Esta dissertação apresenta os resultados da aplicação de uma sequência didática que teve como objetivo o desenvolvimento de atividades que priorizassem a abordagem geométrica no ensino dos Números Complexos. A pesquisa foi realizada ao longo de nove encontros semanais no Instituto Federal Sul-rio-grandense, em Pelotas (RS), em uma turma de primeiro ano do Ensino Médio Técnico de Eletrônica, na modalidade subsequente. Inicialmente, fizemos a revisão da temática valendo-nos da análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais, de diversos livros didáticos e também de pesquisas sobre o tema. Para a aplicação das atividades em sala de aula, consideramos a associação de pares ordenados e pontos do plano e também a associação da soma e da subtração dos pares ordenados com a soma e subtração de vetores. Definimos a unidade imaginária i como o ponto (0,1) e, posteriormente, trabalhamos as operações na forma algébrica. O referencial teórico que deu suporte a este trabalho baseou-se na Teoria de Registros de Representação Semióticas, de Raymond Duval, a qual trata dos aspectos cognitivos relacionados à aquisição de conhecimentos matemáticos. A coleta de dados foi feita por meio de anotações feitas pela professora pesquisadora, pela filmagem dos encontros e pelo material produzido pelos alunos durante as aulas. Após o término dos nove encontros, os alunos realizaram uma avaliação escrita na qual constatamos que os resultados obtidos mostraram-se satisfatórios. Também verificamos o empenho dos alunos durante a resolução das diferentes tarefas que deram suporte a esta pesquisa. / This master’s degree thesis shows the results from the application of a didactic sequence, which focused on the development of activities regarding Complex Numbers. The research was carried out during nine weekly meetings at the Instituto Federal Sul-rio-grandense in Pelotas/RS, in a 1st year class from the Secondary Technical School in Electronics. Initially, a review of the theme was carried out using the analysis of the National Curriculum Parameters for secondary schools not only from various course books but also from studies regarding the topic. In order to use the activities in the classroom, the association of ordered pairs and their respective points plan were considered as well as the association of the sum and subtraction of the ordered pairs with the sum and subtraction of vectors. The imaginary unit i was defined as point (0,1) and after this, the operations in algebraic form were dealt with. This work was based on Raymond Duval’s Semiotic Representation Register Theory, which deals with the cognitive aspects related to the acquisition of mathematical knowledge. The data collection was carried out using the notes made by the researcher, by filming the meetings and using the material produced by the students during the classes. After the 9 (nine) meetings, students carried out a written assessment in which the obtained results were considered satisfactory. The effort made by the students was also verified during the performance of different tasks, which supported this research.

Esta dissertação apresenta os resultados da aplicação de uma sequência didática que teve como objetivo o desenvolvimento de atividades que priorizassem a abordagem geométrica no ensino dos Números Complexos. A pesquisa foi realizada ao longo de nove encontros semanais no Instituto Federal Sul-rio-grandense, em Pelotas (RS), em uma turma de primeiro ano do Ensino Médio Técnico de Eletrônica, na modalidade subsequente. Inicialmente, fizemos a revisão da temática valendo-nos da análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais, de diversos livros didáticos e também de pesquisas sobre o tema. Para a aplicação das atividades em sala de aula, consideramos a associação de pares ordenados e pontos do plano e também a associação da soma e da subtração dos pares ordenados com a soma e subtração de vetores. Definimos a unidade imaginária i como o ponto (0,1) e, posteriormente, trabalhamos as operações na forma algébrica. O referencial teórico que deu suporte a este trabalho baseou-se na Teoria de Registros de Representação Semióticas, de Raymond Duval, a qual trata dos aspectos cognitivos relacionados à aquisição de conhecimentos matemáticos. A coleta de dados foi feita por meio de anotações feitas pela professora pesquisadora, pela filmagem dos encontros e pelo material produzido pelos alunos durante as aulas. Após o término dos nove encontros, os alunos realizaram uma avaliação escrita na qual constatamos que os resultados obtidos mostraram-se satisfatórios. Também verificamos o empenho dos alunos durante a resolução das diferentes tarefas que deram suporte a esta pesquisa. / This master’s degree thesis shows the results from the application of a didactic sequence, which focused on the development of activities regarding Complex Numbers. The research was carried out during nine weekly meetings at the Instituto Federal Sul-rio-grandense in Pelotas/RS, in a 1st year class from the Secondary Technical School in Electronics. Initially, a