Cette thèse comporte trois chapitres indépendants portant sur l’itération des applicationsrationnelles sur des variétés projectives et plus spécifiquement sur l’étude du comportement dela suite des degrés des itérés de telles applications.Dans le premier chapitre, nous donnons une construction des invariants fondamentaux quesont les degrés dynamiques dans un cadre très général, et ce sans hypothèse ni sur la caractéristique ni sur les singularités de l’espace ambiant. Cette construction repose sur des propriétésde positivité des cycles algébriques, et propose une alternative aux approches analytiques deDinh et Sibony ou algébriques de Truong.Le second chapitre est issu d’un article écrit en commun avec Jian Xiao. Notre contributionporte sur des objets centraux en géométrie convexe appelés valuations. Nous transférons à l’espace des valuations des notions de positivité des cycles algébriques récemment introduites parLehmann et Xiao, ce qui nous permet d’étendre l’opération de convolution originellement définie par Bernig et Fu à une sous-classe de valuations suffisamment positives.Le troisième chapitre constitue le coeur de la thèse, et porte sur des estimations des degrésdynamiques des automorphismes dit modérés de la quadrique affine de dimension 3. Nos arguments sont de nature variée, et s’appuient sur l’action du groupe modéré sur un complexe carréCAT(0) et Gromov hyperbolique récemment introduite par Bisi, Furter et Lamy.Nous avons finalement collecté dans un dernier et court chapitre quelques pistes de recherchedirectement inspirées des travaux présentés ici. / This thesis is divided into three independent chapters on the iterates of rational maps on projective varieties and more specifically on the study of the growth of the degree sequences of the iterates of such maps. In the first chapter, we give a construction of the fundamental invariants called dynamical degrees. Our method holds in a very general setting, without any conditions on the characteristic of the field or on the singularities of the ambient space.This construction is based on the study of positivity properties of algebraic cycles and gives an alternative approach to the analytical technics of Dinh and Sibony or to the algebraic arguments of Truong.The second chapter is taken from an article written in joint work with Jian Xiao. Our paper focuses on central objects in convex geometry called valuations. We transfer some positivity notions of algebraic cycles recently introduced by Lehmann and Xiao, this allows us to extend the convolution operation defined by Bernig and Fu to a subspace of sufficiently positive valuations.The third chapter is the core of this thesis and focuses on the dynamical degrees of the so-called tame automorphisms of an affine quadric threefold. Our arguments are of various nature and rely on the action of the tame group on a CAT(0), Gromov hyperbolic square complex recently introduced by Bisi, Furter and Lamy. Finally, we have collected in the last chapter a few perpectives directly inspired by this work.

Cette thèse présente une étude des applications des groupes de réflexion finis aux problems liés aux réseaux bidimensionnels et aux polytopes tridimensionnels. Plusieurs familles de fonctions orbitales, appelées fonctions orbitales de Weyl, sont associées aux groupes de réflexion cristallographique. Les propriétés exceptionnelles de ces fonctions, telles que l’orthogonalité continue et discrète, permettent une analyse de type Fourier sur le domaine fondamental d’un groupe de Weyl affine correspondant. Dans cette considération, les fonctions d’orbite de Weyl constituent des outils efficaces pour les transformées discrètes de type Fourier correspondantes connues sous le nom de transformées de Fourier–Weyl. Cette recherche limite notre attention aux fonctions d’orbite de Weyl symétriques et antisymétriques à deux variables du groupe de réflexion cristallographique A2. L’objectif principal est de décomposer deux types de transformations de Fourier–Weyl du réseau de poids correspondant en transformées plus petites en utilisant la technique de division centrale. Pour les cas non cristallographiques, nous définissons les indices de degré pair et impair pour les orbites des groupes de réflexion non cristallographique avec une symétrie quintuple en utilisant un remplacement de représentation-orbite. De plus, nous formulons l’algorithme qui permet de déterminer les structures de polytopes imbriquées. Par ailleurs, compte tenu de la pertinence de la symétrie icosaédrique pour la description de diverses molécules sphériques et virus, nous étudions la brisure de symétrie des polytopes doubles de type non cristallographique et des structures tubulaires associées. De