Un microsystème électromécanique (MEMS – Micro Electro-Mechanical Systems) est une structure qui intègre un ou plusieurs éléments mécaniques réalisant la fonction de capteur ou d’actionneur à l’échelle du micron. Jusqu’au milieu des années 1990, les MEMS étaient réservés à des applications spécifiques, notamment dans les domaines spatiales et aéronautiques. Depuis une décennie, ces microsystèmes connaissent un essor important dans de nombreux secteurs grand public comme l’automobile, l’informatique ou encore les télécommunications. La conception et l’évaluation des performances de ces microsystèmes nécessitent des outils de modélisation robustes et fiables. Ainsi, les présents travaux de recherche ont pour objectif la modélisation, déterministe et stochastique, de MEMS à actionnement électrostatique pour le calcul spécifique du « phénomène de collage électrostatique » (pull-in phenomenon).Les différentes approches de modélisation associant les deux physiques mises en jeu, à savoir les comportements électrostatique et élastique, sont investiguées. La présentation des résultats, sur deux cas types de poutres issues de MEMS électrostatiques, suit une approche didactique, allant du modèle le moins précis (analytique) vers le modèle le plus fin (éléments finis). Elle permet ainsi de mettre en évidence les effets prédominants, notamment la déformation des parties mobiles et les effets de bord. Enfin, afin de tenir compte des incertitudes sur la géométrie et les matériaux, une étude stochastique, à l’aide d’approches non intrusives de types Monte Carlo et décomposition en chaos polynomial, est également effectuée pour le calcul de la tension de collage d’un dispositif MEMS. / MEMS are micro-structures integrating one or several mechanical elements performing as transducers or actuators. Until the mid 90s, MEMS technology was exclusively dedicated to aerospace and aeronautical applications. In the last decade, these microsystems have known a real boom, spreading in specific consumer applications like automotive, IT and telecommunications. The design and performance analysis of MEMS requires reliable and robust simulation tools. Thereby, the presented works, aim at the deterministic and stochastic modelling of electrostatic MEMS, focusing on the well known pull-in phenomenon.The different modelling approaches describing the electrostatic, elastic and the coupled electromechanical behaviours are investigated. The results are illustrated on two beam-like typical structures, following a didactic approach, from the simplest model (analytical) towards the most precise (Finite Element), emphasizing the predominant effects, like the deformation of the active parts and fringing fields.Furthermore, in order to take into account the uncertainties on the geometry or the material properties, a stochastic analysis is also done, using non intrusive approaches, as Monte-Carlo method and the polynomial chaos decomposition approach, for the determination of the pull-in voltage of a MEMS device.

Pour certaines classes de matériaux de structure, la taille du Volume Elémentaire Représentatif peut être très supérieure à celle du domaine usuellement considéré pour une caractérisation expérimentale. Le tenseur d'èlasticité du milieu présente alors des fluctuations spatiales et statistiques qu'il convient de modéliser par un champ aléatoire. Le travail de thèse a consisté en la construction, l'identification expérimentale et la mise en œuvre d'un modèle probabiliste du champ aléatoire du tenseur d'élasticité à l'échelle mésoscopique. Pour ce faire, deux approches sont privilégiées La première est basée sur la construction d'un modèle probabiliste associé à la fraction volumique aléatoire mésoscopique, combiné à un schéma d'homogénéisation. Une analyse expérimentale par ultrasons est réalisée sur un matériau modèle et permet, à l'aide de la résolution numérique d'un problème inverse, d'obtenir les trajectoires du champ. L'identification des paramètres du modèle est ensuite effectuée en s'appuyant sur le Principe du Maximum de Vraisemblance. La seconde approche porte sur l'identification et la mise en œuvre d'un modéle probabiliste direct du champ aléatoire du tenseur d'élasticité, proposé dans la littérature. Les paramètres du modèle sont déterminés grâce à la caractérisation ultrasonore, via la résolution d'un problème d'optimisation. Les deux approches fournissent des estimations semblables pour les longueurs de corrélation spatiale du champ aléatoire et valident le choix de l'échelle d'analyse mésoscopique. Enfin, une analyse de convergence probabiliste permet de discuter de la taille du VER en fonction des longueurs de corrélation spatiale du champ mésoscopique. / For sorne classes of materials, the size of the Representative Volume Element can be much larger than the one of the domain typically used in experimental testing. The elasticity tensor of such media then exhibits both spatial and statistical fluctuations and has to be modelled as a random field. This thesis is dedicated to the construction, experimental identification and use of a probabilistic model of the random elasticity tensor at mesoscale. For this purpose, two kinds of approaches are considered. The first one is based on the construction of a probabilistic model for the mesoscopic volume fraction, combined to a homogenization scheme. An ultrasound experimental analysis is performed on a model material and allows the experimental trajectories of the random field to be identified by solving an inverse problem. The identification of the parameters is carried out by using the Maximum Likelihood Principle. The second approach is focused on the identification and use of a probabilistic model for the elasticity tensor random field that was recently proposed in the literature. The parameters of the model are computed by combining the ultrasound results with an optimization problem. Both approaches yield similar predictions of the spatial correlation lengths of the mesoscopic random field and validate the choice of the scale for the mesoscopic analysis. Finally, a probabilistic convergence analysis is performed and allows one to discuss the size of the RVE in terms of the correlation lengths of the mesoscopic random field.

