O presente trabalho tem por objeto fazer uma introdução ao estudo das subvariedades isoparamétricas do espaço Euclidiano. Começamos com uma introdução ao desenvolvimento histórico desses objetos. A seguir apresentamos os conceitos básicos da teoria de subvariedades de formas espaciais. Deduzimos as equações fundamentais de primeira e segunda ordem e demonstramos o teorema fundamental da teoria de subvariedades. Em seguida damos a definição de subvariedade isoparamétrica e desenvolvemos conceitos elementares para o caso do espaço Euclidiano como são normais de curvatura, grupo de Coxeter, câmera de Weyl e variedades paralelas e focais. Provamos dois teoremas referentes à decomposição de subvariedades isoparamétricas do espaço Euclidiano adaptando ferramentas usadas em [HL97] para ocaso de subvariedades isoparamétricas de espaços de Hilbert. Demonstramos o teorema da fatia e discutimos sobre subvariedades isoparamétricas desde o ponto de vista clássico, a saber, aplicações isoparamétricas. Concluímos com alguns exemplos: hipersuperfécies isoparamétricas da esfera e órbitas principais da ação adjunta de um grupo de Lie sobre a respectiva álgebra de Lie. / The goal of this dissertation is to present an introduction to the study of isoparametric submanifolds of Euclidean space. We begin with an introduction to the history of the subject. Then we present the basic results of submanifold theory of space forms. We compute the fundamental equations of first and second order, and we prove the fundamental theorem of submanifold theory. Next, we define isoparametric submanifolds and discuss some basic constructions, as curvature normals, Coxeter groups, Weyl chambers and parallel and focal submanifolds. We prove two decomposition theorems about isoprametric submanifolds using techniques that we learnt from [HL97], paper in which the case of submanifolds of Hilbert spaces is studied. Then we prove slice theorem. We also discuss those submanifold from the classical point of view, namely, isoparametric maps. We finish by explaining some examples: isoparametric hipersurfaces of spheres and principal orbits of the adjoint action of a Lie group on its Lie algebra.

Made available in DSpace on 2015-04-22T22:16:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Francisco Eteval da Silva Feitosa.pdf: 212887 bytes, checksum: e8aec2d3b5fcc99646bc7f05c844ccd8 (MD5) Previous issue date: 2003-01-22 / The purpose of this essay is to make a clear and detailed exposition of the work of Robert L. Bryant on the class of Weingarten Surfaces immersed in the Euclidean tree-space, E3, that satisfy the equation (formula), where H and K denote the mean and the Gaussian curvatures respectively and f is a smooth function. The surfaces with constant mean curvature and those with constant Gaussian curvature clearly belong to this class and if they have genus zero, the Hopf`s and the Liebermann`s theorems respectively state that they are standard spheres of E3. The main result of this work characterizes the standard spheres as the only Wein-garten surface of genus zero in the mentioned class. / Esta dissertação tem como finalidade apresentar uma exposição clara e detalhada de um trabalho de Robert L. Bryant intitulado Análise Complexa e uma Classe de Superfícies de Weingarten, superfícies essas, imersas em E3, que satisfazem a equação (formula) onde H e K são as curvaturas média e gaussiana, respectivamente, e f é uma função real diferenciável. As superfícies com curvaturas média e gaussiana constante, pertencem claramente a esta classe e se elas têm gênero zero os teoremas de Hopf e de Liebermann, respectivamente, asseguram que elas são esferas usuais de E3. O principal resultado deste trabalho caracteriza as esferas usuais como as únicas superfícies de Weingarten de gênero zero pertencentes à classe mencionada.