plus, nous appliquons une procédure de stellation à la famille des polytopes considérés. Puisque cette recherche se concentre en partie sur les fullerènes icosaédriques, nous présentons la construction des nanotubes de carbone correspondants. De plus, l’approche considérée pour les cas non cristallographiques est appliquée aux structures cristallographiques. Nous considérons un mécanisme de brisure de symétrie appliqué aux polytopes obtenus en utilisant les groupes Weyl tridimensionnels pour déterminer leurs extensions structurelles possibles en nanotubes. / This thesis presents a study of applications of finite reflection groups to the problems related to two-dimensional lattices and three-dimensional polytopes. Several families of orbit functions, known as Weyl orbit functions, are associated with the crystallographic reflection groups. The exceptional properties of these functions, such as continuous and discrete orthogonality, permit Fourier-like analysis on the fundamental domain of a corresponding affine Weyl group. In this consideration, Weyl orbit functions constitute efficient tools for corresponding Fourier-like discrete transforms known as Fourier–Weyl transforms. This research restricts our attention to the two-variable symmetric and antisymmetric Weyl orbit functions of the crystallographic reflection group A2. The main goal is to decompose two types of the corresponding weight lattice Fourier–Weyl transforms into smaller transforms using the central splitting technique. For the non-crystallographic cases, we define the even- and odd-degree indices for orbits of the non-crystallographic reflection groups with 5-fold symmetry by using a representation-orbit replacement. Besides, we formulate the algorithm that allows determining the structures of nested polytopes. Moreover, in light of the relevance of the icosahedral symmetry to the description of various spherical molecules and viruses, we study symmetry breaking of the dual polytopes of non-crystallographic type and related tube-like structures. As well, we apply a stellation procedure to the family of considered polytopes. Since this research partly focuses on the icosahedral fullerenes, we present the construction of the corresponding carbon nanotubes. Furthermore, the approach considered for the non-crystallographic cases is applied to crystallographic structures. We consider a symmetry-breaking mechanism applied to the polytopes obtained using the three-dimensional Weyl groups to determine their possible structural extensions into nanotubes.

In this paper we propose an algorithm for solving systems of coupled monotone inclusions in Hilbert spaces. The operators arising in each of the inclusions of the system are processed in each iteration separately, namely, the single-valued are evaluated explicitly (forward steps), while the set-valued ones via their resolvents (backward steps). In addition, most of the steps in the iterative scheme can be executed simultaneously, this making the method applicable to a variety of convex minimization problems. The numerical performances of the proposed splitting algorithm are emphasized through applications in average consensus on colored networks and image classification via support vector machines.

Le problème de tarification combinatoire (CPP) ou le jeu de tarification de Stackelberg est une classe de problèmes d’optimisation bi-niveaux comprenant deux décideurs dans un ordre séquentiel. Le premier décideur, le leader, maximise ses revenus en contrôlant les prix d’un ensemble de ressources. Le deuxième décideur, le suiveur, réagit aux prix et sélectionne un sous-ensemble de ressources selon un problème d’optimisation combinatoire. Selon le problème du suiveur, le CPP peut être très difficile à résoudre. Cette thèse présente trois articles couvrant plusieurs méthodes de solution exacte pour le CPP. Le premier article aborde la modélisation et le prétraitement pour une spécialisation du CPP : le problème de tarification du réseau (NPP), dans lequel le problème du suiveur est un problème du plus court chemin. Les formulations du NPP sont organisées dans un cadre général qui établit les liens entre elles. Le deuxième article se concentre sur la version à plusieurs marchandises du NPP. À partir des résultats de l’analyse convexe, nous dérivons une nouvelle formulation du NPP et prouvons que le NPP évolue de manière polynomiale par rapport au nombre de marchandises, étant donné que le nombre d’arcs à péage est fixe. Le troisième article nous ramène au CPP général, dans lequel les problèmes du suiveur sont NP-difficiles. En utilisant deux modèles de programmation dynamique différents, les problèmes du suiveur sont convertis en programmes linéaires, auxquels