review of the theme was carried out using the analysis of the National Curriculum Parameters for secondary schools not only from various course books but also from studies regarding the topic. In order to use the activities in the classroom, the association of ordered pairs and their respective points plan were considered as well as the association of the sum and subtraction of the ordered pairs with the sum and subtraction of vectors. The imaginary unit i was defined as point (0,1) and after this, the operations in algebraic form were dealt with. This work was based on Raymond Duval’s Semiotic Representation Register Theory, which deals with the cognitive aspects related to the acquisition of mathematical knowledge. The data collection was carried out using the notes made by the researcher, by filming the meetings and using the material produced by the students during the classes. After the 9 (nine) meetings, students carried out a written assessment in which the obtained results were considered satisfactory. The effort made by the students was also verified during the performance of different tasks, which supported this research.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-02-18T14:55:06Z No. of bitstreams: 1 marisarezendesimao.pdf: 852029 bytes, checksum: cbe96d76d649c7b40653982c3f648dca (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-02-26T13:32:36Z (GMT) No. of bitstreams: 1 marisarezendesimao.pdf: 852029 bytes, checksum: cbe96d76d649c7b40653982c3f648dca (MD5) / Made available in DSpace on 2016-02-26T13:32:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 marisarezendesimao.pdf: 852029 bytes, checksum: cbe96d76d649c7b40653982c3f648dca (MD5) Previous issue date: 2014-04-22 / O objetivo geral desta pesquisa foi estudar como os alunos da última série do Ensino Médio têm compreensão sobre os Números Complexos antes e depois da formalização dos conceitos referentes ao assunto. Mais precisamente, propõe-se uma forma de conduzir algumas aulas de modo que os alunos tenham maior interesse pelo assunto e apresentam-se sugestões que venham ajudar nos processos de ensino e de aprendizagem desse conteúdo. Com isso, buscou-se compreender como os alunos dão sentido aos Números Complexos antes da formalização dos conceitos referentes a esse assunto. Procurou-se, também, saber como os alunos se apropriam dos conceitos já formalizados relativos aos Números Complexos pesquisando e identificando motivações e desmotivações vivenciadas nesse processo. Fundamentou-se a pesquisa na apresentação de parte da história referente à consolidação do conjunto dos números complexos, na formalização de conceitos desse assunto, nas orientações curriculares nacionais e na temática de motivação. Cinquenta e três alunos da Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR) compuseram o corpus desta pesquisa. Para dar subsídio à pesquisa, a estratégia de trabalho seguiu a seguinte rotina: um questionário foi aplicado logo no início do processo; na sequência, ocorreram as aulas teóricas com a formalização dos conceitos sempre reforçada com os aspectos históricos. Em seguida, houve uma apresentação voluntária feita pelos alunos acerca da aplicabilidade dos Números Complexos; após todo o conteúdo ter sido ministrado, uma prática interdisciplinar com a física promoveu a contextualização; e, para finalizar, os alunos responderam a um segundo questionário que permitiu identificar motivações e desmotivações vivenciadas nesse processo. Durante a pesquisa, contou-se com as observações anotadas em diário de campo. Para a análise dos dados, foram consideradas as respostas aos questionários. Algumas dessas deram-se por meio de gráficos que relativizaram as respostas dos alunos, outras, foram agrupadas por similaridade. A sequência das falas dos alunos relativas às suas apresentações foi elencada. Concluiu-se que como benefício houve uma mudança na maneira de pensar daqueles alunos, promovendo uma melhoria nos processos de ensino e de aprendizagem. Essa prática resultante da motivação do professor que busca alternativas de ensino se aplica a qualquer disciplina. / The general objective of this research was to study how students of last grade of high school have understood the Complex Numbers before and after the formalization of the concepts related to the topic. More precisely, it proposes a way to conduct some classes so that students have greater interest in the topic and there are also some suggestions that may help the process of teaching and learning the content. Thus, we tried to identify how students understand the Complex Numbers before the formalization of the concepts related to this topic. It was also taken into consideration how the students learn the already formalized concepts of the Complex Numbers by researching and identifying motivations and discouragement experienced during this process. The research was based on the presentation of the history related to the consolidation of the set of complex numbers, the formalization of the concepts related to this subject in the national