[pt] Vamos apresentar neste trabalho dois métodos para calcular as propriedades diferenciais geométricas de uma curva discreta no R4. O primeiro é baseado em aproximações por comprimento de arco. O segundo é baseado na metodologia de derivação discreta. Esses métodos estimam numericamente as curvaturas k1, k2 e k3 e os vetores tangente, normal, binormal e trinormal para cada ponto da curva. São apresentados também cálculos dessas propriedades geométricas para curvas tanto na forma paramétrica como na forma implícita, com o objetivo final de testar a consistência dos métodos propostos comparando-os aos resultados teóricos. / [en] We present new algorithms for computing the diferential geometry properties of a discrete curve in R4 based on two different methods: arc-lenght aproximation and discrete derivatives.

Submitted by Lúcia Brandão (lucia.elaine@live.com) on 2015-12-11T20:28:09Z No. of bitstreams: 1 Dissertação - Clebes do Nascimento Brandão.pdf: 1294589 bytes, checksum: bd90be9d142b18dfd0b1cb964b8bf7a9 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-01-19T19:09:29Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação - Clebes do Nascimento Brandão.pdf: 1294589 bytes, checksum: bd90be9d142b18dfd0b1cb964b8bf7a9 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-01-19T19:11:32Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação - Clebes do Nascimento Brandão.pdf: 1294589 bytes, checksum: bd90be9d142b18dfd0b1cb964b8bf7a9 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-01-19T19:11:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação - Clebes do Nascimento Brandão.pdf: 1294589 bytes, checksum: bd90be9d142b18dfd0b1cb964b8bf7a9 (MD5) Previous issue date: 2014-07-24 / CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / The objective this dissertation and study immersions of manifolds with negative sectional curvature Non- . More precisely , we will detail hum article M. Carmo and E. Lima , that of a new hum Statement theorem DUE one Sacksteder . Using Arguments Differential Topology, The Two Authors proved , among other things, a que complete hypersurface Mn Rn + 1 WITH sectional curvatures negative Non- And if convex at Least One such sectional curvature to positive. / O objetivo dessa dissertação é estudar imersões de variedades com curvaturas seccionais não-negativas. Mais precisamente, iremos detalhar um artigo de M. do Carmo e E. Lima, que dá uma nova demonstração de um teorema devida a Sacksteder. Usando argumentos da Topologia Diferencial, os dois autores provaram, entre outras coisas, que uma hipersuperfície completa Mn de Rn+1 com curvaturas seccionais não-negativas é convexa se pelo menos uma dessas curvaturas seccionais for positiva.

A coluna vertebral desempenha um papel importante no dia a dia oferecendo suporte necessário à movimentação do tronco além da locomoção do ser humano, sendo o seu funcionamento diretamente relacionado com a qualidade de vida; sua disposição e articulação das vértebras proporcionam estabilidade e flexibilidade à coluna vertebral, atributos necessários para o equilíbrio do ser humano. A hipercifose torácica, hiperlordose lombar e escoliose são as patologias posturais mais comuns e podem ser diagnosticadas pela mensuração do ângulo da curvatura da coluna vertebral. Comumente a radiografia é utilizada como método para a mensuração de tais ângulos, porém, além de ser um método caro, é altamente invasivo por causa da exposição à radiação, por isso não é aconselhado praticá-lo muitas vezes, sendo o acompanhamento do tratamento difícil de ser feito. Há diversos métodos não invasivos, porém não combinam praticidade, baixo custo e análise tridimensional da curvatura, sendo eficazes em mensurar apenas a coluna no plano sagital. Por esses motivos, para o uso clínico, o profissional de saúde necessita de um método barato, confiável, prático, que atenda suas necessidades e não invasivo para a mensuração da curvatura da coluna vertebral. O objetivo desse trabalho foi desenvolver e validar com a Cinemetria composto de cinco câmeras infravermelhas uma