse, da diese Mikroresonatoren vielversprechende Kandidaten für die Realisierung eines Exziton-Polariton Kondensates sind, welches ähnliche Eigenschaften wie das klassische Bose-Einstein Kondensat besitzt. Die Eigenschaften der Exzitonen-Polaritonen werden durch die der beteiligten ungekoppelten Exzitonen und Photonen bestimmt. Im Falle der Photonen hängen diese stark von der linearen Polarisation ab, da es sich bei der ZnO-Kavität um ein optisch anisotropes Material handelt. Mittels einer entwickelten Näherung für die Berechnung der Kavitätsmoden, welche die optische Anisotropie der Kavität sowie die endliche Ausdehnung der Spiegel berücksichtigt, konnte gezeigt werden, dass im Falle der hier verwendeten ZnO-Kavität die optische Anisotropie zu einer Reduktion der Energieaufspaltung zw. der s- und p-polarisierten Mode im sichtbaren Spektralbereich führt. Der allgemeine Fall einer optisch anisotropen Kavität wird ebenfalls diskutiert. In den untersuchten ZnO-basierten Mikroresonatoren konnte eine starke Wechselwirkung zwischen Exzitonen und Photonen bis zu einer Temperatur von T = 410 K beobachten werden. Dabei wurde eine maximale Kopplungsstärke von 55 meV bei T = 10 K ermittelt. Anhand des beobachteten Verlaufs der Dispersion der Exziton-Polaritonen konnten in einem Mikroresonator Hinweise für eine zusätzliche Kopplung zwischen gebundenen Exzitonen und Photonen gefunden werden. Des Weiteren zeigte die Dispersion der Exziton-Polaritonen eine starke Polarisationsabhängigkeit. Eine maximale Energieaufspaltung des unteren Zweiges für die beiden linearen Polarisationen von 6 meV bei einem starken negativen Detuning von -70 meV wurde beobachtet. Es wird gezeigt, dass diese hohe Energieaufspaltung einen großen Einfluss auf die Besetzung der Zustände der Exziton-Polaritonzweige hat. Unter Verwendung verschiedener Anregungsleistungen und einer keilartigen Kavität wurde der Einfluss des Detunings systematisch auf die Besetzung der Exziton-Polaritonzustände untersucht und diskutiert. Es konnte eine Voraussage für den optimalen Detuning – Temperaturbereich für eine mögliche Kondensation getroffen werden. Erste Beobachtungen eines Kondensates in einem der Resonatoren bestätigen die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit.

Die vorliegende Arbeit behandelt die Dispersion von Exziton-Polaritonen in ZnO-basierten Mikroresonatoren, welche zum einen theoretisch bezüglich der Eigenschaften der reinen Kavitätsmoden und zum anderen experimentell mittels Photolumineszenz-Spektroskopie und Reflektionsmessungen untersucht wurden. Dabei wird besonders auf die Rolle der linearen Polarisation sowie auf die Besetzung der Exziton-Polaritonen-Zustände eingegangen. Dies ist von Interesse, da diese Mikroresonatoren vielversprechende Kandidaten für die Realisierung eines Exziton-Polariton Kondensates sind, welches ähnliche Eigenschaften wie das klassische Bose-Einstein Kondensat besitzt. Die Eigenschaften der Exzitonen-Polaritonen werden durch die der beteiligten ungekoppelten Exzitonen und Photonen bestimmt. Im Falle der Photonen hängen diese stark von der linearen Polarisation ab, da es sich bei der ZnO-Kavität um ein optisch anisotropes Material handelt. Mittels einer entwickelten Näherung für die Berechnung der Kavitätsmoden, welche die optische Anisotropie der Kavität sowie die endliche Ausdehnung der Spiegel berücksichtigt, konnte gezeigt werden, dass im Falle der hier verwendeten ZnO-Kavität die optische Anisotropie zu einer Reduktion der Energieaufspaltung zw. der s- und p-polarisierten Mode im sichtbaren Spektralbereich führt. Der allgemeine Fall einer optisch anisotropen Kavität wird ebenfalls diskutiert. In den untersuchten ZnO-basierten Mikroresonatoren konnte eine starke Wechselwirkung zwischen Exzitonen und Photonen bis zu einer Temperatur von T = 410 K beobachten werden. Dabei wurde eine maximale Kopplungsstärke von 55 meV bei T = 10 K ermittelt. Anhand des beobachteten Verlaufs der Dispersion der Exziton-Polaritonen konnten in einem Mikroresonator Hinweise für eine zusätzliche Kopplung zwischen gebundenen Exzitonen und Photonen gefunden werden. Des Weiteren zeigte die Dispersion der Exziton-Polaritonen eine starke Polarisationsabhängigkeit. Eine maximale Energieaufspaltung des unteren Zweiges für die beiden linearen Polarisationen von 6 meV bei einem starken negativen Detuning von -70 meV wurde beobachtet. Es wird gezeigt, dass diese hohe Energieaufspaltung einen großen Einfluss auf die Besetzung der Zustände der Exziton-Polaritonzweige hat. Unter Verwendung verschiedener Anregungsleistungen und einer keilartigen Kavität wurde der Einfluss des Detunings systematisch auf die Besetzung der Exziton-Polaritonzustände untersucht und diskutiert. Es konnte eine Voraussage für den optimalen Detuning – Temperaturbereich für eine mögliche Kondensation getroffen werden. Erste Beobachtungen eines Kondensates in einem der Resonatoren bestätigen die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit.

