dans cette thèse, je m'intéresse au problème de classification des flots d'Anosov de décomposition lisse. Sous certaines conditions géométriques supplémentaires, j'ai obtenu une serie de résultats de classification, et mon point de départ est une idée appellée ``aller et retour''. Une des corollaires de mes résultats de classification est la suivante: Soit \Phi le feuilletage orbital du flot géodésique d'une variété hyperbolique fermée de dimension au moins 3. Soit \Psi un autre feuilletage de dimension un. Si ces deux feuilletages sont C^1 conjugués, alors ils sont forcément C^\infty conjugués.

La représentation d'une surface, son lissage et son utilisation pour l'identification, la comparaison, la classification, et l'étude des variations de volume, de courbure ou de topologie sont omniprésentes dans l'aire de la numérisation. Parmi les méthodes mathématiques, nous avons retenu les transformations difféomorphiques d'un pattern de référence. Il y a un grand intérêt théorique et numérique à approcher un difféomorphisme arbitraire par des difféomorphismes engendrés par des champs de vitesses. Sur le plan théorique la question est : "est-ce que le sous-groupe de difféomorphismes engendrés par des champs de vitesses est dense dans le groupe plus large de Micheletti pour la métrique de Courant ?" Malgré quelques progrès réalisés ici, cette question demeure ouverte. Les pistes empruntées ont alors convergé vers le sous-groupe de Azencott et de Trouvé et sa métrique dans le cadre de l'imagerie. Elle correspond à une notion de géodésique entre deux difféomorphismes dans leur sous-groupe. L'optimisation est utilisée pour obtenir un système d'équations état adjoint caractérisant la solution optimale du problème d'identification à partir des observations. Cette approche est adaptée à l'identification de surfaces obtenues par un numériseur tel que, par exemple, le scan d'un visage. Ce problème est beaucoup plus difficile que celui d'imagerie. On doit alors introduire un système de référence courbe et une surface à facettes pour les calculs. On donne la formulation du problème d'identification et du calcul du changement de volume par rapport à un scan de référence. / The representation of a surface, its smoothing, and its use in identification, comparison, classification, and in the study of changes in volume, curvature, and topology are ubiquitous in the area of the scanning. Among mathematical methods, we have retained the diffeomorphisms of a reference pattern. There is a considerable interest, both theoretical and numerical, in approximating an arbitrary diffeomorphism by diffeomorphisms generated by velocity fields. On the theoretical front the question is : "is the subgroup of diffeomorphisms generated by velocity fields dense in Micheletti's larger group endowed with the Courant metric ?" In spite of some progress, the question remains open. The tracks followed have converged towards the subgroup of Lipschitzian diffeomorphisms of Azencott and Trouvé and its metric developed for imaging. It corresponds to a notion of geodesic between two diffeomorphisms in their subgroup. Optimization is then used to obtain a system of equations of the state adjoint state type characterizing the optimal solution of the identification problem from observations. This approach is adapted to the identification of surfaces obtained from a scanner such as, for instance, the scan of a face. This problem is much more difficult than the one of imaging. We introduce a curvilinear reference system and a faceted surface for numerical computations. We provide a formulation of the identification problem and of the computation of the change of volume from a reference scan.