ferramenta computacional (LoB Analytics) para mensurar esse ângulos, o software terá código aberto e uso gratuito. A média de todos os ângulos obtida pela Cinemetria foi de 43,4±18,5º e pelo LoB Analytics foi de 43,9±17,7º, com uma correlação muito forte de 0,98. Foram feitas regressões lineares que confirmaram que ângulos calculados pelo LoB Analytics são tão confiáveis quanto os calculados pela Cinemetria, que é um método bastante utilizado hoje em dia. Os grandes diferenciais do LoB Analytics sobre a Cinemetria são: o seu baixo custo e a praticidade de usá-lo em laboratórios e clínicas. / The spine has an important role day by day offering the necessary flexibility for movement of the trunk besides support and locomotion of humans and being is directly related to the quality of life. The provision and articulation of the vertebrae are responsible for the stability and flexibility of spine attributes necessary for the balance. The thoracic hiper and hypo kyphosis, lumbar hiper and hypo lordosis and scoliosis are the most common postural pathologies and can be diagnosed by measuring the angle of the curvature of the spine. The radiographic method has been the most popular method for such measurement, however, it is an expensive method and also invasive (because its exposure to radiation), it is not the method more indicated to be used repeatedly, being the monitoring of treatment difficult to be done. There are several noninvasive methods but they do not combine practicality, low cost and three-dimensional analysis of the spine curvature, and they are effective in measuring the spine only in the sagittal plane. For these reasons, the health professional needs a method that has low cost, reliable, practical and noninvasive methods for measurement of the curvature of the spine. The goal of this work was develop and validate, with motion capture system (Cinemetria), a computational tool for this measurement (LoB Analytics), which will be free and open source. The mean of all Cinemetria angles was 43,9±18,5º and LoB Analytics angles was 43,9±17,7, with a very strong correlation coefficient of 0,98. Linear regressions confirmed that LoB Analytics angles are as reliable as those calculated by Cinemetria, which is a method widely used today. The differentials of LoB Analytics on Cinemetria are: low cost and practicality of using it in laboratories and clinics.

Neste trabalho, classificamos localmente as hipersuperfcies dos espaços produto S n × R e H n × R, n 6 = 3, com g curvaturas principais constantes e distintas, g {1, 2, 3}. Verifi- camos que tais hipersuperfcies são isoparamétricas de Q nc × R. Além disso, encontramos uma condição necessária e suficiente para que uma hipersuperfcie isoparamétrica de Q nc × R que possui fibrado normal plano, quando observada como uma subvariedade de codimensão dois de R n+2 contendo S n × R e de L n+2 contendo H n × R, tenha curvaturas principais constantes. / In this work, we classify locally the hypersurfaces in product spaces S n × R and H n × R, n 6 = 3, with g distinct constant principal curvatures, g {1, 2, 3}. We verify that such hy- persurfaces are isoparametric in Q nc × R. Furthermore, we find a necessary and sufficient condition for an isoparametric hypersurface in Q nc × R with flat normal bundle, when re- garded as a submanifold with codimension two of the flat spaces R n+2 containing S n × R and L n+2 containing H n × R, having constant principal curvatures.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Neste trabalho, provamos novos resutados de rigidez para hipersuperfÃcies quase-Einsteins no espaÃo euclidiano, baseado-se nos resultados pinching do autovalor. EntÃo, nÃs deduzimos alguns resultados anÃlogos para hipersuperfÃcies quase-umbÃlicas e uma nova caracterizaÃÃo de esferas geodÃsicas / In this work, we prove new rigidity results for almost-Einstein hypersurfaces of the Euclidean space, based on previous eigenvalue pinching results. Then, we deduce some comparable result for almost-umbilic hypersurfaces and new characterizations of geodesic spheres.

