L'étude et l'introduction de nouveaux systèmes dynamiques<br /> de type gradient sont l'objet central de cette thèse. Le<br /> caractère dissipatif de telles dynamiques est au coeur de<br /> nombreux domaines en mathématiques : optimisation,<br /> mécanique, équations d'évolutions en dimension infinie.<br /><br />Dans une première partie, les champs de gradients (ou de sous-différentiels<br /> de fonction convexe) sont contrôlés à l'aide d'opérateurs-barrières. <br />La motivation essentielle est d'obtenir<br /> des méthodes intérieures de descente en vue d'optimiser<br /> une fonction sous des contraintes convexes. Le cadre<br /> d'étude proposé permet d'unifier dans un même formalisme de nombreuses<br /> méthodes continues : gradient projeté, plus grande pente riemannienne,<br /> méthode continue de Newton... Parmi les conséquences de <br />la généralisation proposée, on peut, par exemple, évoquer des <br /> résultats abstraits de viabilité et de convergence globale. Toujours <br />dans cette <br />perspective, les fonctions de Legendre jouent un rôle crucial~:<br /> elles permettent d'une part de donner lieu à des structures<br /> riemanniennes possédant de nombreuses propriétés - parmi lesquelles une<br /> propriété d'intégration caractéristique remarquable -, et d'autre part, <br /> elles fournissent en dimension infinie un cadre intéressant<br /> pour l'étude de certaines équations d'évolution de type<br /> parabolique.<br /><br />La deuxième partie est consacrée à l'étude de systèmes<br /> dynamiques du second ordre en temps avec une dissipation géométrique<br /> de type hessien. Outre leur intérêt en optimisation<br /> et leurs liens avec les méthodes de type Newton, ces systèmes<br /> sont d'une grande souplesse et permettent d'approcher certains <br />phénomènes non-lisses en mécanique unilatérale. En guise d'application,<br /> il est en effet prouvé que les systèmes considérés permettent <br />d'obtenir à la limite des dynamiques <br />satisfaisant des lois de chocs inélastiques. Les<br /> perspectives de cette étude ouvrent en particulier la voie à une approche <br />alternative de certains systèmes d'inégalités variationnelles de type <br />hyperbolique.<br /><br /><br />L'une des préoccupations majeures de cette thèse est la question<br /> de la convergence des orbites des systèmes étudiés. Dans le <br /> cadre de la minimisation convexe, quasi-convexe, ou analytique, de nombreux<br /> résultats sont proposés : convergence globale, , <br />vitesse de convergence, contrôle asymptotique, attractivité des <br /> minima sous contraintes en dimension infinie.

On s'intéresse à la modélisation des matériaux granulaires composé d'agrégats non convexes et cohésifs en vue d'application à la rhéologie des poudres d'UO2 . L'influence du degré de non-convexité des particules est analysé en termes de grandeurs macroscopiques (frottement interne et cohésion de Coulomb) et de paramètres micro-mécaniques tels que l'anisotropie de la texture et la transmission des efforts. Il apparaît en particulier que la compacité évolue d'une manière complexe avec la non-convexité et que la résistance au cisaillement augmente mais sature sous l'effet d'imbrication entre agrégats. Des modèles simples sont introduits pour décrire ces comportements en termes de paramètres micro-mécaniques. De même, des études systématiques par cisaillement, compaction uniaxiale et compression simple montrent que la cohésion interne augmente avec la non-convexité mais est fortement contrôlée par les conditions aux limites et l'apparition de bandes de cisaillement ou de concentrations de contraintes.