La représentation d'une surface, son lissage et son utilisation pour l'identification, la comparaison, la classification, et l'étude des variations de volume, de courbure ou de topologie sont omniprésentes dans l'aire de la numérisation. Parmi les méthodes mathématiques, nous avons retenu les transformations difféomorphiques d'un pattern de référence. Il y a un grand intérêt théorique et numérique à approcher un difféomorphisme arbitraire par des difféomorphismes engendrés par des champs de vitesses. Sur le plan théorique la question est : "est-ce que le sous-groupe de difféomorphismes engendrés par des champs de vitesses est dense dans le groupe plus large de Micheletti pour la métrique de Courant ?" Malgré quelques progrès réalisés ici, cette question demeure ouverte. Les pistes empruntées ont alors convergé vers le sous-groupe de Azencott et de Trouvé et sa métrique dans le cadre de l'imagerie. Elle correspond à une notion de géodésique entre deux difféomorphismes dans leur sous-groupe. L'optimisation est utilisée pour obtenir un système d'équations état adjoint caractérisant la solution optimale du problème d'identification à partir des observations. Cette approche est adaptée à l'identification de surfaces obtenues par un numériseur tel que, par exemple, le scan d'un visage. Ce problème est beaucoup plus difficile que celui d'imagerie. On doit alors introduire un système de référence courbe et une surface à facettes pour les calculs. On donne la formulation du problème d'identification et du calcul du changement de volume par rapport à un scan de référence. / The representation of a surface, its smoothing, and its use in identification, comparison, classification, and in the study of changes in volume, curvature, and topology are ubiquitous in the area of the scanning. Among mathematical methods, we have retained the diffeomorphisms of a reference pattern. There is a considerable interest, both theoretical and numerical, in approximating an arbitrary diffeomorphism by diffeomorphisms generated by velocity fields. On the theoretical front the question is : "is the subgroup of diffeomorphisms generated by velocity fields dense in Micheletti's larger group endowed with the Courant metric ?" In spite of some progress, the question remains open. The tracks followed have converged towards the subgroup of Lipschitzian diffeomorphisms of Azencott and Trouvé and its metric developed for imaging. It corresponds to a notion of geodesic between two diffeomorphisms in their subgroup. Optimization is then used to obtain a system of equations of the state adjoint state type characterizing the optimal solution of the identification problem from observations. This approach is adapted to the identification of surfaces obtained from a scanner such as, for instance, the scan of a face. This problem is much more difficult than the one of imaging. We introduce a curvilinear reference system and a faceted surface for numerical computations. We provide a formulation of the identification problem and of the computation of the change of volume from a reference scan.

Les travaux de ma thèse s'articulent en trois parties distinctes.Dans la première partie j'étudie les mesures de Malliavin-Shavguldize sur les difféomorphismes du cercle et de l'intervalle. Il s'agit de mesures de type " Haar " pour ces groupes de dimension infinie : elles furent introduites il a une vingtaine d'années pour permettre une étude de leur théorie des représentations. Un premier chapitre est dédié à recueillir les résultats présents dans la littérature et et les représenter dans une forme plus étendue, avec un regard particulier sur les propriétés de quasi-invariance de ces mesures. Ensuite j'étudie de problèmes de nature plus dynamique : quelle est la dynamique qu'on doit s'attendre d'un difféomorphisme choisi uniformément par rapport à une mesure de Malliavin-Shavguldize ? Je démontre en particulier qu'il y a une forte présence des difféomorphismes de type Morse-Smale.La partie suivante vient de mon premier travail publié, obtenu en collaboration avec Andrés Navas. Inspirés d'un théorème récent de Avila et Kocsard sur l'unicité des distributions invariantes par un difféomorphisme lisse minimal du cercle, nous analysons le même problème en régularité faible, avec des argument plus géométriques.La dernière partie est constituée des résultats récemment obtenus avec Mikhail Khristoforov et Victor Kleptsyn. Nous abordons les problèmes reliés à la gravité quantique de Liouville en étudiant des espaces auto-similaires qui sont la limite de graphes finis. Nous démontrons qu'il est possible de trouver des distances aléatoires non-triviales sur ces espaces qui sont compatibles avec la structure auto-similaire.