A coluna vertebral desempenha um papel importante no dia a dia oferecendo suporte necessário à movimentação do tronco além da locomoção do ser humano, sendo o seu funcionamento diretamente relacionado com a qualidade de vida; sua disposição e articulação das vértebras proporcionam estabilidade e flexibilidade à coluna vertebral, atributos necessários para o equilíbrio do ser humano. A hipercifose torácica, hiperlordose lombar e escoliose são as patologias posturais mais comuns e podem ser diagnosticadas pela mensuração do ângulo da curvatura da coluna vertebral. Comumente a radiografia é utilizada como método para a mensuração de tais ângulos, porém, além de ser um método caro, é altamente invasivo por causa da exposição à radiação, por isso não é aconselhado praticá-lo muitas vezes, sendo o acompanhamento do tratamento difícil de ser feito. Há diversos métodos não invasivos, porém não combinam praticidade, baixo custo e análise tridimensional da curvatura, sendo eficazes em mensurar apenas a coluna no plano sagital. Por esses motivos, para o uso clínico, o profissional de saúde necessita de um método barato, confiável, prático, que atenda suas necessidades e não invasivo para a mensuração da curvatura da coluna vertebral. O objetivo desse trabalho foi desenvolver e validar com a Cinemetria composto de cinco câmeras infravermelhas uma ferramenta computacional (LoB Analytics) para mensurar esse ângulos, o software terá código aberto e uso gratuito. A média de todos os ângulos obtida pela Cinemetria foi de 43,4±18,5º e pelo LoB Analytics foi de 43,9±17,7º, com uma correlação muito forte de 0,98. Foram feitas regressões lineares que confirmaram que ângulos calculados pelo LoB Analytics são tão confiáveis quanto os calculados pela Cinemetria, que é um método bastante utilizado hoje em dia. Os grandes diferenciais do LoB Analytics sobre a Cinemetria são: o seu baixo custo e a praticidade de usá-lo em laboratórios e clínicas. / The spine has an important role day by day offering the necessary flexibility for movement of the trunk besides support and locomotion of humans and being is directly related to the quality of life. The provision and articulation of the vertebrae are responsible for the stability and flexibility of spine attributes necessary for the balance. The thoracic hiper and hypo kyphosis, lumbar hiper and hypo lordosis and scoliosis are the most common postural pathologies and can be diagnosed by measuring the angle of the curvature of the spine. The radiographic method has been the most popular method for such measurement, however, it is an expensive method and also invasive (because its exposure to radiation), it is not the method more indicated to be used repeatedly, being the monitoring of treatment difficult to be done. There are several noninvasive methods but they do not combine practicality, low cost and three-dimensional analysis of the spine curvature, and they are effective in measuring the spine only in the sagittal plane. For these reasons, the health professional needs a method that has low cost, reliable, practical and noninvasive methods for measurement of the curvature of the spine. The goal of this work was develop and validate, with motion capture system (Cinemetria), a computational tool for this measurement (LoB Analytics), which will be free and open source. The mean of all Cinemetria angles was 43,9±18,5º and LoB Analytics angles was 43,9±17,7, with a very strong correlation coefficient of 0,98. Linear regressions confirmed that LoB Analytics angles are as reliable as those calculated by Cinemetria, which is a method widely used today. The differentials of LoB Analytics on Cinemetria are: low cost and practicality of using it in laboratories and clinics.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 3607.pdf: 812338 bytes, checksum: 91108524a60d3c2bfecd137f9fcbc74b (MD5) Previous issue date: 2011-03-04 / Financiadora de Estudos e Projetos / In this work, based on the article The Codazzi Equation for Surfaces by Juan A. Aledo, José M. Espinar and José A. Gálvez [8], we describe some applications of an abstract theory for the Codazzi equation on surfaces. This theory deals with abstract pairs of quadratic forms on a surface, in particular the so-called Codazzi pairs, for which the Codazzi equation is satisfied. Among the applications, we give a proof of an abstract version of a classical theorem due to Hopf on immersed spheres in Euclidean space R3 with constant mean curvature. Other applications are proofs of Liebmann s theorem on complete surfaces with constant Gaussian curvature in R3 and of Grove s theorem on the rigidity of ovaloids. We also study the existence of holomorphic quadratic differentials associated with Codazzi pairs. This is used, in particular, in the classification of complete embedded elliptic special Weingarten surfaces of non-minimal type in R3 whose Gaussian curvature does not change sign. / Nesta dissertação, baseada no artigo The Codazzi Equation for Surfaces de Juan A. Aledo, José M. Espinar e José A. Gálvez [8], descrevemos algumas aplicações de uma teoria abstrata para a equação de Codazzi em superfícies. Nessa teoria são estudados de modo abstrato, pares de formas quadráticas definidos em uma superfície satisfazendo certas propriedades, em particular os chamados pares de Codazzi, para os quais a equação de Codazzi é satisfeita. Dentre as aplicações, apresentamos uma demonstração de uma versão abstrata do clássico teorema de Hopf sobre superfícies homeomorfas à esfera imersas em R3 com curvatura média constante. Outras aplicações são demonstrações do teorema de Liebmann sobre superfícies completas em R3 com curvatura Gaussiana constante positiva e do teorema de Grove sobre rigidez dos ovalóides. Estudamos também a existência de diferenciais quadráticas holomorfas associadas a pares de Codazzi, as quais são usadas, em particular, na classificação das superfícies de Weingarten especiais elípticas de tipo não-mínimo, completas e mergulhadas em R3, cuja curvatura Gaussiana não muda de sinal.