Pour faire face aux mutations du paysage énergétique, les réseaux de distribution d'électricité sont soumis à des exigences de fonctionnement avec des indices de fiabilité à garantir. Dans les années à venir, de grands investissements sont prévus pour la construction des réseaux électriques flexibles, cohérents et efficaces, basés sur de nouvelles architectures et des solutions techniques innovantes, adaptatifs à l'essor des énergies renouvelables. En prenant en compte ces besoins industriels sur le développement des réseaux de distribution du futur, nous proposons, dans cette thèse, une approche reposant sur la théorie des graphes et l'optimisation combinatoire pour la conception de nouvelles architectures pour les réseaux de distribution. Notre démarche consiste à étudier le problème général de recherche d'une architecture optimale qui respecte l'ensemble de contraintes topologiques (redondance) et électrotechniques (courant maximal, plan de tension) selon des critères d'optimisation bien précis : minimisation du coût d'exploitation (OPEX) et minimisation de l'investissement (CAPEX). Ainsi donc, les deux familles des problèmes combinatoires (et leurs relaxations) ont été explorées pour proposer des résolutions efficaces (exactes ou approchées) du problème de planification des réseaux de distribution en utilisant une formulation adaptée. Nous nous sommes intéressés particulièrement aux graphes 2-connexes et au problème de flot arborescent avec pertes quadratiques minimales. Les résultats comparatifs de tests sur les instances de réseaux (fictifs et réels) pour les méthodes proposées ont été présentés. / To cope with the changes in the energy landscape, electrical distribution networks are submitted to operational requirements in order to guarantee reliability indices. In the coming years, big investments are planned for the construction of flexible, consistent and effective electrical networks, based on the new architectures, innovative technical solutions and in response to the development of renewable energy. Taking into account the industrial needs of the development of future distribution networks, we propose in this thesis an approach based on the graph theory and combinatorial optimization for the design of new architectures for distribution networks. Our approach is to study the general problem of finding an optimal architecture which respects a set of topological (redundancy) and electrical (maximum current, voltage plan) constraints according to precise optimization criteria: minimization of operating cost (OPEX) and minimization of investment (CAPEX). Thus, the two families of combinatorial problems (and their relaxations) were explored to propose effective resolutions (exact or approximate) of the distribution network planning problem using an adapted formulation. We are particularly interested in 2-connected graphs and the arborescent flow problem with minimum quadratic losses. The comparative results of tests on the network instances (fictional and real) for the proposed methods were presented.

Les malformations artério-­‐veineuses cérébrales (MAVc) sont des pathologies vasculaires agressives présentant un risque hémorragique lourd de conséquence en terme de morbi-­‐mortalité. Les outils d’imagerie disponibles actuellement ne permettent de comprendre que difficilement leur angio-­‐ architecture. Nous avons développé dans notre travail deux outils d’imagerie permettant d’affiner la compréhension de l’anatomie des ces malformations : un algorithme de segmentation semi-­‐automatisé et un algorithme d’anamorphose sphérique convexe. Ces algorithmes ont été élaborés pour être utilisés sur les acquisitions d’angiographie rotationnelle 3D ; ils permettent de mieux visualiser la veine de drainage principale des MAVc, notamment d’identifier une sténose ou une ectasie focale sur cette veine, et également de déceler de façon plus fiable la présence d’un anévrysme intra-­‐nidal. Ces améliorations dans l’analyse de l’angio-­‐architecture des MAVc permettront vraisemblablement de réduire le risque thérapeutique pour ces malformations. En vue de tester le potentiel des agents anti-­‐angiogéniques pour le traitement des MAVc, nous avons élaboré un modèle porcin simplifié de MAVc consistant en une occlusion unilatérale d’artère carotide primitive par voie endovasculaire. La comparaison entre le volume de rete mirabile à J0 et à 3 mois et les valeurs obtenues pour un groupe témoin a montré une augmentation significative du volume du rete mirabile chez les porcs ayant eu l’occlusion carotidienne. D’autre part, une tendance nette à l’augmentation des taux de VEGF (vascular endothelial growth factor) à proximité du rete mirabile était observée dans le groupe occlusion. Enfin, des modifications anatomopathologiques proches de celles des MAVc humaines étaient visualisées sur les pièces autopsiques des rete mirabile dans le groupe occlusion. / Brain arteriovenous malformations (bAVMs) are aggressive vascular malformations presenting a haemorrhagic complication risk that may lead to severe consequences in terms of morbi-­‐mortality. Available imaging tools poorly help in understanding their angio-­‐architecture. We have developed two imaging tools improving our understanding of the anatomy of these malformations: a semi-­‐automated segmentation algorithm and a convex spherical anamorphosis algorithm. These algorithms have been elaborated for use on 3D rotational angiography acquisitions; they provide a better visualisation of the bAVMs’ main draining vein, especially for venous stenosis or for focal ectasia. They also help in depicting accurately intranidal aneurysms. These improvements in the analysis of the bAVMs’ angioarchitecure may help in reducing the therapeutic risk for these malformations. For a further testing of the potential of anti-­‐angiogenic agents for the treatment of bAVMs, we have elaborated a simplified swine AVM model consisting in the occlusion of a common carotid artery by endovascular means. The comparison between the volume of the rete mirabile at D0 and 3 months and those measured in a control group showed a significant increasing of the retia in the occlusion group. Moreover, a tendency was observed concerning an increase in VEGF (vascular endothelial growth factor) serum levels close to the rete mirabile in the occlusion group. Finally, pathological changes close to those seen in human bAVMs were observed on autopsy samples in the occlusion group.