La microscopie confocale classique permet d'obtenir des images à haute résolution de cellules en culture ou dans un tissu biologique excisé. Cette technologie peut être adaptée aux applications in vivo grâce à l'utilisation de fibres optiques et d'optiques miniaturisées. A terme, la microscopie confocale fibrée devrait permettre aux médecins et biologistes de réaliser des biopsies optiques; c'est à dire un examen histologique, en temps réel, des tissus biologiques à l'intérieur d'un organisme vivant et directement au contact de la zone d'intérêt.<br /><br />Le but premier de cette thèse est de dépasser les limites matérielles de ces instruments d'imagerie en développant des outils de recalage d'images spécifiques et innovants. En particulier, le propos de ce manuscrit est cadré par l'objectif de proposer, au travers d'outils de création de mosaïques d'images, des biopsies optiques à grand champ aux médecins. Cette application est considérée, dans cette thèse, comme un système, ou un circuit, qui prendrait en entrée un flot de données brutes et délivrerait en sortie des mosaïques d'images à grand champ. Nous détaillons les éléments critiques de ce système, en particulier la reconstruction d'images en temps réel, le recalage linéaire d'images et le recalage non linéaire, avant de présenter la structure du système complet.<br /><br />Les données brutes produites par la microscopie confocale fibrée sont difficiles à interpréter parce qu'elle sont modulées par la structure en nid d'abeille du réseau de fibres optiques et parce qu'elle sont entachées d'artefacts géométriques. Dans ce contexte, nous montrons qu'une reconstruction en temps réel des images peut être utilisée en pré-traitement afin de produire des séquences vidéos directement interprétables. Comme la microscopie confocale fibrée est une imagerie qui se fait au contact des tissus, le mouvement relatif du tissu par rapport à la sonde optique implique qu'il est parfois difficile d'obtenir de manière robuste certaines mesures quantitatives d'intérêt. Nous avons donc attaqué le problème du recalage linéaire, efficace et robuste de paires d'images. Nous montrons que des outils récents provenant du domaine du contrôle robotique par la vision peuvent surpasser les solutions standards utilisées en analyse d'images biomédicales. L'adéquation de ces outils au problème du recalage linéaire d'images nous a amenés à revisiter le problème du recalage non-linéaire. En interprétant le recalage non-linéaire comme un problème d'optimisation sur un groupe de Lie, nous développons un algorithme rapide de recalage difféomorphe non-paramétrique d'images. En plus d'être difféomorphe, notre algorithme produit des résultats qui sont similaires à ceux de l'algorithme des démons de Thirion mais qui sont plus lisses et plus proche de la vérité.<br /><br />Finalement, nous obtenons une boîte à outils de reconstruction et de recalage d'images que nous utilisons pour proposer un algorithme robuste de création de mosaïques d'images qui permette de calculer un alignement globalement cohérent à partir de résultats locaux, de compenser les distorsions liées au mouvement et de retrouver les déformations non-rigides. Par ailleurs, notre algorithme de mosaïques d'images a récemment été incorporé dans un essai clinique multicentrique. Cet essai illustre l'intérêt clinique de nos outils dans le cadre spécifique de la surveillance de l'œsophage de Barrett.

Les travaux présentés dans ce mémoire, portent essentiellement sur la théorie géométrique des systèmes dynamiques. Ils sont regroupés dans deux sections distinctes qui couvrent l'essentiel de mes recherches :<ul><li> L'étude de la dynamique et de la morphologie des homéomorphismes des surfaces,</li><li>L'utilisation de méthodes géométriques dans l'étude de certaines équations aux dérivées partielles apparaissant en mécanique et en hydrodynamique.</li></ul>Ce mémoire récapitule les travaux de dix-neuf articles groupés par thèmes et présentés dans l'ordre chronologique de leur élaboration.

