Le couplage diphasique-turbulence est une propriété clé des écoulements cavitants, qui est un frein important à l’amélioration des modèles de cavitation et de turbulence. Réaliser des simulations directes (DNS) est le moyen proposé ici pour s’affranchir du modèle de turbulence et obtenir des informations nouvelles sur les phénomènes mis en jeu. Ce type de simulation est exigeant sur le plan numérique, et requiert le développement d’un solveur spécifique intégrant les spécificités des modèles de cavitation. Cela inclue notamment des schémas de discrétisation d’ordre élevé, un solveur direct, et une résolution multi-domaines associée à une parrallélisation efficace. Une discrétisation par différences compactes finies s’avère être le meilleur choix. La contrainte de rapidité et de parrallélisation impose un algorithme où les systèmes résoudre n’impliquent des multiplications des variables implicites que par des coefficients invariants au cours du calcul. Un nouvel algorithme réunissant ces critères a été développé durant cette thèse, à partir de la combinaison de la méthode de Concus & Golub et d’une méthode de projection, qui permet de résoudre les équations associées à la modélisation homogène de la cavitation. Une nouvelle approche de vérification de ce nouvel algorithme est également proposée et mise en œuvre sur la base de la méthode des solutions manufacturées (MMS). / Cavitation-turbulence interactions are problematic aspect of cavitating flows which imposes limitations in development of better cavitation and turbulence models. DNS simulations with homogeneous mixture approach are proposed to overcome this and offer more insight into the phenomena. As DNS simulations are highly demanding and a variety of cavitation models exists, a tool devoted specifically to them is needed. Such tools usually demand application of highly accurate discretization schemes, direct solvers and multi domain methods enabling good scaling of the codes. As typical cavitating flow geometries impose limits on suitable discretization methods, compact finite differences offer the most appropriate discretization tool. The need for fast solvers and good code scalability leads to request for an algorithm, capable of stable and accurate cavitating flow simulations where solved systems feature multiplication of implicitly treated variables only by constant coefficients. A novel algorithm with such ability was developed in the scope of this work using Concus and Golub method introduced into projection methods, through which the governing equations for homogeneous mixture modeling of cavitating flows can be resolved. Work also proposes an effective and new approach for verification of the new and existing algorithms on the basis of Method of Manufactured Solutions.

Le retournement temporel exploite la réversibilité temporelle de l’équation d’onde dans les milieux sans perte. Cela implique qu’une onde émise par une source peut rebrousser chemin et se focaliser sur sa source originale par le biais d’un miroir à retournement temporel. Cette focalisation permet de situer l’emplacement de cette source. Le but de cette thèse est d’exploiter le phénomène de retournement temporel d’ondes électromagnétiques en vue de la localisation et la caractérisation partielle d’objets diffractants enfouis dans un milieu sans perte. Notre étude est menée dans le domaine temporel large bande en se basant sur une modélisation numérique par la technique d’intégration finie.Le domaine temporel est un domaine assez peu exploré dans la littérature contrairement au domaine fréquentiel. La principale problématique est la détermination de l’instant de focalisation qui nous permet de choisir la distribution des champs à partir de laquelle les objets diffractants seront localisés. Nous introduisons dans ce manuscrit un critère de choix d’instant de focalisation qui est comparé tout au long des études entreprises au critère du minimum d’entropie.La démarche empruntée exploite l’analyse de cartographies d’énergie électromagnétique en deux et trois dimensions. Elle est validée dans un premier temps par l’analyse de configurations canoniques exploitant des données synthétiques obtenues par simulation. L’influence de divers paramètres relatifs aux objets diffractants est étudiée de même que l’impact du nombre d’émetteurs récepteurs du miroir à retournement temporel. Dans une seconde étape une expérimentation contrôlée en chambre anéchoïque à SUPELEC est réalisée en utilisant des antennes en régime harmonique et en régime impulsionnel. / Time reversal is, as is now well-known, exploiting the temporal reversibility of the wave equation in assumed lossless media. To summarize, it