Nessa dissertação exploramos os efeitos geométricos das Transformações de Möbius em C utilizando projeções na Esfera de Riemann. Como aplicação, apresentamos a ação de algumas transformações aplicadas em cônicas no plano. Uma atividade didática voltada aos alunos do Ensino Médio sobre Transformações de Möbius utilizando o Geogebra é apresentada. / In the course of this dissertation we explore the geometric effects of the Möbius Transforms in C using projections in the Riemann sphere. As an application, we present the action of some transformations applied on conics in the plane. A didactic activity aimed at high school students about Möbius Transformations using Geogebra is presented.

Nessa dissertação exploramos os efeitos geométricos das Transformações de Möbius em C utilizando projeções na Esfera de Riemann. Como aplicação, apresentamos a ação de algumas transformações aplicadas em cônicas no plano. Uma atividade didática voltada aos alunos do Ensino Médio sobre Transformações de Möbius utilizando o Geogebra é apresentada. / In the course of this dissertation we explore the geometric effects of the Möbius Transforms in C using projections in the Riemann sphere. As an application, we present the action of some transformations applied on conics in the plane. A didactic activity aimed at high school students about Möbius Transformations using Geogebra is presented.

Submitted by JOCIMAR MONTANHA null (jocimarmontanha@hotmail.com) on 2017-02-17T00:51:02Z No. of bitstreams: 1 Dissertação_Jocimar_Corrigida.pdf: 4981816 bytes, checksum: 3df5599a820e86618dced98b217c53ec (MD5) / Approved for entry into archive by LUIZA DE MENEZES ROMANETTO (luizamenezes@reitoria.unesp.br) on 2017-02-21T19:45:29Z (GMT) No. of bitstreams: 1 montanha_j_me_prud.pdf: 4981816 bytes, checksum: 3df5599a820e86618dced98b217c53ec (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-21T19:45:29Z (GMT). No. of bitstreams: 1 montanha_j_me_prud.pdf: 4981816 bytes, checksum: 3df5599a820e86618dced98b217c53ec (MD5) Previous issue date: 2017-02-03 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Este trabalho tem por objetivo principal apresentar uma sugestão de como introduzir e contextualizar os conceitos de números complexos, utilizando como motivações áudios, vídeos e software, além de outras atividades complementares sugeridas. Os áudios tratam dos números complexos através de uma história livremente inspirada no livro O Médico e o Monstro, do escritor escocês Robert Louis Stevenson. Os vídeos mostram uma maneira divertida e curiosa de olhar para os números complexos contando um pouco sobre sua história. O software tem a finalidade de estudar as transformações geométricas no plano (translação, rotação, dilatação e contração), utilizando os conceitos e operações de números complexos, propriedades e características geométricas. Este material faz parte da coleção M3 - Matemática Multimídia da Universidade Estadual de Campinas, e serviu como base para organizarmos o nosso trabalho. Outro software utilizado é o GeoGebra que servirá de suporte para a realização das soluções das demais atividades sugeridas. / This work has as main objective to present a suggestion of how to introduce and contextualize the concepts of complex numbers, using as motivation audios, videos and software, and other complementary activities suggested. Audios deal with complex numbers through a story loosely inspired by the book The Doctor and Monster, the Scottish writer Robert Louis Stevenson. The videos show a fun and funny way to look at the complex numbers telling a little about their history. The software aims to study the geometric transformations in the plane (translation, rotation, expansion and contraction), using the concepts and operations of complex numbers, geometric properties and characteristics. This material is part of the M3 - Multimedia Mathematics collection of the State University of Campinas, and served as a basis for organizing our work. Another software used is GeoGebra that will be used to support the solutions of the other suggested activities.

Orientadora: Profa. Dra. Ana Carolina Boero / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / O Teorema Fundamental da Álgebra é um tópico de grande relevância para a Matemática, com o qual o aluno toma contato na 3a série do Ensino Médio. Talvez porque todas as demonstrações conhecidas desse resultado utilizem argumentos que não podem ser apresentados de modo preciso nessa etapa de ensino, sua abordagem em diversos livros didáticos resume-se, basicamente, a destacar algumas de suas consequências e aplicações. O propósito deste trabalho é fornecer um material que possa ser utilizado por professores da Educação Básica no intuito de explorar esse fascinante resultado. Para atingirmos esse objetivo, apresentamos uma breve contextualizaçãohistória do Teorema Fundamental da Álgebra, que serve tanto para apontar sua utilidade em outros ramos da Matemática como também para observar a evolução de certos conceitos matemáticos. Em seguida, apresentamos uma prova rigorosa desse resultado, com o menor nível de complexidade possível, além de duas abordagens alternativas com apelo visual que podem ser utilizadas para apresentar uma justificativa de sua validade aos alunos do Ensino Médio. / The Fundamental Theorem of Algebra is a topic of great relevance to Mathematics, with which the student makes contact in the 3rd grade of High School. Perhaps because all known demonstrations of this result use arguments that can not be accurately presented at this stage of teaching, its approach in several textbooks basically boils down to highlighting some of its consequences and applications. The purpose of this work is to provide a material that can be used by teachers of Basic Education in order to explore this fascinating result. To reach this goal, we present a brief history of the Fundamental Theorem of Algebra, which serves both to point out its usefulness in other branches of mathematics and also to observe the evolution of certain mathematical concepts. Next, we present a rigorous proof of this result, with the lowest level of complexity possible, as well as two alternative approaches with visual appeal that can be used to present a justification of its validity to high school students.