la dualité forte peut être appliquée. En raison de la nature NP-difficile de ces problèmes, des schémas de génération dynamique de contraintes sont proposés. Les méthodes de solution décrites dans chaque article sont étayées par des résultats expérimentaux, montrant leur efficacité en pratique. Cette thèse approfondit notre compréhension de la structure du CPP et introduit des méthodologies innovantes pour y faire face, contribuant ainsi à de nouvelles perspectives pour aborder les problèmes de tarification et bi-niveau en général. / The combinatorial pricing problem (CPP) or Stackelberg pricing game is a class of bilevel optimization problems that consist of two decision makers in sequential order. The first decision maker, the leader, maximizes their revenue by controlling the prices of a set of resources. The second decision maker, the follower, reacts to the prices and selects a subset of resources according to a combinatorial optimization problem. Depending on the follower’s problem, the CPP can be very challenging to solve. This thesis presents three articles covering several exact solution methods for the CPP. The first article addresses the modeling and preprocessing for a specialization of the CPP: the network pricing problem (NPP), in which the follower’s problem is a shortest path problem. The formulations of the NPP are organized in a general framework which establishes the links between them. The second article focuses on the multi-commodity version of the NPP. From the results in convex analysis, we derive a novel formulation of the NPP and with it, we prove that the NPP scales polynomially with respect to the number of commodities, given that the number of tolled arcs is fixed. The third article leads us back to the general CPP, in which the follower’s problems are NP-hard. By utilizing two different dynamic programming models, the follower’s problems are converted into linear programs, to which strong duality can be applied. Due to the NP-hard nature of these problems, dynamic constraint generation schemes are proposed. The solution methods described in each article are backed up with experimental results, showing that they are effective in practice. This thesis deepens our comprehension of the CPP structure and introduces innovative methodologies for addressing it, thereby contributing new perspectives to tackle pricing and bilevel problems in general.

Dans cette thèse différents outils issus de l'automatique non linéaire ont été mis en œuvre et ont permis d'apporter une première solution au problème de stabilité large signal des dispositifs électriques. A l'aide de modèles flous de type Takagi-Sugeno, on a montré qu'il était possible de résoudre le problème de stabilité dans le cas de deux applications électrotechniques à savoir un hacheur contrôlé en tension et l'alimentation par l'intermédiaire un filtre d'entrée d'un dispositif électrique fonctionnant à puissance constante. Dans le cas du hacheur, la taille estimée des bassins d'attraction reste modeste. Les raisons essentielles à l'échec obtenu dans la recherche de bassin de grande taille peut résulter dans le fait que d'une part , la mise sous forme TS du système n'est pas unique et que d'autre part les matrices du sous modèle TS du système ne sont de Hurwitz que dans une gamme très restreinte de variations du rapport cyclique. Dans le cas de l'alimentation par l'intermédiaire d'un filtre d'entrée d'un dispositif fonctionnant à puissance constante, on a montré que l'utilisation d'un modèle flou de type Takagi-Sugeno permettait d'exhiber un domaine d'attraction de taille significative. On a fourni des outils permettant de borner la plage de variations des pôles du système dans un domaine donné de l'espace d'état, domaine dans lequel la stabilité du modèle TS est prouvée. L'utilisation de la D-stabilité permet de connaitre les dynamiques maximales du système. La notion de stabilité exponentielle permet de connaître les dynamiques minimales du système. L'approche utilisée pour prouver la stabilité du système en présence de variations paramétriques, pour les deux systèmes étudiés, n'autorise que des variations extrêmement faibles de la valeur du paramètre autour de sa valeur nominale / In this thesis, various tools resulting from the nonlinear automatic were implemented and made it possible to bring a first solution to the problem of large signal stability of the electric systems. Using Takagi-Sugeno fuzzy models, one showed that it was possible to in the case of solve the problem of stability two electrotechnical applications to knowing a Boost converter controlled in tension and an electric system constituted by an input filter connected to an actuator functioning at constant