implies that a wave emitted by a given source may turn back and thereupon focus onto its original source by means of a so-called Time Reversal Mirror (TRM), which operation, properly simulated from field data acquired in a given measurement domain, could enable us to locate the source indeed. The aim of this thesis is to exploit the phenomenon of time reversal for the localization and the partial characterization, whenever possible, of diffracting objects (dielectric and conducting scatterers, in which sources are induced by given antennas, usually dipole-like) that are buried in a lossless medium (it can be a free space or a half-space) within a fully 3-D transient electromagnetic context. Time-domain certainly is a less explored area in the literature than frequency-domain, and this 3-D context (even if some 2-D validation studies are led also in the present work) is particularly demanding, computatinally speaking as well as at the level of real laboratory experiments. In addition, it requires that we be able to accurately compute the vector electromagnetic field in this time domain in an appropriate wideband situation, as well as whatever field is time reversed during the experiments, which are tasks performed via a full-wave Finite Integration Technique (FIT) developed at LGEP as is validated and discussed in some length in the manuscript. The main problem however is the determination of the moment of focus which would enable us determine the location of the scatterers at least to some extent. Here, to that effect, we introduce and discuss in depth a new criterion of choice of the instant of focus, which is in particular compared throughout the studies undertaken to the usually employed minimum entropy criterion. Influences of the various parameters of the scatterers themselves and of the measurement set-ups are thoroughly discussed on the way. Let us emphasize that what matters to us is the behavior of the (time-reversed) electromagnetic energy and not only of the electric field as standard, that is, the approach taken builds and uses the analysis of energy maps obtained by the aforementioned 3-D numerical modeling. Beyond the modeling of pure synthetic field data and discussions thereof, much attention is also given to leading controlled experiments on canonical targets using both transient and frequency-diverse time-harmonic sources within an anechoic chamber which was made available to us in SUPELEC.

Dans cette thèse, nous étudions la formation de domaines ferroélectriques dans des nanostructures, à partir d'une modélisation faisant intervenir les équations de Ginzburg-Landau et d’Électrostatique, ainsi que des conditions aux limites d'application potentielle. Dans la première partie de la thèse, les nanostructures sont constituées d'une couche ferroélectrique entièrement enclavée dans un environnement paraélectrique. Nous introduisons un modèle depuis un couplage de ces équations et élaborons, pour son investigation, un schéma numérique faisant usage d’Éléments Finis. Des simulations numériques montrent l'efficacité de ce schéma, qui permet d'établir, par exemple, l'existence de cycles d'hystérésis sous l'influence de paramètres aussi bien physiques que géométriques. Dans la seconde partie, les nanostructures sont constituées d'une couche ferroélectrique partiellement enclavée qui s'intercale entre deux couches paraélectriques. Deux modèles sont proposés à partir d'une variante du couplage réalisé dans la première partie, et se distinguent dans la prescription des conditions aux limites. Des conditions de type Neumann interviennent dans le premier modèle, pour lequel un schéma numérique aussi basé sur des approximations par Eléments Finis est introduit. Dans le second modèle, des conditions périodiques sont prises en considération ; un schéma numérique s'appuyant ici sur une hybridation des méthodes de Différences Finies et d'Eléments Finis est présenté. Les simulations numériques basées sur ces deux schémas permettent de renseigner sur les permittivités dites effectives, des nanostructures, ou encore sur la constitution des parois de domaines ferroélectriques / In this thesis, we study the formation of ferroelectric domains in nanostructures by modeling based on the Ginzburg-Landau and Electrostatics equations, together with boundary conditions that are suitable for real applications. In the first part of the thesis, the nanostructures are made up of a ferroelectric layer, fully enclosed in a paraelectric environment. We introduce a model based on the coupled system of equations and then develop, for its investigation, a numerical scheme using Finite Elements. Numerical simulations show the efficiency