La quantification d’incertitudes est une démarche consistant à prendre en compte les incertitudes des coefficients caractéristiques (matériaux, géométries, sources ...) d’un modèle mathématique en vue d’estimer l’effet de ces méconnaissances sur les grandeurs physiques recherchées. Dans ce travail de thèse, nous nous sommes intéressés aux approches probabilistes de propagation d’incertitudes portées par les lois de comportement (perméabilités et conductivités) aux sein de modèles éléments finis de l’électromagnétisme quasi-statique de taille industrielle. Cette thèse vise à comparer les deux approches spectrales NISP et SSFEM qui sont basées sur une représentation fonctionnelle dans le chaos polynomial des grandeurs d’intérêt aléatoires. Cette étude de comparaison est effectuée en terme de précision numérique et de coût de calcul, et pour des grandeurs d’intérêt scalaires et vectorielles complexes. Les applications numériques nous ont montré que la SSFEM peut être assez compétitive par rapport à la NISP pour des problèmes probabilistes à grandes dimensions stochastiques. Il en résulte que celle-ci est la méthode de prédilection pour l’étude des systèmes électromagnétiques dont les lois de comportement des matériaux sont aléatoires. Enfin, les deux méthodes spectrales ont été appliquées sur un problème de détection de bouchage par la magnétite des plaques entretoises des générateurs de vapeur d’une centrale nucléaire. Dans cette étude probabiliste, nous nous sommes attelés à quantifier la contribution des incertitudes, subsistant dans les conductivités et perméabilités de la magnétite et de la plaque, à la variabilité des signaux et du ratio SAX. / The uncertainty quantification technique aims to quantify the effect of uncertainties of input parameters of numerical models, e.g. material, geometry, source terms, on the quantity of interest. In this thesis, we focus on probabilistic approaches in order to spread uncertainties of magnetic and electric behavior laws over large scale electromagnetic finite element models. The main objective of this work is to compare two spectral stochastic methods (Non Intrusive Spectral Projection (NISP) and Spectral Stochastic Finite Element Method (SSFEM)), which are based on chaos polynomial representation of the random quantities. The comparison between the NISP and the SSFEM is carried out by confronting the computational costs and the precision when scalar and vector complex quantities of interest are computed. The numerical applications show that the SSFEM method become as competitive as the NISP method in terms of computational cost when solving probabilistic problems with large number of random parameters. Thus, the SSFEM method is chosen as the best adapted to solve electromagnetic problems when the behavior laws are random. In fact, the NISP method is inappropriate to compute vector complex quantities when equipped with adaptive sparse grid procedures. Finally, the NISP and SSFEM methods are used to study the clogging of the Tube Support Plate (TSP) of steam generators of nuclear power plants. The effect of uncertainties of the permeability and the conductivity of the TSP and the magnetite (clogging product) on the control signal and the SAX ratio is investigated.