Cette thèse est dédiée à l’étude de la géométrie sous-riemannienne en dimension infinie, et à ses applications à l’analyse des déformations par difféomorphismes. La première partie du manuscrit est un résumé détaillé des travaux effectués. La seconde compile les articles rédigés pendant ces trois dernières années. On étend d’abord à la dimension infinie le cadre de la géométrie sous-riemannienne classique, en établissant notamment des conditions assurant l’existence d’un flot géodésique. Puis, on applique ces résultats aux structures sous-riemanniennes fortes et invariantes à droite sur le groupe des difféomorphismes d’une variété. On définit ensuite rigoureusement les espaces de formes, notion jusqu’alors assez vague dans la littérature. Il s’agit de variétés de Banach sur lesquelles un groupe de difféomorphismes a une action satisfaisant certaines propriétés. On construit alors diverses structures sous-riemanniennes sur ces espaces de formes grâce à cette action. Enfin, on ajoute des contraintes aux déformations possibles et on formule les problèmes d’analyse de formes dans un cadre relevant de la théorie du contrôle optimal en dimension infinie. On démontre un principe du maximum de type Pontryagin adapté à ce contexte, permettant d’établir les équations géodésiques contraintes. Des algorithmes pour la recherche de déformations optimales sont ensuite développés et appuyés par des simulations numériques dans le chapitre 7. Ils unifient et étendent des méthodes précédemment établies pour l’analyse de formes dans le domaine de l’image. / This manuscript is dedicated to the study of infinite dimensional sub-Riemannian geometry and its applications to shape analysis using dieomorphic deformations. The first part is a detailed summary of our work, while the second part combines the articles we wrote during the last three years. We first extend the framework of sub- Riemannian geometry to infinite dimensions, establishing conditions that ensure the existence of a Hamiltonian geodesic flow. We then apply these results to strong right- invariant sub-Riemannian structures on the group of diffeomorphisms of a manifold. We then define rigorously the abstract concept shape spaces. A shape space is a Banach manifold on which the group of diffeomorphisms of a manifold acts in a way that satisfy certain properties. We then define several sub-Riemannian structures on these shape spaces using this action, and study these. Finally, we add constraints to the possible deformations, and formulate shape analysis problems in an infinite dimensional control theoritic framework. We prove a Pontryagin maximum principle adapted to this context, establishing the constrained geodesic equations. Algorithms for fin- ding optimal deformations are then developped, supported by numerical simulations. These algorithms extend and unify previously established methods in shape analysis.

Dans l'analyse d'images médicales, les déformations géométriques sont utilisées pour modéliser la variabilité entre les patients. Dans les applications orthopédiques, la variabilité géométrique est habituellement observable à différentes échelles. Dans le cas des os mandibulaires, par exemple, on observe des différences anatomiques entre le côté gauche et droit sur une échelle grossière, ou entre les dents sur une échelle plus fine. Chaque niveau de granularité contient des régions d'intérêt pour les applications cliniques. La difficulté est de relier les déformations géométriques avec les régions d'intérêt pour chaque type d'échelles. Dans cette thèse, nous présentons cette liaison par l'introduction du recalage difféomorphe et structuré. Le coeur de notre méthode est le paramétrage des déformations géométriques avec des arbres de transformations localement affines qui décrivent la variabilité entre les patients. En second lieu, nous modélisons statistiquement les paramètres de déformations dans une population par la formulation d'un modèle statistique génératif. Cette méthode nous permet d'intégrer des statistiques de déformations comme une probabilité a priori dans un cadre Bayésien et elle nous permet d'étendre le recalage classique d'un schéma grossier à un schéma fin avec une optimisation simultanée pour toutes les échelles. Nous validons notre approche sur plusieurs applications orthopédiques: la conception des implants pour une population, des simulations biomécaniques et la sélection d'allogreffes. L'amélioration de l'intelligibilité pour les cliniciens et de la précision obtenue fait de notre méthode un candidat prometteur pour des usages cliniques.

Cette thèse comporte deux parties, axées sur des aspects différents de la géométrie lorentzienne. La première partie porte sur les groupes d'isométries de surfaces lorentziennes globalement hyperboliques spatialement compactes, particulièrement lorsque le groupe exhibe une dynamique non triviale (action non propre). Le groupe d'isométries agit naturellement sur le cercle par difféomorphismes, et les résultats principaux portent sur la classification de ces représentations. Sous une hypothèse sur le bord conforme, on obtient une conjugaison par homéomorphisme avec l'action projective d'un sous-groupe de PSL(2,R) ou de l'un de ses revêtements finis. La différentiabilité de la conjuguante est étudiée, avec des résultats qui garantissent une conjugaison dans le groupe de difféomorphismes du cercle dans certains cas. On donne également des contre-exemples à l'existence d'une conjugaison différentiable, y compris pour des groupes ayant une dynamique riche. Ces constructions s'appuient sur l'étude de flots hyperboliques en dimension trois. Sans l'hypothèse sur le bord conforme, on obtient une semi conjugaison et un isomorphisme de groupes. On construit également des exemples pour lesquels il n'existe pas de conjugaison topologique. La seconde partie de cette thèse étudie un espace-temps vu comme un système dynamique multi-valuée : à un point on associe sont futur causal. Cette approche, déjà présente dans les travaux de Fathi et Siconolfi, permet de concrétiser le lien entre fonctions de Lyapunov en systèmes dynamiques et fonctions temps. Le résultat principal est une version lorentzienne du Théorème de Conley : on peut définir l'ensemble récurrent par chaînes d'un espace-temps, et il existe une fonction continue croissante le long de toute courbe causale orientée vers le futur, strictement croissante si le point de départ de la courbe n'est pas dans l'ensemble récurrent par chaînes. Ces techniques s'adaptent aussi dans un espace-temps stablement causal, ce qui permet de donner une nouvelle preuve d'une partie du Théorème d'Hawking.