L'objectif de cette thèse est l'étude de la représentation probabiliste des différentes classes d'EDPSs non-linéaires(semi-linéaires, complètement non-linéaires, réfléchies dans un domaine) en utilisant les équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades (EDDSRs). Cette thèse contient quatre parties différentes. Nous traitons dans la première partie les EDDSRs du second ordre (2EDDSRs). Nous montrons l'existence et l'unicité des solutions des EDDSRs en utilisant des techniques de contrôle stochastique quasi- sure. La motivation principale de cette étude est la représentation probabiliste des EDPSs complètement non-linéaires. Dans la deuxième partie, nous étudions les solutions faibles de type Sobolev du problème d'obstacle pour les équations à dérivées partielles inteégro-différentielles (EDPIDs). Plus précisément, nous montrons la formule de Feynman-Kac pour l'EDPIDs par l'intermédiaire des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec sauts (EDSRRs). Plus précisément, nous établissons l'existence et l'unicité de la solution du problème d'obstacle, qui est considérée comme un couple constitué de la solution et de la mesure de réflexion. L'approche utilisée est basée sur les techniques de flots stochastiques développées dans Bally et Matoussi (2001) mais les preuves sont beaucoup plus techniques. Dans la troisième partie, nous traitons l'existence et l'unicité pour les EDDSRRs dans un domaine convexe D sans aucune condition de régularité sur la frontière. De plus, en utilisant l'approche basée sur les techniques du flot stochastiques nous démontrons l'interprétation probabiliste de la solution faible de type Sobolev d'une classe d'EDPSs réfléchies dans un domaine convexe via les EDDSRRs. Enfin, nous nous intéressons à la résolution numérique des EDDSRs à temps terminal aléatoire. La motivation principale est de donner une représentation probabiliste des solutions de Sobolev d'EDPSs semi-linéaires avec condition de Dirichlet nul au bord. Dans cette partie, nous étudions l'approximation forte de cette classe d'EDDSRs quand le temps terminal aléatoire est le premier temps de sortie d'une EDS d'un domaine cylindrique. Ainsi, nous donnons les bornes pour l'erreur d'approximation en temps discret. Cette partie se conclut par des tests numériques qui démontrent que cette approche est effective. / The objective of this thesis is to study the probabilistic representation (Feynman-Kac for- mula) of different classes ofStochastic Nonlinear PDEs (semilinear, fully nonlinear, reflected in a domain) by means of backward doubly stochastic differential equations (BDSDEs). This thesis contains four different parts. We deal in the first part with the second order BDS- DEs (2BDSDEs). We show the existence and uniqueness of solutions of 2BDSDEs using quasi sure stochastic control technics. The main motivation of this study is the probabilistic representation for solution of fully nonlinear SPDEs. First, under regularity assumptions on the coefficients, we give a Feynman-Kac formula for classical solution of fully nonlinear SPDEs and we generalize the work of Soner, Touzi and Zhang (2010-2012) for deterministic fully nonlinear PDE. Then, under weaker assumptions on the coefficients, we prove the probabilistic representation for stochastic viscosity solution of fully nonlinear SPDEs. In the second part, we study the Sobolev solution of obstacle problem for partial integro-differentialequations (PIDEs). Specifically, we show the Feynman-Kac formula for PIDEs via reflected backward stochastic differentialequations with jumps (BSDEs). Specifically, we establish the existence and uniqueness of the solution of the obstacle problem, which is regarded as a pair consisting of the solution and the measure of reflection. The approach is based on stochastic flow technics developed in Bally and Matoussi (2001) but the proofs are more technical. In the third part, we discuss the existence and uniqueness for RBDSDEs in a convex domain D without any regularity condition on the boundary. In addition, using the approach based on the technics of stochastic flow we provide the probabilistic interpretation of Sobolev solution of a class of reflected SPDEs in a convex domain via RBDSDEs. Finally, we are interested in the numerical solution of BDSDEs with random terminal time. The main motivation is to give a probabilistic representation of Sobolev solution of semilinear SPDEs with Dirichlet null condition. In this part, we study the strong approximation of this class of BDSDEs when the random terminal time is the first exit time of an SDE from a cylindrical domain. Thus, we give bounds for the discrete-time approximation error.. We conclude this part with numerical tests showing that this approach is effective.