Les matériaux composites à matrice organique sont de plus en plus utilisés dans divers domaines tels que l'aérospatiale ou les énergies marines renouvelables en raison de leurs excellentes propriétés spécifiques. Cependant, les procédés de fabrication des structures composites sont complexes et peuvent conduire à l'apparition de défauts, en particulier de plissement des plis et de porosité, qui affectent les propriétés mécaniques de la structure. Les pièces composites sont ainsi systématiquement soumises à des contrôles CND long et coûteux. En cas de résultats négatifs par rapport à des critères conservatifs, celles-ci peuvent être rejetées, avec des conséquences économiques non négligeables. L'objectif de cette étude est de quantifier l'impact des défauts observés et des incertitudes associées sur le comportement de pièce composite. Dans ce travail, nous adoptons une vision paramétrique des incertitudes consistant à représenter le contenu probabiliste à travers d’un ensemble fini de variables aléatoires. Nous nous concentrons sur la propagation des incertitudes basée sur des méthodes stochastiques spectrales. L'étude portant sur le défaut de porosités se fait à l’échelle microscopique puis macroscopique. Les paramètres aléatoires d'entrée sont liés à la géométrie des porosités et à leur taux. L'étude du défaut plissements à l'échelle mésoscopique est basée sur une représentation paramétrique de la géométrie du plissement. Les paramètres aléatoires d'entrée représentent alors la forme et la taille de ces défauts. Il est donc possible d'analyser l'impact de ces défauts à l'échelle structurelle par des grandeurs mécaniques classiques et des critères de rupture. / Composite materials are increasingly used in various fields such as aerospace or renewable marine energies due to their excellent specific properties. However, the manufacturing processes of the composite structures are complex, which can lead to the appearance of defects, particularly wrinkles and porosities, which affect the mechanical properties of the structure. Based on conservative criteria, a system of non-destructive testing of composite parts thus makes it possible to judge their conformity. In case of non-conformity, those components are rejected, with non-negligible economic consequences. The objective of this study is to quantify the impact of the defects and associated uncertainties on the behavior of composite parts. In this work, we adopt a parametric vision of the uncertainties consisting in representing the probabilistic content through a finite set of random variables. We focus on the propagation of uncertainties based on spectral stochastic methods. The study involving porosity is done at the micro-scale and then at the macro-scale. The random input parameters are related to the geometry of the porosities and their rates. The study of the wrinkle defect, done at the mesoscopic scale, is based on a parametric representation of the geometry of the wrinkle. The random input parameters then represent the shape and size of this defect. It is therefore possible to analyze the impact of these two manufacturing defects at a structural scale through classical mechanical quantities and check the failure of the structure with failure criteria.

La méthode des éléments finis stochastiques (MEFS) a été développée pour modéliser l'aléa sous la forme de variables aléatoires de type quelconque dans le cadre de la mécanique linéaire élastique. Elle consiste à écrire les composantes de la réponse aléatoire du système sous la forme d'une série polynomiale de variables aléatoires (baptisée chaos polynomial), dont les coefficients sont obtenus par une méthode de type Galerkin. Le champ d'application de cette méthode étant limité, de nouvelles méthodes, dites non intrusives, permettant le calcul du développement de la réponse dans la base du chaos polynomial ont été recherchées.<br />Les méthodes MEFS et non intrusive ont été testées et comparées sur des exemples de mécanique élastique linéaire. Enfin les approches non intrusives ont été utilisées dans un cas de mécanique de la rupture non linéaire.

La caractérisation des incertitudes est un enjeu essentiel qui permet une conception fiable des structures. Par ailleurs, la surveillance du phénomène de vieillissement est primordiale pour l'inspection et la prévention des risques. Ces deux enjeux peuvent être étudiés simultanément dans une analyse de fiabilité dépendante du temps. Toutefois, une telle analyse est souvent complexe et très couteuse en temps de calcul parce qu'elle demande plusieurs évaluations du modèle physique décrivant la performance de la structure. Dans ce contexte, on propose l'utilisation de la métamodélisation pour l'analyse de fiabilité dépendante du temps, concept largement exploré dans le cas de problèmes indépendants du temps. Ceci consiste à remplacer le modèle physique par un métamodèle analytique facile à évaluer de sorte que la méthode de simulation de Monte-Carlo peut être utilisée à coût de calcul réduit. D'autres problèmes sont liés aussi à ce type d'analyse, notamment la grande dimensionnalité du problème, la non Gaussianité et non stationnarité des processus stochastiques mis en jeu et la non linéarité de la fonction d'état limite. La thèse vise alors à proposer des méthodes précises mais aussi efficaces pour l'analyse de fiabilité dépendant du temps qui permettent de surmonter ces difficultés. Elle propose également une extension de ces méthodes au problème de conception fiabiliste dépendant du temps. / Uncertainty quantification is essential for designing reliable structures. Moreover, monitoring the aging process is of vital importance for the inspection and prevention of risks. These two aspects may be considered simultaneously throughout a time-variant reliability analysis. However, such analysis is in general complex and very time consuming because it requires numerous evaluations of the mechanical model describing the structural behavior. To overcome this issue, we propose to use the metamodeling approach that has been widely explored in the context of the probabilistic analysis, for time-variant reliability problems. This consists in replacing the mechanical model with a simple analytical function that is easy to evaluate and on which Monte-Carlo simulation can be performed at a low computational cost. Other challenges also encounter this analysis and are basically related to the high dimensionality of the problem, the non Gaussianity and non stationarity of the input stochastic processes and the non linearity of the limit state function. The thesis aims then to develop accurate and efficient approaches for time-variant reliability analysis that overcome the aforementioned difficulties. It also proposes to extend these methods to the field of time-variant reliability-based design optimization.

