In this thesis we prove the genericity of the set of metrics on a manifold with boundary M^{n+1}, such that all free boundary constant mean curvature (CMC) embeddings \\varphi: \\Sigma^n \\to M^{n+1}, being \\Sigma a manifold with boundary, are non-degenerate (Bumpy Metrics), (Theorem 2.4.1). We also give sufficient conditions to obtain a free boundary CMC deformation of a CMC inmersion (Theorems 3.2.1 and 3.2.2), and a stability criterion for this type of immersions (Theorem 3.3.3 and Corollary 3.3.5). In addition, given a one-parametric family, {\\varphi _t : \\Sigma \\to M} , of free boundary CMC immersions, we give criteria for the existence of smooth bifurcated branches of free boundary CMC immersions for the family {\\varphi_t}, via the implicit function theorem when the kernel of the Jacobi operator J is non-trivial, (Theorems 4.2.3 and 4.3.2), and we study stability and instability problems for hypersurfaces in this bifurcated branches (Theorems 5.3.1 and 5.3.3). / Nesta tese, provamos a genericidade do conjunto de métricas em uma variedade com fronteira M^{n+1}, de modo que todos os mergulhos de curvatura média constante (CMC) e fronteira livre \\varphi : \\Sigma^n \\to M^{n+1}, sendo \\Sigma uma variedade com fronteira, sejam não-degenerados (Métricas Bumpy), (Teorema 2.4.1). Nós também fornecemos condições suficientes para obter uma deformação CMC e fronteira livre de uma imersão CMC (Teoremas 3.2.1 and 3.2.2), e um critério de estabilidade para este tipo de imersões (Teorema 3.3.3 and Corolario 3.3.5). Além disso, dada uma família 1-paramétrica, {\\varphi _t : \\Sigma \\to M} , de imersões de CMC e fronteira livre, damos os critérios para a existência de ramos de bifurcação suaves de imersões CMC e fronteira livre para a familia {\\varphi_t}, por meio de o teorema da função implícita quando o kernel do operador Jacobi J é não-trivial, (Teoremas 4.2.3 and 4.3.2), e estudamos o problema da estabilidade e instabilidade para hipersuperfícies em naqueles ramos de bifurcação (Teoremas 5.3.1 and 5.3.3).

In this dissertation, we deal with compact hypersurfaces without boundary immersed in space forms such that Sr+1/S1 is constant. They are critical points for an area-preserving variational problem. We show that they are r-stable if and only if they are totally umbilical hypersurfaces. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / O objetivo desta dissertação é estudar as hipersuperfícies compactas sem bordo e imersas em formas espaciais com Sr+1 / S1 constante, onde Sr+1 é a (r + 1)-ésima função simétrica das curvaturas principais. Tais hipersuperfícies são os pontos críticos de um problema variacional que preserva área. Demonstraremos que tais imersões são r-estáveis se, e somente se, elas forem hipersuperfícies totalmente umbílicas.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Em 1951, H. Hopf publicou em um prestigiado artigo um famoso resultado: Seja M uma superfície compacta de gênero zero imersa no espaço Euclidiano de dimensão três com curvatura média constante. Então M é isométrica à esfera redonda. Neste trabalho descreveremos detalhadamente do ponto de vista matemático uma generalização do resultado obtido por H. Hopf, a qual será publicada na revista Communication in Analysis and Geometry em 2007, cujos autores são Hilário Alencar, Manfredo Perdigão do Carmo e Renato Tribuzy. Neste artigo, os pesquisadores classificaram as superfíıcies compactas de gênero zero imersas na variedade produto: superfícies com curvatura Gaussiana constante cartesiano o espaço Euclidiano de dimensão um e cuja diferencial da curvatura média satisfaz uma certa desigualdade envolvendo uma forma quadrátrica. Além disso, estudaremos uma extensão da classificação anterior no caso em que as superfícies estão imersas numa variedade Riemanniana simplesmente conexa, homogênea com um grupo de isometrias de dimensão quatro. Tais resultados foram obtidos recentemente por Hilário Alencar, Isabel Fernández, Manfredo Perdigão do Carmo e Renato Tribuzy. Nas demonstrações destes teoremas foram usadas técnicas de Análise Complexa, fatos de Topologia e uma generalização do Teorema de H. Hopf obtida por Abresch e Rosenberg, publicado em Acta Mathematica em 2004.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-26T14:11:07Z No. of bitstreams: 1 BRUNO FONTES DE SOUSA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2011..pdf: 535617 bytes, checksum: 46dc8ee9ec90b36db973cafcc1d3a33e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-26T14:11:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 BRUNO FONTES DE SOUSA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2011..pdf: 535617 bytes, checksum: 46dc8ee9ec90b36db973cafcc1d3a33e (MD5) Previous issue date: 2011-07-21 / Capes / Neste trabalho estudamos hipersuperfícies tipo-espaço completas com curvatura média constante em uma região aberta do espaço de Sitter, chamada Steady State Space. Primeiro estabelecemos fórmulas adequadas para o Laplaciano de uma função altura e de uma função suporte naturalmente relacionadas com estas hipersuperfícies. Em seguida, considerando hipóteses apropriadas sobre a curvatura média e o crescimento da função altura, obtemos condições necessárias para a existência de tais hipersuperfícies. No caso bidimensional, estabelecemos e mostramos resultados tipoBernstein. Além disso, mostramos que se a hipersuperfície está