Se estudian las líneas de curvatura de superficies compactas, orientables y conexas del espacio euclidiano. La estrategia consiste en usar las ideas de la Estabilidad Estructural y dar condiciones suficientes para la estabilidad de las líneas de curvatura cuando la superficie se perturba en la topología C3. Para tal efecto se estudia los puntos umbílicos Darbouxiano y sus separatrices, al igual que los ciclos hiperbólicos. La estructura de las líneas principales cerca de estos puntos será establecida, reduciendo su análisis a los puntos hiperbólicos singulares de los campos de Línea en el plano. Con esto se busca crear condiciones para que el conjunto de superficies compactas Σ(a, b, c, d) sea estructuralmente estable y abierto en el sentido C3. / Tesis

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CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Neste trabalho generalizaremos para o caso de curvatura escalar zero, os resultados de Simmons [14] para cones mÃnimos em Rn+1. Se Mn−1 à uma hipersuperfıcie da esfera Sn(1) representamos por C(M)" o cone truncado com base em M e centro na origem. à fÃcil ver que M tem curvatura escalar zero se, e somente se, o cone com base em M tambÃm tem curvatura escalar zero. Hounie e Leite [10] recentemente deram condiÃÃes para a elipticidade da equaÃÃo diferencial parcial da curvatura escalar. Para mostrar isto temos que assumir n maior ou igual a 4 e que a 3 â curvatura de M à diferente de zero. Para tais cones,provaremos que, para n menor ou igual a 7 existe um " para o qual o cone truncado C(M)" nÃo à estÃvel. TambÃm mostraremos que para n maior ou igual a 8 existem hipersuperfÃcies compactas e orientÃveis Mn−1 da esfera com curvatura escalar zero e S3 diferente de zero, para as quais todos os cones truncados com base em M sÃo estÃveis.

John Nash probó la existencia de inmersión e inmersión homeomorfa inyectiva isométricas de cualquier variedad Riemanniana en un espacio euclídeo de dimensión suficiente. Desde entonces el estudio de las inmersiones isométricas se ha orientado principalmente en cuatro direcciones:a) Encontrar propiedades propias de la variedad y de la inmersión que permitan establecer acotaciones o reducir la dimensión del espacio euclídeo ambiente.b) Estudio de la rigidez de las inmersiones isométricas.c) Estudio de las restricciones que puede dar el grupo o el álgebra de holonomía de la variedad ,a las inmersiones de ésta.d) Estudio de las inmersiones homeomorfas isométricas equivariantes, o sea aquellas para las que el grupo de isometrías de la variedad se incluye en el del espacio euclideo ambiente.En líneas generales, el objetivo de esta tesis consiste en aplicar el hecho ya conocido de que se puede efectuar el estudio de las inmersiones isométricas de variedades Riemannianas en espacios euclídeos, a partir del sistema de tensores obtenido por medio del fibrado normal a la variedad inmersa, a los temas siguientes:- Inmersiones en codimensión dos, con curvatura normal cero y álgebra local de holonomía no total.- Influencia del álgebra de Lie de las isometrias infinitesimales de la variedad sobre las inmersiones en codimensión dos con curvatura normal cero.- Reducción de la codimensión.- Estudio de la rigidez de la inmersión por medio de las isometrías infinitesimales de la variedad y su relación con el fibrado normal de la variedad.La estructura de la tesis consta de los siguientes capítulos:Capítulo 0.- Se da una demostración de la generalización del teorema de Bonet para inmersiones en codimensión cualquiera.Capítulo I.- Teniendo cuenta lo estudiado por Bishop, Alexander, Moore y Alexander-Maltz sobre las inmersiones isométricas para variedades producto, en codimensión igual al número de componentes de la variedad, viendo que la inmersión se puede descomponer en producto de inmersiones en codimensión uno, estos resultados nos han sugerido el estudio de las inmersiones isométricas en codimensión dos,con curvatura normal cero.Capítulo II.- Erbacher ha probado la posibilidad de reducir la codimensión de inmersiones isométricas, utilizando el paralelismo del primer espacio normal. Utilizando técnicas deducidas del capítulo cero ,en hipótesis como las de Erbacher y algunas más probamos con gran facilidad la posibilidad de reducir la codimensión. Por último damos condiciones suficientes para reducir la codimensión, utilizando los sucesivos espacios normales de la inmersión.Capítulo III.- En este capitulo se estudia la influencia del álgebra de Lie de isometrías infinitesimales de la variedad inmersa en la rigidez de dichas inmersiones. Dicha influencia puede observarse en Goldstein-Ryan al estudiar las deformaciones infinitesimales de las esferas. En concreto, nosotros estudiamos el concepto clásico de rigidez (dos inmersiones isométricas de una misma variedad son mutuamente rígidas cuando difieren en una isometría del espacio euclídeo ambiente).Capítulo IV.- En este capítulo se demuestra para variedades de dimensión dos y tres la posibilidad de obtener inmersiones isométricas, a partir de las isometrías infinitesimales de la variedad, de forma que dichas isometrías infinitesimales sean restricción de isometrías infinitesimales del espacio euclídeo ambiente.

