Let (W, S) be an arbitrary Coxeter system, and let J be the asymptotic Hecke algebra associated to (W, S) via Kazhdan-Lusztig polynomials by Lusztig. We study a subalgebra J_C of J corresponding to the subregular cell C of W . We prove a factorization theorem that allows us to compute products in J_C without inputs from Kazhdan-Lusztig theory, then discuss two applications of this result. First, we describe J_C in terms of the Coxeter diagram of (W, S) in the case (W, S) is simply- laced, and deduce more connections between the diagram and J_C in some other cases. Second, we prove that for certain specific Coxeter systems, some subalgebras of J_C are free fusion rings, thereby connecting the algebras to compact quantum groups arising in operator algebra theory.

[pt] Um politopo convexo é semiregular se todas as suas faces forem regulares e o grupo de isometrias agir transitivamente sobre os vértices. A classificação dos politopos semiregulares inclui algumas famílias infinitas, algumas exceções em dimensão baixa e uma família, os politopos de Gosset, que está definida para dimensão entre 3 e 8. Certos grupos de isometrias de R(n) gerados por reflexões são chamados grupos de Coxeter. A classificação dos grupos de Coxeter inclui três famílias infinitas, algumas exceções em dimensão menor ou igual a 4 e os grupos excepcionais E(6), E(7) e E(8). O grupo E(n) é o grupo das isometrias do politopo de Gosset em dimensao n. Nesta dissertação construiremos os grupos de Coxeter En, os politopos de Gosset e indicaremos a relação destes objetos com os reticulados e as álgebras de Lie também conhecidos como E(n). / [en] A convex polytope is semiregular if all its faces are regular and the group of isometries acts transitively over vertices. The classification of semiregular polytopes includes a few infinite families, some low dimensional exceptions and a family, the Gosset polytopes, which is defined for dimension 3 to 8. Certain groups of isometries of R(n) generated by reflections are called Coxeter groups. The classification of finite Coxeter groups includes three infinite families, some exceptions in dimension 4 or lower and the exceptional groups E(6), E(7) and E(8). The group En is the group of isometries of the Gosset polytope in dimension n. In this dissertation we construct the Coxeter groups En, the Gosset polytopes and indicate the relationship of these objects with the lattices and Lie algebras which are also known as E(n).

The Iwahori-Hecke algebras of Coxeter groups play a central role in the study of representations of semisimple Lie-type groups. An important tool is the combinatorial approach to representations of Iwahori-Hecke algebras introduced by Kazhdan and Lusztig in 1979. In this dissertation, I discuss a generalization of the Iwahori-Hecke algebra of the symmetric group that is instead based on the complex reflection group G(r,1,n). Using the analogues of Kazhdan and Lusztig's R-polynomials, I show that this algebra determines a partial order on G(r,1,n) that generalizes the Chevalley-Bruhat order on the symmetric group. I also consider possible analogues of Kazhdan-Lusztig polynomials.

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Es wird die Theorie der generischen pro-$p$ Hecke-Algebren und ihrer Bernstein-Abbildungen entwickelt. Für eine Unterklasse diese Algebren, der \textit{affinen} pro-$p$ Hecke-Algebren wird ein Struktursatz bewiesen, nachdem diese Algebren unter anderem stets noethersch sind, wenn es der Koeffizientenring ist. Hilfsmittel ist dabei der Nachweis der Bernsteinrelationen, der in abstrakter Weise geführt wird und so die bestehende Theorie verallgemeinert. Ferner wird der top. Raum der Orientierungen einer Coxetergruppe eingeführt und im Falle der erweiterten modularen Gruppe $\operatorname{PGL}_2(\mathds{Z})$ untersucht, und ausgenutzt um Kenntnisse über die Struktur der zugehörigen Hecke-Algebra als Modul über einer gewissen Unteralgebra, welche zur Spitze im Unendlichen zugeordnet ist, zu erlangen. Schließlich wird die Frage des Zerfallens des Normalisators eines maximalen zerfallenden Torus innerhalb einer zerfallenden reduktiven Gruppe als Erweiterung der Weylgruppe durch die Gruppe der rationalen Punkte des Torus untersucht, und mittels zuvor erreichter Ergebnisse auf eine kohomologische Frage zurückgeführt. Zur Teilbeantwortung dieser werden dann die Kohomologiegruppen bis zur Dimension drei der Kocharaktergitter der fasteinfachen halbeinfachen Wurzeldaten einschließlich des Rangs 8 berechnet. Mittels der Theorie der $\mathbf{FI}$-Moduln wird daraus die Berechnung der Kohomologie der mod-2-Reduktion der Kowurzelgitter für den Typ $A$ in allen Rängen bewiesen. / The theory of generic pro-$p$ Hecke algebras and their Bernstein maps is developed. For a certain subclass, the \textit{affine} pro-$p$ Hecke algebras, we are able to prove a structure theorem that in particular shows that the latter algebras are always noetherian if the ring of coefficients is. The crucial technical tool are the Bernstein relations, which are proven in an abstract way that generalizes the known cases. Moreover, the topological space of orientations is introduced and studied in the case of the extended modular group $\operatorname{PGL}_2(\mathds{Z})$, and used to determine the structure of its Hecke algebra as a module over a certain subalgebra, attached to the cusp at infinity. Finally, the question of the splitness of the normalizer of a maximal split torus inside a split reductive groups as an extension of the Weyl group by the group of rational points is studied. Using results obtained previously, this questioned is then reduced to a cohomological one. A partial answer to this question is obtained via computer calculations of the cohomology groups of the cocharacter lattices of all almost-simple semisimple root data of rank up to $8$. Using the theory of $\mathbf{FI}$-modules, these computations are used to determine the cohomology of the mod 2 reduction of the coroot lattices for type $A$ and all ranks.