curriculum guidelines and in the thematic of motivation. The corpus of this research is composed by fifty-three students from Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR) To give subsidy to the research, the following strategy of work was adopted: a questionnaire was applied early in the process; after, classes which formalized the concepts enhanced with the historical aspects occurred. Then, there was a voluntary presentation about the applicability of Complex Numbers performed by students; after all the content has been covered, an interdisciplinary practice with Physics promoted the contextualization, and, to sum up, the students answered a second questionnaire which allowed for identifying motivations and discouragement experienced in this process. During the research, we were helped by the observations written down in a field diary. For data analysis, responses to the questionnaires were considered. Some of those given through graphs that relativized students responses; others were grouped by similarity. The sequence of accounts of the students concerning their presentations was listed. It was concluded that such benefit was a change in the way of thinking of those students, promoting an improvement in the process of teaching and learning. This practice resulting from teacher motivation which seeks alternative teaching applies to any discipline.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-11-25T11:43:39Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Vitail José Rocha - 2014.pdf: 2821899 bytes, checksum: 15f18dbbd000ffd3491c30d95cc2763f (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-11-25T12:21:37Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Vitail José Rocha - 2014.pdf: 2821899 bytes, checksum: 15f18dbbd000ffd3491c30d95cc2763f (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-11-25T12:21:37Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Vitail José Rocha - 2014.pdf: 2821899 bytes, checksum: 15f18dbbd000ffd3491c30d95cc2763f (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2014-07-03 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The objective of this work is to tell a little bit about the emergence and development of the Fundamental Theorem of Algebra, having as plot the historical context and the formalization of Complex Numbers, which mixes with this theorem. Considering the mathematical rigor in the construction of this subject, which o ered structure for the consolidation of this theorem. This work aims to achieve a more accessible demonstration, due to their necessary presence in high school, but in an axiomatic form. / O objetivo deste trabalho é contar um pouco sobre o surgimento e desenvolvimento do Teorema Fundamental da Álgebra, tendo como enredo o contexto histórico e formaliza ção dos Números Complexos, que se mistura com este teorema. Levando em consideração o rigor matemático na construção deste corpo, o qual ofereceu estrutura para a consolidação deste teorema. Este trabalho busca alcançar uma demonstração mais acessível, devido a sua presença necessária no Ensino Médio, mas de forma axiom ática .

Submitted by Swane Vicente (swane_vicente@hotmail.com) on 2016-07-08T13:51:12Z No. of bitstreams: 1 Dissertação Icoracy Coutinho da Costa.pdf: 1264432 bytes, checksum: ae059f313db83cbd5372816fbe75f7c0 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-07-08T15:06:38Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação Icoracy Coutinho da Costa.pdf: 1264432 bytes, checksum: ae059f313db83cbd5372816fbe75f7c0 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-07-08T15:11:26Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação Icoracy Coutinho da Costa.pdf: 1264432 bytes, checksum: ae059f313db83cbd5372816fbe75f7c0 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-07-08T15:11:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação Icoracy Coutinho da Costa.pdf: 1264432 bytes, checksum: ae059f313db83cbd5372816fbe75f7c0 (MD5) Previous issue date: 2016-03-30 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The purpose of this research is to help High school students to learn complex number sets. Will be shown one of its subsets that has a great importance in Algebra, the Gaussian integers. At first, the study will demonstrate that Gaussian integers are an Algebraic structure, a Euclidean domain to be more specific. The study will compare the addition, subtraction, multiplication, division and exponentiation in algebraic form. Then, we will analyze the prime number in the Gaussian integers sets and compare them to prime numbers in the integer sets to show the differences. At last, some Gaussian integers applications will be presented. / Este trabalho tem como objetivo contribuir para o aprimoramento dos alunos do Ensino Médio no estudo do Conjunto dos Números Complexos, apresentando-lhes um de seus subconjuntos que possuí uma grande importância no estudo da Álgebra. Este conjunto é denominado de Conjunto dos Inteiros de Gauss. Inicialmente demonstraremos que o Conjunto dos Inteiros de Gauss é uma estrutura algébrica, mais precisamente um Domínio Fatorial. Na abordagem será feita a comparação entre os esses dois conjuntos definindo as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação na forma algébrica. Será feita, ainda, um estudo sobre os números primos dentro do Conjunto dos Inteiros de Gauss que serão comparados com os números primos do Conjunto dos Números Inteiros que possibilitará a visualização das diferenças existentes. Por fim, concluiremos com a apresentação de algumas aplicações dos inteiros de Gauss.