power. In the case of the Boost converter, the estimated size of attraction domain remains modest. The reasons essential with the failure obtained in the search for domain of big size can result in the fact that on the one hand, the setting TS fuzzy models of the system is not single and that on the other hand the matrices of local model of TS model of the system are of Hurwitz only in one very restricted range of variations of the cyclic ratio. In the case of the electric system via a filter of entry of a functioning device at constant power, one showed that the use of a Takagi-Sugeno fuzzy model allowed exhibit a attraction domain of significant size. One provided tools allowing to limit the variations of the poles of the system in a given field of the state space, domain in which the stability of model TS is proven. The use of D-stability makes it possible to know dynamic maximum system. The concept of exponential stability makes it possible to know dynamic minimal system. The approach used to prove the stability of the system in the presence of parametric variations, for the two studied systems, authorizes only extremely weak variations of the value of the parameter around its maximal value

L’estimation des matrices origine-destination (OD) est un sujet de recherche important depuis les années 1950. En effet, ces tableaux à deux entrées recensent la demande de transport d'une zone géographique donnée et sont de ce fait un élément clé de l'ingénierie du trafic. Historiquement, les seules données disponibles pour leur estimation par les statistiques étaient les comptages de véhicules par les boucles magnétiques. Ce travail s'inscrit alors dans le contexte de l'installation à Brisbane de plus de 600 détecteurs Bluetooth qui ont la capacité de détecter et d'identifier les appareils électroniques équipés de cette technologie.Dans un premier temps, il explore la possibilité offerte par ces détecteurs pour les applications en ingénierie du transport en caractérisant ces données et leurs bruits. Ce projet aboutit, à l'issue de cette étude, à une méthode de reconstruction des trajectoires des véhicules équipés du Bluetooth à partir de ces seules données. Dans un second temps, en partant de l'hypothèse que l'accès à des échantillons importants de trajectoires va se démocratiser, cette thèse propose d'étendre la notion de matrice OD à celle de matrice OD par lien afin de combiner la description de la demande avec celle de l'utilisation du réseau. Reposant sur les derniers outils méthodologies développés en optimisation convexe, nous proposons une méthode d'estimation de ces matrices à partir des trajectoires inférées par Bluetooth et des comptages routiers.A partir de peu d'hypothèses, il est possible d'inférer ces nouvelles matrices pour l'ensemble des utilisateurs d'un réseau routier (indépendamment de leur équipement en nouvelles technologies). Ce travail se distingue ainsi des méthodes traditionnelles d'estimation qui reposaient sur des étapes successives et indépendantes d'inférence et de modélisation. / Origin Destination matrix estimation is a critical problem of the Transportation field since the fifties. OD matrix is a two-entry table taking census of the zone-to-zone traffic of a geographic area. This traffic description tools is therefore paramount for traffic engineering applications. Traditionally, the OD matrix estimation has solely been based on traffic counts collected by networks of magnetic loops. This thesis takes place in a context with over 600 Bluetooth detectors installed in the City of Brisbane. These detectors permit in-car Bluetooth device detection and thus vehicle identification.This manuscript explores first, the potentialities of Bluetooth detectors for Transport Engineering applications by characterising the data, their noises and biases. This leads to propose a new methodology for Bluetooth equipped vehicle trajectory reconstruction. In a second step, based on the idea that probe trajectories will become more and more available by means of new technologies, this thesis proposes to extend the concept of OD matrix to the one of link dependent origin destination matrix that describes simultaneously both the traffic demand and the usage of the network. The problem of LOD matrix estimation is formulated as a minimisation problem based on probe trajectories and traffic counts and is then solved thanks to the latest advances in nonsmooth convex optimisation.This thesis demonstrates that, with few hypothesis, it is possible to retrieve the LOD matrix for the whole set of users in a road network. It is thus different from traditional OD matrix estimation approaches that relied on successive steps of modelling and of statistical inferences.