Les exigences de sécurité dans le domaine aéronautique imposent de tenir compte des diverses incertitudes affectant les structures, notamment la variabilité matériau. Malgré son essor la simulation numérique considère actuellement cette problématique de façon simplifiée, par exemple en usant d'abattements sur les valeurs de propriétés utilisées dans les calculs. Mais l'emploi accru des matériaux composites, par nature plus sensibles aux incertitudes, demande l'introduction de méthodes plus précises afin d'assurer une meilleure robustesse du dimensionnement. Pour cela, il a été développé une nouvelle démarche dite d'Analyse de Variabilité respectant certaines contraintes de la simulation numérique telle l'indépendance vis-à-vis du code de calcul (non-intrusivité) et la parcimonie des calculs. Face à la grande diversité des techniques de transport d'incertitudes, le choix a été fait de construire une démarche en s'appuyant sur les techniques de surfaces de réponses. Afin d'exploiter au mieux les diverses formes retenues (polynômes en les paramètres incertains, chaos polynomial, krigeage) pour construire l'approximation, la démarche a été rendue progressive. Des méthodes de validation croisée (leave-k-out, bootstrap) ont été utilisées pour évaluer la qualité de l'approximation. Ainsi, il est possible d'afficher une estimation des effets des incertitudes (par exemple sous la forme de barres d'erreur) mais également de quantifier la confiance dans cette estimation. La validation de la démarche s'est tout d'abord appuyée sur des exemples mathématiques, puis sur des situations mécaniques simples et analytiques. Les résultats obtenus montrent notamment une bonne cohérence vis-à-vis des simulations de Monte-Carlo pour un coût de calcul nettement inférieur. Les incertitudes considérées portent aussi bien sur des paramètres géométriques que matériau, avec notamment des caractéristiques propres aux composites (angles d'empilement, épaisseur des plis). L'application de la démarche à divers exemples (plaque multiperforée, assemblage boulonné,...) de calcul de structures par la méthode des éléments finis a souligné son applicabilité pour un surcoût de calcul raisonnable. Pour finir, le problème de la réduction des effets des incertitudes a été abordé sous des angles classiques comme la réduction des incertitudes d'entrée ou l'amélioration de la qualité des modèles utilisés. Enfin, une méthode plus originale, dite de consolidation de bases de données, utilisant les corrélations entre paramètres mesurés aux diverses échelles des composites a été proposée.

Dans le cadre de la présente thèse, on a procédé à l’étude du comportement dynamique d’un système d’engrenage comportant des paramètres incertains. Une des principales hypothèses faite dans l’utilisation des méthodes de prise en compte des incertitudes, est que le modèle est déterministe, c’est-à-dire que les paramètres utilisés dans le modèle ont une valeur définie et invariante. Par ailleurs, la connaissance du domaine de variation de la réponse dynamique du système dues aux incertitudes qui découle des coefficients d’amortissement, des raideurs d’engrènement, la présence de frottement entre les pièces, les défauts de montage et de fabrication ou l’inertie des pales dans le cas d’éolienne est essentielle. Pour cela, dans la première partie, on s’applique à décrire la réponse dynamique d’une transmission par engrenage comportant des paramètres modélisés par des variables aléatoires. Pour ce faire, nous utilisons la simulation de Monte Carlo, la méthode de perturbation et la méthode de projection sur un chaos polynomial. Dans la seconde partie,deux approches sont utilisées pour analyser le comportement dynamique d’un système d’engrenage d’éolienne : l’approche probabiliste et l’approche ensembliste basée sur la méthode d’analyse par intervalles. L'objectif consiste à comparer les deux approches pour connaitre leurs avantages et inconvénients en termes de précision et temps de calcul. / In the present work, the dynamic behavior of a gear system with uncertain parameters is studied. One of the principal hypotheses in the use of methods for taking into account uncertainties is that the model is deterministic, that is to say that parameters used in the model have a defined and fixed value. Furthermore, the knowledge of variation response of a gear system involving damping coefficients, mesh stiffness, friction coefficient, assembly defect, manufacturing defect or the input blades in the case of wind turbine is essential. In the first part, we investigate the dynamic response of a gear system with uncertain parameters modeled as random variables. A Monte Carlo simulation, a perturbation method and a polynomial chaos method are carried out. In the second part, two approaches are used to analyze the dynamic behavior of a wind turbine gear system : the probabilistic approach and the interval analysis method. The objective is to compare the two approaches to define their advantages and disadvantages in terms of precision and computation time.