entre dois slices então a sua curvatura média é igual a um. Obtemos também outras consequências para hipersuperfícies que estão abaixo de um slice. Por fim, estendemos um de nossos resultados para um certo espaço Robertson-Walker generalizado. / In this work we study complete space-like hypersurfaces with constant mean curvature in the open region of de Sitter space, called the Steady State Space. First established suitable formulas for the Laplacian of a height function and of a suport function related to these hypersurfaces. Then, considering hypotheses appropriate on the mean curvature and growth of height functions we obtain necessary conditions for the existence of such hypersurfaces. In two-dimensional case, we set and show results-Bernstein type. Furthermore, we show that if the hypersurface is between two slices then its mean curvature is equal to one. We also obtain other consequences for hypersurfaces are below a slice. Finally, we extend one of our results to a certain space generalized Robertson-Walker.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / A hypersurface in a manifold, both with nonempty boundary, is called free boundary hypersurface if it is a critical point of the area functional restricted to all admissible variations which preserve volume. A variation is admissible if the boundary and the interior of the manifold contains the boundary and the interior of the hypersurfaces of the variation, respectively. It is well known that free boundary hypersurface has constant mean curvature. In this work we study free boundary hypersurfaces in bounded convex domains in the euclidean space. More precisely, we prove the results obtained by A. Ros and E. Vergasta [18] and I. nunes [15]. As the main result we prove that a stable free boundary surface in the unit ball of the three-dimensional euclidian space has to be either the totally geodesic disc or a spherical cap. / Uma hipersupefície de uma variedade, ambas com fronteira não vazia, é chamada de hipersupefície com fronteira livre se é ponto crítico do funcional área restrito a todas as variações admissíveis que preservam volume. Uma variação é dita admissível se a fronteira e o interior da variedade contém as fronteiras e os inteiores das hipersupefícies da variação, respectivamente. É bem conhecido que hipersupefícies com fronteira livre possuem curvatura média constante. Neste trabalho estudamos hipersuperfíce com fronteira livre em domínios convexos limitados do espaço euclidiano. Mais especificamente, expomos com detalhes os resultados obtidos por A. Ros-E. Vergasta e I. Nunes. Provamos como resultado principal que toda superfícies de fronteira livre estável na bola unitária do espaço euclidiano tridimensional é um disco totalmente geodésico ou uma calota esférica. / São Cristóvão, SE

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-05-19T14:40:22Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Fernando Arnulfo Zuniga Argote - 2015.pdf: 631746 bytes, checksum: 0d49f26d4f922ddd70836a2024ad5850 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-05-19T14:50:54Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Fernando Arnulfo Zuniga Argote - 2015.pdf: 631746 bytes, checksum: 0d49f26d4f922ddd70836a2024ad5850 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-19T14:50:54Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Fernando Arnulfo Zuniga Argote - 2015.pdf: 631746 bytes, checksum: 0d49f26d4f922ddd70836a2024ad5850 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2015-02-27 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this work we refer to the study of a geometric invariant surfaces immersed in Euclidean 3-dimensional sphere S3. Such invariant, known as angle contact, is the complementary angle between the distribution of contact d and the tangent space of the surface. Montes and Verderesi [22] characterized the minimal surfaces in S3 with constant contact angle and Almeida, Brazil and Montes [4] studied some properties of immersed constant mean curvature into a round sphere S3 with constant contact angle. The our aim of this work is to deduce a general formula involving the Gaussian curvature, the mean curvature and the contact angle of surfaces immersed in Euclidean sphere 3-dimensional, which shows that the surface is flat if the contact angle is constant. Moreover, we deduce that the Clifford tori are the unique compact surfaces with constant mean curvature having such propriety. Keywords / Neste trabalho nos referimos ao estudo de um invariante geométrico de superfícies imersas na esfera Euclidiana 3-dimensional S3. Tal invariante, conhecido como ângulo de contato, é o complementar do ângulo entre a distribuição de contato d e o espaço tangente da superfície. Montes e Verderesi [22] caracterizaram as superfícies mínimas em S3 com ângulo de contato constante e Almeida, Brasil e Montes [4] estudaram algumas propriedades de superfícies imersas com curvatura média e ângulo de contato constantes em S3. Nosso objetivo será apresentar uma relação entre a curvatura Gaussiana, a curvatura média e o ângulo de contato de superfícies imersas na esfera Euclidiana 3-dimensional, a qual permite concluir que a superfície é plana se o ângulo de contato for constante. Além disso, concluiremos que o toro de Clifford é a única superfície compacta com curvatura média constante tendo tal propriedade.