L'ordre faible sur un groupe de Coxeter W est un ordre partiel sur les éléments de W, intervenant dans de nombreux domaines de la combinatoire algébrique. Dans cette thèse, on propose un nouveau modèle général pour l'étude de cet ordre ainsi que d'autres ensembles ordonnés affiliés, et on explore diverses conséquences aussi bien algébriques que combinatoires de cette construction. On commence, dans le chapitre 3, par étudier une version restreinte de ce modèle. Plus précisément, on explique comment on peut associer un ensemble ordonné (aussi appelé « poset » à tout graphe orienté, simple, acyclique et muni d'une valutation sur ses sommets (aussi appelé « graphe valué »). On montre ensuite que ces posets sont en général des semi-treillis inférieurs, des treillis quand le graphe est fini, et on donne une formule explicite pour les valeurs de leurs fonctions de Möbius. On prouve ensuite que l'ordre faible sur les groupes de Coxeter de type A, B et A, le « flag weak order », ainsi que le treillis des idéaux supérieurs et inférieurs de tout poset fini peuvent être décrit avec notre modèle. Cette description amène naturellement à associer une série quasi-symétrique à chaque élément de An et An et on montre que cette série est en fait la série de Stanley associée. On présente dans le chapitre 4 les résultats centraux de la thèse, en effet on y introduit la généralisation de la construction faite au chapitre précédent au cas de tout graphe valué, c'est-à-dire sans condition s'acyclicité et de simplicité. On s'affranchit également de certaines contraintes imposées par la définition du chapitre 3, ce qui nous permet d'associer à tout graphe valué un treillis complet, et non plus un semi-treillis. En particulier, les semi-treillis du chapitre 3 se retrouvent naturellement plongés dans un treillis complet. Ceci nous amène à nous intéresser à des conjectures de Dyer portant sur l'étude d'une extension de l'ordre faible sur tout groupe de Coxeter (entre autres, il est conjecturé que ces extensions sont des treillis complets). On construit alors, à l'aide de notre formalisme, des extensions de l'ordre faible ayant beaucoup des propriétés conjecturalement attachées aux extensions de Dyer, et contenant ces dernières comme sous-poset. On conjecture que l'une de ces extensions coïncide avec celle de Dyer, et on fournit des outils pour le tester. Finalement, on étudie diverses conséquences de notre théorie : la construction d'extensions des semi-treillis cambriens (fin du chapitre 4), la construction d'un nouveau modèle combinatoire pour le treillis de Tamari et m-Tamari (chapitre 5), et enfin on propose une application à la combinatoire des tableaux (chapitre 6) / Weak order on a Coxeter group W is a partial order on W appearing in many areas of algebraic combinatorics. In this thesis, we propose a new general model for the study of the weak order and other related partially ordered sets (also called “posets”) and we explore various algebraic and combinatorial consequences of this construction. We begin with studying a restricted version of this model in Chapter 3. More precisely, we explain how one can associate a poset to any simple acyclic digraph together with a valuation on its vertices (also called “valued digraph”). We then prove that these posets are complete meet semi-lattices in general, complete lattices when the underlying digraph is finite, and we give an explicit formula to compute the value of their Möbius functions. Then, we show that the weak order on Coxeter groups of type A, B and A, the flag weak order, and the up-set (resp. down-set) lattices of any finite poset can be described within this theory. This description naturally leads to associate a quasi-symmetric function to any element of An And An, and we demonstrate that this function is in fact the corresponding Stanley symmetric function. In Chapter 4 we introduce the main results of this thesis. Indeed, we introduce in this chapter the generalization of the construction made in Chapter 3 to the case of any valued digraph, that is without the simplicity and acyclicity condition. Furthermore, this new definition allows us to get rid of some constraints of the definition of Chapter 3, allowing us to associate a complete lattice to each valued digraph. In particular, the meet semi-lattices of Chapter 3 are naturally extended into complete lattices. This leads us to the study of some conjectures of Dyer about the properties of an extension of the weak order having a lot of the properties conjecturally attached to Dyer’s extensions, and we prove that each one of our extensions contains Dyer’s extension as a sub-poset. We make the conjecture that one of this extension coincide with the one of Dyer, and we provide tools in order to test this conjecture. Finally, we study various consequences of out theory : we provide extensions of Cambrian semi-lattices into complete lattices (end of Chapter 4), we construct a new combinatorial model for Tamari and m-Tamari lattices (Chapter 5), and we finish with an application to tableaux combinatorics (Chapter 6)