L'objet de cette thèse est d'étendre le cadre théorique et les méthodes numériques du transport optimal à des objets plus généraux que des mesures de probabilité. En premier lieu, nous définissons des modèles de transport optimal entre mesures positives suivant deux approches, interpolation et couplage de mesures, dont nous montrons l'équivalence. De ces modèles découle une généralisation des métriques de Wasserstein. Dans une seconde partie, nous développons des méthodes numériques pour résoudre les deux formulations et étudions en particulier une nouvelle famille d'algorithmes de "scaling", s'appliquant à une grande variété de problèmes. La troisième partie contient des illustrations ainsi que l'étude théorique et numérique, d'un flot de gradient de type Hele-Shaw dans l'espace des mesures. Pour les mesures à valeurs matricielles, nous proposons aussi un modèle de transport optimal qui permet un bon arbitrage entre fidélité géométrique et efficacité algorithmique. / This thesis generalizes optimal transport beyond the classical "balanced" setting of probability distributions. We define unbalanced optimal transport models between nonnegative measures, based either on the notion of interpolation or the notion of coupling of measures. We show relationships between these approaches. One of the outcomes of this framework is a generalization of the p-Wasserstein metrics. Secondly, we build numerical methods to solve interpolation and coupling-based models. We study, in particular, a new family of scaling algorithms that generalize Sinkhorn's algorithm. The third part deals with applications. It contains a theoretical and numerical study of a Hele-Shaw type gradient flow in the space of nonnegative measures. It also adresses the case of measures taking values in the cone of positive semi-definite matrices, for which we introduce a model that achieves a balance between geometrical accuracy and algorithmic efficiency.

Lors des dernières décennies, la Séparation Aveugle de Sources (BSS) est devenue un outil de premier plan pour le traitement de données multi-valuées. L’objectif de ce doctorat est cependant d’étudier les cas grande échelle, pour lesquels la plupart des algorithmes classiques obtiennent des performances dégradées. Ce document s’articule en quatre parties, traitant chacune un aspect du problème: i) l’introduction d’algorithmes robustes de BSS parcimonieuse ne nécessitant qu’un seul lancement (malgré un choix d’hyper-paramètres délicat) et fortement étayés mathématiquement; ii) la proposition d’une méthode permettant de maintenir une haute qualité de séparation malgré un nombre de sources important: iii) la modification d’un algorithme classique de BSS parcimonieuse pour l’application sur des données de grandes tailles; et iv) une extension au problème de BSS parcimonieuse non-linéaire. Les méthodes proposées ont été amplement testées, tant sur données simulées que réalistes, pour démontrer leur qualité. Des interprétations détaillées des résultats sont proposées. / During the last decades, Blind Source Separation (BSS) has become a key analysis tool to study multi-valued data. The objective of this thesis is however to focus on large-scale settings, for which most classical algorithms fail. More specifically, it is subdivided into four sub-problems taking their roots around the large-scale sparse BSS issue: i) introduce a mathematically sound robust sparse BSS algorithm which does not require any relaunch (despite a difficult hyper-parameter choice); ii) introduce a method being able to maintain high quality separations even when a large-number of sources needs to be estimated; iii) make a classical sparse BSS algorithm scalable to large-scale datasets; and iv) an extension to the non-linear sparse BSS problem. The methods we propose are extensively tested on both simulated and realistic experiments to demonstrate their quality. In-depth interpretations of the results are proposed.