Submitted by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2018-06-19T17:00:58Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) dissertação-Thiago Lucas-FINAL.pdf: 424556 bytes, checksum: 504bc5cad61e90dcf5cfc403f099b634 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2018-06-19T17:01:10Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) dissertação-Thiago Lucas-FINAL.pdf: 424556 bytes, checksum: 504bc5cad61e90dcf5cfc403f099b634 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-06-19T17:01:10Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) dissertação-Thiago Lucas-FINAL.pdf: 424556 bytes, checksum: 504bc5cad61e90dcf5cfc403f099b634 (MD5) Previous issue date: 2016-12-14 / In this dissertation we will present a demonstration that a linear Weingarten translation surface in Euclidean space and Lorentz-Minkowski space should have constant mean curvature or constant Gaussian curvature. The work is based on the article "Translation surfaces of linear Weingarten type" Antonio Bueno and Rafael López. / Nesta dissertação apresentaremos uma demonstração de que uma superfície de translação Weingarten linear no espaço euclidiano e no espaço Lorentz- Minkowski deve ter curvatura média constante ou curvatura de Gauss constante. O trabalho é baseado no artigo "Translation surfaces of linear Weingarten type"de Antonio Bueno e Rafael López.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / We study problems of existence and uniqueness of constant mean curvature surfaces with prescribed boundary satisfying the bounded slope condition. The surfaces are given as Euclidean graphs in R3 and as parabolic graphs in H3, over bounded domains contained in totally geodesic surfaces in these ambients, or moreover, as radial graphs over bounded domains contained in S2. / Estudamos problemas de existência e unicidade de superfícies de curvatura média constante com bordo prescrito satisfazendo a condição de declividade limitada (CDL). Tais superfícies são dadas como gráficos euclidianos (verticais) em R3 e como gráficos parabólicos em H3, definidos sobre domínios limitados contidos em superfícies totalmente geodésicas destes ambientes, ou ainda como gráficos radiais em R3 sobre domínios limitados contidos em S2.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-08-06T14:32:06Z No. of bitstreams: 1 LUIZ GONZAGA VIEIRA FILHO - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2012..pdf: 418239 bytes, checksum: 637639b6b00361fa99f7879c81c1a30c (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-06T14:32:06Z (GMT). No. of bitstreams: 1 LUIZ GONZAGA VIEIRA FILHO - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2012..pdf: 418239 bytes, checksum: 637639b6b00361fa99f7879c81c1a30c (MD5) Previous issue date: 2012-12 / Neste trabalho, usando uma adequada aplicação do chamado princípio do máximo generalizado de Omori-Yau, obtemos um teorema tipo Bernstein para hipersuperfícies completas com curvatura média constante imersas no espaço produto R × Hn. Além disso, tratamos o caso em que tais hipersuperfícies são gráficos verticais. / In this work, as suitable application of the so-called Omori-Yau generalized maximum principle, we obtain a Bernstein type theorem concerning to complete hypersurfaces with constant mean curvature immersed in the product space R × Hn . Furthermore, we treat the case that such hypersurfaces are vertical graphs

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-08-09T17:38:25Z No. of bitstreams: 1 JAMILLY LOURÊDO ROCHA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2014..pdf: 5707925 bytes, checksum: 8010cd451ac64c8a7fccc36a2f8313f6 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-09T17:38:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 JAMILLY LOURÊDO ROCHA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2014..pdf: 5707925 bytes, checksum: 8010cd451ac64c8a7fccc36a2f8313f6 (MD5) Previous issue date: 2014-08 / Capes / Com uma aplicação adequada do conhecido princípio do máximo generalizado de Omori-Yau, obtemos resultados de rigidez com relação a hipersuperfícies imersas completascomcurvaturamédiadelimitadanoespaçohiperbólicoHn+1 (n+1)-dimensional. Em nossa abordagem exploramos a existência de uma dualidade natural entreHn+1 e a metade Hn+1 do espaço de SitterSn+11 , cujo modelo é chamado de steady state space. / As a suitable application of the well known generalized maximum principle of Omori-Yau, we obtain rigidity results concerning to a complete hypersurface immersed with bounded mean curvature in the (n+1)-dimensional hyperbolic spaceHn+1. In our approach, we explore the existence of a natural duality betweenHn+1 and the half Hn+1 of the de Sitter spaceSn+11 , which models the so-called steady state space.