Cette thèse s'insère dans le contexte général de la propagation d'incertitudes et de l'analyse de sensibilité de modèles de simulation numérique, en vue d'applications industrielles. Son objectif est d'effectuer de telles études en minimisant le nombre d'évaluations du modèle, potentiellement coûteuses. Le présent travail repose sur une approximation de la réponse du modèle sur la base du chaos polynomial(CP), qui permet de réaliser des post-traitements à un coût de calcul négligeable. Toutefois, l'ajustement du CP peut nécessiter un nombre conséquent d'appels au modèle si ce dernier dépend d'un nombre élevé de paramètres (e.g. supérieur à 10). Pour contourner ce problème, on propose deux algorithmes pour ne sélectionner qu'un faible nombre de termes importants dans la représentation par CP, à savoir une procédure de régression pas-à-pas et une procédure basée sur la méthode de Least Angle Regression (LAR). Le faible nombre de coefficients associés aux CP creux obtenus peuvent ainsi être déterminés à partir d'un nombre réduit d'évaluations du modèle. Les méthodes sont validées sur des cas-tests académiques de mécanique, puis appliquées sur le cas industriel de l'analyse d'intégrité d'une cuve de réacteur à eau pressurisée. Les résultats obtenus confirment l'efficacité des méthodes proposées pour traiter les problèmes de propagation d'incertitudes et d'analyse de sensibilité en grande dimension.

En électromagnétisme, dans la plupart des modèles numériques, déterministes, résolvant les équations de Maxwell, toutes les données d'entrée sont supposées parfaitement connues. Cependant la géométrie et les caractéristiques des matériaux peuvent présenter des incertitudes (vieillissement...). Nous cherchons alors à propager les incertitudes des données d'entrée vers les paramètres de sorties. Un modèle numérique probabiliste paraît alors plus adapté qu'un modèle numérique déterministe. Un certain nombre de méthodes ont été proposé en génie mécanique, très peu en électromagnétisme. La méthode de simulation de Monte Carlo est simple et robuste mais coûteuse en temps de calcul. On trouve aussi la méthode de perturbation où le champ inconnu est développé en série de Taylor autour de sa moyenne. Cette méthode permet de calculer la moyenne et la variance du champ de sortie assez simplement, mais pour les moments d'ordre supérieur, la généralisation semble complexe et coûteuse en temps de calcul. La méthode de développement en série de Neumann consiste à développer l'opérateur en série, mais la convergence semble lente. Il existe aussi des méthodes basées sur des développements des paramètres de sorties dans le chaos polynomial de Hermite. Ces méthodes sont basées sur une discrétisation de la dimension spatiale et de la dimension aléatoire. Ces méthodes peuvent être séparées en deux familles. La première, introduite par R.G. Ghanem, est dite intrusive car elle nécessite des modifications profondes du code éléments finis, elle est appelée Spectral Stochastic Finite Element Method (SSFEM) et elle peut être vue comme une généralisation de la méthode de Galerkin, la seconde est dite non intrusive car le code éléments finis n'est vu que comme une boite noire. Dans la thèse, nous présenterons la méthode de Monte Carlo, et nous étudierons la SSFEM et une classe particulière de méthode non intrusive : la méthode de projection sur le chaos polynomial de Hermite dans le cas de l'électrocinétique où les conductivités seront supposées être des variables aléatoires par morceaux. Dans ce cadre les conductivités peuvent être développées en polynômes de Hermite, nous étudierons l'effet de la troncature sur les résultats. Finalement, une méthode pour calculer des grandeurs globales, comme le courant sera présentée et utilisée pour l'étude d'un cas industriel : un manchon de câble électrique à haute tension. Mots-clés: électromagnétisme numérique, quantification des incertitudes, chaos polynomial, éléments finis stochastiques, méthode non intrusive de projection, calcul de grandeur globale.