Les familles exponentielles sont une classe de modèles omniprésente en statistique. D'une part, elle peut modéliser n'importe quel type de données. En fait la plupart des distributions communes en font partie : Gaussiennes, variables catégoriques, Poisson, Gamma, Wishart, Dirichlet. D'autre part elle est à la base des modèles linéaires généralisés (GLM), une classe de modèles fondamentale en apprentissage automatique. Enfin les mathématiques qui les sous-tendent sont souvent magnifiques, grâce à leur lien avec la dualité convexe et la transformée de Laplace. L'auteur de cette thèse a fréquemment été motivé par cette beauté. Dans cette thèse, nous faisons trois contributions à l'intersection de l'optimisation et des statistiques, qui tournent toutes autour de la famille exponentielle. La première contribution adapte et améliore un algorithme d'optimisation à variance réduite appelé ascension des coordonnées duales stochastique (SDCA), pour entraîner une classe particulière de GLM appelée champ aléatoire conditionnel (CRF). Les CRF sont un des piliers de la prédiction structurée. Les CRF étaient connus pour être difficiles à entraîner jusqu'à la découverte des technique d'optimisation à variance réduite. Notre version améliorée de SDCA obtient des performances favorables comparées à l'état de l'art antérieur et actuel. La deuxième contribution s'intéresse à la découverte causale. Les familles exponentielles sont fréquemment utilisées dans les modèles graphiques, et en particulier dans les modèles graphique causaux. Cette contribution mène l'enquête sur une conjecture spécifique qui a attiré l'attention dans de précédents travaux : les modèles causaux s'adaptent plus rapidement aux perturbations de l'environnement. Nos résultats, obtenus à partir de théorèmes d'optimisation, soutiennent cette hypothèse sous certaines conditions. Mais sous d'autre conditions, nos résultats contredisent cette hypothèse. Cela appelle à une précision de cette hypothèse, ou à une sophistication de notre notion de modèle causal. La troisième contribution s'intéresse à une propriété fondamentale des familles exponentielles. L'une des propriétés les plus séduisantes des familles exponentielles est la forme close de l'estimateur du maximum de vraisemblance (MLE), ou maximum a posteriori (MAP) pour un choix naturel de prior conjugué. Ces deux estimateurs sont utilisés presque partout, souvent sans même y penser. (Combien de fois calcule-t-on une moyenne et une variance pour des données en cloche sans penser au modèle Gaussien sous-jacent ?) Pourtant la littérature actuelle manque de résultats sur la convergence de ces modèles pour des tailles d'échantillons finis, lorsque l'on mesure la qualité de ces modèles avec la divergence de Kullback-Leibler (KL). Pourtant cette divergence est la mesure de différence standard en théorie de l'information. En établissant un parallèle avec l'optimisation, nous faisons quelques pas vers un tel résultat, et nous relevons quelques directions pouvant mener à des progrès, tant en statistiques qu'en optimisation. Ces trois contributions mettent des outil d'optimisation au service des statistiques dans les familles exponentielles : améliorer la vitesse d'apprentissage de GLM de prédiction structurée, caractériser la vitesse d'adaptation de modèles causaux, estimer la vitesse d'apprentissage de modèles omniprésents. En traçant des ponts entre statistiques et optimisation, cette thèse fait progresser notre maîtrise de méthodes fondamentales d'apprentissage automatique. / Exponential families are a ubiquitous class of models in statistics. On the one hand, they can model any data type. Actually, the most common distributions are exponential families: Gaussians, categorical, Poisson, Gamma, Wishart, or Dirichlet. On the other hand, they sit at the core of generalized linear models (GLM), a foundational class of models in machine learning. They are also supported by beautiful mathematics thanks to their connection with convex duality and the Laplace transform. This beauty is definitely responsible for the existence of this thesis. In this manuscript, we make three contributions at the intersection of optimization and statistics, all revolving around exponential families. The first contribution adapts and improves a variance reduction optimization algorithm called stochastic dual coordinate ascent (SDCA) to train a particular class of GLM called conditional random fields (CRF). CRF are one of the cornerstones of structured prediction. CRF were notoriously hard to train until the advent of variance reduction techniques, and our improved version of SDCA performs favorably compared to the previous state-of-the-art. The second contribution focuses on causal discovery. Exponential families are widely used in graphical models, and in particular in causal graphical models. This contribution