L'objectif général est de développer un nouvel outil numérique dédié à la focalisation en 3D de l'énergie en zone de champ très proche par un système antennaire. Cet outil permettra de définir la distribution spatiale complexe des champs dans l'ouverture rayonnante afin de focaliser l'énergie sur un volume quelconque en zone de champ réactif. L'hybridation de cet outil avec un code de calcul dédié à l'analyse rapide d‘antennes SIW par la méthode des moments permettra de synthétiser une antenne SIW ad-hoc. Les structures antennaires sélectionnées seront planaires comme par exemple les antennes RLSA (Radial Line Slot Array). Les dimensions de l'antenne (positions, dimensions et nombre de fentes) seront définies à l'aide des outils décrits ci-dessus. Les résultats numériques ainsi obtenus seront validés d'abord numériquement par analyse électromagnétique globale à l'aide de simulateurs commerciaux, puis expérimentalement en ondes millimétriques (mesure en zone de champ très proche). Pour atteindre ces objectifs, nous avons défini quatre tâches principales : Développement d'un outil de synthèse de champ dans l'ouverture rayonnante (formulation théorique couplée à une méthode dite des projections alternées) ; développement d'un outil de calcul rapide (sur la base de traitements par FFT) du champ électromagnétique rayonné en zone de champ proche par une ouverture rayonnante, et retro-propagation ; hybridation de ces algorithmes avec un code de calcul (méthode des moments) en cours de développement à l'IETR et dédié à l'analyse très rapide d'antennes en technologie SIW ; conception d'une preuve ou plusieurs preuves de concept, et validations numérique et expérimentale des concepts proposés. / With the demand for near-field antennas continuously growing, the antenna engineer is charged with the development of new concepts and design procedures for this regime. From the microwave and up to terahertz frequencies, a vast number of applications, especially in the biomedical domain, are in need for focused or shaped fields in the antenna proximity. This work proposes new theoretical methods for near-field shaping based on different optimization schemes. Continuous radiating planar apertures are optimized to radiate a near field with required characteristics. In particular, a versatile optimization technique based on the alternating projection scheme is proposed. It is demonstrated that, based on this scheme, it is feasible to achieve 3-D control of focal spots generated by planar apertures. Additionally, with the same setup, also the vectorial problem (shaping the norm of the field) is addressed. Convex optimization is additionally introduced for near-field shaping of continuous aperture sources. The capabilities of this scheme are demonstrated in the context of different shaping scenarios. Additionally, the discussion is extended to shaping the field in lossy stratified media, based on a spectral Green's functions approach. Besides, the biomedical applications of wireless power transfer to implants and breast cancer imaging are addressed. For the latter, an extensive study is included here, which delivers an outstanding improvement on the penetration depth at higher frequencies. The thesis is completed by several prototypes used for validation. Four different antennas have been designed, based either on the radial line slot array topology or on metasurfaces. The prototypes have been manufactured and measured, validating the overall approach of the thesis.

L'imagerie par résonance magnétique fonctionnelle (IRMf) permet de mesurer l'activité cérébrale à travers le flux sanguin apporté aux neurones. Dans cette thèse nous évaluons la capacité de modèles biologiquement plausibles et issus de la vision par ordinateur à représenter le contenu d'une image de façon similaire au cerveau. Les principaux modèles de vision évalués sont les réseaux convolutionnels.Les réseaux de neurones profonds ont connu un progrès bouleversant pendant les dernières années dans divers domaines. Des travaux antérieurs ont identifié des similarités entre le traitement de l'information visuelle à la première et dernière couche entre un réseau de neurones et le cerveau. Nous avons généralisé ces similarités en identifiant des régions cérébrales correspondante à chaque étape du réseau de neurones. Le résultat consiste en une progression des niveaux de complexité représentés dans le cerveau qui correspondent à l'architecture connue des aires visuelles: Plus la couche convolutionnelle est profonde, plus abstraits sont ses calculs et plus haut niveau sera la fonction cérébrale qu'elle sait modéliser au mieux. Entre la détection de contours en V1 et la spécificité à l'objet en cortex inférotemporal, fonctions assez bien comprises, nous montrons pour la première fois que les réseaux de neurones convolutionnels de détection d'objet fournissent un outil pour l'étude de toutes les étapes intermédiaires du traitement visuel effectué par le cerveau.Un résultat préliminaire à celui-ci est aussi inclus dans le manuscrit: L'étude de la réponse cérébrale aux textures visuelles et sa modélisation avec les réseaux convolutionnels de scattering.L'autre aspect global de cette thèse sont modèles de “décodage”: Dans la partie précédente, nous prédisions l'activité cérébrale à partir d'un stimulus (modèles dits d’”encodage”). La prédiction du stimulus à partir de l'activité cérébrale est le méchanisme d'inférence inverse et peut servir comme preuve que cette information est présente dans le signal. Le plus souvent, des modèles linéaires généralisés tels que la régression linéaire ou logistique ou les SVM sont utilisés, donnant ainsi accès à une interprétation des coefficients du modèle en tant que carte cérébrale. Leur interprétation visuelle est cependant difficile car le problème linéaire sous-jacent est soit mal posé et mal conditionné ou bien non adéquatement régularisé, résultant en des cartes non-informatives. En supposant une organisation contigüe en espace et parcimonieuse, nous nous appuyons sur la pénalité convexe d'une somme de variation totale et la norme L1 (TV+L1) pour développer une pénalité regroupant un terme d'activation et un terme de dérivée spatiale. Cette pénalité a la propriété de mettre à zéro la plupart des coefficients tout en permettant une variation libre des coefficients dans une zone d'activation, contrairement à TV+L1 qui impose des zones d’activation plates. Cette méthode améliore l'interprétabilité des cartes obtenues dans un schéma de validation croisée basé sur la précision du modèle prédictif.Dans le contexte des modèles d’encodage et décodage nous tâchons à améliorer les prétraitements des données. Nous étudions le comportement du signal IRMf par rapport à la stimulation ponctuelle : la réponse impulsionnelle hémodynamique. Pour générer des cartes d'activation, au lieu d’un modèle linéaire classique qui impose une réponse impulsionnelle canonique fixe, nous utilisons un modèle bilinéaire à réponse hémodynamique variable spatialement mais fixe à travers les événements de stimulation. Nous proposons un algorithme efficace pour l'estimation et montrons un gain en capacité prédictive sur les analyses menées, en encodage et décodage. / Blood-oxygen-level dependent (BOLD) functional magnetic resonance imaging (fMRI) makes it possible to measure brain activity through blood flow to areas with metabolically active neurons. In this thesis we use these measurements to evaluate the capacity of biologically inspired models of vision coming from computer vision to represent image content in a similar way as the human brain. The main vision models used are convolutional networks.Deep neural networks have made unprecedented progress in many fields in recent years. Even strongholds of biological systems such as scene analysis and object detection have been addressed with enormous success. A body of prior work has been able to establish firm links between the first and last layers of deep convolutional nets and brain regions: The first layer and V1 essentially perform edge detection and the last layer as well as inferotemporal cortex permit a linear read-out of object category. In this work we have generalized this correspondence to all intermediate layers of a convolutional net. We found that each layer of a convnet maps to a stage of processing along the ventral stream, following the hierarchy of biological processing: Along the ventral stream we observe a stage-by-stage increase in complexity. Between edge detection and object detection, for the first time we are given a toolbox to study the intermediate processing steps.A preliminary result to this was obtained by studying the response of the visual areas to presentation of visual textures and analysing it using convolutional scattering networks.The other global aspect of this thesis is “decoding” models: In the preceding part, we predicted brain activity from the stimulus presented (this is called “encoding”). Predicting a stimulus from brain activity is the inverse inference mechanism and can be used as an omnibus test for presence of this information in brain signal. Most often generalized linear models such as linear or logistic regression or SVMs are used for this task, giving access to a coefficient vector the same size as a brain sample, which can thus be visualized as a brain map. However, interpretation of these maps is difficult, because the underlying linear system is either ill-defined and ill-conditioned or non-adequately regularized, resulting in non-informative maps. Supposing a sparse and spatially contiguous organization of coefficient maps, we build on the convex penalty consisting of the sum of total variation (TV) seminorm and L1 norm (“TV+L1”) to develop a penalty grouping an activation term with a spatial derivative. This penalty sets most coefficients to zero but permits free smooth variations in active zones, as opposed to TV+L1 which creates flat active zones. This method improves interpretability of brain maps obtained through cross-validation to determine the best hyperparameter.In the context of encoding and decoding models, we also work on improving data preprocessing in order to obtain the best performance. We study the impulse response of the BOLD signal: the hemodynamic response function. To generate activation maps, instead of using a classical linear model with fixed canonical response function, we use a bilinear model with spatially variable hemodynamic response (but fixed across events). We propose an efficient optimization algorithm and show a gain in predictive capacity for encoding and decoding models on different datasets.