Orientador: Prof. Dr. Marcus Antônio Mendonça Marrocos / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Nessa dissertação, os números complexos ganham uma nova maneira de ser explorados em sala de aula. Apropriando-se de teorias contemporâneas e do mais alto nível em Matemática, como Sistemas Dinâmicos e Fractais, foi possível investigar e explorar os Conjuntos de Mandelbrot e os Preenchidos de Julia. Utilizando-se das TIC¿s (Tecnologias da Informação e Comunicação), o software Geogebra e aplicativos do celular somam forças para proporcionar ao aluno uma forma diferente de experimentar o Conjunto dos Números Complexos, usando-os, na contemplação dos Fractais de Julia e Mandelbrot. / In this dissertation, complex numbers acquire a new form of explanation in the classroom. By using contemporary theories of the highest level in Mathematics, as Dynamical Systems and Fractals, it was possible to investigate and explore the Mandelbrot sets and the Filled Julia set. By using ICT¿s (Information and Communication Technologies), the Geogebra software and mobile apps, provide the student with a new way to experience with the Set of Complex Numbers, using them, in the visualization, of Julia and Mandelbrot¿s Fractals.

Orientador: Prof. Dr. Antônio Cândido Faleiros / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2017. / Este trabalho de conclusão tem o objetivo de identificar uma aplicação de conceitos estudados no curso de Profmat e que pode ser aplicado com alunos do Ensino Médio. O tema escolhido é Números Complexos com aplicação em Circuitos Elétricos, no qual são estudadas a Lei de Ohm, funções senoidais, assuntos referentes ao Ensino Médio. Entraremos no conceito inicial de fasores para análise de relação entre circuito elétrico e números complexos. O primeiro capítulo dá uma introdução histórica sobre os números complexos como a necessidade de encontrar raízes quadradas de números negativos, operações com números complexos e representação no plano. No segundo capítulo são abordados temas sobre a Lei de Ohm como tensão, resistência e corrente elétrica e a relação entre elementos eletrônicos como resistor, capacitor e indutor. Como consequência as reatâncias capacitivas, reatância indutivas e impedância, existindo a possibilidade de incluir o estudo de fasores que é um assunto pouco visto no ensino médio, mas em muitos casos é semelhante ao estudo de vetores abordados desde o ensino fundamental. No terceiro capítulo são abordados os medidores elétricos, componentes elétricos unidos em associação série ou paralelo formando os circuitos elétricos fechados como RC, RL e RLC, onde temos diversos exemplos com resoluções inclusas no texto. O quarto capítulo é composto por sugestões de aplicações com alunos sobre o tema proposto contendo exercícios, resoluções propostas e um trabalho inicial realizado com alunos de uma escola pública estadual. / The purpose of this research is to identify an application of concepts studied in the course of Profmat and may be applied with students of Secondary Education. The subject chosen is Complex Numbers with aplication in Electrical Circuits that are studied the Ohm¿s Law, sinusoidal functions, subjects referring to the Secondary Education. We will enter the initial concept of phasors to analyze the relationship between electric circuit and complex numbers. The first chapter gives a historical introduction about complex numbers such as the necessity to find square roots of negative numbers, operations with complex numbers and representation in the plane. In the second chapter, it will be discussed theme about the Ohm¿s Law as voltage, resistance and electrical current, as well as the relationship between electronic elements such as resistor, capacitor and inductor. As a consequence of capacitive reactance, inductive reactance and impedance with a possibility to include the research about Phasors that is not explored enough in middle school, but in many cases is similar to the study of vectors addressed since elementary school. In the third chapter are approached the electric meters, electrical components united in series or parallel association forming closed electric circuits like RC, RL and RLC, where we have several examples with resolutions included in the text. The fourth chapter is composed by suggestions of applications with students about the proposed theme with exercises, resolutions and an initial work realized with students of a state public school.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:02:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 6514.pdf: 4306078 bytes, checksum: 049474ab016a0a90e3ef1b9a2412ff69 (MD5) Previous issue date: 2014-12-19 / This work aimed to facilitate the study of the content of complex numbers for students in the 3rd year of High School, within a focus covering a geometric context, with the use of Geogebra software, combined with notebook student (SÃO PAULO, 2014). The main motivation of this study was to search for an innovative practice, aiming to improve the quality of the teaching-learning process, in relation to the content, since the numerous difficulties demonstrated by students. The theoretical research was based mainly on the theory of representation semiotics registers of Raymond Duval and analysis of curriculum documents for Middle School. Already the methodology was built based on the steps of the Didactics Engineering idealized by Michele Artigue. The production of information involved mathematical activities performed by 31 students of Higher Education of a Civil Engineering course and between 10 to 12 students (there was