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Cette thèse est consacrée à l'étude du groupe d'automorphismes de groupes agissant sur des arbres d'une part, et du rang des groupes de Coxeter d'autre part.<p><p>Via la théorie de Bass-Serre, un groupe agissant sur un arbre est doté d'une structure algébrique particulière, généralisant produits amalgamés et extensions HNN. Le groupe est en fait déterminé par certaines données combinatoires découlant de cette action, appelées graphes de groupes. <p><p>Un cas particulier de cette situation est celle d'un produit libre. Une présentation du groupe d'automorphisme d'un produit libre d'un nombre fini de groupes librement indécomposables en termes de présentation des facteurs et de leurs groupes d'automorphismes a été donnée par Fouxe-Rabinovich. Il découle de son travail que si les facteurs et leurs groupes d'automorphismes sont de présentation finie, alors le groupe d'automorphisme du produit libre est de présentation finie. Une première partie de cette thèse donne une nouvelle preuve de ce résultat, se basant sur le langage des actions de groupes sur les arbres.<p><p>Un groupe accessible est un groupe de type fini déterminé par un graphe de groupe fini dont les groupes d'arêtes sont finis et les groupes de sommets ont au plus un bout, c'est-à-dire qu'ils ne se décomposent pas en produit amalgamé ni en extension HNN sur un groupe fini. L'étude du groupe d'automorphisme d'un groupe accessible est ramenée à l'étude de groupes d'automorphismes de produits libres, de groupes de twists de Dehn et de groupes d'automorphismes relatifs des groupes de sommets. En particulier, on déduit un critère naturel pour que le groupe d'automorphismes d'un groupe accessible soit de présentation finie, et on donne une caractérisation des groupes accessibles dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Appliqués aux groupes hyperboliques de Gromov, ces résultats permettent d'affirmer que le groupe d'automorphismes d'un groupe hyperbolique est de présentation finie, et donnent une caractérisation précise des groupes hyperboliques dont le groupe d'automorphisme externe est fini.<p><p>Enfin, on étudie le rang des groupes de Coxeter, c'est-à-dire le cardinal minimal d'un ensemble générateur pour un groupe de Coxeter donné. Plus précisément, on montre que si les composantes de la matrice de Coxeter déterminant un groupe de Coxeter sont suffisamment grandes, alors l'ensemble générateur standard est de cardinal minimal parmi tous les ensembles générateurs. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse porte sur trois problèmes en combinatoire algébrique effective et algorithmique.Les premières parties proposent une approche alternative aux bases de Gröbner pour le calcul des invariants secondaires des groupes de permutations, par évaluation en des points choisis de manière appropriée. Cette méthode permet de tirer parti des symétries du problème pour confiner les calculs dans un quotient de petite dimension, et ainsi d'obtenir un meilleur contrôle de la complexité algorithmique, en particulier pour les groupes de grande taille. L'étude théorique est illustrée par de nombreux bancs d'essais utilisant une implantation fine des algorithmes. Un prérequis important est la génération efficace de vecteurs d'entiers modulo l'action d'un groupe de permutation, dont l'algorithmique fait l'objet d'une partie préliminaire.La quatrième partie cherche à déterminer, pour un certain quotient naturel d'une algèbre de Hecke affine, quelles spécialisations des paramètres aux racines de l'unité donne un comportement non générique.Finalement, la dernière partie présente une conjecture sur la structure d'une certaine $q$-déformation des polynômes harmoniques diagonaux en plusieurs paquets de variables pour la famille infinie de groupes de réflexions complexes.Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et font l'objet de multiples contributions au logiciel Sage. / This thesis concerns algorithmic approaches to three challenging problems in computational algebraic combinatorics.The firsts parts propose a Gröbner basis free approach for calculating the secondary invariants of a finite permutation group, proceeding by using evaluation at appropriately chosen points. This approach allows for exploiting the symmetries to confine the calculations into a smaller quotient space, which gives a tighter control on the algorithmic complexity, especially for large groups. The theoretical study is illustrated by extensive benchmarks using a fine implementation of algorithms. An important prerequisite is the generation of integer vectors modulo the action of a permutation group, whose algorithmic constitute a preliminary part of the thesis.The fourth part of this thesis is determining for a certain interesting quotient of an affine Hecke algebra exactly which root-of-unity specialization of its parameter lead to non-generic behavior.Finally, the last part presents a conjecture on the structure of certain q-deformed diagonal harmonics in many sets of variables for the infinite family of complex reflection groups.All chapters proceed widely by computer exploration, and most of established algorithms constitute contributions of the software Sage.