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Esta dissertação apresenta um estudo das funções trigonométricas com variável complexa com foco na educação básica. A motivação vem do fato de que se tem dado pouca importância aos números complexos no ensino médio, uma vez que a abordagem atual se restringe às definições, propriedades e exercícios de aplicação teórica e imediata, conforme consta, por exemplo, nos PCNS. Apresenta-se uma abordagem matricial dos números complexos, sem perder de vista a maneira em que esse números são apresentados, como pares ordenados, na matemática básica. Em seguida, apresenta-se as funções com variáveis complexas, suas propriedades e consequentemente um estudo das funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante com variável complexa. Comparações entre algumas funções reais e complexas são realizadas. Finalmente, apresenta-se uma aplicação das funções trigonométricas complexa na Física. / This dissertation present a study of trigonometric functions with complex variable with a focus on basic education. The motivation comes from the fact that it has given little importance to complex numbers in school, since the current approach is restricted the settings, properties and theoretical exercises and immediate application, as shown, for example, the NCPS. Presents a approach of the complex numbers through matrix, without losing sight of the way in which those numbers are presented, as ordered pairs, in the basic mathematic. It then presents the functions with complex variables, their properties and consequently a study of sine functions, cosine, tangent, cotangent, secant and cosecant with complex variable. Some comparisons between real and complex functions are performed. Finally, we present an application of complex trigonometric functions in physics.

Essa dissertação versa sobre o conjunto dos números complexos e uma breve introdução sobre o Cálculo Diferencial de Funções em uma Variável Complexa. Como proposta didática apresentamos uma atividade que relaciona números complexos e geometria voltada para professores do Ensino Médio. / This dissertation asserts on the set of complex numbers and brief introduction on Differential Calculus to one Complex Variable Functions. As didactic proposal we present an activity involving complex numbers and geometry that may be applied to teachers in high school level.

O ensino de Matemática é, de modo geral, orientado pelos processos contidos nos livros didáticos. Sendo assim, a organização dos conceitos matemáticos nesses livros deveria ser capaz de permitir ao leitor interpretar a Matemática em sua essência, admitindo o estabelecimento de relações entre os conteúdos. No entanto, o que geralmente se observa nos materiais é um aglomerado de definições e conceitos desconexos que conduzem o leitor a dificuldades de aprendizado na área. Por essa razão, a presente dissertação teve o objetivo principal de localizar, além de caracterizar, os pontos notáveis do triângulo: o centróide ou baricentro (G), o ortocentro (H), o circuncentro (O), o centro (N) da circunferência de nove pontos, os três ex-centros das circunferências ex-inscritas, as projeções ortogonais dos vértices sobre os lados opostos e os pontos de tangência da circunferência inscrita e ex-inscrita. Quatro abordagens são apresentadas em busca de tal objetivo: a-) apresentar a geometria do triângulo segundo técnicas de percepção visual; b-) caracterizar alguns pontos notáveis do triângulo, como pontos de máximo ou de mínimo de funções com as demonstrações utilizando desigualdade de Cauchy-Schwarz e entre média aritmética e geométrica; c-) utilizar um sistema cartesiano adequado para o cálculo das abscissas e ordenadas do centróide (G), do ortocentro (H) e do circuncentro (O) de um triângulo; d-) utilizar os números complexos para a completa localização de todos os pontos notáveis do triângulo além de apresentar a equação da reta de Euler, o incentro (I) e os três excentros IA, IB e IC localizados em fórmulas simples. A dissertação finaliza com o Teorema de Feuerbach, apresentado com uma prova elementar, mostrando que a circunferência de nove pontos e a circunferência inscrita são tangentes internamente e que a circunferência dos nove pontos é tangente exteriormente a cada uma das três ex circunferências e o Teorema de Napoleão, no qual os baricentros de triângulos equiláteros, construídos a partir dos lados de um triângulo qualquer, formam um outro triângulo equilátero. Comparando as várias abordagens da dissertação, a conclusão