variation) of a 3rd year of High School; providing the basis for answering the following research issues: I What knowledge about complex numbers, students of Higher Education bring the baggage of high School? II - That prospect of construction of knowledge the notebook of the Student gives the learning of complex numbers? III - The Geogebra can add the construction of knowledge when articulated to the notebook of the Student, made available by the Department of the São Paulo State of Education? The instruments used to collect the amount of information produced by participants, in empirical step of our research were: questionnaire, written records of tasks (protocols) and images of mathematical activities carried out with the help of Geogebra. The results obtained in the analysis of the questionnaires showed that the knowledge of the students in higher education, as well as the students in the middle school, are negligible in relation to the need of those who follow their studies in the field of exact area. With respect to the results obtained from the implementation of tasks for high school students, using the software proved to be efficient for a geometrized viewing the content in relation to construction of its concepts, which allowed students a much better understanding across the studied content. / Este trabalho teve como objetivo viabilizar o estudo do conteúdo de números complexos para alunos do 3° ano do Ensino Médio, dentro de um enfoque abrangendo uma contextualização geométrica com a utilização do software Geogebra, combinado com o caderno do aluno (SÃO PAULO, 2014). Observa-se no entanto que este trabalho não se trata de uma sequência didática. A motivação principal deste estudo foi a busca por uma prática inovadora, visando melhorar a qualidade do processo ensinoaprendizagem, em relação a esse conteúdo, frente as inúmeras dificuldades demonstradas pelos estudantes. O percurso teórico da pesquisa fundamentou-se principalmente na teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval e análise de documentos curriculares para o Ensino Médio. Já o percurso metodológico foi construído com base nas etapas da Engenharia Didática idealizada por Michèle Artigue. A produção de informações envolveu atividades matemáticas realizadas por 31 estudantes de Ensino Superior de um curso de Engenharia Civil e entre 10 a 12 alunos (houve variação) de uma 3ª série do Ensino Médio; servindo de base para responder as seguintes questões de investigação: I - Que saberes sobre números complexos, alunos do Ensino Superior trazem como bagagem do Ensino Médio? II - Que perspectiva de construção de saberes o Caderno do aluno e do professor proporciona ao aprendizado de números complexos? III - O Geogebra pode agregar a construção de saberes quando articulado ao Caderno do aluno, disponibilizado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo? Os instrumentos utilizados para reunir o montante de informações produzidas pelos sujeitos participantes, na etapa empírica da nossa investigação foram: questionário, registros escritos das tarefas (protocolos) e imagens das atividades matemáticas realizadas com o auxílio do Geogebra. Os resultados obtidos na análise dos questionários apontaram que os conhecimentos dos alunos do ensino superior, bem como dos alunos do ensino médio, são ínfimos em relação a necessidade daqueles que seguirão seus estudos, no campo das exatas. No que diz respeito aos resultados obtidos a partir da aplicação das tarefas para os alunos do Ensino Médio, a utilização do software revelou-se eficiente para uma visualização geometrizada do conteúdo em relação a construção de seus conceitos, o que permitiu aos estudantes uma compreensão muito maior frente ao conteúdo estudado.

This dissertation proposes to present an extra tool to be worked with high school students as regards the study of conics, and for that we will use the geometric structures that the complex number of numbers o er mainly when the We use it to represent and classify conics in a reduced way, even when they do not have their axes parallel to the axes of the Cartesian plane. We will also do a case study on the teaching of these contents in high school where we will re ect from the di culties experienced by mathematics teachers in high school. / Essa dissertação propõe apresentar uma ferramenta a mais para ser trabalhado com os alunos do ensino médio no tocante ao estudo das cônicas, e para isso usaremos as estruturas geométricas que o conjunto dos números complexos oferecem, principalmente quando o utilizamos para representar e classi car as cônicas de forma reduzida, mesmo quando estas n~ao possuem seus eixos paralelos aos eixos do plano cartesiano. Faremos tamb em um estudo de caso sobre o ensino desses conte udos no ensino m edio onde re etiremos a partir das di culdades vividas pelos professores de matem atica no ensino m edio. / São Cristóvão, SE

The aim of this work is the study of arbitrary mobius transformations by means of simple complex transformations, namely: the Translation, the Rotation, the Homotetia (Contraction and Dilatation) and Inversion. The results obtained were applied in circles and straight line. At the end, we give the the alternative of studying mobius transformations via matrices. / O objetivo deste trabalho é estudar transformações de Möbius arbitrárias por meio de transformações complexas mais simples, a saber: a Translação, a Rotação, a Homotetia (Contração e Dilatação) e a Inversão. Os resultados obtidos foram aplicados em círculos e retas. No final, damos a alternativa de estudar transformações de Möbius via matrizes.