of this scheme, which allows us to establish, for instance, the existence of hysteresis cycles under the influence of physical or geometric parameters. In the second part, the nanostructures are made up of a partially enclosed ferroelectric layer that lies between two paraelectric layers. Two models are introduced from a variant of the coupling performed in the first part, and differ in the prescription of the boundary conditions. Neumann type conditions are prescribed in the first model, for which a numerical scheme also based on Finite Element approximations is developed. In the second model, periodic conditions are taken into account; a numerical scheme based on a combination of Finite Difference and Finite Element methods is presented. Numerical simulations from these schemes allow us, for instance, to investigate the so-called effective permittivities, of the nanostructures, or the formation of ferroelectric domain walls

L’objet de cette thèse est l’étude de problèmes d’évaluation d’options dans les modèles à volatilité stochastique. La première partie est centrée sur les options américaines dans le modèle de Heston. Nous donnons d’abord une caractérisation analytique de la fonction de valeur d’une option américaine comme l’unique solution du problème d’obstacle parabolique dégénéré associé. Notre approche est basée sur des inéquations variationelles dans des espaces de Sobolev avec poids étendant les résultats récents de Daskalopoulos et Feehan (2011, 2016) et Feehan et Pop (2015). On étudie aussi les propriétés de la fonction de valeur d’une option américaine. En particulier, nous prouvons que, sous des hypothèses convenables sur le payoff, la fonction de valeur est décroissante par rapport à la volatilité. Ensuite nous nous concentrons sur le put américaine et nous étendons quelques résultats qui sont bien connus dans le monde Black-Scholes. En particulier nous prouvons la convexité stricte de la fonction de valeur dans la région de continuation, quelques propriétés de la frontière libre, la formule de Prime d’Exercice Anticipée et une forme faible de la propriété du smooth fit. Les techniques utilisées sont de type probabiliste. Dans la deuxième partie nous abordons le problème du calcul numérique du prix des options européennes et américaines dans des modèles à volatilité stochastiques et avec sauts. Nous étudions d’abord le modèle de Bates-Hull-White, c’est-à-dire le modèle de Bates avec un taux d’intérêt stochastique. On considère un algorithme hybride rétrograde qui utilise une approximation par chaîne de Markov (notamment un arbre “avec sauts multiples”) dans la direction de la volatilité et du taux d’intérêt et une approche (déterministe) par différence finie pour traiter le processus de prix d’actif. De plus, nous fournissons une procédure de simulation pour des évaluations Monte Carlo. Les résultats numériques montrent la fiabilité et l’efficacité de ces méthodes. Finalement, nous analysons le taux de convergence de l’algorithme hybride appliqué à des modèles généraux de diffusion avec sauts. Nous étudions d’abord la convergence faible au premier ordre de chaînes de Markov vers la diffusion sous des hypothèses assez générales. Ensuite nous prouvons la convergence de l’algorithme: nous étudions la stabilité et la consistance de la méthode hybride par une technique qui exploite les caractéristiques probabilistes de l’approximation par chaîne de Markov / We study option pricing problems in stochastic volatility models. In the first part of this thesis we focus on American options in the Heston model. We first give an analytical characterization of the value function of an American option as the unique solution of the associated (degenerate) parabolic obstacle problem. Our approach is based on variational inequalities in suitable weighted Sobolev spaces and extends recent results of Daskalopoulos and Feehan (2011, 2016) and Feehan and Pop (2015). We also investigate the properties of the American value function. In particular, we prove that, under suitable assumptions on the payoff, the value function is nondecreasing with respect to the volatility variable. Then, we focus on an American put option and we extend some results which are well known in the Black and Scholes world. In particular, we prove the strict convexity of the value function in the continuation region, some properties of the free boundary function, the Early Exercise Price formula and a weak form of the smooth fit principle. This is done mostly by using probabilistic techniques.In the second part we deal with the numerical computation of European and American option prices in jump-diffusion stochastic volatility models. We first focus