é a de que a compreensão dos números complexos paradoxalmente simplifica a resolução de problemas de geometria plana e a solução de equações polinomiais. Assim, acredita-se que uma maior exploração desse conteúdo no ensino da Matemática poderia tornar o aprendizado mais atraente e simplificado / The teaching of Mathematics is generally guided by the procedures contained in the textbooks. Thus, the organization of the mathematical concepts in these books should be able to allow the reader to interpret the Mathematics in its essence, admitting the establishment of relationships between the contents. However, what is observed in the materials is a conglomeration of disparate definitions and concepts that lead the reader to learning difficulties in the area. For this reason, this work aimed to locate and characterize the notable points of the triangle: the centroid or barycenter (G), the orthocenter (H), the circumcenter (O), the center (N) of circumference of nine points, three former centers of the ex-inscribed circles, orthogonal projections of the vertices on the opposite sides and the points of tangency of the inscribed and the ex-inscribed circumference. Four approaches are presented to achieve these goals: a-) to introduce the geometry of the triangle using visual perception techniques, b-) to characterize some notable points of the triangle, as points of maximum or minimum of functions with the demonstrations using the Cauchy-Schwarz inequality and between the arithmetic and geometric mean;-c) to use a suitable Cartesian system for calculating the abscissas and ordinates of the centroid (G), of orthocenter (H) and of the circumcenter (O) of a triangle;-d) to use complex numbers for the complete location of all notable points of the triangle, beyond depicting the Euler equation of the line, the incenter (I) and the three former centers IA, IB and IC located in simple formulas. The work is concluded with the Feuerbach\'s Theorem, presented with an elementary proof, showing that the nine-point circle and the incircle is tangent internally and that the circumference of the nine points is externally tangent to each of the three ex-inscribed circles and the Napoleons Theorem, in which the barycenters of equilateral triangles, constructed from the sides of any triangle, form another equilateral triangle. Comparing the approaches detached hitherto, the conclusion is that the understanding of complex numbers paradoxically simplifies troubleshooting of plane geometry and the solution of polynomial equations. Thus, it is believed that further exploration of this content in mathematics education could make learning more attractive and simplified

This thesis deals with algebraic equations in the field of complex numbers and teaching of them in high school mathematics. The thesis is a web page, it includes the definition of complex numbers in various forms (form of ordered pair, algebraic, polar and exponential form) and operations with them, as well as conversions between forms. The main part of the thesis includes solving of linear, quadratic, binomial, trinomial, reciprocal and cubic equations in the field of complex numbers. The lecture is enhanced with interactive applets demonstrating given topic. The thesis also includes solved exercises, as well as exercises leading to sets of points satisfying a condition and two overall tests. Web page created within the thesis can be used by high school pupils and teachers. 1

Made available in DSpace on 2014-12-17T15:48:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 MarcianoLSG_DISSERT.pdf: 1502222 bytes, checksum: 42095db0aea344259d27b288ebc11ee0 (MD5) Previous issue date: 2012-02-23 / Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior / This work aims to develop modules that will increase the computational power of the Java-XSC library, and XSC an acronym for "Language Extensions for Scientific Computation . This library is actually an extension of the Java programming language that has standard functions and routines elementary mathematics useful interval. in this study two modules were added to the library, namely, the modulus of complex numbers and complex numbers of module interval which together with the modules original numerical applications that are designed to allow, for example in the engineering field, can be used in devices running Java programs / Este trabalho tem por finalidade desenvolver m?dulos que venham aumentar o poder computacional da biblioteca JAVA-XSC, sendo XSC1 um acr?nimo para Language Extensions for Scientific Computation . Essa biblioteca ? na verdade uma extens?o da linguagem de programa??o JAVA que possui rotinas elementares e fun??es padr?o ?teis da matem?tica intervalar. Neste trabalho foram acrescentados dois m?dulos ? biblioteca; a saber: o m?dulo dos n?meros complexos e o m?dulo dos n?meros complexos intervalares que em conjunto com os m?dulos originais visam possibilitar que aplica??es num?ricas, como por exemplo na ?rea da engenharia, possam ser usadas em dispositivos que executam programas JAVA