Cette thèse comporte deux parties, axées sur des aspects différents de la géométrie lorentzienne. La première partie porte sur les groupes d’isométries de surfaces lorentziennes globalement hyperboliques spatialement compactes, particulièrement lorsque le groupe exhibe une dynamique non triviale (action non propre). Le groupe d'isométries agit naturellement sur le cercle par difféomorphismes, et les résultats principaux portent sur la classification de ces représentations. Sous une hypothèse sur le bord conforme, on obtient une conjugaison par homéomorphisme avec l'action projective d'un sous-groupe de PSL(2,R) ou de l'un de ses revêtements finis. La différentiabilité de la conjuguante est étudiée, avec des résultats qui garantissent une conjugaison dans le groupe de difféomorphismes du cercle dans certains cas. On donne également des contre-exemples à l'existence d'une conjugaison différentiable, y compris pour des groupes ayant une dynamique riche. Ces constructions s'appuient sur l'étude de flots hyperboliques en dimension trois. Sans l'hypothèse sur le bord conforme, on obtient une semi conjugaison et un isomorphisme de groupes. On construit également des exemples pour lesquels il n'existe pas de conjugaison topologique. La seconde partie de cette thèse étudie un espace-temps vu comme un système dynamique multi-valuée : à un point on associe sont futur causal. Cette approche, déjà présente dans les travaux de Fathi et Siconolfi, permet de concrétiser le lien entre fonctions de Lyapunov en systèmes dynamiques et fonctions temps. Le résultat principal est une version lorentzienne du Théorème de Conley : on peut définir l'ensemble récurrent par chaînes d'un espace-temps, et il existe une fonction continue croissante le long de toute courbe causale orientée vers le futur, strictement croissante si le point de départ de la courbe n'est pas dans l'ensemble récurrent par chaînes. Ces techniques s'adaptent aussi dans un espace-temps stablement causal, ce qui permet de donner une nouvelle preuve d'une partie du Théorème d'Hawking. / This thesis is divided into two parts, dealing with two different aspects of Lorentzian geometry. The first part deals with isometry groups of globally hyperbolic spatially compact Lorentz surfaces, especially when it has a non trivial dynamical behavior (non proper action). The isometry group acts on circle by diffeomorphisms, and the main results of this part concern the classification of these actions. Under a hypothesis on the conformal boundary, we show that they are topologically conjugate to the projective action of a subgroup of PSL(2,R), or one of its finite covers. The differentiability of the conjugacy is studied, with some results giving a differentiable conjugacy under additional hypotheses. We also give counter examples to such a differentiable conjugacy, even for groups with rich dynamics. These constructions use hyperbolic flows on three manifolds. Without the hypothesis on the conformal boundary, we obtain a semi conjugacy and a group isomorphism. We also give examples where a topological conjugacy cannot exist. In the second part of this thesis, we see a spacetime as a multi valued dynamical system: we map a point to its causal future. This point of view was already adopted by Fathi and Siconolfi, and it gives a concrete meaning to the link between Lyapunov functions in dynamical systems and time functions. The main result is a Lorentzian version of Conley's Theorem: we define the chain recurrent set of a spacetime, and construct a continuous function that increases along future directed causal curves outside the chain recurrent set, and that is non decreasing along other future curves. These techniques also apply to the stably causal setting, and we obtain a new proof of a part of Hawking's Theorem.