on the Bates-Hull-White model, i.e. the Bates model with a stochastic interest rate. We consider a backward hybrid algorithm which uses a Markov chain approximation (in particular, a “multiple jumps” tree) in the direction of the volatility and the interest rate and a (deterministic) finite-difference approach in order to handle the underlying asset price process. Moreover, we provide a simulation scheme to be used for Monte Carlo evaluations. Numerical results show the reliability and the efficiency of the proposed methods.Finally, we analyze the rate of convergence of the hybrid algorithm applied to general jump-diffusion models. We study first order weak convergence of Markov chains to diffusions under quite general assumptions. Then, we prove the convergence of the algorithm, by studying the stability and the consistency of the hybrid scheme, in a sense that allows us to exploit the probabilistic features of the Markov chain approximation

Les méthodes particulaires sont des méthodes numériques adaptées à la résolution d'équations de conservation. Leur principe consiste à introduire des particules ``numériques'' conservant localement l'inconnue sur un petit volume, puis à les transporter le long de leur trajectoire. Lorsqu'un terme source est présent dans les équations, l'évolution de la solution le long des caractéristiques est prise en compte par une intéraction entre les particules. Ces méthodes possèdent de bonnes propriétés de conservation et ne sont pas soumises aux conditions habituelles de CFL qui peuvent être contraignantes pour les méthodes Eulériennes. Cependant, une contrainte de recouvrement entre les particules doit être satisfaite pour vérifier des propriétés de convergence de la méthode. Pour satisfaire cette condition de recouvrement, un remaillage périodique des particules est souvent utilisé. Elle consiste à recréer régulièrement de nouvelles particules uniformément réparties, à partir de celles ayant été advectées à l'itération précédente. Quand cette étape de remaillage est effectuée à chaque pas de temps, l'analyse numérique de ces méthodes particulaires remaillées nécessite d'être reconsidérée, ce qui représente l'objectif de ces travaux de thèse. Pour mener à bien cette analyse, nous nous basons sur une analogie entre méthodes particulaires avec remaillage et schémas de grille. Nous montrons que pour des grands pas de temps les schémas numériques obtenus souffrent d'une perte de précision. Nous proposons des méthodes de correction, assurant la consistance des schémas en tout point de grille, le pas de temps étant contraint par une condition sur le gradient du champ de vitesse. Cette méthode est construite en dimension un. Des techniques de limitation sont aussi introduites de manière à remailler les particules sans créer d'oscillations en présence de fortes variations de la solution. Enfin, ces méthodes sont généralisées aux dimensions plus grandes que un en s'inspirant du principe de splitting d'opérateurs. Les applications numériques présentées dans cette thèse concernent la résolution de l'équation de transport sous forme conservative en dimension un à trois, dans des régimes linéaires ou non-linéaires. / Particle methods are numerical methods designed to solve advection dominated conservation equations. Their principle is to introduce ``numerical'' particles that concentrate the unknown locally on a small volume, and to transport them along their trajectories. These methods have good conservation properties and are not subject to the usual CFL conditions that can be binding for the Eulerian methods. However, an overlap condition must be satisfied between the particles to ensure convergence properties of the method. To satisfy this condition, a periodic remeshing of the particles is often used. New particles uniformly distributed are created on a regular mesh. When this remeshing step is performed at every time step, numerical analysis of particle methods needs to be revisited. This is the purpose of this thesis. To carry out this analysis, we rely on an analogy between remeshed particle methods and grid schemes. We show that for large time step the numerical schemes have a loss of accuracy. We propose correction methods wich ensure consistency at any grid point, provided the time step satisfies a condition based on the gradient of the velocity field. Limitation techniques are also introduced to remesh particles without creating any oscillations in the presence of strong variations of the solution. Finally, these methods are generalized to dimensions greater than one. Numerical example on various transport equations are given to illustrate the benefit of the proposed algorithms.