Submitted by Aelson Maciera (aelsoncm@terra.com.br) on 2017-05-31T16:42:01Z No. of bitstreams: 1 TeseCGRF.pdf: 1149604 bytes, checksum: 8b0a42d65883e0af42693ac90b36059a (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-05-31T18:41:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseCGRF.pdf: 1149604 bytes, checksum: 8b0a42d65883e0af42693ac90b36059a (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-05-31T18:41:18Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseCGRF.pdf: 1149604 bytes, checksum: 8b0a42d65883e0af42693ac90b36059a (MD5) / Made available in DSpace on 2017-05-31T19:42:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseCGRF.pdf: 1149604 bytes, checksum: 8b0a42d65883e0af42693ac90b36059a (MD5) Previous issue date: 2016-11-10 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / In this work we study conformally flat hypersurfaces f: M3 ^ Q4(c) with three distinct principal curvatures in a space form with constant sectional curvature c, under the assumption that either its mean curvature H or its scalar curvature S is constant. In case H is constant, first we extend to any c G R a theorem due to Defever when c = 0 and show that there is no such hypersurface if H = 0. Our main results are for the minimal case H = 0. If c = 0, we prove that f (M3) is an open subset of a generalized cone over a Clifford torus in an umbilical hypersurface Q4(c) C Q4(c), c > 0, with c > c if c > 0. For c = 0, we show that, besides the cone over the Clifford torus in S3 C R4, there exists precisely a one-parameter family of (congruence classes of) minimal isometric immersions f: M3 ^ R4 with three distinct principal curvatures of simply-connected conformally flat Riemannian manifolds. Assuming S to be constant, we only study the case c = 0. We prove that f (M3) is an open subset of a cylinder over a surface of nonzero constant Gauss curvature in R3. / Nesta tese estudamos hipersuperfícies conformemente euclidianas f : M3 ^ Q4(c), com três curvaturas principais distintas e curvatura média H ou curvatura escalar S constante, em formas espaciais com curvatura seccional c. No caso em que a curvatura média H é constante, inicialmente estendemos para c arbitrário um resultado provado por Defever [10] quando c =0 e mostramos que uma tal hipersuperfície não existe se H = 0. Nossos principais resultados são para o caso mínimo H = 0. Se c = 0, mostramos que f (M3) é um subconjunto aberto de um cone generalizado sobre um toro de Clifford em uma hipersuperfície umbílica Q3(c) C Q4(c), c > 0, com c > c se c > 0. Para c = 0, mostramos que, além do cone sobre o toro de Clifford em S3 C R4, existe precisamente uma família a 1-parâmetro de hipersuperfícies conformemente euclidianas com três curvaturas principais distintas duas a duas não congruentes, sendo o cone sobre o toro de Clifford o elemento singular da família. No caso em que a curvatura escalar é constante, estudamos apenas o caso c = 0. Mostramos, nesse caso, que f (M3) é um subconjunto aberto de um cilindro sobre uma superfície de curvatura Gaussiana constante do espaço euclidiano R3.