The goal of this dissertation is to present a R. Reilly's demonstration of the theorem of Alexandrov . The theorem states that The only compact hypersurfaces, conected, of constant mean curvature, immersed in Euclidean space are spheres. The theorem of Alexandrov was proved by A. D. Alexandrov in the article Uniqueness Theorems for Surfaces in the Large V, published in 1958 by Vestnik Leningrad University, volume 13, number 19, pages 5 to 8. In his demonstration, Alexandrov used the famous Principle of tangency, introduced by him in that article. In the year 1962, M. Obata shown in Certain Conditions for a Riemannian Manifold to be isometric With the Sphere, published by the Journal of Mathematical Society of Japan, volume 14, pages 333 to 340, that a Riemannian Manifold M, compact, connected and without boundary, is isometric to a sphere, since the Ricci curvature of M satisfies certain lower bound. This theorem solves the problem of finding manifolds that reach equality in the estimate of Lichnerowicz for the first eigenvalue. In 1977, R. Reilly, in the article Applications of the Hessian operator in a Riemannian Manifold, published in Indianna University Mathematical Journal, volume 23, pages 459 to 452, showed a generalization of the Obata theorem for compact manifolds with boundary. As an example of the technique developed in this demonstration, he presents a new demonstration of the theorem of Alexandrov. This demonstration, as well as the techniques involved are the object of study of this work. / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / O objetivo desta dissertação é apresentar uma demonstração de R. Reilly para o Teorema de Alexandrov. O teorema estabelece que As únicas hipersuperfícies compactas, conexas, de curvatura média constante, mergulhadas no espaço Euclidiano são as esferas. O teorema de Alexandrov foi provado por A. D. Alexandrov no artigo Uniqueness Theorems for Surfaces in the Large V, publicado em 1958 pela Vestnik Leningrad University, volume 13, número 19, páginas 5 a 8. Em sua demonstração, Alexandrov usou o famoso Princípio de Tangência, introduzido por ele no citado artigo. No ano de 1962, M. Obata demonstrou em Certain Conditions for a Riemannian Manifold to be Isometric With a Sphere, publicado pelo Journal of Mathematical Society of Japan, volume 14, páginas 333 a 340, que uma variedade Riemanniana M, compacta, conexa e sem bordo, é isométrica a uma esfera, desde que a curvatura de Ricci de M satisfaça determinada limitação inferior. Este teorema resolve o problema de encontrar as variedades que atingem a igualdade na estimativa de Lichnerowicz para o primeiro autovalor. Em 1977, R. Reilly, no artigo Applications of the Hessian Operator in a Riemannian Manifold, publicado no Indianna University Mathematical Journal, volume 23, páginas 459 a 452, demonstrou uma generalização do Teorema de Obata para variedades compactas com bordo. Como exemplo da técnica desenvolvida nesta demonstração, ele apresenta uma nova demonstração do Teorema de Alexandrov. Esta demonstração, bem como as técnicas envolvidas, são o objeto de estudo deste trabalho.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-25T19:25:58Z No. of bitstreams: 1 ERALDO ALMEIDA LIMA JÚNIOR - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2011..pdf: 415901 bytes, checksum: 427abfdae7c5a546735d4a6b14f72bfe (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-25T19:25:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ERALDO ALMEIDA LIMA JÚNIOR - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2011..pdf: 415901 bytes, checksum: 427abfdae7c5a546735d4a6b14f72bfe (MD5) Previous issue date: 2011-07 / Neste trabalho, apresentamos um estudo das hipersuperfícies tipo-espaço imersas no ambiente −R × Hn, exibindo condições para que tais hipersuperfícies sejam slices {t0}×Hn. Para uma melhor compreensão das demonstrações e dos resultados, inserimos processos de diferenciação, cálculos de gradientes e Laplacianos que, juntamente com o princípio do máximo de Omori-Yau, foram cruciais no desenvolvimento dos resultados que, em sua maioria são do tipo Bernstein. Também incluímos um resultado do tipo Calabi. / In this work we present a study of the spacelike hypersurfaces immersed in the manifold −R × Hn providing sufficient conditions for such hypersurfaces be slices, {t0}×Hn. For a better understanding of the proofs and results, we have added differentiation processes, gradient computations and Laplacians which jointly with the Omori-Yau Maximum Principle were crucial in the developing of the results whose are mostly Bernstein-type. In the elapsing we also included Calabi-type results.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 816279 bytes, checksum: 28c5081e37dbd539abb463a0ed89b87c (MD5) Previous issue date: 2012-07-27 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this paper we studied surfaces with constant mean curvature and surfaces with constant Gaussian curvature in the Sol space which are invariant under the action of two one-parameter subgroups of isometries of the ambient space. Furthermore, we classify the surfaces that satisfy a relationship of type k1 = mk2, where k1 and k2 are the principal curvatures of the surface and m ∈ R. / O presente trabalho aborda um estudo das superfícies com curvatura média constante e das superfícies com curvatura Gaussiana constante no espaço Sol que são invariantes sob a ação de dois grupos a 1-parâmetro de isometrias do espaço ambiente. Além disso, classificamos as superfícies que satisfazem uma relação do tipo k1 = mk2, onde k1 e k2 são as curvaturas principais da superfície e m ∈ R.