Ce travail de thèse comporte trois parties. La partie principale s'intéresse au transport des courants polarisés en spin dans des matériaux à base de semi-conducteurs. Nous dérivons et analysons une hiérarchie des modèles allant du niveau microscopique au niveau macroscopique et tenant compte des différents mécanismes de rotation et de relaxation du vecteur spin dans les semi-conducteurs. Les mécanismes essentiels pris en compte sont les couplages spin-orbite et les interactions avec renversement de spin (spin-flip interactions). Une analyse semi-classique (via la transformation de Wigner) de l'équation de Schrödinger avec hamiltonien spin-orbite est présentée. Au niveau cinétique, l'équation de Vlasov (ou Boltzmann) spinorielle est une équation à valeur dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre deux hermitiennes et positives. Partant ensuite de la spinor forme de l'équation de Boltzmann (avec différents opérateurs de collisions avec et sans renversement du vecteur spin) et par des techniques d'asymptotiques de diffusion, nous dérivons et analysons plusieurs modèles macroscopiques. Ils sont de type dérive-diffusion, SHE, Energie-Transport, à deux composantes ou spinoriels conservant des effets de rotation et de relaxation du vecteur spin. Nous validons ensuite ces modèles par des cas tests numériques. Deux applications numériques sont présentées : la simulation d'un transistor à effet de rotation de spin et l'étude de l'effet d'accumulation de spin à l'interface entre deux couches semi-conductrices différemment dopées. Dans la seconde partie, nous considérons une équation cinétique de type Boltzmann linéaire dans des domaines où un champ magnétique fort est appliqué. Nous étudions la limite de diffusion en supposant que le champ magnétique est unidirectionnel et tend vers l'infini. Le modèle obtenu est un modèle macroscopique constitué d'une équation diffusive dans la direction parallèle au champ magnétique et d'une dérive représentant l'effet centre-guide en présence d'un champ électrique dans la direction perpendiculaire. Le terme de diffusion contient des moyennes de giration de l'opérateur de collisions utilisé. Nous prouvons la convergence en utilisant des techniques d'entropie pour traiter le comportement diffusif, et en conjuguant par les rotations locales induites par le champ magnétique pour tenir compte des oscillations. Dans la troisième partie de cette thèse, Nous nous intéressons à la description du potentiel de confinement dans des gas d'électrons bidimensionnels. Nous étudions la limite faible longueur de Debye (ou faible température) du système de Schrödinger-Poisson unidimensionnel stationnaire sur un intervalle borné. Les électrons sont supposés dans un mélange d'états avec une statistique de Boltzmann (ou de Fermi-Dirac). En utilisant différentes reformulations du système comme des problèmes de minimisation convexe, nous montrons qu'asymptotiquement seul le premier niveau d'énergie est occupé. Le potentiel électrostatique converge vers une couche limite avec un profil calculé à l'aide d'un système de Schrödinger-Poisson sur le demi axe réel.

L'objectif de ce travail est d'étudier la dé<br />formation d'un tissu posé sur un support bi- ou tri-dimensionnel et soumis à<br />son propre poids.<br />Dans la première partie, nous établissons les équations<br />d'équilibre de ce problème dans le cas général et<br />introduisons deux modèles mathématiques. Le premier est un<br />modèle membranaire non-linéaire, dont l'analyse mathématique<br />conduit au calcul de l'enveloppe quasi-convexe de la densité<br />d'énergie associée. Le deuxième modèle (modèle<br />membrane-flexion non-linéaire) est obtenu en ajoutant un terme<br />régularisant à une fonctionnelle énergie non coercive. Nous<br />prouvons l'existence d'au moins une solution de ce problème de<br />minimisation, en utilisant les techniques du Calcul des Variations. Enfin,<br />nous établissons l'existence de solutions pour le problème de<br />drapé tri-dimensionnel.<br />La seconde partie est consacrée à la résolution numérique des diffé%<br />rents modèles élaborés dans la première partie, au moyen d'une méthode ité%<br />rative de descente couplée avec une méthode multigrille, afin d'accélérer la<br />convergence de l'algorithme. Nous montrons que le problème discret admet au<br />moins une solution. Enfin, nous prouvons la convergence théorique d'une<br />sous-suite de solutions discrètes vers une solution du problème continu,<br />moyennant une hypothèse de densité.