Die vorliegende Arbeit behandelt die Herstellung und optische Untersuchung von Halbleiterheterostrukturen, genauer Mikrokavitäten, in denen ein Bose–Einstein Kondensat (BEK) von sogenannten Exziton-Polaritonen im Festkörper erzeugt und beobachtet werden soll. Diese Strukturen bestehen aus zwei hochreflektierenden Braggspiegeln (BS) und einer ZnO-Kavität als aktivem Material. Zunächst wurde die Abscheidung der BS hinsichtlich genauer Schichtdickenkontrolle und Reproduzierbarkeit verbessert. Um Kavitätsschichten hinreichender Qualität herzustellen, wurden mehrere Ansätze zur Optimierung dieser planaren Schichtabscheidung mittels gepulster Laserdeposition verfolgt. Dabei kamen Techniken, wie das Ausheizen der Proben oder deren Glättung durch Ionenstrahlbeschuß zum Einsatz, um die elektronischen Eigenschaften bzw. die Oberflächen der Kavitätsschichten erheblich zu verbessern. Desweiteren wurde erfolgreich ein Verfahren entwickelt, freistehende, nahezu einkristalline ZnO-Nanodrähte mit Braggspiegeln zu ummanteln. Alle hergestellten Strukturen wurden in ihren strukturellen Eigenschaften, speziell hinsichtlich ihrer Rauhigkeit und Kristallinität, verglichen und mittels orts- und/oder winkelaufgelöster Photolumineszenzspektroskopie sowie Reflexionsmessungen bezüglich ihrer optischen Eigenschaften untersucht. Dabei konnte in fast allen Proben die starke Kopplung, welche die Grundlage für ein BEK darstellt, gezeigt werden. Hinweise für eine höhere Kopplungsstärke in den Nanodraht-basierten Mikrokavitäten wurden gefunden. Der Nachweis von BEK bis nahe Raumtemperatur gelang an der vielversprechendsten planaren Probe, die einen Qualitätsfaktor von ca. 1000 aufweist. Die Eigenschaften des BEK wurden für verschiedene Temperaturen und Detunings untersucht. Es hat sich gezeigt, daß ein negatives Detuning unerläßlich für die Bildung eines BEK in ZnO-basierten Mikrokavitäten ist. Die Impulsraumverteilung der Kondensat-Polaritonen läßt auf ausgeprägte dynamische Eigenschaften dieser Teilchen bei tiefen Temperaturen schließen. / The present work covers the fabrication and optical investigation of semiconductor microcavities for Bose–Einstein condensation (BEC) of exciton-polaritons. These microcavities consist of highly reflective distributed Bragg reflectors (DBR) surrounding a ZnO-cavity as active medium. In the first step, the growth of DBRs was optimised with respect to exact thickness control and high reproducibility. For the active material, several growth strategies have been pursued, in order to optimise the conditions for the growth of planar thin films by pulsed laser deposition. Techniques like annealing or ion beam smoothing were successfuly applied in order to either improve the electronic properties or decrease the roughness of the ZnO-cavity layer. Furthermmore, a successful technology was developed in order to coat highly-crstalline free-standing ZnO nanowires with concentrical DBR shells. All samples have been investigated regarding their roughness and crystallinity as well as their optical properties. For the latter spatially and/or angular-resolved photoluminescence spectroscopy and reflection measurements have been carried out. Thereby, the strong coupling regime – being prerequisite for BEC – could be demonstrated in almost all of the synthesized structures. For the nanowire-based microcavities hints for an enhanced coupling strength have been found. In one of the planar samples, showing the high quality factor of 1000, the formation of BEC almost up to room temperature was observed and was studied as a function of temperature and detuning. Negative detuning was found to be mandatory for the formation of a BEC in ZnO-based microcavities. The distinct momentum- respective in-plane wavevector distribution of the condensate polaritons revealed a strong dynamic character of these particles at low temperatures.