Aquest projecte d'investigació fou concebut des del principi amb l'objectiu d'analitzar el pas de la gràfica a la seva expressió simbòlica i la seva aplicació a les funcions derivades, des d'un punt de vista teòric i a la vegada pràctic. La investigació que hem portat a terme pretén superar la divisió teoria-pràctica perquè considerem que una investigació teòrica en didàctica de la matemàtica guanya sentit si es basa en la reflexió crítica sobre l'actuació real en la institució escolar. Considerem que els més de vint anys d'experiència del doctorand en l'ensenyament secundari formen un substrat essencial sobre el qual es pot fonamentar una anàlisi teòrica que no perdi de vista la complexitat de la pràctica educativa.Darrerament ha augmentat l'interès per superar la separació entre la investigació en didàctica de les matemàtiques i la pràctica educativa i han augmentat les investigacions que pretenen estudiar allò que passa a l'aula. És a dir, l'objectiu principal és analitzar el procés constructiu que desenvolupen els alumnes quan estudien un determinat sistema organitzat de continguts en una classe real, amb tota la seva riquesa i complexitat. Des d'aquest punt de vista, l'estudi dels processos cognitius implícits en l'adquisició de determinats continguts no és l'objectiu principal, sinó que es converteix en un objectiu secundari, que pot ser útil per ajudar a explicar la complexitat de les situacions escolars reals. Una investigació que tingui com a objectiu l'evolució del procés constructiu de l'alumne al llarg del període d'instrucció, és complexa i planteja moltes dificultats, tant teòriques com pràctiques. Ara bé, en ser el doctorand el professor dels cursos que han participat en la investigació, ha estat més fàcil la recollida de la informació necessària. En aquesta investigació el doctorand ha assumit el paper del professor del curs i el paper d'investigador, procurant que la investigació no interferís ni deformés, dintre del que era possible, la normalitat de l'aula.

El objetivo principal de este trabajo es presentar la evolución del principio del máximo y algunas aplicaciones de él a problemas geométricos. En este sentido, estudiamos el comportamiento de la curvatura escalar S de hipersuperficies de curvatura media constante inmersas en espacios forma, bajo hipótesis de no-compacidad como: la completitud y la completitud estocástica, obteniendo una estimación óptima para el ínfimo de S. Además, estudiamos estas hipersuperficies con las condiciones de dos curvaturas principales y que verifiquen el principio del máximo de Omori-Yau, derivando una estimación óptima para el supremo de S. Por último, damos un principio débil del máximo del operador diferencial L, introducido por Cheng y Yau [19] para el estudio de hipersuperficies completas de curvatura escalar constante, y presentamos una aplicación donde se estima el ínfimo de la curvatura media de estas hipersuperficies. Los resultados de este trabajo están recogidos en los artículos [5], [6] y [7]. / The goal of this work is to show the evolution of the maximum principle and several applications of this to geometric problems. In this sense, we study the behavior of the scalar curvature S of hypersurfaces immersed with constant mean curvature into a Riemannian space form, under non-compactness’s hypotheses as: the completeness and the stochastic completeness, obtaining a sharp estimate for the infimum of S. Moreover, we study these hypersurfaces with the conditions of two principal curvatures and satisfying the Omori-Yau maximum principle, deriving a sharp estimate for the supremum of S. Finally, we establish a weak maximum principle of differential operator L, introduced by Cheng and Yau [19] for study of complete hypersurfaces with constant scalar curvature , and give an application where we estimate the infimum of the mean curvature of these hypersurfaces . The results of this work are collected in the papers [5], [6] and [7].

Cuaderno de trabajo del curso Cálculo Diferencial de Arquitectura (MA102), que corresponde al ciclo 2014-01. Este documento contiene parte de la teoría que se desarrolla en cada sesión de clase, ejercicios y problemas de modelación. Incluye además ejercicios propuestos y sus respuestas.

Cuaderno de trabajo del curso Cálculo Diferencial de Arquitectura (MA102), que corresponde al ciclo 2014-2. Este documento contiene parte de la teoría que se desarrolla en cada sesión de clase, ejercicios y problemas de modelación. Incluye además ejercicios propuestos y sus respuestas.

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