investigates a specific conjecture that gained some traction in previous work: causal models adapt faster to perturbations of the environment. Using results from optimization, we find strong support for this assumption when the perturbation is coming from an intervention on a cause, and support against this assumption when perturbation is coming from an intervention on an effect. These pieces of evidence are calling for a refinement of the conjecture. The third contribution addresses a fundamental property of exponential families. One of the most appealing properties of exponential families is its closed-form maximum likelihood estimate (MLE) and maximum a posteriori (MAP) for a natural choice of conjugate prior. These two estimators are used almost everywhere, often unknowingly -- how often are mean and variance computed for bell-shaped data without thinking about the Gaussian model they underly? Nevertheless, literature to date lacks results on the finite sample convergence property of the information (Kulback-Leibler) divergence between these estimators and the true distribution. Drawing on a parallel with optimization, we take some steps towards such a result, and we highlight directions for progress both in statistics and optimization. These three contributions are all using tools from optimization at the service of statistics in exponential families: improving upon an algorithm to learn GLM, characterizing the adaptation speed of causal models, and estimating the learning speed of ubiquitous models. By tying together optimization and statistics, this thesis is taking a step towards a better understanding of the fundamentals of machine learning.

Le réseau mobile d’Orange France comprend plus de 100 000 antennes 2G, 3G et 4G sur plusieurs bandes de fréquences sans compter les nombreuses femto-cells fournies aux clients pour résoudre les problèmes de couverture. Ces chiffres ne feront que s’accroître pour répondre à la demande sans cesse croissante des clients pour les données mobiles. Cela illustre le défi énorme que rencontrent les opérateurs de téléphonie mobile en général à savoir gérer un réseau aussi complexe tout en limitant les coûts d’opération pour rester compétitifs. Cette thèse s’attache à utiliser le concept SON (réseaux auto-organisants) pour réduire cette complexité en automatisant les tâches répétitives ou complexes. Plus spécifiquement, nous proposons des algorithmes d’optimisation automatique pour des scénarios liés à la densification par les small cells ou les antennes actives. Nous abordons les problèmes classiques d’équilibrage de charge mais avec un lien backhaul à capacité limitée et de coordination d’interférence que ce soit dans le domaine temporel (notamment avec le eICIC) ou le domaine fréquentiel. Nous proposons aussi des algorithmes d’activation optimale de certaines fonctionnalités lorsque cette activation n’est pas toujours bénéfique. Pour la formulation mathématique et la résolution de tous ces algorithmes, nous nous appuyons sur les résultats de l’approximation stochastique et de l’optimisation convexe. Nous proposons aussi une méthodologie systématique pour la coordination de multiples fonctionnalités SON qui seraient exécutées en parallèle. Cette méthodologie est basée sur les jeux concaves et l’optimisation convexe avec comme contraintes des inégalités matricielles linéaires. / The mobile network of Orange in France comprises more than 100 000 2G, 3G and 4G antennas with severalfrequency bands, not to mention many femto-cells for deep-indoor coverage. These numbers will continue toincrease in order to address the customers’ exponentially increasing need for mobile data. This is an illustrationof the challenge faced by the mobile operators for operating such a complex network with low OperationalExpenditures (OPEX) in order to stay competitive. This thesis is about leveraging the Self-Organizing Network(SON) concept to reduce this complexity by automating repetitive or complex tasks. We specifically proposeautomatic optimization algorithms for scenarios related to network densification using either small cells orActive Antenna Systems (AASs) used for Vertical Sectorization (VeSn), Virtual Sectorization (ViSn) and multilevelbeamforming. Problems such as load balancing with limited-capacity backhaul and interference coordination eitherin time-domain (eICIC) or in frequency-domain are tackled. We also propose optimal activation algorithms forVeSn and ViSn when their activation is not always beneficial. We make use of results from stochastic approximationand convex optimization for the mathematical formulation of the problems and their solutions. We also proposea generic methodology for the coordination of multiple SON algorithms running in parallel using results fromconcave game theory and Linear Matrix Inequality (LMI)-constrained optimization.