Submitted by Cássia Santos (cassia.bcufg@gmail.com) on 2016-12-15T15:01:25Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Davi José dos Santos - 2016.pdf: 5567090 bytes, checksum: 5606aa47f640cc5cd4495d2694f38cda (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Jaqueline Silva (jtas29@gmail.com) on 2016-12-15T17:28:21Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Davi José dos Santos - 2016.pdf: 5567090 bytes, checksum: 5606aa47f640cc5cd4495d2694f38cda (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2016-12-15T17:28:21Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Davi José dos Santos - 2016.pdf: 5567090 bytes, checksum: 5606aa47f640cc5cd4495d2694f38cda (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2016-08-30 / This research with theoretical approach seeks to investigate inmathematics, octonions,which is a non-associative extension of the quaternions. Its algebra division 8-dimensional formed on the real numbers is more extensive than can be obtained by constructing Cayley-Dickson. In this perspective we have as main goal to answer the following question: "What number systems allow arithmetic operations addition, subtraction, multiplication and division? " In the genesis of octonions is the Irish mathematician William Rowan Hamilton, motivated by a deep belief that quaternions could revolutionize mathematics and physics, was the pioneer of a new theory that transformed the modern world. Today, it is confirmed that the complexs/quaternions/octonions and its applications are manifested in different branches of science such as mechanics, geometry, mathematical physics, with great relevance in 3D animation and robotics. In order to investigate the importance of this issue and make a small contribution, we make an introduction to the theme from the numbers complex and present the rationale and motivations of Hamilton in the discovery of quaternions/octonions. Wemake a presentation of the algebraic structure and its fundamental properties. Then discoremos about constructing Cayley-Dickson algebras that produces a sequence over the field of real numbers, each with twice the previous size. Algebras produced by this process are known as Cayley-Dickson algebras; since they are an extension of complex numbers, that is, hypercomplex numbers. All these concepts have norm, algebra and conjugate. The general idea is that the multiplication of an element and its conjugate should be the square of its norm. The surprise is that, in addition to larger, the following algebra loses some specific algebraic property. Finally, we describe and analyze certain symmetry groups with multiple representations through matrixes and applications to show that This content has a value in the evolution of technology. / Esta pesquisa com abordagem teórica busca investigar na matemática, os octônios, que é uma extensão não-associativa dos quatérnios. Sua álgebra com divisão formada de 8 dimensões sobre os números reais é a mais extensa que pode ser obtida através da construção de Cayley-Dickson. Nessa perspectiva temos comometa principal responder a seguinte questão: "Que sistemas numéricos permitemas operações aritméticas de adição, subtração, multiplicação e divisão?" Na gênese dos octônios está o matemático irlandêsWilliam Rowan Hamilton que, motivado por uma profunda convicção de que os quatérnios poderiam revolucionar a Matemática e a Física, foi o pioneiro de uma nova teoria que transformou o mundo moderno. Hoje, confirma-se que os complexos/quatérnios/octônios e suas aplicações se manifestam em diferentes ramos da ciências tais como a mecânica, a geometria, a física matemática, com grande relevância na animação 3D e na robótica. Com o propósito de investigar a importância deste tema e dar uma pequena contribuição, fazemos uma introdução ao tema desde os números complexos e apresentamos o raciocínio e motivações de Hamilton na descoberta dos quatérnios/octônios. Fazemos uma apresentação da estrutura algébrica, bem como as suas propriedades fundamentais. Emseguida discoremos sobre a construção de Cayley-Dickson que produz uma sequência de álgebras sobre o campo de números reais, cada uma com o dobro do tamanho anterior. Álgebras produzidas por este processo são conhecidas como álgebras Cayley-Dickson; uma vez que elas são uma extensão dos números complexos, isto é, os números hipercomplexos. Todos esses conceitos têm norma, álgebra e conjugado. A idéia geral é que o produto de um elemento e seu conjugado deve ser o quadrado de sua norma. A surpresa é que, além de maior dimensão, a álgebra seguinte perde alguma propriedade álgebrica específica. Por fim, descrevemos e analisamos alguns grupos de simetria, com várias representações através de matrizes e aplicações que demonstram que este conteúdo tem uma utilidade na evolução da tecnologia.