Les neurosciences computationnelles ont permis de développer des outils mathématiques et informatiques permettant la création, puis la simulation de modèles représentant le comportement de certaines composantes de notre cerveau à l’échelle cellulaire. Ces derniers sont utiles dans la compréhension des interactions physiques et biochimiques entre les différents neurones, au lieu d’une reproduction fidèle des différentes fonctions cognitives comme dans les travaux sur l’intelligence artificielle. La construction de modèles décrivant le cerveau dans sa globalité, en utilisant une homogénéisation des données microscopiques est plus récent, car il faut prendre en compte la complexité géométrique des différentes structures constituant le cerveau. Il y a donc un long travail de reconstitution à effectuer pour parvenir à des simulations. D’un point de vue mathématique, les différents modèles sont décrits à l’aide de systèmes d’équations différentielles ordinaires, et d’équations aux dérivées partielles. Le problème majeur de ces simulations vient du fait que le temps de résolution peut devenir très important, lorsque des précisions importantes sur les solutions sont requises sur les échelles temporelles mais également spatiales. L’objet de cette étude est d’étudier les différents modèles décrivant l’activité électrique du cerveau, en utilisant des techniques innovantes de parallélisation des calculs, permettant ainsi de gagner du temps, tout en obtenant des résultats très précis. Quatre axes majeurs permettront de répondre à cette problématique : description des modèles, explication des outils de parallélisation, applications sur deux modèles macroscopiques. / Computational Neuroscience helped develop mathematical and computational tools for the creation, then simulation models representing the behavior of certain components of our brain at the cellular level. These are helpful in understanding the physical and biochemical interactions between different neurons, instead of a faithful reproduction of various cognitive functions such as in the work on artificial intelligence. The construction of models describing the brain as a whole, using a homogenization microscopic data is newer, because it is necessary to take into account the geometric complexity of the various structures comprising the brain. There is therefore a long process of rebuilding to be done to achieve the simulations. From a mathematical point of view, the various models are described using ordinary differential equations, and partial differential equations. The major problem of these simulations is that the resolution time can become very important when important details on the solutions are required on time scales but also spatial. The purpose of this study is to investigate the various models describing the electrical activity of the brain, using innovative techniques of parallelization of computations, thereby saving time while obtaining highly accurate results. Four major themes will address this issue: description of the models, explaining parallelization tools, applications on both macroscopic models.

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Cette thèse comporte quatre parties. Les deux premières parties concernent le calcul de la première valeur propre de familles d'opérateurs de Neumann en utilisant d'abord une méthode basée sur les différences finies, puis une approximation par une méthode d'éléments finis sans quadrature numérique. Pour le calcul numérique de la plus petite valeur propre, la méthode de la puissance inverse a été implémentée avec factorisation LU de la matrice considérée pour la résolution des systèmes linéaires utilisés.<br />La troisième partie porte sur un problème de valeurs propres faisant intervenir un opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant issu de la théorie de Ginzburg-Landau et concernant la supraconductivité de certains matériaux. Pour la résolution numérique, une méthode basée sur les éléments finis avec intégration numérique est utilisée. Dans cette partie, une évaluation de la partie basse du spectre de la réalisation de Neumann est obtenue. Ensuite, l'existence des solutions du problème variationnel spectral a été établie. L'étude de la convergence et l'estimation des erreurs pour les paires propres approchées avec quadrature numérique dans le cas où les fonctions propres sont vectorielles, sont semblables à celles obtenues dans le cas où les fonctions propres sont réelles. Dans l'étude de ces estimations, la distinction est faite entre le cas d'une valeur propre exacte simple et le cas d'une valeur propre exacte multiple. La quatrième partie porte sur la mise en œuvre de la résolution numérique du problème précédent.

Ce travail a permis de caractériser certaines propriétés de la génération de second harmonique dans le domaine de l'optique en champ proche grâce aux méthodes numériques implémentes durant cette période : la méthode perturbative de Rayleigh (MPR) et la méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD). Dans un premier temps, les sources du second harmonique optique ont été explicitées en fonction des différents types de symétries cristallines. Ensuite, la démarche pour adapter les deux méthodes numériques (FDTD et MPR) à l'optique non linaire a été exposée précisément. Des tests sur les deux méthodes numériques ont été effectués pour deux grands types de matériaux~: les matriaux centrosymétriques et non centrosymétriques. Puis, les modélisations de différentes expériences pour les deux types de matériaux ont été mises en oeuvre : réseaux de plots, pointes métalliques utilisées pour les microscopes optiques en champ proche sans ouverture... Le résultat dominant de ce travail est le fort confinement du second harmonique autour de l'objet le générant. La génération de second harmonique à l'apex d'une pointe métallique permet d'obtenir une source extrêmement localisée.